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专题 01 常考的规律探究问题
题型解读｜模型构建｜通关试 练
模型01 数与式、图形的规律问题
数式规律和图形规律探究问题的特点是：问题的结论不是直接给出，而是给出一组具有某种特定关系
的数、式、图形，或是给出图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境等，要求通过观察分析推理，
探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论.
模型02 平面直角坐标系中的规律问题 （旋转、平移、翻滚、渐变等）
平面直角坐标系中的规律探究问题由于问题背景的不同，这类题的解题策略是：由特例观察、分析、
归纳一般规律，然后利用规律解决问题.具体思维过程是“特殊---一般----特殊”.这类问题体现了“特殊与
一般”的数学思想方法，解答时往往体现“探索、归纳、猜想”等思维特点，对分析问题、解决问题的能
力具有很高的要求.
模型01 数与式、图形的规律问题
考｜向｜预｜测
数与式、图形的规律问题该题型主要以选择、填空形式出现，难度系数不大，需要学生学会分析各式
或图形中的“变”与“不变”的规律——重点分析“怎样变”，应结合各式或图形的序号进行前后对
比分析.主要考查学生阅读理解、观察图形的变化规律的能力，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律，
利用规律解决问题．
答｜题｜技｜巧
第一步： 读懂题意，标序号；
第二步： 根据已有规律模仿或归纳推导隐藏规律，析各式或图形中的“变”与“不变”的规律——
重点分析“怎样变”；
第三步： 猜想规律与 “序号”之间的对应关系，并用关于 “序号”的式子表示出来；
第四步： 验证所归纳的结论，利用所学数学知识解答
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例1．（2023·湖南）观察下列按顺序排列的等式： ，试猜
想第n个等式（n为正整数）：a= ．
n
【答案】 ．
【详解】根据题意可知，
∴ ．
例2．（2023·安徽）（规律探究）如下图，是由若干个边长为1的小正三角形组成的图形，第（2）个图比
第(1)个图多一层，第（3）个图比第（2）个图多一层，依次类推.
(1)第（9）个图中阴影三角形的个数为 ；非阴影三角形的个数为 ．
(2)第 个图形中，阴影部分的面积与非阴影部分的面积比是441∶43，求 .
(3)能否将某一个图形中的所有小三角形重新拼接成一个菱形，如果能，请指出是第几个图形，如果不能说
明理由.
【详解】（1）第（1）（2）（3）个图中阴影部分小三角形的个数分别是：1+3=22，1+3+5=32，
1+3+5+7=42，由此可推测第（9）个图中阴影部分小三角形的个数是(9+1)2=102=100（个），空白三角形的
个数为2×（9＋2-1=21）;
故答案为：100；21；
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（2）第n个图形中阴影三角形与非阴影三角形的个数比是： = ，
解得， 或 （舍去）
经检验， 符合要求，
所以， ；
（3）设第（m）个图形可重新拼成一个菱形，第（m）个图形总的三角形个数为 ,
由于可以拼一个菱形，则是一含有60度角的菱形，即两个等边三角形构成的菱形，每个等边三角形中含小
三角形数为x2,则有：
解得，
∴m不是正整数，
∴不可能拼成一个菱形．
例3．（2023·江西）规律探究与猜想：
①方程 的解为 ， ；
②方程 的解为 ， ；
③方程 的解为 ， ；
④方程 的解为 ， ；
……
(1)根据以上各方程及其解的特征，请解答下列问题：
①方程 的解为______．
②第 个方程为______，其解为______．
(2)请用公式法解方程 ，验证猜想结论的正确性．
【详解】（1）解：
方程 ，解为 ， ；
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方程 ，解为 ， ；
方程 ，解为 ， ；
① ，
解为 ；
②第 个方程为
∴第 个方程为 ，解为 ．
（2）解：
，
∴ ．
故结论正确．
模型02 平面直角坐标系中的规律问题
考｜向｜预｜测
平面直角坐标系中的规律问题 （旋转、平移、翻滚、渐变等）该题型也主要以选择、填空的形式
出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型需要分析变化规律得到一般的规律（如点变的循
环规律或点运动的循环规律，点的横、纵坐标的变化规律等）.主要考查对点的坐标变化规律，一
般我们需要结合所给图形，找到点或图形的变化规律或者周期性，最后利用正确运用数的运算.
