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重难点 04 隐圆模型（定义型、直角型、等弦对等角、
四点共圆）
题型解读｜模型构建｜真题强化训练｜模拟通关试练
动点轨迹问题是中考和各类模拟考试的重要和难点题型，综合考查学生解析几何知识和思维能力。该
题型一般在填空题或解答题的其中一问出现，具有一定的难度，致使该考点成为学生在中考中失分的集中
点。掌握该压轴题型的基本图形，构建问题解决的一般思路，是中考专题复习的一个重要途径。本专题就
动点轨迹为圆弧型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
模型01 定义型
考｜向｜预｜测
点圆模型的定义型该题型主要以选择、填空形式出现，目前与综合性大题结合考试，作为其中一问，
难度系数不大，在各类考试中都以中档题为主。解这类问题的关键是结合圆的定义判定动点变化的特
点，结合圆和其它几何的相关知识点进行解题。
点A为定点，点B为动点，且AB长度固定，则点B的轨迹是以点A为圆心，AB长为半径的圆。
答｜题｜技｜巧
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1. 根据题意判定动点的变化特性
2. 找准定点和定长（圆心和半径）
3. 结合圆、三角形、四边形的相关知识点进行解题，一般情况下会涉及最值问题
1．（2024·广西）如图，在△ABC中， ， ， ，点D在AC边上，且
，动点P在BC边上，将△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，则△AEB面积的最小值是（
）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【详解】解：如下图所示，连接BD，作点C关于BD的对称点N，以点D为圆心，以DC为半径作 ，
过点D作DM⊥AB于M，交 于Q．
∵ ， ， ，DM⊥AB于M，∴∠AMD=∠ACB， ．
∵∠MAD=∠CAB，AD=2，∴ ，DC=AC-AD=1．
∴ ，DQ=DC=1．∴ ．∴ ．
∵动点P在BC边上，△PDC沿直线PD翻折，点C的对应点为E，
∴DE=DC=DN．∴点E在 上移动．
∴当点E与点Q重合时，点E到AB的距离最短为QM．
∴△AEB面积的最小值为 ．
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故选：A．
1．如图，在 中， ， ， ，点 是边 的中点，点 是边 上
的任意一点（点 不与点 重合），沿 翻折 使点 落在点 处，连接 ，则线段 的长取最
小值时， 、 两点间的距离为 ．
【答案】
【详解】解：由题意得： ，
点 在以 为圆心， 为半径的圆上，作 ，连接 交 于点 ，此时 值最小，
， ， ，解得： ，
点 是边 的中点， ；由勾股定理得： ，
， ，即线段 长的最小值是 ，
连接 ，过 作 于 ， ， ， ，
， ， ，
， ．故答案为： ．
2．如图，在矩形 中， ， ，点E、F分别是边 上的动点，且 ，点G是
的中点，连结 ，则四边形 面积的最小值为（ ）
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A．142 B．96 C．192 D．124
【答案】A
【详解】解：连接 ，过B作 于H，以B为圆心， 为半径作圆，交 于 ，如图：
∵四边形 是矩形，∴ ，∵ ，点G是 的中点，∴ ，
∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到 时， 最小，此时四边形 面积最小，最小值
即为四边形 的面积，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，即四边形 面积的最小值是142．故选：A．
3.如图，在 中， ，E是直角边 的中点，F是直角边 上的一个动点，将 沿
所在直线折叠，得到 ，D是斜边 的中点，若 ， ，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
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【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、
圆的定义，确定动点 的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得 ， ，结合
E是直角边 的中点，得到 ，由此可判断点 在以 为圆心， 为半径的
圆上运动，当 、 、 共线时，此时 的值最小，根据三角形中位线定理求出 ，即可求
出此时 的最小值．
【详解】解： 将 沿 所在直线折叠，得到 ，
，
，
E是直角边 的中点，
，
点 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，如图所示，
，
当 、 、 共线时，即 与 重合时， 取得最小值，
又 ，
此时 的值最小，
D是斜边 的中点，
是 的中位线，
，
此时， ，
的最小值为4．
故选：C．
模型02 直角型
考｜向｜预｜测
点圆问题中的直角模型该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度，该题型主
要考查对圆性质的的理解。实际题型中会结合直角三角形的相关知识点，对数形结合的讨论是解题的关键。
许多实际问题的讨论中需要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成求固定图形
