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重难点 05 圆的综合压轴题综合训练
中考数学中《圆的综合压轴题》部分主要考向分为六类：
一、圆中弧长和面积的综合题
二、圆与全等三角形的综合题
三、圆的综合证明问题
四、圆与等腰三角形的综合题
五、圆的阅读理解与新定义问题
六、圆与特殊四边形的综合题
中考数学中,“圆”是一个不可或缺的重要考点。圆与其他数学知识点联系紧密，经常出现在综合题中，
尤其是大题，有时甚至会作为压轴题出现。因此，在复习时，一定要注重圆与其他知识点的结合，掌握综
合题的解题技巧，非常有必要进行综合训练。
考向一：圆中弧长与面积的综合题
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nπr nπr2 1
L = ；S = = Lr；
弧长 180 扇形 360 2
公式可以直接应用，也可以由弧长（或面积）的数值求解对应的圆心角或者半径
1．（2024·山东日照·中考真题）如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B=120°，点O是对角线AC的中点，
以点O为圆心，OA长为半径作圆心角为60°的扇形OEF，点D在扇形OEF内，则图中阴影部分的面
积为（ ）
π √3 √3 π 1
A． − B．π− C． − D．无法确定
2 4 4 2 4
2．（2024·山东东营·中考真题）习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学
校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，OA=20cm，
OB=5cm，纸扇完全打开后，外侧两竹条（竹条宽度忽略不计）的夹角∠AOC=120°．现需在扇面
一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为（ ）cm2．
25
A． π B．75π C．125π D．150π
3
3．（2024·河南·中考真题）如图，⊙O是边长为4√3的等边三角形ABC的外接圆，点D是B´C的中点，连
接BD，CD．以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，则阴影部分的面积为（ ）
8π 16π
A． B．4π C． D．16π
3 3
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4．（2023·山东滨州·中考真题）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆
⊙O ,⊙O ,⊙O 相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）
1 2 3
1 1 1
A． πcm2 B． πcm2 C． πcm2 D．πcm2
4 3 2
5．（2022·四川资阳·中考真题）如图．将扇形AOB翻折，使点A与圆心O重合，展开后折痕所在直线l与
A´B交于点C，连接AC．若OA=2，则图中阴影部分的面积是(
)
2π √3 2π π √3 π
A． − B． −√3 C． − D．
3 2 3 3 2 3
6．（2023·内蒙古·中考真题）如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC,BD相交于点O，以点B为圆心，
对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为 ．
7.（2023·湖南·中考真题）如图，某数学兴趣小组用一张半径为30cm的扇形纸板做成一个圆锥形帽子（接
缝忽略不计），如果做成的圆锥形帽子的底面半径为8cm，那么这张扇形纸板的面积为 cm2．
（结果保留π）
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考向二：圆与全等三角形综合题
圆与全等三角形综合常见的有以下3种题型：
题型1:圆中弦与全等三角形
做题步骤:①观察弦是否相等或垂直平分；②应用垂径定理找直角或中点；③结合半径相等(隐含边等)
判定全等。
题型2:切线与全等三角形。
做题步骤：①连接切点与圆心，得到垂直关系。2.利用切线长定理得边等。3.寻找对称性或公共边/角
构造全等,
题型3:圆周角与全等三角形。
做题步骤:①由等弧得等圆周角；②结合已知边等(如半径、弦长)判定全等；③必要时构造辅助线(如直
径、弦心距)
1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD⊥AB于点
D，将△CDB沿BC所在的直线翻折，得到△CEB，点D的对应点为E，延长EC交BA的延长线于点
F．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
√2
(2)若sin∠CFB= ，AB=8，求图中阴影部分的面积．
2
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2．（2024·安徽合肥·一模）如图，在四边形ABCD中，AO平分∠BAD．点 O在AC上，以点O为圆心，
OA为半径，作⊙O与BC相切于点B，BO延长线交⊙O于点 E，交AD于点 F，连接AE，DE．
(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若AE=DE=8，求AF的长．
3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连接AC,BD交于点E，且AC平
分∠BCD．
(1)如图1，求证：AB=AD；
(2)如图2，若∠BAC+∠CED=120°，求证，△ABD是等边三角形；
(3)如图3，在（2）的条件下，将AB沿AC翻折得到的射线交线段CD于点M，交⊙O于点N，若
NC=3,DM=4，求线段AC的长．
