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重难点 04 圆的基本性质及直线与圆的位置关系
中考数学中《圆的基本性质及直线与圆的位置关系》部分主要考向分为十类：
一、垂径定理及其应用（每年1道，3~12分）
二、圆周角定理（每年1~2道，3~12分）
三、圆内接四边形（每年1题，3~6分）
四、三角形的外接圆与外心（每年1~2题，3~8分）
五、直线与圆的位置关系（每年1题，3~10分）
六、切线的性质与判定（每年1~2题，3~13分）
七、三角形内切圆与内心（每年1题，3~4分）
八、正多边形和圆（每年1题，3~10分）
九、弧长与扇形面积的计算（每年1题，3~4分）
十、圆锥的计算（每年1题，3~4分）
中考数学中，圆的基本性质与直线与圆的位置关系一直都是必考的考点，难度从基础到综合都有，通
常选择、填空题会出圆的基本性质，如垂径定理、圆周角定理、弧长与面积的求法、切线的性质等，基本
都是基础应用，难度不大，个别会出选择题的压轴题，难度稍大。简答题部分，一般会把切线的判定和相
似三角形、锐角三角函数等结合考察，此时难度变大，综合性较强，需要认真应对。
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考向一：垂径定理及其应用
【题型1 垂径定理及其推论】
满分技巧
1.圆中模型“知2得3”
由图可得以下5点：
¿ ¿ ¿ ¿
①AB⊥CD；②AE=EB；③AD过圆心O；④AC=BC；⑤AD=BD
；
以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。
2.常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角
1．（2023•宜昌）如图，OA，OB，OC都是 O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则
BD的长为（ ）
⊙
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A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2023•广西）赵州桥是当今世界上建造最早，保存最完整的中国古代单孔敞肩石拱桥．如图，主桥拱
呈圆弧形，跨度约为37m，拱高约为7m，则赵州桥主桥拱半径R约为（ ）
A．20m B．28m C．35m D．40m
3．（2023•永州）如图， O是一个盛有水的容器的横截面， O的半径为10cm，水的最深处到水面AB
的距离为4cm，则水面AB的宽度为 cm．
⊙ ⊙
4．（2023•东营）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，
不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”转化为现在的数学语言表达就是：如图，
CD为 O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为 寸．
⊙
5．（2023•贵州）如图，已知 O是等边三角形ABC的外接圆，连接CO并延长交AB于点D，交 O于
点E，连接EA，EB．
⊙ ⊙
（1）写出图中一个度数为30°的角： ，图中与△ACD全等的三角形是 ；
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（2）求证：△AED∽△CEB；
（3）连接OA，OB，判断四边形OAEB的形状，并说明理由．
考向二：圆周角定理
【题型2 圆周角定理及其推论】
满分技巧
圆中模型“知1得4”
由图可得以下5点：
¿ ¿
① AB=CD ； ② AB=CD； ③ OM=ON ； ④ ∠E=∠F； ⑤
∠AOB=∠COD；
以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。
1．（2023•山西）如图，四边形ABCD内接于 O，AC，BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC＝40°，
则∠DBC的度数为（ ）
⊙
A．40° B．50° C．60° D．70°
2．（2023•吉林）如图，AB，AC是 O的弦，OB，OC是 O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与
点B重合），连接CP．若∠BAC＝70°，则∠BPC的度数可能是（ ）
⊙ ⊙
A．70° B．105° C．125° D．155°
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3．（2023•宜宾）如图，已知点A，B，C在 O上，C为 的中点．若∠BAC＝35°，则∠AOB等于（
） ⊙
A．140° B．120° C．110° D．70°
4．（2023•阜新）如图，A，B，C是 O上的三点，若∠AOC＝90°，∠ACB＝25°，则∠BOC的度数是（
）
⊙
A．20° B．25° C．40° D．50°
5．（2023•苏州）如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆上， ，连接OC，CA，OD，过点B
作 EB⊥AB，交 OD 的延长线于点 E．设△OAC 的面积为 S ，△OBE 的面积为 S ，若 ，则
1 2
tan∠ACO的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023•温州）如图，四边形ABCD内接于 O，BC∥AD，AC⊥BD．若∠AOD＝120°，AD＝ ，则
