文档内容
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模块二 图形与几何基础
第 04 讲 三角形的证明与计算
（思维导图+2考点+14种题型（含4种解题技巧））
01考情透视·目标导航
02知识导图·思维引航
03核心精讲·题型突破
考点一 三角形的相关计算
►题型01 与高，中线，角平分线，垂直平分线的计算
►题型02 与三角形有关的角度计算问题
►题型03 利用全等三角形的性质求解
►题型04 利用相似三角形的性质求解
►题型05 利用特殊三角形的性质求解
►题型06 三角形有关的折叠问题
►题型07 利用分类讨论思想解决特殊三角形计算问题
►题型08 利用分类讨论思想解决全等/相似三角形问题
考点二 三角形的相关证明
►题型01 利用全等三角形的性质与判定求解
►题型02 利用相似三角形的性质与判定求解
►题型03 利用特殊三角形的性质与判定求解
►题型04 与三角形有关的多结论问题
►题型05 勾股定理的证明
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►题型06 三角形与函数综合
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01考情透视·目标导航
中考考点 命题预测
三角形作为初中数学几何部分的重要内容，其在中考数学中的考查频率和难度都较为突
出。
【常见题型】
1.选择题与填空题：选择题和填空题主要考查三角形的基础知识和简单计算，如三角形的三边
关系、内角和、外角性质、中位线定理等。此类题目通常较为简单，但要求考生对知识点掌握
准确。
2.解答题：解答题部分对三角形的考查更为深入，常涉及三角形全等的证明、特殊三角形的性
质和判定等。此类题型综合性较强，要求考生具备良好的逻辑推理能力和计算能力。
3.压轴题：在一些地区的中考中，三角形的证明与计算也会出现在压轴题中，通常结合四边
三角形的
形、圆等其他几何知识，考查学生的综合运用能力和创新思维。
证明与计
【命题预测】
算
1.注重基础知识的理解和运用：中考数学对三角形证明与计算的考查始终以基础知识为核心，
强调对概念、定理的理解和灵活运用。
2.强化实际应用：近年来，中考数学越来越注重与实际生活的联系，解直角三角形部分常常以
实际应用题的形式出现，要求考生能够将所学知识应用于解决实际问题。
3.提升综合思维能力：随着中考改革的深入，三角形的证明与计算题型逐渐向综合化、创新化
方向发展，要求考生具备较强的逻辑推理能力和综合运用知识的能力。
综上所述，考生在复习三角形证明与计算部分时，应注重基础知识的学习和掌握，强化对
全等三角形和特殊三角形性质和判定的理解，提升解直角三角形的实际应用能力，并通过大量
练习提高逻辑推理和综合运用知识的能力。这样，才能在中考中取得优异的成绩。
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02知识导图·思维引航
03 核心精讲 · 题型突破
考点一 三角形的相关计算
►题型01 与高，中线，角平分线，垂直平分线的计算
1．（2024·山东德州·中考真题）如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD=4，S =12，则BE
△ABC
的长为（ ）
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A．1.5 B．3 C．4 D．6
1
2．（2023·四川眉山·中考真题）如图，△ABC中，AD是中线，分别以点A，点B为圆心，大于 AB长为
2
半径作弧，两孤交于点M，N．直线MN交AB于点E．连接CE交AD于点F．过点D作DG∥CE，交AB
于点G．若DG=2，则CF的长为 ．
3．（2024·山东德州·中考真题）如图Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，垂足为D，AE平分
∠BAC，分别交BD，BC于点F，E．若AB:BC=3:4，则BF:FD为（ ）
A．5:3 B．5:4 C．4:3 D．2:1
4．（2024·山东泰安·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，分别以顶点A，C为圆心，大于
1
AC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M和点N，作直线MN分别与BC，AC交于点E和点F；以点A
2
1
为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点H和点G，再分别以点H，点G为圆心，大于 HG的
2
长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，若射线AP恰好经过点E，则下列四个结论：①∠C=30°；②
1
AP垂直平分线段BF；③CE=2BE；④S = S ．其中，正确结论的个数有（ ）
△BEF 6 △ABC
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
线段
三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线
名称
图形
语言
∵AD是∆ABC中BC边的高 ∵AD是∆ABC中BC边的中线 ∵AD是∆ABC中∠BAC的角平分线
∴∠ADB=∠ADC=90° 1
∴∠BAD=∠DAC= ∠BAC
性质 2
S =S =
∴BD=CD △ABD △ADC
S
△ABC
用途
1）线段垂直．2）角度相等． 1）线段相等．2）面积相等． 角度相等．
举例
线段
三角形的中位线 三角形的垂直平分线
名称
图形
语言
∵DE是∆ABC的中位线 ∵直线l是AB的垂直平分线
性质 1 ∴PA=PB, AC=BC, ∠PCA=∠PCB=90°
∴DE= BC DE∥BC