4．（2024·福建厦门·二模）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，
连接AC、OD交于点E．
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(1)证明：AE=CE；
(2)若AC=2BC；
①证明：DA是⊙O的切线
②如图2连接BD交⊙O于点F，连接EF，求∠≝¿的度数
5．（2024·黑龙江大庆·二模）如图，AB是⊙O的直径，C、D为⊙O上的点，且BC∥OD，过点D作
DE⊥AB于点E．
(1)求证：BD平分∠ABC；
(2)求证：BC=2EO
(3)若BC=6，DE=4，求⊙O的半径．
考向三：圆的综合证明问题
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1.标注已知条件:明确弦、弧、切线、角度等信息，标在图上。
2.联想相关定理:根据条件匹配圆的性质(如遇切线→切线长定理:遇弦→垂径定理)
3.构造辅助线:连接圆心、弦中点、切点等关键点，或添加辅助圆。
4.转化几何关系:将弧、角、弦的关系转化为三角形全等/相似或勾股定理
5.逆向验证:若直接证明困难，可假设结论成立，反向推导条件是否矛盾。
1．（2024·广东东莞·一模）综合探究：
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AE⊥BD，BD>BC，点A是CA´D的中点，且
AF∥CD．
(1)若∠BAE=∠ADE，求证：BD是⊙O的直径；
(2)求证：直线AF是⊙O的切线；
(3)若BC=4，BE=2，求ED的长．
2．（2024·安徽合肥·二模）已知，四边形 ABCD内接于⊙O，AB为⊙O直径 ，AD与BC的延长线相
交于点E，AC平分∠BAD，AC与BD相交于点 F．
(1)如图1，若AD=BD ，求证：AF=BE；
(2)如图2，若DE=4，CE=6，求⊙O的半径．
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3．（2024·山东济南·中考真题）如图，AB,CD为⊙O的直径，点E在B´D上，连接AE,DE，点G在BD
的延长线上，AB=AG,∠EAD+∠EDB=45°．
(1)求证：AG与⊙O相切；
1
(2)若BG=4√5,sin∠DAE= ，求DE的长．
3
4．（2024·四川巴中·中考真题）如图，△ABC内接于⊙O，点D为B´C的中点，连接AD、BD，BE平分
∠ABC交AD于点E，过点D作DF∥BC交AC的延长线于点F．
(1)求证：DF是⊙O的切线．
(2)求证：BD=ED．
(3)若DE=5，CF=4，求AB的长．
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5．（2024·四川雅安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，点P是BA延长线上的
一点，连接AC，∠PCA=∠B．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
1
(2)若sin∠B= ，求证：AC=AP；
2
(3)若CD⊥AB于D，PA=4，BD=6，求AD的长．
6．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的直径，将△ABC沿直
线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过
点A作⊙O的切线交BP于点G．
(1)求证：AG∥CD；
(2)求证：PA2=PG⋅PB；
1
(3)若sin∠APD= ，PG=6．求tan∠AGB的值．
3
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7．（2024·福建·中考真题）如图，在△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点
D，AE⊥OC，垂足为E,BE的延长线交A´D于点F．
OE
(1)求 的值；
AE
(2)求证：△AEB∽△BEC；
(3)求证：AD与EF互相平分．
考向四：圆与等腰三角形的综合
1.画图标注条件:明确圆、等腰三角形、切线、弦等位置关系。
2.添加辅助线:①连接圆心与顶点、切点、弦中点；②构造垂直、角平分线或对称轴。
3.应用定理转化:垂径定理→垂直平分弦；圆周角定理→角度的倍数关系；切线性质→垂直与切线长相等
4.推导几何关系:①利用全等三角形(SSS、SAS、HL)或相似三角形；②结合勾股定理、三角函数计算长度
或角度。
1．（2024·山东淄博·中考真题）在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习．
【操作发现】
小明作出了⊙O的内接等腰三角形ABC，AB=AC．并在BC边上任取一点D（不与点B，C重合），
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连接AD，然后将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE．如图①
小明发现：CE与⊙O的位置关系是__________，请说明理由：
【实践探究】
连接DE，与AC相交于点F．如图②，小明又发现：当△ABC确定时，线段CF的长存在最大值．
请求出当AB=3√10．BC=6时，CF长的最大值；
【问题解决】
在图②中，小明进一步发现：点D分线段BC所成的比CD:DB与点F分线段DE所成的比DF:FE始
终相等．请予以证明．
2．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AC与半圆O相切于
点D，底边BC与半圆O交于E，F两点．
(1)求证：AB与半圆O相切；
(2)连接OA．若CD=4，CF=2，求sin∠OAC的值．