∠CAO的度数与BC的长分别为（ ）
⊙
A．10°，1 B．10°， C．15°，1 D．15°，
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7．（2023•台湾）图1为一圆形纸片，A、B、C为圆周上三点，其中AC为直径，今以AB为折线将纸片向
右折后，纸片盖住部分的AC，而AB上与AC重叠的点为D，如图2所示，若 ＝35°，则 的度数为
何（ ）
A．105° B．110° C．120° D．145°
8．（2023•武汉）如图，OA，OB，OC都是 O的半径，∠ACB＝2∠BAC．
（1）求证：∠AOB＝2∠BOC；
⊙
（2）若AB＝4， ，求 O的半径．
⊙
9．（2023•衡阳）如图，AB是 O的直径，AC是一条弦，D是弧AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于
点F，交 O于点H，DB交AC于点G．
⊙
（1）求证：AF＝DF．
⊙
（2）若AF＝ ，sin∠ABD＝ ，求 O的半径．
⊙
考向三：圆内接四边形
【题型3 圆内接四边形的性质及其推论】
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满分技巧
1、性质：圆内接四边形对角互补；
2、推论：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角；
1．（2023•西藏）如图，四边形ABCD内接于 O，E为BC延长线上一点．若∠DCE＝65°，则∠BOD的
度数是（ ）
⊙
A．65° B．115° C．130° D．140°
2．（2023•赤峰）如图，圆内接四边形 ABCD中，∠BCD＝105°，连接OB，OC，OD，BD，∠BOC＝
2∠COD．则∠CBD的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
3．（2023•襄阳）如图，四边形ABCD内接于 O，点E在CD的延长线上．若∠ADE＝70°，则∠AOC＝
度．
⊙
4．（2023•北京）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝
∠ADB．
（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；
（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．
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考向四：三角形的外接圆与外心
【题型4 外心的确定及其性质】
满分技巧
1、三角形的外心：三角形三边中垂线的交点；
实际画图时只需要画两条中垂线的交点即可！
2、三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；
常做辅助线：连结三角形内心和顶点的线段
1．（2023•陕西）如图， O是△ABC的外接圆，∠A＝72°．过点O作BC的垂线交 于点D，连接
BD，则∠D的度数为（ ⊙ ）
A．64° B．54° C．46° D．36°
2．（2023•湖北）如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为
格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（
）
A． ﹣ B． ﹣ C． ﹣ D． ﹣
π π π π
3．（2023•内蒙古）如图， O是锐角三角形ABC的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC．垂足分别为
D，E，F，连接DE，EF，FD．若DE+DF＝6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为（ ）
⊙
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A．8 B．4 C．3.5 D．3
4．（2023•呼和浩特）如图，△ABC内接于 O且∠ACB＝90°，弦CD平分∠ACB，连接AD，BD．若AB
＝5，AC＝4，则BD＝ ，CD＝ ．
⊙
5．（2023•南京）如图，在△ABC中，AB＝AC， O是△ABC的外接圆，过点O作AC的垂线，垂足为
D，分别交直线BC， 于点E，F，射线AF交直⊙线BC于点G．
（1）求证AC＝CG．
（2）若点E在CB的延长线上，且EB＝CG，求∠BAC的度数．
（3）当BC＝6时，随着CG的长度的增大，EB的长度如何变化？请描述变化过程，并说明理由．
考向五：直线与圆的位置关系
【题型5 直线与圆的位置关系的确定】
满分技巧
直线与圆的位置关系的确定方法：
设Θo的半径为r， 直线l与Θo相交⇔d＜r
圆心O到直线l的
直线l与Θo相切⇔d=r
距离为d
直线l与Θo相离⇔d＞r
1．（2023•宿迁）在同一平面内，已知 O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动
点，则点P到直线l的最大距离是（ ）
⊙
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A．2 B．5 C．6 D．8
【分析】根据圆心到直线l的距离为3，而圆的半径为2，此时直线与圆相离，当点P在 O上运动时，
