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热点 07 相似三角形
中考数学中《相似三角形》部分主要考向分为三类：
一、黄金分割及平行线分线段成比例（每年1道，3分）
二、相似三角形的判定与性质（每年1~2道，3~12分）
三、相似三角形的应用（每年1~2题，3~14分）
相似三角形在中考数学中的地位永远都是无法撼动的第一，不管是对相似三角形性质、判定、亦或是
应用的考察，都有出题类型多变，出题形式随意的特点，并且，因为其高度的融合性，不管是在选择题、
填空题、解答题的压轴题中，都可以作为压轴题的问题背景出现，也是解决压轴题问题不可或缺的方法途
径。基于以上特征，相似三角的考察难度可以从中等跨越到较难，属于中考数学中较为重要的压轴考点。
考向一：平行线分线段成比例
【题型1 比例与比例线段】
满分技巧
1、比例的性质：
a:b=c:d⇔ad=bc
；
a:c=c:b⇔c2 =a⋅b
2、比例中项： ，此时，c为a、b的比例中项；
a,b,c,d a和b c和d
3、比例线段：在四条线段 中，如果 的比等于 的比，那么这四条线
a,b,c,d
段 叫做成比例线段简称比例线段；
1．（2023•金昌）若 ＝ ，则ab＝（ ）
A．6 B． C．1 D．
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【分析】直接利用比例的性质，内项之积等于外项之积即可得出答案．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴ab＝6．
故选：A．
2．（2023•丽水）小慧同学在学习了九年级上册“4.1 比例线段”3节课后，发现学习内容是一个逐步特
殊化的过程，请在横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．
【分析】由 ＝2，得到a＝2c，因此 ＝ ，得到b＝ c，故 ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
所以 ＝ ＝ ．
【解答】解：当 ＝2时， ＝ ＝ ，理由如下：
∵ ＝2，
∴a＝2c，
∴ ＝ ，
∴b＝ c，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ．
故答案为：2．
3．（2023•甘孜州）若 ，则 ＝ 1 ．
【分析】根据比例的性质解答即可．
【解答】解：∵ ，
∴ ＝ ﹣1＝2﹣1＝1．
故答案为：1．
【题型2 黄金分割】
满分技巧
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AB AC,BC(AC>BC) AC AB和BC
黄金分割：把线段 分成两条线段 ，且使 是 的比例中项，叫做把
√5−1
AC= AB
AB C AB 2 AB
线段 黄金分割，点 叫做线段 的黄金分割点，其中 ≈0.618 ．
1．（2023•广东）我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种 0.618法应用了
（ ）
A．黄金分割数 B．平均数
C．众数 D．中位数
【分析】根据黄金分割的定义，即可解答．
【解答】解：我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献．优选法中有一种0.618法应用了黄
金分割数，
故选：A．
2．（2023•济南）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以点C为圆心，以BC为半径作弧交AC于
点D，再分别以B，D为圆心，以大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线CP交AB于点
E，连接DE．以下结论不正确的是（ ）
A．∠BCE＝36° B．BC＝AE
C． D．
【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠ABC＝∠ACB＝72°，再根据题意可得：
CP平分∠ACB，从而可得∠BCE＝∠ACE＝36°，然后利用等量代换可得∠A＝∠ACE＝36°，从而可得
AE＝CE，再利用三角形的外角性质可得∠B＝∠CEB＝72°，从而可得CB＝CE，进而可得AE＝CE＝
CB，最后根据黄金三角形的定义可得 ＝ ，从而可得 ＝ ，再利用三角形的面积可得
＝ ＝ ，从而进行计算即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝ ＝72°，
由题意得：CP平分∠ACB，