2
用途
1）线段平行．2）线段关系． 1）线段相等．2）角度相等．
举例
►题型02 与三角形有关的角度计算问题
5．（2024·山西·中考真题）一只杯子静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持
力F 的方向与斜面垂直，摩擦力F 的方向与斜面平行．若斜面的坡角α=25°，则摩擦力F 与重力G方向
1 2 2
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的夹角β的度数为（ ）
A．155° B．125° C．115° D．65°
6．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，
若∠C=20°，则∠CAD= °．
7．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，DA⊥AC，则
∠ADB=（ ）
A．100° B．115° C．130° D．145°
8．（2024·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知∠AOB=50°，点P为∠AOB内部一点，点M为射线OA、
点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长最小时，则∠MPN= ．
9．（2024·四川凉山·中考真题）如图，△ABC中，∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是边AB上的高，
AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 ．
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1）三角形的内角和为180°；
2）直角三角形中两锐角和为90°；
3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
►题型03 利用全等三角形的性质求解
10．（2024·四川资阳·中考真题）第14届国际数学教育大会（JCME−14）会标如图1所示，会标中心的
图案来源于我国古代数学家赵爽的“弦图”，如图2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形（△ABE，
△BCF，△CDG，△DAH）和一个小正方形EFGH拼成的大正方形ABCD．若EF：AH=1：3，则
sin∠ABE=（ ）
√5 3 4 2√5
A． B． C． D．
5 5 5 5
11．（2024·浙江·中考真题）如图，正方形ABCD由四个全等的直角三角形
(△ABE,△BCF,△CDG,△DAH)和中间一个小正方形EFGH组成，连接DE．若AE=4,BE=3，则
DE=（ ）
A．5 B．2√6 C．√17 D．4
12．（2024·甘肃临夏·中考真题）如图，在△ABC中，点A的坐标为(0,1)，点B的坐标为(4,1)，点C的坐
标为(3,4)，点D在第一象限（不与点C重合），且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 ．
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13．（2024·湖北·中考真题）如图，由三个全等的三角形(△ABE，△BCF，△CAD)与中间的小等边三角
形DEF拼成一个大等边三角形ABC．连接BD并延长交AC于点G，若AE=ED=2，则：
（1）∠FDB的度数是 ；
（2）DG的长是 ．
►题型04 利用相似三角形的性质求解
14．（2024·四川巴中·中考真题）如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若OA=1，则OG=
（ ）
125√5 125 64 32√3
A． B． C． D．
64 64 27 27
15．（2025·上海静安·一模）把一个三角形放大为与它相似的三角形，如果它的面积扩大为原来的9倍，那
么它的周长扩大为原来的 倍．
16．（2024·山东青岛·一模）如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC
的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若A A'=1，则A'D等于（ ）
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2 3
A．2 B．3 C． D．
3 2
17．（2024·江西·模拟预测）将一把直尺与△ABC按如图所示的方式摆放，AB与直尺的一边重合，AC，
BC分别与直尺的另一边交于点D，E．若点A，B，D，E分别与直尺上的刻度4.5，8.5，5，7对应，直
尺的宽为1cm，则点C到边AB的距离为 cm．
►题型05 利用特殊三角形的性质求解
18．（2024·宁夏·中考真题）在平面直角坐标系中，一条直线与两坐标轴围成的三角形是等腰三角形，则
该直线的解析式可能为 （写出一个即可）．
19．（2024·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，E是边AB上一点，连接CE，在BC右侧作
BF∥AC，且BF=AE，连接CF．若AC=13，BC=10，则四边形EBFC的面积为 ．
20．（2024·山东潍坊·中考真题）如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点A的坐标为(0,4)，点
B,C均在x轴上．将△ABC绕顶点A逆时针旋转30°得到△AB'C'，则点C'的坐标为 ．
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21．（2024·河南·中考真题）如图，⊙O是边长为4√3的等边三角形ABC的外接圆，点D是B´C的中点，