当点P在BO的延长线与 O的交点时，点P到直线l的距离最大，根据题意画出图形进行解答即可．
⊙
【解答】解：如图，由题意得，OA＝2，OB＝3，
⊙
当点P在BO的延长线与 O的交点时，点P到直线l的距离最大，
此时，点P到直线l的最大距离是3+2＝5，
⊙
故选：B．
2．（2023•镇江）已知一次函数y＝kx+2的图象经过第一、二、四象限，以坐标原点O为圆心，r为半径
作 O．若对于符合条件的任意实数k，一次函数y＝kx+2的图象与 O总有两个公共点，则r的最小值
为 ．
⊙ ⊙
考向六：切线的性质与判定
【题型6 切线的性质】
满分技巧
1、切线的性质：经过切点的半径垂直于圆的切线；
延伸：经过切点的直径也垂直于圆的这条切线
常用辅助线及规律：见切点，连半径，得垂直！
2、切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等；
1．（2023•重庆）如图，AC是 O的切线，B为切点，连接OA，OC．若∠A＝30°，AB＝2 ，BC＝3，
则OC的长度是（ ）
⊙
A．3 B． C． D．6
2．（2023•眉山）如图，AB切 O于点B，连结OA交 O于点C，BD∥OA交 O于点D，连结CD，若
∠OCD＝25°，则∠A的度数为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
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A．25° B．35° C．40° D．45°
3．（2023•山西）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所
设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线
相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角 为60°．若圆曲线的半径OA＝1.5km，则这段圆曲线
的长为（ ） α
A． B． C． D．
4．（2023•武汉）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，以D为圆心，AD为半径的弧恰好与BC
相切，切点为E，若 ，则sinC的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023•泸州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，以AD为直径的半圆O与BC相
切于点E，与AC相交于点F，连接DE．若AC＝8，BC＝6，则DE的长是（ ）
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A． B． C． D．
6．（2023•青岛）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（1，0），P（﹣1，0）， P过原点O，且与x
轴交于另一点D，AB为 P的切线，B为切点，BC是 P的直径，则∠BCD的度数为 °．
⊙
⊙ ⊙
7．（2023•北京）如图，OA是 O的半径，BC是 O的弦，OA⊥BC于点D，AE是 O的切线，AE交
OC的延长线于点E．若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为 ．
⊙ ⊙ ⊙
8．（2023•衢州）如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD是矩形．当餐盘正立且
紧靠支架于点A，D时，恰好与BC边相切，则此餐盘的半径等于 cm．
（多选）9．（2023•湘潭）如图，AC是 O的直径，CD为弦，过点A的切线与CD延长线相交于点B，
若AB＝AC，则下列说法正确的是（ ）
⊙
A．AD⊥BC B．∠CAB＝90° C．DB＝AB D．AD＝ BC
10．（2023•金华）如图，点A在第一象限内， A与x轴相切于点B，与y轴相交于点C，D，连结AB，
⊙
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过点A作AH⊥CD于点H．
（1）求证：四边形ABOH为矩形．
（2）已知 A的半径为4，OB＝ ，求弦CD的长．
⊙
11．（2023•济南）如图，AB，CD为 O的直径，C为 O上一点，过点C的切线与AB的延长线交于点
P，∠ABC＝2∠BCP，点E是 的中⊙点，弦CE，BD⊙相交于点F．
（1）求∠OCB的度数；
（2）若EF＝3，求 O直径的长．
⊙
12．（2023•镇江）如图，将矩形ABCD（AD＞AB）沿对角线BD翻折，C的对应点为点C′，以矩形
ABCD的顶点A为圆心，r为半径画圆， A与BC′相切于点E，延长DA交 A于点F，连接EF交AB
于点G．
⊙ ⊙
（1）求证：BE＝BG；
（2）当r＝1，AB＝2时，求BC的长．
【题型7 切线的判定】
满分技巧
切线的判定方法1：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；
切线的判定方法2：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
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切线证明常见辅助线及规律：有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径；
1．（2023•辽宁）如图，AB是 O的直径，点C，E在 O上，∠CAB＝2∠EAB，点F在线段AB的延长