3．（2024·湖南·模拟预测）如图，⊙O为等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长AO交BC于点D，
过点C作AB的垂线，交AD于点E，交AB于点F，交⊙O于点G，交过点A且与BC平行的直线于点
H，连结AG．
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(1)判断AH与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若∠BAC=56°，求∠H和∠BAG的大小；
(3)若GF=1，tan∠ABC=2，求OD的长．
4．（2024·山东聊城·三模）如图，⊙O是以等腰三角形ABC的一腰AC为直径的圆，且与其底边BC交于
点D，点E是直径AC延长线上一点，连接ED并延长交AB于点F，且EF⊥AB．
(1)求证：EF是⊙O的切线；
(2)若BF=1，tan∠ACB=2，求⊙O的半径．
5．（2024·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点P是斜边AC上一个动点，以BP为
直径作⊙O，交BC于点D，与AC的另一个交点为E，连接DE，BE．
(1)当D´P=E´P时，求证：AB=AP；
(2)当AB=3，BC=4时．
①是否存在点P，使得△BDE是等腰三角形，若存在，求出所有符合条件的CP的长；若不存在，请
说明理由；
②连接DP，点H在DP的延长线上，若点O关于DE的对称点Q恰好落在∠CPH内，求CP的取值范
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围．
6．（2024·浙江温州·二模）如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交边AC于点E，过点C作CH⊥AB于点
H，交BD于点F，连接CD．
(1)求证：∠ACH=∠DBC．
(2)若AB=AC．
①当△BCE是等腰三角形时，求∠A的度数．
√5
②若sin∠ACD= ，求DE:EF的值．
5
7．（2024·江苏连云港·二模）如图，△ABC内接于⊙O，AB=6，AC=4，D是AB边上一点，P是优弧
BAC的中点，连结PA，PB，PC，PD．
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(1)当BD的长度为多少时，△PAD是以AD为底边的等腰三角形？并证明；
√5
(2)当△PAD是以AD为底边的等腰三角形时，若cos∠PCB= ，求PA的长．
5
考向五：圆的阅读理解与新定义问题
1.逐句拆解，提取关键信息
①标注关键词:圈出定义中的核心条件；
②数学转化:将文字描述转化为符号或图形；
2.关联已知性质，类比经典模型
①联想经典模型:将新定义与已知圆模型对比，寻找共性；
②结合圆的基本定理:将新问题嵌入垂径定理、切线长定理等框架中分析。
3.分步验证，排除干扰条件
①分情况讨论:若新定义有条件限制(如“k>0”或“点P在圆外”)，需分别讨论不同情
形；
②逆向检验:假设结论成立，反推条件是否自洽，避免隐含矛盾。
1．（2023·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点
C给出如下定义：
若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．
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( √2 √2) (√2 √2)
(1)如图，点A(−1,0)，B − , ，B ,−
1 2 2 2 2 2
①在点C (−1,1)，C (−√2,0)，C (0,√2)中，弦AB 的“关联点”是______．
1 2 3 1
②若点C是弦AB 的“关联点”，直接写出OC的长；
2
(6√5 )
(2)已知点M(0,3)，N ,0 ．对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的
5
“关联点”，记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．
2．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于⊙O的弦AB和不在直线AB
上的点C，给出如下定义：若点C关于直线AB的对称点C′在⊙O上或其内部，且∠ACB=α，则称点
C是弦AB的“α可及点”．
(1)如图，点A(0,1)，B(1,0)．
(1 )
①在点C (2,0)，C (1,2)，C ,0 中，点___________是弦AB的“α可及点”，其中α=
1 2 3 2
____________°；
②若点D是弦AB的“90°可及点”，则点D的横坐标的最大值为__________；
(2)已知P是直线y=√3x−√3上一点，且存在⊙O的弦MN，使得点P是弦MN的“60°可及点”．记
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点P的横坐标为t，直接写出t的取值范围．
3．（2023·河南商丘·模拟预测）请阅读下列材料，完成相应的任务：
克罗狄斯・托勒密（Claudius Ptolemaeus，约90年-168年），“地心说”的集大成者，生于埃及，
著名的天文学家，地理学家，占星学家和光学家．
托勒密定理实出自依巴谷（Hipparchus）之手，托勒密从他的书中摘出并加以完善．
托勒密定理：圆的内接四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．
已知：如图1，四边形ABCD内接于⊙O，求证：AB⋅CD+BC⋅AD=AC⋅BD下面是该结论的证
明过程：
证明：如图1，作∠BAE=∠CAD，交BD于点E.∵A´D=A´D，
AB BE
∴ ∠ABE=∠ACD（依据1），∴△ABE∽△ACD（依据2），∴ =
AC CD
∴ AB⋅CD=AC⋅BE，∵A´B=A´B，∴∠ACB=∠ADE.