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∴∠BCE＝∠ACE＝ ∠ACB＝36°，
∴∠A＝∠ACE＝36°，
∴AE＝CE，
∵∠CEB＝∠A+∠ACE＝72°，
∴∠B＝∠CEB＝72°，
∴CB＝CE，
∴AE＝CE＝CB，
∵△BCE是顶角为36°的等腰三角形，
∴△BCE是黄金三角形，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
故A、B、D不符合题意，C符合题意；
故选：C．
3．（2023•达州）如图，乐器上的一根弦AB＝80cm，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近
点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为 （ 8 0 ﹣
160 ） cm．（结果保留根号）
【分析】根据黄金分割的定义，进行计算即可解答．
【解答】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，AB＝80cm，
∴AC＝ AB＝ ×80＝（40 ﹣40）cm，
∵点D是靠近点A的黄金分割点，AB＝80cm，
∴DB＝ AB＝ ×80＝（40 ﹣40）cm，
∴CD＝AC+BD﹣AB＝2（40 ﹣40）﹣80＝（80 ﹣160）cm，
∴支撑点C，D之间的距离为（80 ﹣160）cm，
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故答案为：（80 ﹣160）．
【题型3 平分线分线段成比例】
满分技巧
AC BD
=
如图：AB∥CD∥EF⇔CF DE
1．（2023•常州）小明按照以下步骤画线段AB的三等分点：
画法 图形
（1）以A为端点画一条射线；
（2）用圆规在射线上依次截取3条等长线段
AC、CD、DE，连接BE；
（3）过点C、D分别画BE的平行线，交线段
AB于点M、N．M、N就是线段AB的三等分
点．
这一画图过程体现的数学依据是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．两条平行线之间的距离处处相等
C．垂直于同一条直线的两条直线平行
D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵CM∥DN∥BE，
∴AC：CD：DE＝AM：MN：NB，
∵AC＝CD＝DE，
∴AM＝MN＝NB，
∴这一画图过程体现的数学依据是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例，
故选：D．
2．（2023•吉林）如图，在△ABC中，点D在边AB上，过点D作DE∥BC，交AC于点E．若AD＝2，
BD＝3，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
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【分析】由DE∥BC，利用平行线分线段成比例，可得出 ＝ ，再代入AD＝2，BD＝3，AB＝
AD+BD，即可求出结论．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ．
故选：A．
3．（2023•北京）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则 的值
为 ．
【分析】根据题意求出AF，再根据平行线分线段成比例定理计算即可．
【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，
∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，
∵AB∥EF∥CD，
∴ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
考向二：相似三角形的判定与性质
【题型4 相似三角形的性质】
满分技巧
相似三角形的性质有：对应边成比例、对应角相等、对应边上的“三线”之比=相似比、对应面积之比=
相似比的平方、对应周长之比=相似比。另外，相似三角形之前还有有关平行线分线段成比例的基本性
质的考察。
1．（2023•重庆）如图，已知△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3，若AB的长度为6，则DE的长度为（
）
A．4 B．9 C．12 D．13.5
【分析】根据相似三角形的性质列出方程即可求解．
【解答】解：∵△ABC∽△EDC，AC：EC＝2：3．