线上，且∠AFE＝∠ABC．
⊙ ⊙
（1）求证：EF与 O相切；
⊙
（2）若BF＝1，sin∠AFE＝ ，求BC的长．
2．（2023•齐齐哈尔）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是斜边AC上
一点，以AE为直径的 O经过点D，交AB于点F，连接DF．
（1）求证：BC是 O的切线；
⊙
（2）若BD＝5， ⊙ ，求图中阴影部分的面积．（结果保留 ）
π
3．（2023•东营）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是 O的切线；
⊙
（2）若∠C＝30°，⊙CD＝2 ，求 的长．
4．（2023•鄂州）如图，AB为 O的直径，E为 O上一点，点C为 的中点，过点C作CD⊥AE，交
AE的延长线于点D，延长DC⊙交AB的延长线于⊙点F．
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若DE＝1，DC＝2，求 O的半径长．
⊙
⊙
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5．（2023•西藏）如图，已知AB为 O的直径，点C为圆上一点，AD垂直于过点C的直线，交 O于点
E，垂足为点D，AC平分∠BAD．
⊙ ⊙
（1）求证：CD是 O的切线；
（2）若AC＝8，BC＝6，求DE的长．
⊙
考向七：三角形的内切圆及内心
【题型8 内心的确定及其性质】
满分技巧
1、三角形的内心：三角形条角平分线的交点；
实际画图时只需要画两条角分线的交点即可！
2、三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；
常做辅助线：作内心到三边的垂线段
1．（2023•广州）如图，△ABC的内切圆 I与BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，若 I的半径为r，
∠A＝ ，则（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分别为（ ）
⊙ ⊙
α
A．2r，90°﹣ B．0，90°﹣ C．2r， D．0，
α α
2．（2023•威海）在△ABC中，BC＝3，AC＝4，下列说法错误的是（ ）
A．1＜AB＜7
B．S ≤6
△ABC
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C．△ABC内切圆的半径r＜1
D．当AB＝ 时，△ABC是直角三角形
3．（2023•攀枝花）已知△ABC的周长为l，其内切圆的面积为 r2，则△ABC的面积为（ ）
π
A． rl B． rl C．rl D． rl
π π
4．（2023•镇江）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆径几何？”译文：今有
一个直角三角形，勾（短直角边）长为 8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直
径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据勾、股，求得弦长．用勾、股、弦相加作为除数，用
勾乘以股，再乘以2作为被除数，商即为该直角三角形内切圆的直径，求得该直径等于 步（注：
“步”为长度单位）．
5．（2023•湖北）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆 O与AB，BC分别相切于点D，
E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD＝ ．
⊙
考向八：正多边形和圆
【题型9 几个必记的正多边形】
满分技巧
其中，r表示图形外接圆的半径，AB表示正多边形的一条边长
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1
另：圆内接正三角形的每个内角=60°，中心角=120°，弦心距= 半径；
2
√2
圆内接正方形的每个内角=90°，中心角=90°，弦心距= 半径；
2
√3
圆内接正六边形的每个内角=120°，中心角=60°，弦心距= 半径；
2
1．（2023•安徽）如图，正五边形ABCDE内接于 O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝（ ）
⊙
A．60° B．54° C．48° D．36°
2．（2023•福建）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内
接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆
周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率 的近似值为
3.1416．如图， O的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计 O的面积，可得
π
⊙ ⊙ π
的估计值为 ，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得 的估计值为（ ）
π
A． B．2 C．3 D．2
3．（2023•山西）蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中