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问题。
一条定边所对的角始终为直角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或圆弧；
如图，若P为动点，AB为定值，∠APB=90°，则动点P是以AB为直径的圆或圆弧。
P
P P
A B
O
答｜题｜技｜巧
1. 观察图形特点，找准直角顶点和定长（圆的直径）；
2. 利用圆与直角三角形的相关知识点进行解题；
3. 涉及最值问题的图形要考虑线段的转化，熟练掌握共线问题、将军饮马问题、垂线段问题等
相关知识点；
4. 数形结合进行分析、解答
1．（2024·山东）如图，在正方形ABCD中， ，E为边AB上一点，F为边BC上一点．
连接DE和AF交于点G，连接BG．若 ，则BG的最小值为__________．
【答案】 ．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC-∠DAE，AD=AB，
∵AE=BF∴△DEA≌△AFB，
∴∠DAF+∠BAF=∠DAB=90°， ∠ADE+∠DAF=90°
∴∠DGA=90°∴点G在以AD为直径的圆上移动，连接OB，OG，如图：
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∴ 在Rt△AOB中，∠OAB=90°∴OB=
∵ ∴当且公当O，G，B三点共线时BG取得最小值．
∴BG的最小值为： ．
1．如图，已知 中， ， ， ，点 是 边上的动点，以 为直径作 ，
连接 交 于点 ，则 的最小值 ．
【答案】 /
【详解】解：连接 ，由以 为直径作 ， ， ，得 ， ，
得动点 在以 中点 为圆心，2为半径的圆上运动，当 ， ， 在一直线上时， ，
故 ，即 的最小值 ，故答案为： ．
模型03 等弦对等角
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考｜向｜预｜测
点圆问题中的等圆对等角模型主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以
压轴题的形式考查，学生不易把握。该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度。
该题型主要考查动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与
半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。解题时会考查了矩形，圆，相似三角形
的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造对应图形解决问题，
属于中考中的压轴题．
答｜题｜技｜巧
1. 观察图形特点，确定定弦和定角；
2. 根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当图形（三角形居多）；
3. 利用四边形、隐圆、直角三角形或相似的相关知识点解题；
1．（2024·江苏）如图，已知正方形 的边长为2，若动点E满足 ，则线段
长的最大值为 ．
【答案】
【详解】解： ，∴点E在以 为直径的圆上，如图所示， 的最大值为 ，
∵正方形 的边长为2， ， 的最大值为 ，
当点E在 的下方时， 的最大值也是 ，
故答案为： ．
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1．如图，在矩形ABCD中，AB＝9，AD＝6，点O为对角线AC的中点，点E在DC的延长线上且CE＝1.5，
连接OE，过点O作OF⊥OE交CB延长线于点F，连接FE并延长交AC的延长线于点G，则 ＝ ．
【答案】
【详解】解：作OM⊥CD于M，ON⊥BC于N，
∵四边形ABCD为矩形，∴∠D=90°，∠ABC=90°，∴OM∥AD，ON∥AB，
∵点O为AC的中点，∴OM= AD=3，ON= AB=4.5，CM=4.5，CN=3，
∵CE=1.5，∴ME=CM+CE=6，在Rt△OME中，OE= =3 ，
∵∠MON=90°，∠EOF=90°，∴∠MOE+∠NOE=∠NOF+∠NOE=90°，
∴∠MOE=∠NOF，又∠OME=∠ONF=90°，∴△OME∽△ONF，
∴ ，即 ，解得，FN=9，∴FC=FN+NC=12，
∵∠FOE=∠FCE=90°，∴F、O、C、E四点共圆，∴∠GFC=∠GOE，又∠G=∠G，∴△GFC∽△GOE，
∴ ，故答案为： ．
2．如图， 在以 为直径半圆上， ， ，点 是 上的一动点， ，连接
，则 的长的最小值是 ．
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【答案】
【分析】取 中点 ，连接 ， ， ，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，点
在以 为圆心， 为半径的圆上运动，进而解 求得 ，即可求解．
【详解】解：取 中点 ，连接 ， ， ，如图，
， ，
，
即点 在以 为圆心， 为半径的圆弧上运动，
，
，
在 中， ，
的长最小是 ，
故答案为： ．
模型04 四点共圆型
考｜向｜预｜测
点圆问题中的四点共圆模型主要考查转化与化归等的数学思想，近年在中考数学和各地的模拟考中常以压
轴题的形式考查，学生不易把握。该题型也主要以选择、填空的形式出现，一般较为靠后，有一定难度。
该题型主要考查动点的轨迹为定圆时，可利用：“一定点与圆上的动点距离最大值为定点到圆心的距离与