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∴ ，
∴当AB＝6时，DE＝9．
故选：B．
2．（2023•重庆）若两个相似三角形周长的比为1：4，则这两个三角形对应边的比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【分析】根据相似三角形的性质：相似三角形周长的比等于相似比，求解即可．
【解答】解：∵两个相似三角形周长的比为1：4，
∴这两个三角形对应边的比为1：4，
故选：B．
3．（2023•无锡）如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝3，点D在BC上，BE⊥AD交AC于点
E，ED的延长线与AB的延长线相交于点F，且△ABC∽△FBD，则BD＝ ．
【分析】利用△ABC∽△FBD得BD＝3BF，ED＝EC，EA＝EF，设ED＝EC＝m，利用等腰计算得ED
＝ ，AE＝ ，再利用双勾股得（ ）2﹣（ ）2＝（
）2﹣（ ）2，再计算即可．
【解答】解：∵AB＝1，BC＝3，
∴AC＝ ＝ ，
∵△ABC∽△FBD，
∴∠C＝∠BDF，∠BAC＝∠F， ，
∴BD＝3BF，
设BF＝x，则BD＝3x，
∴DF＝ ＝ x，
由∠C＝∠BDFEDC得ED＝EC，
由∠BAC＝∠F得EA＝EF，
设ED＝EC＝m，
∵AC＝AE+EC＝EF+EC，
∴ ＝ x+2m，
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∴m＝ ，
即ED＝ ，
∴AE＝ ，
∵∠BAD＝∠BAD，∠AOB＝∠ABD＝90°，
∴△ABO～△ADB，
∴AB2＝AO×AD，
∴AO＝ ，
同理DO＝ ，
∵AE2﹣AO2＝EO2＝ED2﹣DO2，
∴（ ）2﹣（ ）2＝（ ）2﹣（ ）2，
∴9x2+10x﹣1＝0，
∴x＝ （负值舍去），
∴BD＝3x＝ ．
故答案为： ．
【题型5 相似三角形的判定】
满分技巧
重点记“AA”与“SAS”类型，小题勿忘“SSS”类型；
相似三角形的判定方法中，最常用的是有两个角对应相等的两个三角形相似，其次是对应角相
等，对应边成比例的两个三角形相似。三边对应成比例的两个三角形相似不长出现，但是个别小题，特
别是和网格结合的问题小题中，也是有出现几率的。
1．（2023•大庆）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩
形纸片ABCD如图所示，点N在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN，点A对应的点记为点M，若点
M恰好落在边DC上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 △ MCB ．
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【分析】利用矩形的性质得到∠D＝∠C＝90°，然后利用折叠的性质推导出∠BMN＝∠A＝90°，进而得
到∠DNM＝∠CMB，由此推断出△NDM∽△MCB．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，
∴∠DNM+∠DMN＝90°，由折叠的性质可知，∠BMN＝∠A＝90°，
∴∠DMN+∠CMB＝90°，
∴∠DNM＝∠CMB，
∴△NDM∽△MCB，
故答案为：△MCB．
2．（2023•徐州）如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D为AB的中点．若点E在边AC上，
且 ，则AE的长为（ ）
A．1 B．2 C．1或 D．1或2
【分析】由直角三角形的性质可求AC＝2BC＝4，AB＝2 ，∠C＝60°，分两种情况讨论，由三角形中
位线定理和相似三角形的性质可求解．
【解答】解：在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AC＝2BC＝4，AB＝2 ，∠C＝60°，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝ ，
∵ ，
∴DE＝1，
如图，当∠ADE＝90°时，
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∵∠ADE＝∠ABC， ，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∴AE＝2，
如图，当∠ADE≠90°时，取AC的中点H，连接DH，
∵点D是AB中点，点H是AC的中点，