∵ ∠BAE=∠CAD，∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC，即∠BAC=∠EAD，
∴ △ABC∽△AED，∵AD⋅BC=AC⋅ED，
∴ AB⋅DC+AD⋅BC=AC⋅BE+AC⋅ED=AC(BE+ED)=AC⋅BD．
任务：
(1)托勒密定理的逆命题是______；
上述证明过程中的“依据1”为______；
“依据2”为______．
(2)当圆内接四边形ABCD是矩形时，托勒密定理就是我们非常熟知的一个定理：______．
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(3)如图2，以AB为直径的⊙O中，点C为⊙O上一点，且∠ABC=30°，∠ACB的角平分线交⊙O
于点D，连接AD，BD，若AB=4，求CD的长．
4．（2024·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：点P是图形W外一点，点Q在
PO 1
PO的延长线上，使得 = ，如果点Q在图形W上，则称点P是图形W的“延长2分点”，例如：
QO 2
( 3) PO 1
如图1，A(2,4),B(2,2),P −1,− 是线段AB外一点，Q(2,3)在PO的延长线上，且 = ，因
2 QO 2
为点Q在线段AB上，所以点P是线段AB的“延长2分点”．
( 5 )
(1)如图1，已知图形W ：线段AB，A(2,4)，B(2,2)，在P − ,−1 ,P (−1,−1),P (−1,−2)
1 1 2 2 3
中，______是图形W 的“延长2分点”；
1
(2)如图2，已知图形W ：线段BC，B(2,2)，C(5,2)，若直线MN:y=−x+b上存在点P是图形W 的
2 2
“延长2分点”，求b的最小值：
(3)如图3，已知图形W ：以T(t,1)为圆心，半径为1的⊙T，若以D(−1,−2)，E(−1,1)，F(2,1)
3
为顶点的等腰直角三角形DEF上存在点P，使得点P是图形W 的“延长2分点”．请直接写出t的取
3
值范围．
5．（2024·浙江·一模）定义，若四边形的一条对角线平分这个四边形的面积，则称这个四边形为倍分四边
形，这条对角线称为这个四边形的倍分线．如图1，在四边形ABCD中，若S =S ，则四边形
△ABC △ADC
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ABCD为倍分四边形，AC为四边形ABCD的倍分线．
(1)判断：若是真命题请在括号内打√，若是假命题请在括号内打×．
①平行四边形是倍分四边形（______）
②梯形是倍分四边形（______）
(2)如图1，倍分四边形ABCD中，AC是倍分线，若AC⊥AB，AB=3，AD=DC=5，求BC的长；
(3)如图2，在△ABC，AB=BC，以BC为直径的⊙O分别交AB、AC于点N、M，已知四边形
BCMN是倍分四边形．
①求sin∠ACB的值；
②如图3，连结BM，CN交于点D，取OC中点F，连结MF交NC于E，若OF=3，求DE的长．
6．（2022·江苏南京·二模）点P是平面直角坐标系中的一点且不在坐标轴上，过点P向x轴，y轴作垂线段，
若垂线段的长度的和为4，则点P叫做“垂距点”．例如：下图中的P(1，3)是“垂距点”．
(3 5)
(1)在点A(2，2)，B ，− ，C(−1，5)中，是“垂距点”的点为 ；
2 2
(2)求函数y=2x+3的图象上的“垂距点”的坐标；
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(3)⊙T的圆心T的坐标为(1，0)，半径为r．若⊙T上存在“垂距点”，则r的取值范围是 ．
考向六：圆与特殊四边形综合
1．（2024·湖南长沙·中考真题）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆
（四条边都与同一个圆相切），
可分为四种类型，我们不妨约定：
既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形；
只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形；
只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形；
既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形．
请你根据该约定，解答下列问题：
(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”，
①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； （ ）
②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形； （ ）
③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有