7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点
若点P，Q的坐标分别为 ，（0，﹣3），则点M的坐标为（ ）
A．（3 ，﹣2） B．（3 ，2） C．（2，﹣3 ） D．（﹣2，﹣3 ）
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4．（2023•上海）如果一个正多边形的中心角是20°，那么这个正多边形的边数为 ．
5．（2023•杭州）如图，六边形 ABCDEF是 O的内接正六边形，设正六边形 ABCDEF的面积为S ，
1
⊙
△ACE的面积为S ，则 ＝ ．
2
考向九：弧长与扇形面积的计算
【题型10 弧长及扇形面积的公式及其计算】
满分技巧
nπr nπr2 1
L = ；S = = Lr；
弧长 180 扇形 360 2
公式可以直接应用，也可以由弧长（或面积）的数值求解对应的圆心角或者半径
1．（2023•青岛）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若 O的半径为
5，则 的长为（ ） ⊙ ⊙
A． B． C． D．
π
2．（2023•宜宾）《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，
是以点O为圆心、OA为半径的圆弧，N是AB的中点．MN⊥AB．“会圆术”给出 的弧长l的近似
值计算公式：l＝AB+ ．当OA＝4，∠AOB＝60°时，则l的值为（ ）
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A．11﹣2 B．11﹣4 C．8﹣2 D．8﹣4
3．（2023•阜新）如图，四边形 OABC 是正方形，曲线C C C C C …叫作“正方形的渐开线”，其中
1 1 2 3 4 5
， ， ， ，…的圆心依次按O，A，B，C 循环，当OA＝1时，点C 的坐标是
1 2023
（ ）
A．（﹣1，﹣2022） B．（﹣2023，1）
C．（﹣1，﹣2023） D．（2022，0）
4．（2023•金华）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6cm，∠BAC＝50°，以AB为直径作半圆，交BC于点
D，交AC于点E，则弧DE的长为 cm．
5．（2023•新疆）如图，在 O中，若∠ACB＝30°，OA＝6，则扇形OAB（阴影部分）的面积是（ ）
⊙
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A．12 B．6 C．4 D．2
6．（2023•滨州）如图，某玩具品牌的标志由半径为1cm的三个等圆构成，且三个等圆 O ， O ， O
π π π π 1 2 3
相互经过彼此的圆心，则图中三个阴影部分的面积之和为（ ）
⊙ ⊙ ⊙
A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2
π π π π
7．（2023•广元）如图，半径为5的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C是 上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂
足分别为D，E，若CD＝CE，则图中阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023•永州）已知扇形的半径为6，面积为6 ，则扇形圆心角的度数为 度．
考向十：圆锥的计算 π
【题型11 圆锥侧面积公式及其计算】
满分技巧
S =πrl ；S =πrl +πr2 ；
圆锥侧面积 母线长 圆锥全面积 母线长
1．（2023•牡丹江）用一个圆心角为90°，半径为8的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面直径是
（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
2．（2023•东营）如果圆锥侧面展开图的面积是15 ，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
π
3．（2023•十堰）如图，已知点C为圆锥母线SB的中点，AB为底面圆的直径，SB＝6，AB＝4，一只蚂蚁
沿着圆锥的侧面从A点爬到C点，则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
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A．5 B． C． D．
4．（2023•扬州）用半径为24cm，面积为120 cm2的扇形纸片，围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面
圆的半径为 cm．
π
5．（2023•宿迁）若圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则这个圆锥的母线
长是 cm．
6．（2023•内江）如图，用圆心角为120°半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则这个
圆锥的高是 ．
（建议用时：60分钟）
1．（2023•凉山州）如图，在 O中，OA⊥BC，∠ADB＝30°，BC＝2 ，则OC＝（ ）
⊙
A．1 B．2 C．2 D．4
2．（2023•荆州）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（ ），点O是这段弧所在圆的圆心，B为 上