半径之和，最小值为定点到圆心的距离与半径之差”的性质求解。解题时会考查了矩形，圆，相似三角形
的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造对应图形解决问题，
属于中考中的压轴题．
答｜题｜技｜巧
1. 观察图形特点，确定定弦和定角；
2. 根据题意准确分析出动点的运动轨迹，并构建适当图形（三角形居多）；
3. 利用四边形、隐圆、直角三角形或相似的相关知识点解题；
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1．（2024·江苏）如图，已知正方形 的边长为2，若动点E满足 ，则线段
长的最大值为 ．
【答案】
【详解】解： ，∴点E在以 为直径的圆上，如图所示， 的最大值为 ，
∵正方形 的边长为2， ， 的最大值为 ，
当点E在 的下方时， 的最大值也是 ，
故答案为： ．
1．如图，在四边形 中， ，以 为腰作等腰直角三角形 ，顶点 恰好落在
边上，若 ，则 的长是（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】A
【详解】解： 是以 为腰的等腰直角三角形，
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， ， ，
， ， ，
点 四点共圆，在以 为直径的圆上，如图，连接 ，
由圆周角定理得： ， ， ，
， ，
在 和 中， ， ，
， ，故选：A．
2.在 中， ， ， ，点 是 上一动点， 于 ， 于 ，线段
的最小值为 ．
【答案】
【分析】如图，作 于 ， 于 ．连接 ， ， ．设 ，则 ．
根据 ，可得 ，解得 ，推出 ，由 ， ，
， 四点共圆，推出当 的直径最小时， 的长最小，根据垂线段最短可知：当 与 重合时，
的值最小，由此即可解决问题．
【详解】解：如图，作 于 ， 于 ．连接 ， ， ．设 ，则
．
，
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，
解得 ，
， ，
， ， ，
，
，
， ，
，
， ， ， 四点共圆，
当 的直径最小时， 的长最小，
根据垂线段最短可知：当 与 重合时， 的值最小， 的最小值为 ，
此时 ， ， 的最小值为 ，故答案为： ．
1．（2023·重庆）如图， 是边长为1的正方形 内的一个动点，且满足 ，则
的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆周角定理，在凹四边形
中，求出 ，得点 在运动过程中，使得 ，即点 在正方形 内，以 为圆
心， 长为半径的圆弧上，如解图，连接 ， ，当 、 、 三点共线时， 取得最小值，最小
值为 ，求出 和 的长度，即可得到结果，解本题的关键是证明 是定值，从而得到点
的轨迹．
【详解】解： 四边形 是正方形，
，
在凹四边形 中， ， ，
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，
始终为 ，
得点 在运动过程中，使得 ，即点 在正方形 内，以 为圆心， 长为半径的圆弧上，
如解图，连接 ， ，
，
由解图可得 ，当 、 、 三点共线时， 取得最小值，最小值为 ，
在 中， ， ，
， ，
故选：D．
2．（2024·河北）如图，在矩形 中， ， ，点 、 分别是边 、 上的动点，且
，点 是 的中点， 、 ，则四边形 面积的最小值为（ ）
A．30 B．32 C．35 D．38
【答案】D
【分析】首先连接 ， ，证明 在以 为圆心，2为半径的圆弧上，过 作 于 ，当G在
上时， 面积取最小值，此时四边形 面积取最小值，再进一步解答即可．
【详解】解：连接 ， ，
∵矩形 ，
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∴ ， ，
∵ ， 为 的中点，
∴ ，
∴ 在以 为圆心，2为半径的圆弧上，
过 作 于 ，
当G在 上时， 面积取最小值，此时四边形 面积取最小值，
四边形 面积=三角形 面积+三角形 面积，
即四边形 面积=三角形 面积+24．
设圆弧交 于 ，此时四边形 面积取最小值，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
即四边形 面积的最小值= ．
故选：D．
3．（2024·上海）如图，在正方形 中， ，M，N分别为边 ， 的中点，E为 边上一
动点，以点 E为圆心， 的长为半径画弧，交 于点F，P为 的中点，Q为线段 上任意一点，
则 长度的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】如图，连接 ， 为 的中点，可得 ，则 在以 为圆心， 为半径的圆弧上
运动，当 四点共线时， 最小，再进一步求解即可．
【详解】解：如图，连接 ，
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∵正方形 ， ，
∴ ， ，
∵ 分别 ， 的中点，
∴ ， ，
∵ 为 的中点，
∴ ，
∴ 在以 为圆心， 为半径的圆弧上运动，
当 四点共线时， 最小，
此时 ， ，
∴ ，
∴ ，
即 的最小值为： ，
故选B
【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，正方形的
性质，圆的确定，熟练的确定P的运动轨迹是解本题的关键．
4．（2024·福建）如图，已知以 为直径的半圆 ， 为弧 上一点， ， 为弧 上任意