连接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
8π 16π
A． B．4π C． D．16π
3 3
22．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=2√5，AC=2，分别以点
1
A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线MN分别交AB，BC于点
2
D，E，连接CD，AE．
(1)求CD的长；
(2)求△ACE的周长．
等腰三角形性质：
1）等腰三角形是轴对称图形，它有1条或3条对称轴，
①当腰和底边不相等的等腰三角形只有1条对称轴，
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②当腰和底边不相等的等腰三角形只有3条对称轴.
2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.
3）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（简称“三线合一”）.
【注意】“三线合一”的前提是等腰三角形，且必须是顶角的角平分线，底边上的高和底边上的中线.
等边三角形的性质：
1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴；
2）等边三角形的三条边相等；
3）三个内角都相等，并且每个内角都是60°.
直角三角形的性质：
1）直角三角形两个锐角互余.
2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
3) 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半.
►题型06 三角形有关的折叠问题
23．（2024·四川·中考真题）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=4，折叠△ABC，使点A与
点B重合，折痕DE与AB交于点D，与AC交于点E，则CE的长为 ．
24．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图，在纸片△ABC中，∠C=90°,∠B=60°，点D，E分别在边
AB,AC上，且AD=AE，将△ADE沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，则BD:CE=（ ）
A．3:2 B．√3:2 C．2√3:3 D．4:3
25．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，DE平分等边△ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE,AC分别与
DF,EF相交于G,H两点．若DG=m,EH=n，用含m,n的式子表示GH的长是 ．
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思路：解决“翻折”问题时，要弄清翻折前后的边、角的对应情况，将待求线段或
角与已知线段、角归结到一起，尤其是求线段长度时，常常利用勾股定理直接求出未知线段的长度或通过
勾股定理列方程使问题得以解决.
解题方法：不找以折痕为边长的直角三角形,利用未知数表示其它直角三角形三边,通过勾股定理/相似三
角
形知识求解.
►题型07 利用分类讨论思想解决特殊三角形计算问题
26．（2025中原区一模）在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为18和21两个部
分，则这个等腰三角形的腰长为 ．
27．（2024大庆市二模）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a4−b4=a2c2−b2c2，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等腰或直角三角形
C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
28．（2024云岩区一模）在△ABC中，∠C为钝角，∠A=48°，如果经过△ABC其中一个顶点作一条直
线能把△ABC分成两个等腰三角形，那么∠C的度数为 ．
29．（2024·新疆·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°,∠A=30°,AB=8．若点D在直线AB上
（不与点A，B重合），且∠BCD=30°，则AD的长为 ．
30．（2024·四川雅安·中考真题）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，∠BAC=∠DAE=40°，将
△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，当AD⊥BC时，∠BAE的度数是 ．
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31．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知直角三角形的两边长分别为3、1．则第三边长为 ．
1. 等腰三角形
边长分类：若已知等腰三角形的周长和一条边长，但未指明该边长是腰长还是底边长，则需要分两种情况
讨论：一是该边长为底边，求两腰长；二是该边长为腰长，求底边长。
角度分类：若已知等腰三角形的一个角度，但未指明是顶角还是底角，也需要分两种情况讨论：一是该角
度为顶角，求两个底角；二是该角度为底角，求顶角。
2. 直角三角形
边长分类：若已知两边求第三边长.