答｜题｜技｜巧
第一步： 观察点或图形的变化规律，根据图形的变化规律求出已知关键点的坐标；
第二步： 分析变化规律得到一般的规律看是否具有周期性（如点变的循环规律或点运动的循环规律，
点的横、纵坐标的变化规律等）
第三步： 周期性的求最小周期看余数，不是周期性的可以罗列求解几组以便发现规律，根据最后的变
化次数或者运动时间登，确定要求的点与哪个点重合或在同一象限，或与哪个关键点的横纵
坐标相等；
第四步： 利用有理数的运算解题
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旋转型
例1．（2023·四川）如图所示，矩形 的顶点 为坐标原点， ，对角线 在第二象限的角平
分线上．若矩形从图示位置开始绕点 以每秒 的速度顺时针旋转，则第2025秒时，点 的对应坐标为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解： 四边形 是矩形， ，
每秒旋转 ，8次一个循环， ，
第2025秒时，点A的对应点 落在 轴正半轴上，
点 的坐标为 ．故选：B．
平移型
例2．（2023·杭州）如图，直角坐标平面xOy内，动点P按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（–
1，0）运动到点（0，1），第2次运动到点（1，0），第3次运动到点（2，–2），……，按这样的运动
规律，动点P第2018次运动到点
A．（2018，0） B．（2017，0） C．（2018，1） D．（2017，–2）
【答案】B
【详解】解:∵2018÷4=504余2，∴第2014次运动为第505循环组的第2次运动，
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横坐标为504×4+2-1=2017，纵坐标为0，
∴点的坐标为（2017，0）．故选B．
翻滚型
例3．（2023·安徽）如图所示，在平面直角坐标系中， ， ， ， 都是等边三角
形，其边长依次为 ， ， ， 其中点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
点 的坐标为 ， ，按此规律排下去，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：观察所给图形，发现 轴上方的点是 的倍数，
，
点 在 轴上方，
， ，
， ，
， 点 的坐标为 ，
同理可知，点 的坐标为 ，
点 的坐标为 故选：C．
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1．（2023·山东）我国古代数学家杨辉发现了如图所示的三角形，我们称之为“杨辉三角”，我们把第2
行从左到右数第 1个定为 ，我们把第 4行从左到右数第 3个定为 ，由图我们可以知道：
，按照图中数据规律， 的值为 ．
【答案】91
【详解】解：如图所示，
按照图中数据规律， ， ，
∴ ，
故答案为：91
2．（2023·河南）如图，找出其变化的规律，则第1349个图形中黑色正方形的数量是 ．
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【答案】2024个
【详解】解：根据题意，可得当n为偶数时，第n个图形中黑色正方形的数量为 个，
当n为奇数时，第n个图形中黑色正方形的数量为 个，
∴ 时，黑色正方形的个数为 个．
故答案为：2024个．
3．（2023·陕西）如图，第1个图用了6枚棋子摆成；第2个图用了9枚棋子摆成；第3个图用了12枚棋
子摆成，……；按图中所示规律，第n个图需要棋子 枚．
【答案】3（n+1）
【详解】根据题意有，
第1个图形棋子数为：3+3×1，
第2个图形棋子数为：3+3×2，
第3个图形棋子数为：3+3×3，
……，
第n个图形棋子数为： ，
∴第n个图需要棋子3（n+1）枚，
故答案为：3（n+1）．
4．（2023·云南）如图图形是同样大小的小五角星按一定规律组成的，按此规律排列，则第n个图形中小
五角星的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
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【详解】解：则第1个图形中小五角星的个数为： ；
则第4个图形中小五角星的个数为： ；
则第3个图形中小五角星的个数为： ；
则第4个图形中小五角星的个数为： ；
……；
则第n个图形中小五角星的个数为： ，
故选：A．
5．（2023·广东）正六边形 在数轴上的位置如图，点A、F对应的数分别为0和1，若正六边形
绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点E所对应的数为2，则连续翻转2022次
后，数轴上2022这个数所对应的点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】A
【详解】解：当正六边形在转动第一周的过程中，F、E、D、C、B、A分别对应的点为1、2、3、4、5、
6，
∴翻转6次为一循环，
∵ ，
∴数轴上2022这个数所对应的点是A点．
故选：A．
6．（2023·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，直线l： 与两坐标轴交于 、 两点，以 为
边作等边 ，将等边 沿射线 方向作连续无滑动地翻滚．第一次翻滚：将等边三角形绕 点顺