一点，OB⊥AC于D．若AC＝300 m，BD＝150m，则 的长为（ ）
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A．300 m B．200 m C．150 m D．100 m
3．（2023π•牡丹江）如图，A，Bπ，C为 O上的三个点π，∠AOB＝4∠BOC，若∠πACB＝60°，则∠BAC的
度数是（ ）
⊙
A．20° B．18° C．15° D．12°
4．（2023•广东）如图，AB是 O的直径，∠BAC＝50°，则∠D＝（ ）
⊙
A．20° B．40° C．50° D．80°
5．（2023•乐山）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x﹣2与x轴、y轴分别交于A、B两点，
C、D是半径为1的 O上两动点，且CD＝ ，P为弦CD的中点．当C、D两点在圆上运动时，
△PAB面积的最大值是（ ）
⊙
A．8 B．6 C．4 D．3
6．（2023•淄博）如图，△ABC是 O的内接三角形，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC边上一点，连接
AD并延长交 O于点E．若AD＝2，DE＝3，则 O的半径为（ ）
⊙
⊙ ⊙
A． B． C． D．
7．（2023•泰安）如图， O是△ABC的外接圆，半径为4，连接OB，OC，OA，若∠CAO＝40°，∠ACB
＝70°，则阴影部分的面积是（ ）
⊙
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A． B． C． D．
π π π π
8．（2023•聊城）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝
35°，则∠OBC的度数为（ ）
A．15° B．17.5° C．20° D．25°
9．（2023•河北）如图，点P ～P 是 O的八等分点．若△P P P ，四边形P P P P 的周长分别为a，b，
1 8 1 3 7 3 4 6 7
则下列正确的是（ ）
⊙
A．a＜b B．a＝b
C．a＞b D．a，b大小无法比较
10．（2023•朝阳）如图，四边形 ABCD 内接于 O，若∠C＝120°， O 的半径为 3，则 的长为
（ ） ⊙ ⊙
A． B．2 C．3 D．6
11．（π2023•通辽）如图，在扇π形AOB中，∠AOB＝6π0°，OD平分∠AOB交π 于点D，点C是半径OB上
一动点，若OA＝1，则阴影部分周长的最小值为（ ）
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A． B． C． D．
12．（2023•张家界）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，
分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．
若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于（ ）
A． B．3 C．2 D．2 ﹣
13．（2π023•连云港）如图，矩π形ABCD内接于 O，π分别以AB、BC、CD、πAD为直径向外作半圆．若AB
＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（ ）
⊙
A． ﹣20 B． ﹣20 C．20 D．20
π π π
14．（2023•雅安）如图，某小区要绿化一扇形OAB空地，准备在小扇形OCD内种花，在其余区域内（阴
影部分）种草，测得∠AOB＝120°，OA＝15m，OC＝10m，则种草区域的面积为（ ）
A． B． C． D．
15．（2023•广安）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2 ，以点A为圆心，AC为半
径画弧，交AB于点E，以点B为圆心，BC为半径画弧，交AB于点F，则图中阴影部分的面积是（
）
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A． ﹣2 B．2 ﹣2 C．2 ﹣4 D．4 ﹣4
16．（2023•长沙）如图，点A，B，C在半径为2的 O上，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交 O于
π π π π
点D，连接OA，则OE的长度为 ．
⊙ ⊙
17．（2023•宁夏）如图，四边形ABCD内接于 O，延长AD至点E，已知∠AOC＝140° 那么∠CDE＝
°．
⊙
18．（2023•河南）如图，PA与 O相切于点A，PO交 O于点B，点C在PA上，且CB＝CA．若OA＝
5，PA＝12，则CA的长为 ．
⊙ ⊙
19．（2023•泰安）为了测量一个圆形光盘的半径，小明把直尺、光盘和三角尺按图所示放置于桌面上，
并量出AB＝4cm，则这张光盘的半径是 cm．（精确到0.1cm．参考数据： ≈1.73）
20．（2023•上海）在△ABC中，AB＝7，BC＝3，∠C＝90°，点D在边AC上，点E在CD延长线上，且
CD＝DE，如果 B过点A， E过点D，若 B与 E有公共点，那么 E半径r的取值范围是 ．
21．（2023•内蒙古）如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以点A为圆心，AB为半径画弧BF，得到扇形
⊙ ⊙ ⊙ ⊙ ⊙