►题型08 利用分类讨论思想解决全等/相似三角形问题
32．（2025宝山区模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知点O(0，0)，点A(1，0)，B(0，2)，
C(3，0)，点D在第一象限内，如果以点D、O、C为顶点的三角形与△AOB相似，那么这样的点D有
（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
33．（2025·湖北黄石·一模）如图所示的三角形是由左边的梯形经过连续的旋转形成的图案，则它们的旋
转角度是 ．
34．（2021·山东日照·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，AD=12cm，点P从点B出发，以
2cm/s的速度沿BC边向点C运动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD边向点
D运动，到达点D停止，规定其中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为 时，
△ABP与△PCQ全等．
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A
全等图形的性质：
全等三角形的对应边相等，
若 ，则AB=DE,AC=DF,BC=EF
B G H I C
全等三角形的对应角相等
若 ，则∠A=∠D, ∠B=∠E,∠C=∠F
D
全等三角形的周长相等，面积相等
若 ，则
全等三角形对应边上的高线相等，
，则 AG=DJ(对应边上的高线相等)
对应边上的中线相等，对应角的角
平分线相等． AI=DL(对应边上的中线相等) E J K L F
AH=DK(对应角的角平分线相等)
相似三角形的性质：
1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.
【小技巧】相似多边形对应边的比相等是求某条线段的长或求两条线段的比的一种常用方法，采用此方
法时一定要注意找准对应关系.
2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.
3）相似三角形周长的比等于相似比.
4）相似三角形面积比等于相似比的平方.
5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB.
解题方法：利用相似三角形的性质可推得成比例线段，从而建立等式求得未知线段的长.在中考题中常常
运用相似三角形的面积比等于相似比的平方解决与几何图形面积相关的问题.
1．（2025·陕西·一模）如图，在△ABC中，∠BAC=30°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，点O在
AD上，OA的垂直平分线分别交AC、AB于点E、F，连接OC，若OC=AF=4，则△AOC的面积为
．
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2
| 1| (√2 )
2．（2024·安徽亳州·模拟预测）在△ABC中，若 sinA− + −cosB =0，则∠C= ．3．
2 2
（2025·陕西西安·一模）割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补” ．著名的数学著作《九章算术》
已经能十分灵活地应用“出入相 补”原理解决平面图形的面积问题．在《九章算术》中，三角形被称为
圭田，圭田术曰：“半广以乘正纵”， 也就是说三角形的面积等于底的一半乘高，说明三角形的面积是
应用出入相补原理，由长方形面积导出的． 如图中的三角形下盈上虚，以下补上．如果图中矩形的面积
为20，那么图中阴影部分的面积是
4．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，△ABC中，∠B=90°，将△ABC绕点B逆时针旋转90°，若
BC=3，AC=4，点A旋转后的对应点为A'，则A ´'A的长是 ．
5．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，等腰三角形ABC中，AB=AC=3，BC=4，点D为平面内一点，
且∠BDC=90°，连接AD，则AD的最小值为 ，最大值 ．
6．（2025·陕西·一模）我国是最早了解勾股定理的国家之一，在《周髀算经》中记载了勾股定理的公式与
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证明，相传是由商高发现，故又称之为“商高定理”．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形
和中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两
条直角边长分别为m、n，则mn= ．
7．（2025·山东滨州·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C均在格点上．
（1）AC的长等于 ；
（2）只用无刻度的直尺作出△ABC的AC边上的高BD．（保留作图痕迹） ．
8．（2024·辽宁抚顺·二模）△ABC为等边三角形，D为平面内一点，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转
60°，得到线段DE，连BD，CE．当∠DAC=30°，AB=2√3，AD=4时，CE= ．
9．（2024·湖南长沙·模拟预测）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分
√5−1
与较大部分的比值，其比值为 ．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．