时针旋转 ，使点 落在直线 上，第二次翻滚：将等边三角形绕点 顺时针旋转 ，使点 落在直
线l上……当等边三角形翻滚 次后点 的对应点坐标是（ ）
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A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：∵直线l： 与两坐标轴交于 、 两点，
∴ ， ，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
如图，等边 经过第 次翻转后， ，
过点 作 轴于点 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
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，
等边 经过第 次翻转后， ，
等边 经过第 次翻转后，点 仍在点 处，
∴每经过 次翻转，点 向右平移 个单位，向上平移 个单位，
∵ ，第 次与第 次翻转后点 处在同一个点，
∴点 经过 次翻转后，向右平移了 个单位，向上平移了 个单位，
∴等边三角形翻滚 次后点 的对应点坐标是 ，
故选：D．
7．（2023·河南）如图，矩形 的顶点 、 分别在 轴、 轴上，其坐标分别为 、 ，
，将矩形 绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，则第 次旋转结束时，点 的坐标为（
）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：如图，过点 作 轴于点 ．
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矩形 的顶点 、 分别在 轴、 轴上，其坐标分别为 、 ，
， ，
，
，
， ，
，
∴ ，
，即 ，
， ，
，
，
矩形 绕点 顺时针旋转，每次旋转 ，
则第 次旋转结束时，点 的坐标为 ；
则第 次旋转结束时，点 的坐标为 ；
则第 次旋转结束时，点 的坐标为 ；
则第 次旋转结束时，点 的坐标为 ；
发现规律：旋转 次一个循环，
，
则第 次旋转结束时，点 的坐标为 ．
故选：B．
1．（2023·江西吉安·期末）规律探究题：如图是由一些火柴棒摆成的图案：按照这种方式摆下去，摆第
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2023个图案用几根火柴棒（ ）
A．8093 B．8095 C．8092 D．8091
【答案】A
【详解】观察图形的变化可知：
摆第1个图案要用火柴棒的根数为：5；
摆第2个图案要用火柴棒的根数为： ；
摆第3个图案要用火柴棒的根数为： ；
…
则摆第n个图案要用火柴棒的根数为： ；
故第2023个图案要用火柴棒的根数为：
故选：A
2．（23-24·河南新乡·期末）汉字文化正在走进人们的日常消费生活．如图所示图形都是由同样大小的圆
点和线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有 个圆点，图②中共有 个圆
点，图③中共有 个圆点，图④中共有 个圆点…依此规律则图⑩中共有圆点的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由题意知，图①中共有 个圆点，
图②中共有 个圆点，
图③中共有 个圆点，
图④中共有 个圆点，
…
∴图⑩中共有圆点 ，
故选：D．
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3．（23-24·湖北武汉·期末）已知点 ，记 关于直线m（直线m上各点的横坐标都为0）的对称
点为 ， 关于直线n（直线n上各点的纵坐标都为1）的对称点为 ， 关于直线p（直线p上各点的横
坐标都为 ）的对称点为 ， 关于直线q（直线q上各点的纵坐标都为3）的对称点为 ， 关于直
线m的对称点为 ， 关于直线n的对称点为 ，……依此规律 的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵直线m上各点的横坐标都为0，即直线m为y轴，
∴ ，在第一象限，
∵直线n上各点的纵坐标都为1，即直线n为直线 ；
∴ ，在第四象限，
∵直线p上各点的横坐标都为 ，即直线p为直线 ，
∴ ，在第三象限，
∵直线q上各点的纵坐标都为3，即直线q为直线 ，
∴ ，在第二象限，
∴ ，在第一象限， ，在第四象限， 在第三象限，
∴每四个点坐标所在象限为一个循环，
∵ ，
∴ 与 在同一象限，
∵ ， ，
∴可知，第三象限的点坐标的特征为 ，
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∴ ，
故选：B．
4．（23·山东济宁·期末）如图， ，过点 作 且 ，得 ；再过点 ，作
，且 ，得 ；又过点 作 且 ，得 依此法继续作下去，
得 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：由勾股定理得：
，
，
，
，
依此类推可得：
，
∴ ，
故选：B．
5．（23·广西贵港·期末）请看杨辉三角，并观察下列等式：
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根据前面各式的规律，则 .
【答案】
【详解】解：（a+b）6=a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6
故本题答案为： .