∴DH∥BC，DH＝ BC＝1，
∴∠AHD＝∠C＝60°，DH＝DE＝1，
∴∠DEH＝60°，
∴∠ADE＝∠A＝30°，
∴AE＝DE＝1，
故选：D．
3．（2023•哈尔滨）如图，AC，BD相交于点O，AB∥DC，M是AB的中点，MN∥AC，交BD于点N，若
DO：OB＝1：2，AC＝12，则MN的长为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】由AB∥DC易得△CDO∽△ABO，根据相似三角形的性质可得 ＝ ，于是AC＝OA+OC＝
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OA+ OA＝12，求出OA＝8，易得MN为△AOB的中位线，则MN＝ OA．
【解答】解：∵AB∥DC，
∴△CDO∽△ABO，
∴ ，
∵DO：OB＝1：2，
∴ ＝ ，
∴OC＝ OA，
∵AC＝OA+OC＝12，
∴OA+ OA＝12，
∴OA＝8，
∵MN∥AC，M是AB的中点，
∴MN为△AOB的中位线，
∴MN＝ OA＝ ＝4．
故选：B．
4．（2023•无锡）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，AF与DE相交于点G，则
DG：EG＝ 2 ： 3 ．
【分析】延长AF、BC交于点H，由平行四边形的性质及E、F分别为BC、CD的中点，得CB∥AD，
BE＝CE，CF＝DF，则CB＝AD＝2CE，再证明△HCF∽△ADF，得 ＝ ＝1，则HC＝AD＝CB＝
2CE，所以HE＝3CE，再证明△ADG∽△HEG，得 ＝ ＝ ，于是得到问题的答案．
【解答】解：延长AF、BC交于点H，
∵四边形ABCD是平行四边形，E、F分别为BC、CD的中点，
∴CB∥AD，BE＝CE，CF＝DF，
∴CB＝AD＝2CE，
∵HC∥AD，
∴△HCF∽△ADF，
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∴ ＝ ＝1，
∴HC＝AD＝CB＝2CE，
∴HE＝HC+CE＝2CE+CE＝3CE，
∵AD∥HE，
∴△ADG∽△HEG，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴DG：EG＝2：3，
故答案为：2：3．
4．（2023•杭州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＜90°，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上，连接
DE，EF，FD，已知点B和点F关于直线DE对称．设 ＝k，若AD＝DF，则 ＝ （结果
用含k的代数式表示）．
【分析】方法一：先根据轴对称的性质和已知条件证明 DE∥AC，再证△BDE∽△BAC，推出EC＝
k•AB，通过证明△ABC∽△ECF，推出CF＝ k2•AB，即可求出 的值．方法二：证明AD＝DF＝
BD，可得BF⊥AC，设AB＝AC＝1，BC＝k，CF＝x，则AF＝1﹣x，利用勾股定理列方程求出x的值，
进而可以解决问题．
【解答】解：方法一：∵点B和点F关于直线DE对称，
∴DB＝DF，
∵AD＝DF，
∴AD＝DB，
∵AD＝DF，
∴∠A＝∠DFA，
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∵点B和点F关于直线DE对称，
∴∠BDE＝∠FDE，
∵∠BDE+∠FDE＝∠BDF＝∠A+∠DFA，
∴∠FDE＝∠DFA，
∴DE∥AC，
∴∠C＝∠DEB，∠DEF＝∠EFC，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴∠DEB＝∠DEF，
∴∠C＝∠EFC，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B，
∵∠ACB＝∠EFC，
∴△ABC∽△ECF，
∴ ＝ ，
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴ ＝ ＝ ，
∴EC＝ BC，
∵ ＝k，
∴BC＝k•AB，
∴EC＝ k•AB，
∴ ＝ ，
∴CF＝ k2•AB，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝ ．
方法二：如图，连接BF，
∵点B和点F关于直线DE对称，
∴DB＝DF，
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∵AD＝DF，
∴AD＝DB＝DF，
∴BF⊥AC，
设AB＝AC＝1，