2
如图，乐器上的一根弦长AB=80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分
割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 cm．（结果保留根号）
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考点二 三角形的相关证明
►题型01 利用全等三角形的性质与判定求解
1．（2024·四川雅安·中考真题）如图，点O是 ▱ABCD对角线的交点，过点O的直线分别交AD，BC于
点E，F．
(1)求证：△ODE≌△OBF；
(2)当EF⊥BD时，DE=15cm，分别连接BE，DF，求此时四边形BEDF的周长．
2．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，△ABC中，∠ACB=90°，点O为AC边上一点，以点O为圆心，
OC为半径作圆与AB相切于点D，连接CD．
(1)求证：∠ABC=2∠ACD；
(2)若AC=8，BC=6，求⊙O的半径．
3．（2024·山东泰安·中考真题）如图1，在等腰Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，点D，E分别在
AB，CB上，DB=EB，连接AE，CD，取AE中点F，连接BF．
(1)求证：CD=2BF，CD⊥BF；
(2)将△DBE绕点B顺时针旋转到图2的位置．
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①请直接写出BF与CD的位置关系：___________________；
②求证：CD=2BF．
►题型02 利用相似三角形的性质与判定求解
4．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，C´D=D´B，AB，CD的
延长线相交于点E，且DE=AD．
(1)求证：△CAD∽△CEA；
(2)求∠ADC的度数．
5．（2024·福建·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，以AB为直
径的⊙O交BC于点D，AE⊥OC，垂足为E,BE的延长线交A´D于点F．
OE
(1)求 的值；
AE
(2)求证：△AEB∽△BEC；
(3)求证：AD与EF互相平分．
6．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．
如图1，在△ABC中，AB=AC，点D是AC上的一个动点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED交BA延
长线于点F．
请你解决下面各组提出的问题：
(1)求证：AD=AF；
DF AD
(2)探究 与 的关系；
DE DC
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AD 1 DF 2 AD 4 DF 8
某小组探究发现，当 = 时， = ；当 = 时， = ．
DC 3 DE 3 DC 5 DE 5
AD 7 DF
请你继续探究：①当 = 时，直接写出 的值；
DC 6 DE
AD m DF
②当 = 时，猜想 的值（用含m，n的式子表示），并证明；
DC n DE
(3)拓展应用：在图1中，过点F作FP⊥AC，垂足为点P，连接CF，得到图2，当点D运动到使
AD m AP
∠ACF=∠ACB时，若 = ，直接写出 的值（用含m，n的式子表示）．
DC n AD
►题型03 利用特殊三角形的性质与判定求解
7．（2024·江西·中考真题）追本溯源：题（1）来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题
（2）．
（1）如图1，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，过点D作BC的平行线，交AB于点E，请判
断△BDE的形状，并说明理由．
方法应用：（2）如图2，在 ▱ABCD中，BE平分∠ABC，交边AD于点E，过点A作AF⊥BE交DC的
延长线于点F，交BC于点G．
①图中一定是等腰三角形的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
②已知AB=3，BC=5，求CF的长．
8．（2024·湖北·中考真题）在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿EF折叠，
使点A的对应点P落在边CD上，点B的对应点为点G，PG交BC于点H．
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(1)如图1，求证：△DEP∽△CPH；
(2)如图2，当P为CD的中点，AB=2，AD=3时，求GH的长；
(3)如图3，连接BG，当P，H分别为CD，BC的中点时，探究BG与AB的数量关系，并说明理由．
9．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，在 ▱ABCD中，AB=6，AD=10，∠BAD=60°，P为边AB上的
动点．连接PC，将PC绕点P逆时针旋转60°得到PE，过点E作EF∥AB，EF交直线AD于点F．连接
PF、DE，分别取PF、DE的中点M、N，连接MN，交AD于点Q．
(1)若点P与点B重合，则线段MN的长度为______．
(2)随着点P的运动，MN与AQ的长度是否发生变化？若不变，求出MN与AQ的长度；若改变，请说明理
由．
10．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、≝¿叠放在一起，使点E、B分