6．（23-24·辽宁沈阳·期中）汉字文化正在走进人们的日常消费生活．下列图形都是由同样大小的圆点和
线段按照一定的规律排列组成的篆书简化“汉”字，其中，图①中共有12个圆点，图②中共有18个圆点，
图③中共有25个圆点，图④中共有33个圆点…依此规律，则图⑧中共有圆点的个数是 ．
【答案】75
【详解】解：在图①中，圆点个数为 个．
在图②中，圆点个数为 个．
在图③中，圆点个数为 个．
在图④中，圆点个数为 个．
．
以次类推，在图⑧中，圆点个数为
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．
故答案为：75．
7．（2023·四川资阳·一模）如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿
直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，
则每次旋转的角度α为 ．
【答案】40°．
【详解】连续左转后形成的正多边形边数为： ，
则左转的角度是 ．
故答案是：40°．
8．（22-23·江苏）我国南宋数学家杨辉 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表（图
①），即杨辉三角．现在将所有的奇数记“ ”，所有的偶数记为“ ”，则前 行如图②，前 行如图③，
求前 行“ ”的个数为 ．
【答案】
【详解】观察图②和图③可知，前 行中包含 个前 行的图形，中间三角形中的数字均为 ，
前 行中“ ”的个数是前 行中“ ”的个数的 倍，
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即前 行中“ ”的个数为 （个），
同理可知前 行中“ ”的个数是前 行中“ ”的个数的 倍，即前 行中“ ”的个数为
（个），
前 行中“ ”的个数是前 行中“ ”的个数的 倍，即前 行中“ ”的个数为 （个），
故答案为： ．
9．（2023九年级上·全国·期末）在平面直角坐标系中，抛物线 的图象如图所示．已知A点坐标为
，过点A作 轴交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，过点 作 轴
交抛物线于点 ，过点 作 交抛物线于点 ，依次进行下去，则点 的坐标为 ．
【答案】
【详解】解：∵A点坐标为 ，
∴直线 为 ，
∵ ，
∴直线 为 ，
解 得 或 ，
∴ ，
∴ ，
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∵ ，
∴直线 为 ，
解 得 或 ，
∴ ，
∴
…，
故答案为： ．
10．（22-23九年级上·全国·期末）(规律探究题)下表是按一定规律排列的一列方程，仔细观察，大胆猜想，
科学推断，完成练习.
序
方程 方程的解
号
1 x2-2x-3=0 x=-1，x=3
1 2
2 x2-4x-12=0 x=-2，x=6
1 2
3 x2-6x-27=0 x=-3，x=9
1 2
… … …
（1）这列方程中第10个方程的两个根分别是x=____，x=____.
1 2
（2）这列方程中第n个方程为________.
【答案】（1）-10；30；（2）x2-2nx-3n2=0
【详解】（1）由表格中的规律可知，第10个方程的解为x=-10，x=30；
1 2
（2）根据表格中的规律可知，第n个方程的解是x=-n，x=3n，
1 2
∴根据根与系数的关系可知：第n个方程就是x2-2nx-3n2=0．
11．（22-23·福建莆田·期中）探究规律题
按照规律填上所缺的单项式并回答问题：
（1） ,________,__________；
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（2）试写出第2017个和第2018个单项式；
（3）试写出第n个单项式；
（4）试计算：当a= -1时， 的值.
【详解】解：（1）由前几项的规律可得：第五项、第六项依次为：5a5，-6a6；
（2）第2007个单项式为：2017a2017，第2018个单项式为：-2018a2018；
（3）第n个单项式的系数为：n×（-1）n+1，次数为n，
故第n个单项式为：（-1）n+1nan．
（4）原式=-1-2-3…-100 =-5050.
12．（23-24·河南安阳）探究规律，完成相关题目．
定义“*”运算：
； ；
； ；
； ．
(1)归纳*运算的法则：
两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0
进行*运算，________
(2)计算： ．
(3)是否存在有理数m，n，使得 ，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．
【详解】（1）解：归纳*运算的法则∶ 两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．
特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方．
（2）解： ，
，
，
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，
，
；
（3）解： ，
，
∴ ，
解得： ，
13．（23-24·浙江杭州·期中）探究规律，完成相关题目：
小明说：“我定义了一种新的运算，叫※（加乘）运算．”
然后他写出了一些按照※（加乘）运算的运算法则进行运算的算式：
； ；
； ；
； ； ； ．
小亮看了这些算式后说：“我知道你定义的※（加乘）运算的运算法则了．”
聪明的你也明白了吗？
(1)观察以上式子，类比计算：
① ， ；
(2)计算： ；（括号的作用与它在有理数运算中的作用一致，写出必要的运算步骤）
(3)若 ．计算： 的值．
【详解】（1）解：①
= ，
故答案为： ．
②
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= ，
故答案为： ．
（2）解：
=
．
（3）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴
．
22