R=√2r．（ ）
(2)如图1，已知四边形ABCD内接于⊙O，四条边长满足：AB+CD≠BC+AD．
①该四边形ABCD是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）；
②若∠BAD的平分线AE交⊙O于点E，∠BCD的平分线CF交⊙O于点F，连接EF．求证：EF是
⊙O的直径．
(3)已知四边形ABCD是“完美型双圆”四边形，它的内切圆⊙O与AB，BC，CD，AD分别相切
于点E，F，G，H．
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①如图2．连接EG，FH交于点P．求证：EG⊥FH．
②如图3，连接OA，OB，OC，OD，若OA=2，OB=6，OC=3，求内切圆⊙O的半径r及OD
的长．
2．（2024·广东·三模）如图，在菱形ABCD中，AE是边BC上的高，以AE为直径的⊙O分别交AB，AC
于点F，G，连接FG．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)求证：AG=FG；
(3)若AB=5，AC=6，求sin∠AGF．
3．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图①，⊙O是△ABC的外接圆，∠ACB=90°，以AC为边作菱形
ADEC，点B，E在直线AC的同侧，CE与⊙O交于点M，连结BD交CE于N，交⊙O于T．
(1)如图②，若点E在⊙O上，AD与⊙O交于点F，连结CF，求证∠ECF=∠B．
(2)在（1）的条件下，若CF=12，AC=10，求⊙O的半径．
4 MN
(3)如图①，连结AM，若∠BAM=∠CNB，tan∠ACE= ，求 的值．
3 NC
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4．（2024·浙江宁波·一模）如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过O，C两点的⊙P切线
段AD于点T，分别交线段OD,CD,BC于点F，E，M，连结FM，已知AB=5．
(1)求证：BM=FM；
(2)若M为BC的中点，求⊙P的半径；
(3)若⊙P的半径为3，求tan∠OCE的值．
5．（2024·浙江杭州·一模）如图，AB是⊙O的直径，D,E为⊙O上位于AB异侧的两点，使得CD=BD，
连接AC交⊙O于点F．
(1)证明：AB=AC；
(2)若∠E=54°，求∠BDF的度数；
2
(3)设DE交AB于点G，若DF=4，cosB= ，E是A´B的中点，求EG·ED的值．
3
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1．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在边长为6的正六边形ABCDEF中，以点F为圆心，以FB的长为
半径作B´D，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 ．
2．（2022九年级·浙江·专题练习）如图1的一汤碗，其截面为轴对称图形，碗体ECDF呈半圆形状（碗体
厚度不计），直径EF=26cm，碗底AB＝10cm，∠A＝∠B＝90°，AC＝BD＝3cm．
（1）如图1，当汤碗平放在桌面MN上时，碗的高度是 cm．
（2）如图2，将碗放在桌面MN上，绕点B缓缓倾斜倒出部分汤，当碗内汤的深度最小时，tan
∠ABM的值是 ．
3．（2024·陕西·中考真题）如图，直线l与⊙O相切于点A，AB是⊙O的直径，点C，D在l上，且位于
点A两侧，连接BC，BD，分别与⊙O交于点E，F，连接EF，AF．
(1)求证：∠BAF=∠CDB；
(2)若⊙O的半径r=6，AD=9，AC=12，求EF的长．
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4．（2024·四川内江·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是B´D的中点，过点C作AD的垂线，垂足为
点E．
(1)求证：△ACE∽△ABC；
(2)求证：CE是⊙O的切线；
(3)若AD=2CE，OA=√2，求阴影部分的面积．
5．（2021·广西·中考真题）如图，已知AD，EF是⊙O的直径，AD=6√2，⊙O与▱OABC的边AB，
OC分别交于点E，M，连接CD并延长，与AF的延长线交于点G，∠AFE=∠OCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若GF=1，求cos∠AEF的值；
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AB
（3）在（2）的条件下，若∠ABC的平分线BH交CO于点H，连接AH交⊙O于点N，求 的值．
NH
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