别在边AC、DF上（端点除外），边AB、EF相交于点G，边BC、DE相交于点H．
(1)如图1，当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；
(2)如图2，若EF∥BC，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
(3)如图3，当AE>EC，FB>BD时，AE与FB有怎样的数量关系？试说明理由．
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11．（2024·江苏南通·中考真题）如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，⊙A与BC相切于点D．
(1)求图中阴影部分的面积；
(2)设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长．
►题型04 与三角形有关的多结论问题
12．（2025·广东广州·一模）如图，在△ABC中，AC>BC，∠A=45°，D是AB边上一点，且CB=CD，
过点B作BF⊥CD交CD于点E，交AC于点F，过点F作FH⊥AB于点H，分别以点B,D为圆心，大于
1
BD长为半径画弧，两弧交于点Q，连接CQ并延长交BD于点M，交BF于点N．记△BDE的面积为S ，
2 1
四边形DEFH的面积为S ，△BCE的面积为S ，请判断下列结论中正确个数为（ ）
2 3
DM−MN HM
①CM∥FH；②△BCF是等腰三角形；③ = ；④S +S =S ．
MN BN 1 2 3
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
13．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，△ABC和△ADE是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，把
△ADE以A为中心顺时针旋转，点M为射线BD、CE的交点．若AB=√3，AD=1．以下结论：①
3−√3
BD=CE；②BD⊥CE；③当点E在BA的延长线上时，MC= ；④在旋转过程中，当线段MB最短
2
1
时，△MBC的面积为 ．其中正确结论有（ ）
2
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．（2023·山东泰安·中考真题）如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=36°．以点B为圆心，
1
任意长为半径作弧，交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于 FG的长为半径作弧，
2
1
两弧相交于点H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两孤
2
相交于M、N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①∠AED=∠ABC；②
1
BC=AE；③ED= BC；④当AC=2时，AD=√5−1．其中正确结论的个数是（ ）
2
A．1 B．2 C．3 D．4
15．（2023·湖北·中考真题）如图，△BAC,△DEB和△AEF都是等腰直角三角形，
∠BAC=∠DEB=∠AEF=90°，点E在△ABC内，BE>AE，连接DF交AE于点G,DE交AB于点H，
连接CF．给出下面四个结论：①∠DBA=∠EBC；②∠BHE=∠EGF；③AB=DF；④AD=CF．其
中所有正确结论的序号是 ．
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►题型05 勾股定理的证明
16．（2024·山西吕梁·模拟预测）阅读与思考：请阅读下列材料，完成相应任务．
从勾股定理的“无字证明”谈起
在勾股定理的学习过程中，我们已经学会运用一些几何图形验证勾股定理．如图1是古印度的一种证明方
法：过正方形ADEC的中心O，作两条互相垂直的直线，将正方形分成4份，所分成的四部分和一小正方
形恰好能拼成一个大正方形．这种方法，不用运算，单靠移动几块图形就直观地证出了勾股定理，这种根
据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．
意大利著名画家达·芬奇用如图2所示的方法证明了勾股定理，其中图甲的空白部分是由两个正方形和两个
直角三角形组成，图丙的空白部分由两个直角三角形和一个正方形组成．设图甲中空白部分的面积为S ，
1
图丙中空白部分的面积为S ．
2
任务：
(1)下面是小亮利用图2验证勾股定理的过程，请你帮他补充完整．
解：根据题意，得S = ________=a2+b2+ab
1
1
S =c2+2× ab=c2+ab．
2 2
∵S =S ，
1 2
________，即________．
∴(2)我国是最早了解勾股定理的国家之一．东汉末年数学家刘徽在为《九章算术》作注中依据割补术而创造
了勾股定理的无字证明“青朱出入图”．如图3，若CB=6，CG=8，则IN的长度为________．
(3)在初中的数学学习中，我们已经接触了很多代数恒等式．一些代数恒等式也可以通过“无字证明”来解
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释．可以借助图4直观地解释的代数恒等式为________．借助此方法可将抽象的数学知识变得直观且具有
可操作性，从而帮助我们解决问题，在此过程中体现的数学思想是________．
A．分类讨论思想 B．公理化思想 C．数形结合思想 D．从特殊到一般的思想
(4)借助图5可以直观解释的式子为________．（填序号）
①(a+3) 2=a2+9； ②(a+3) 2=a2+6a+9；