BAF（阴影部分）．若扇形BAF正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是 ．
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22．（2023•温州）图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为 ，现将它剪拼成一个“房
子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点
A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为 ．若点A，N，M在同
一直线上，AB∥PN，DE＝ EF，则题字区域的面积为 ．
23．（2023•苏州）如图，在 ABCD中，AB＝ +1，BC＝2，AH⊥CD，垂足为H，AH＝ ．以点A
为圆心，AH长为半径画弧，与AB，AC，AD分别交于点E，F，G．若用扇形AEF围成一个圆锥的侧
▱
面，记这个圆锥底面圆的半径为r ；用扇形AHG围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为
1
r ，则r ﹣r ＝ ．（结果保留根号）
2 1 2
24．（2023•扬州）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，且∠BCD＝ ∠A，点O在BC
上，以点O为圆心的圆经过C、D两点．
（1）试判断直线AB与 O的位置关系，并说明理由；
⊙
（2）若sinB＝ ， O的半径为3，求AC的长．
⊙
25．（2023•湖州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点O在边AC上，以点O为圆心，OC为半径的
半圆与斜边AB相切于点D，交OA于点E，连结OB．
（1）求证：BD＝BC．
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（2）已知OC＝1，∠A＝30°，求AB的长．
26．（2023•天津）在 O中，半径OC垂直于弦AB，垂足为D，∠AOC＝60°，E为弦AB所对的优弧上一
点．
⊙
（1）如图①，求∠AOB和∠CEB的大小；
（2）如图②，CE与AB相交于点F，EF＝EB，过点E作 O的切线，与CO的延长线相交于点G，若
OA＝3，求EG的长．
⊙
27．（2023•辽宁）如图，△ABC内接于 O，AB是 O的直径，CE平分∠ACB交 O于点E，过点E作
EF∥AB，交CA的延长线于点F．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：EF与 O相切；
（2）若∠CAB＝30⊙°，AB＝8，过点E作EG⊥AC于点M，交 O于点G，交AB于点N，求 的长．
⊙
28．（2023•朝阳）如图，以△ABC的边AB为直径作 O，分别交AC，BC于点D，E，点F在BC上，
∠CDF＝∠ABD．
⊙
（1）求证：DF是 O的切线；
⊙
（2）若 ＝ ，tan∠CDF＝ ，BC＝ ，求 O的半径．
⊙
（建议用时：60分钟）
1．（2024•临潼区一模）如图，AB是 O的直径，弦CD交AB于点E，且AE＝CD＝8，
⊙
．则BE的长为（ ）
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A． B． C．2 D．
2．（2024•安徽一模）如图， O的内接正五边形 ABCDE，点P是 上的动点，连接 OA，OC，则
∠EAO+∠APC的度数为（ ⊙）
A．126°
B．144°
C．150°
D．随着点P的变化而变化
3．（2024•子洲县校级一模）如图，这是一扇拱形门的示意图，BC为门框底，∠B＝∠C＝90°，AB＝BC
＝CD＝2m，门框顶部是一段圆心角为 90°的圆弧，E是 的中点，则点 E到门框底BC的距离是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024•雁塔区校级三模）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠ADC＝108°， ，连接
OA，OD，OC，则∠COD的度数为（ ） ⊙
A．24° B．48° C．72° D．96°
5．（2024•西安校级二模）如图，已知△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的 O交BC于点D，交AC于点
⊙
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E，连接AD，BE相交于点F，若CE＝6，CD＝5，则EF的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在菱形 ABCD 中，AB＝6，∠B＝60°，以 CD 为直径的圆与 AD 交于点 E，则 的长是
（ ）
A．3 B． C．4 D．5
π π π
7．（2024•驿城区一模）如图，AB为 O的直径，C，D为 O上的点， ．若∠CBD＝35°，则
∠ABD的度数为（ ） ⊙ ⊙
A．20° B．35° C．40° D．70°
8．（2024•泸县一模）如图，正三角形ABC的边长为6cm，则它的外接圆 O的半径为（ ）
⊙
A． B． C．3cm D．
9．（2024•南岗区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝70°，△ABC的内切圆 O与AB，BC分别相切于点