一点， 交 于 ，连接 ，若 ，则 的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的想性质，三角形的外接圆，解直角三角形等知识，判断
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点D在 的外接圆上运动是解题的关键．
先求出 ， ，则可判断点D在 的外接圆上，设圆心为E，在优弧 取点G，
连接 ， ， ， ， ，过E作 于F，可求 ，利用等边三角形的判定和性
质求出 ， ，利用勾股定理求出 ，由 ，当E、D、
B三点共线时， 最小，最小值为 ，即可求解．
【详解】解∶连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 为直径，
∴ ，
∴ ，
∴点D在 的外接圆上，设圆心为E，在优弧 取点G，连接 ， ， ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
当E、D、B三点共线时， 最小，最小值为 ，
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故答案为： ．
1．如图，四边形 为矩形， ，点P是边 上一动点，点M为线段 上一点，且
，则 的最小值为 ．
【答案】2
【详解】解：如图，取 的中点 ，连接 ， ．
四边形 是矩形， ， ， ，
， ， ，
， ， 点 的运动轨迹是以 为圆心，3为半径的 ．
， ， 的最小值为2．故答案为：2．
2．如图，在矩形 中， ，M是边 上一动点（不含端点），将 沿直线
对折，得到 ．当射线 交线段 于点P时，连接 ，则 的面积为 ； 的
最大值为 ．
【答案】
【详解】解：由题意可得 的面积等于矩形 的一半，∴ 的面积为
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，
在 中， ，∴当 最大时， 即最大，
由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线 与圆相切时， 最大，此时C、N、M
三点共线，如图：
由题意可得： ， ，
∴ ， ，∴
∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，
∴ ，在 中， ，故答案为： ， ．
3．如图，在矩形 中，已知 ， ，点 是 边上一动点 点 不与点 ， 重合 ，连接
，作点 关于直线 的对称点 ，连接 ，则 的最小值为 ．
【答案】2
【详解】解：连接 ， 点 和 关于 对称， ，
在以 圆心， 为半径的圆上， 当 ， ， 三点共线时， 最短，
， ， ，故答案为： ．
4．如图，四边形ABCD中，连接AC、BD，点O为AB的中点，若 ，则下面结论一定
正确的是 ．
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①DC＝CB；②∠DAC＝∠DBC；③ ；④点A、C、D到点O的距离相等．
【答案】②③④
【详解】解∶如图1，设AC、BD交于点F，连接OC、OD，
∵ ，点O为A B的中点，∴OD=OC=OA=OB= AB，
∴点A、C、D到点O的距离相等，故④正确；
∵OD=OC=OA=OB= AB，∴∠BAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC，∠OCB=∠ABC，
∴∠BAD+∠OCD+∠OCB=∠ODA+∠ODC+∠ABC，
∴∠BCD+∠BAD=∠ADC+∠ABC= ，故③正确；
∵ ，∴ ， ，
∵∠AFD=∠BFC，∴∠DAC=∠DBC，故②正确；
在四边形ABCD中， ， AB中点O，连接OD、OC， 则OD=OC=OA=OB= AB，
若AD=BD，则OD⊥AB，∴ ，
若 ，则△BOC是等边三角形，∴ ， ，
但是△ODC与△BOC不全等，∴DC≠BC，故①不一定成立，∴正确的是②③④，故答案为∶②③④．
5．如图， 中， ， 中， ，直线 与 交于 ，当
绕点 任意旋转的过程中， 到直线 距离的最大值是 ．
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【答案】 /
【详解】解：如图旋转，连接
以 为直径作 ，以 为半径作 ，过点 作 的切线交 于点
在 和 中
∴点 共圆，点 共圆， 点 在 上运
动
， 的半径为 ∴
又∵ ， ∴当点 运动到点 时，到直线 距离的最大，
过点 作 ，过点 作 ， ，
∴四边形 是矩形，
是圆心， 设
解得： （舍去）
∴ 故答案为： ．
6．如图，正方形 的边长为8，M、N为 边上的动点，以 为斜边作等腰 （其中
），点E在 边上，且 ，连接 ，则 的周长最小值为 ．
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【答案】 /
【详解】解：连接 ，
四边形 是正方形， 是等腰直角三角形，
， ， 四点共圆，
恒等于 ， 点P在正方形 对角线 上运动，
， ， ，
， 为定值，
当点 三点共线时， 有最小值，即 有最小值，则 的周长有最小值为 ，
， 的周长的最小值为： ，故答案为： ．
7．如图，将 绕点 顺时针旋转25°得到 ，EF交BC于点N，连接AN，若 ，则
．
【答案】102.5°
【详解】解：如图，AF与CB相交于点O，连接CF，
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根据旋转的性质得到：AC=AF， ， ， ，
∴点A、N、F、C共圆，∴ ，
又∵点A、N、F、C共圆，∴ ，
∴ （平角的性质），故答案为：102.5°
23