③(a+3) 2≠a2+9； ④(a−3) 2=a2−6a+9．
(5)实际上，初中数学还有一些代数恒等式（除上述涉及的）也可以借助“无字证明”来直观解释，请你举
出一例，画出图形并直接写出所解释的代数恒等式．
17．（2023·辽宁阜新·二模）动手实践、归纳和猜想是我们发现数学结论的重要一环，你也来试试吧！
(1)如图，两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成一个梯形．用
两种不同的方法计算梯形的面积，得到我们学习过的一个重要公式，
请你写出来：面积等式为____________，结论为____________；
(2)n边形有n个顶点，在它的内部再画m个点，以(m+n)个点为顶点，把n边形剪成若干个三角形，设最多
可以剪得y个这样的三角形．当n=3,m=3时，如图，最多可以剪得7个这样的三角形，所以y=7．
①当n=4,m=2时，如图，y=______；
当n=5,m=______时，y=9；
②对于一般的情形，在n边形内画m个点，通过归纳猜想，可得y=______（用含m、n的代数式表示）．
18．（2021·贵州贵阳·中考真题）（1）阅读理解：我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国
古代的数学著作《周髀算经》中．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，
后人称之为“赵爽弦图”．根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程；
（2）问题解决：勾股定理的证明方法有很多，如图②是古代的一种证明方法：过正方形ACDE的中心O，
作FG⊥HP，将它分成4份．所分成的四部分和以BC为边的正方形恰好能拼成以AB为边的正方形．若
AC=12,BC=5，求EF的值；
（3）拓展探究：如图③，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向
外作正方形，重复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形．设大正方形N的边长为定值n，小正方形
A,B,C,D的边长分别为a,b,c,d．已知∠1=∠2=∠3=α，当角α(0°<α<90°)变化时，探究b与c的
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关系式，并写出该关系式及解答过程（b与c的关系式用含n的式子表示）．
►题型06 三角形与函数综合
19．（2024·吉林·中考真题）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm，AD是△ABC的角
平分线．动点P从点A出发，以√3cm/s的速度沿折线AD−DB向终点B运动．过点P作PQ∥AB，交
AC于点Q，以PQ为边作等边三角形PQE，且点C，E在PQ同侧，设点P的运动时间为t(s)(t>0)，
△PQE与△ABC重合部分图形的面积为S(cm2)．
(1)当点P在线段AD上运动时，判断△APQ的形状（不必证明），并直接写出AQ的长（用含t的代数式
表示）．
(2)当点E与点C重合时，求t的值．
(3)求S关于t的函数解析式，并写出自变量t的取值范围．
1
20．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与探究：如图，在平面直角坐标系中，已知直线y= x−2与
2
x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的另一个交点为点
B(−1，0)，点P是抛物线位于第四象限图象上的动点，过点P分别作x轴和y轴的平行线，分别交直线
AC于点E，点F．
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(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是x轴上的任意一点，若△ACD是以AC为腰的等腰三角形，请直接写出点D的坐标；
(3)当EF=AC时，求点P的坐标；
(4)在（3）的条件下，若点N是y轴上的一个动点，过点N作抛物线对称轴的垂线，垂足为M，连接
NA，MP，则NA+MP的最小值为______．
21．（2023·广西·中考真题）如图，△ABC是边长为4的等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，
CA上运动，满足AD=BE=CF．
(1)求证：△ADF≌△BED；
(2)设AD的长为x，△≝¿的面积为y，求y关于x的函数解析式；
(3)结合（2）所得的函数，描述△≝¿的面积随AD的增大如何变化．
22．（2023·四川内江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于B(4,0)，
C(−2,0)两点．与y轴交于点A(0,−2)．
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(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点K，过点P作y轴的平行线
1
交x轴于点D，求与 PK+PD的最大值及此时点P的坐标；
2
(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△MAB是以AB为一条直角边的直角三角形：若存在，请求
出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
判定两个三角形全等的思路：
证三角形全等时，常用的隐含条件：
1）公共角(或公共边)； 2）对顶角相等； 3）等角加(或减)等角仍是等角；
4）角平分线得两等角； 5）平行线得同位角、内错角相等.