D，E，连接DE，AO的延长线交DE于点F，则∠AFD的大小是（ ）
⊙
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A．35° B．40° C．45° D．50°
10．（2024•瑶海区一模）如图，在△ABC中， ，I是△ABC的内心，连接BI、CI，则∠BIC的
度数是（ ）
A．110° B．120° C．130° D．140°
11．（2023•青岛）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若 O的半径为
5，则 的长为（ ） ⊙ ⊙
A． B． C． D．
π
12．（2024•义乌市模拟）如图，点B、E是以AD为直径的半圆O的三等分点，弧BE的长为 ，∠C
＝90°，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
13．（2023•凉山州模拟）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，AB＝10，D为BC边的中点，以AD上一
点O为圆心的 O和AB、BC均相切，则 O的半径为 ．
⊙ ⊙
14．（2023•鄞州区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，CD是 O直径，E是BC的中点，P是直线AE上
任意一点，AB＝4，BC＝6，PM、PN相切于点M、N，当∠MPN最大时，PM的长为 ．
⊙
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15．（2024•驿城区一模）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点为格点，
已知Rt△ABC的三个顶点均在格点上，且∠BAC＝90°，点M为AC上一点，以点A为圆心，AM的长为
半径作圆与边BC相切于点N，已知 为该圆的一部分．则图中由线段CN，CM及 所围成的阴影部
分的面积为 ．
16．（2024•西山区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝6，E为BC的中点，连接AE，DE．
以E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N．则图中阴影部分的面积和是 （结
果保留 ）．
π
17．（2024•偃师区模拟）黄金分割比是让无数科学家、数学家、艺术家为之着迷的数字．黄金矩形的长
宽之比为黄金分割比，即矩形的短边为长边的 倍．黄金分割比能够给画面带来美感，令人愉悦，
在很多艺术品以及大自然中都能找到它．比如蜗牛壳的螺旋中就隐藏了黄金分割比．如图，用黄金矩形
ABCD框住整个蜗牛壳，之后作正方形ABFE，得到黄金矩形CDEF，再作正方形DEGH，得到黄金矩
形CFGH……，这样作下去，我们以每个小正方形边长为半径画弧线，然后连接起来，就是黄金螺旋．
已知 ，则阴影部分的面积为 ．
18．（2024•渭城区一模）如图，四边形ABCD是 O的内接四边形，BD为直径，点D为弧AC的中点，
连接CD．延长AD，BC交于点E，DF为 O的切线．
⊙
（1）求证：DF平分∠CDE；
⊙
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（2）若DF＝EF＝4，求AD的长．
19．（2024•青山湖区模拟）如图，AB为 O的直径，E为 O上一点，∠EAB的平分线AC交 O于C点，
过C点作CD⊥AE交AE的延长线于D点，延长DC与AB的延长线交于P点．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：DP为 O的切线；
（2）若DC＝ ，⊙∠DAC＝30°，求阴影部分的面积．
20．（2024•禹州市一模）如图，正方形ABCD是 O的内接四边形，PE是 O的直径，连接AE，PD交
于点F．
⊙ ⊙
（1）判断△DEF的形状，并说明理由．
（2）过点E作 O的切线交PD的延长线于点G．若DG＝1， ，求线段AE的长．
⊙
21．（2024•常州模拟）对于 C和 C上的一点A，若平面内的点P满足：射线AP与 C交于点Q（点Q
⊙ ⊙ ⊙
可以与点P重合，且 ，则点P称为点A关于 C的“阳光点”．已知点O为坐标原点， O
⊙ ⊙
的半径为1，点A（﹣1，0）．
（1）若点P是点A关于 O的“阳光点”，且点P在x轴上，请写出一个符合条件的点P的坐标
；
⊙
（2）若点B是点A关于 O的“阳光点”，且 ，求点B的横坐标t的取值范围；
（3）直线 与⊙x轴交于点M，且与y轴交于点N，若线段MN上存在点A关于 O的“阳光
点”，请直接写出b的取值范围是 ． ⊙
22．（2024•鄞州区校级一模）如图1，AB，CD是 O的两条互相垂直的弦，垂足为E，连结BC，BD，
OC．
⊙
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（1）求证：∠BCO＝∠ABD．
（2）如图2，过点A作AF⊥BD，交CD于G，求证：CE＝EG．
（3）如图3，在（2）的条件上，连结BG，若BG恰好经过圆心O，若 O的半径为5， ，求
⊙
AB的长．
23．（2024•广东一模）如图1，在 O中，AB为 O的直径，点C为 O上一点，点D在劣弧BC上，
CE⊥CD交AD于E，连接BD．
⊙ ⊙ ⊙
（1）求证：△ACE～△BCD；
（2）若cos∠ABC＝m，求 ；（用含m的代数式表示）
（3）如图2，DE的中点为G，连接GO，若BD＝a，cos∠ABC＝ ，求OG的长．
33