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相似三角形的判定方法：
1）判定三角形相似的常用定理：
①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
②三边成比例的两个三角形相似；
③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；
④两角分别相等的两个三角形相似．
2）直角三角形相似的判定方法：
①有一个锐角相等的两个直角三角形相似.
②两组直角边成比例的两个直角三角形相似.
③斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似.
【补充】判定两个三角形相似需要根据条件选择方法．有时条件不具备，需从以下几个方面探求：
1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；
2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这组等角的两边成比例；
3）两个三角形中若有两边成比例，可找这两边的夹角相等，或再找第三边成比例；
4）条件中若有一组直角，可再找一组等角或证明斜边、直角边对应成比例；
5）条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找底角相等，或找底和腰对应成比例.
1．（2025·广东揭阳·一模）如图所示为一直角三角形ABC，AC⊥BC，AB=12，∠B=30°，用圆规以
A点为圆心画圆弧s，分别交AC，AB于点D，E，然后再分别以D，E为圆心，以大于DE长度的一半画
圆弧，两圆弧交于点F，连接AF交BC于点G，最后以点G为圆心，以AD的长度为半径画圆交圆弧s于
点M，N，连接MN分别交AC，AB于点P，Q，连接PG，GE，则四边形APGQ的周长为 ．
1 k
2．（2025·陕西西安·一模）如图，直线l：y= x−4与 反 比 例 函 数y= (k>0)的 图 象 交 于 点
2 x
A， 与 x 轴交于点B， 将 线 段 绕 点B逆时针旋转90°至线段BC，若点C恰好也在反比例函数图象上，
则k的值为 ·
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3．（2025·安徽亳州·一模）如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D，若
BD
BF=3EF，则 =（ ）
DC
4 6 3 2
A． B． C． D．
3 5 2 3
4．（2025·上海宝山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线AB的解析式为y=x+1，与 轴相交于
点B，与y轴相交于点A，过点A的直线AC与x轴相交于点C(3，0)，以AC为斜边在AC下方作等腰
Rt△ACD，连接BD，则BD的长为：
5．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等边三角形ABC中，AB=3，D、E是边AC上的三等分点，点
M、N分别在边AB，BC上运动，则四边形DENM周长的最小值是 ．
4
6．（2025·上海松江·一模）如图，在△ABC中，∠C=90°，tanB= ，E是边AB上一点，将△BCE沿
5
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AE
直线CE翻折，点B的对应点为B'，如果AB'∥BC，那么 的值为 ．
EB
7．（2025·上海普陀·一模）△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D在边BC上，CD=2，如图
所示．点E在边AB上，将△BDE沿着DE翻折得△B'DE，其中点B与点B'对应，B'E交边AC于点G，
B'D交AC的延长线于点H．如果△B'HG是等腰三角形，那么BE= ．
8．（2025·上海宝山·一模）如图，已知△ABC，AB=AC=4，∠B=30°，D是边BC的中点，线段AB
绕点D顺时针旋转得到对应线段A'B'，线段A'B'与AC,BC分别交于点E,F，如果△EFC是直角三角形，
那么AE的长是 ．
9．（2025·湖南娄底·一模）已知如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，AC=3，在直线AB的同
侧分别以△ABC的三边作正方形ABFG、正方形BCDE、正方形ACMN，S 、S 、S 、S 分别表示对应
1 2 3 4
图形的面积，则S +S +S +S 的值为 ．
1 2 3 4
10．（2025·广东·模拟预测）如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=60°，点E为高AD上的一动点，
以BE为边作等边△BEF，连接DF，CF，则∠BCF= ，FB+FD的最小值为 ．
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32