则BC＝k，
设CF＝x，
则AF＝1﹣x，
由勾股定理得，AB2﹣AF2＝BC2﹣CF2，
∴12﹣（1﹣x）2＝k2﹣x2，
∴x＝ ，
∴AF＝1﹣x＝ ，
∴ ＝ ．
故答案为： ．
5．（2023•牡丹江）如图，在正方形ABCD中，E在边CD上，BE交对角线AC于点F，CM⊥BE于M，
∠CME的平分线所在直线分别交CD，AC于点N，P，连接FN．
下列结论：①S△NPF ：S△NPC ＝FM：MC；②CM＝PN；③EN•CD＝EC•CF；④若EM＝1，MB＝4，
则PM＝ ．其中正确的是 ①④ ．
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【分析】记N到PC的距离为h，可得 ＝ ＝ ，证明△PMF∽△PCN，有 ，
∠PFM＝∠PNC， ，同理△NCM∽△NPC，有 ，故 ，从而判断①正确；证明
M，F，C，N四点共圆，得∠FNC＝∠FMC＝90°，可得△EFN∽△EBC， ，判断③不正
确；证明△CME∽△BMC，得CM2＝BM•EM＝4，CM＝2，（负根舍去）， ，BC＝ ＝
2 ＝AB，同理可得：△CEF∽△ABF，有 ＝ ＝ ，故EF＝ BE＝ ，BF＝ ，FM＝
BM﹣BF＝4﹣ ＝ ，由△PMF∽△BCF，有 ，而△EFN∽△EBC，可得EN＝ EC＝ ，
CN＝EC﹣EN＝ ，CF＝ CN＝ ，可得PM＝ ，判断④正确；根据△EMN∽△ECF，
可得 ＝ ，MN＝ ，PN＝PM+MN＝ + ＝ ，判断②不正确．
【解答】解：记N到PC的距离为h，
∴ ＝ ＝ ，
∵CM⊥BE，四边形ABCD是正方形，
∴∠CME＝90°，∠PCN＝45°，
∵MN平分∠CME，
∴∠CMN＝∠EMN＝∠PMF＝45°＝∠PCN，
∵∠MPF＝∠NPC，
∴△PMF∽△PCN，
∴ ，∠PFM＝∠PNC，
∴ ，
同理可得：△NCM∽△NPC，
∴ ，
∴ ，
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∴ ＝ ，
∴ ＝ ，故①正确；
∵∠PMF＝45°＝∠PCE，
∴∠PCE+∠FMN＝180°，
∴M，F，C，N四点共圆，
∴∠FNC＝∠FMC＝90°，
∴FN∥BC，
∴△EFN∽△EBC，
∴ ，
∴EN•CD＝EC•FN，故③不正确；
∵EM＝1，BM＝4，
∴BE＝5，
∵正方形ABCD，CM⊥BE，
∴∠BCD＝∠BMC＝∠EMC＝90°，
∴∠MEC+∠MCE＝90°＝∠MCE+∠BCM，
∴∠MEC＝∠BCM，
∴△CME∽△BMC，
∴ ，即CM2＝BM•EM＝4，
∴CM＝2，（负根舍去），
∴ ，BC＝ ＝2 ＝AB，
同理可得：△CEF∽△ABF，
∴ ＝ ＝ ，
∴EF＝ BF，
∴EF＝ BE＝ ，BF＝ ，
∴FM＝BM﹣BF＝4﹣ ＝ ，
∵∠PMF＝∠ACB＝45°，∠PFM＝∠BFC，
∴△PMF∽△BCF，
∴ ，
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∵△EFN∽△EBC，
∴ ，
∴EN＝ EC＝ ，
∴CN＝EC﹣EN＝ ，
∴CF＝ CN＝ ，
∴ ＝ ，
∴PM＝ ，故④正确；
同理可得：△EMN∽△ECF，
∴ ，即 ＝ ，
∴MN＝ ，
∴PN＝PM+MN＝ + ＝ ，
而CM＝2，
∴CM≠PN，故②不正确；
综上所述：正确的有①④，
故答案为：①④．
6．（2023•湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高．
（1）证明：△ABD∽△CBA；
（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的长．
【分析】（1）根据已知条件得出∠BDA＝∠BAC，又∠B为公共角，于是得出△ABD∽△CBA；
（2）根据相似三角形的性质即可求出BD的长．
【解答】（1）证明：∵AD是斜边BC上的高，
∴∠BDA＝90°，
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∵∠BAC＝90°，
∴∠BDA＝∠BAC，
又∵∠B为公共角，
∴△ABD∽△CBA；
（2）解：由（1）知△ABD∽△CBA，
∴ ，
∴ ，
∴BD＝3.6．
考向三：相似三角形的应用
【题型6 相似三角形的应用】
满分技巧
相似三角形在实际生活中的应用：
（一）建模思想：建立相似三角形的模型
（二）常见题目类型：
1.利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形求解
2.测量底部可以到达的物体的高度
3.测量底部不可以到达的物体的高度
4.测量河的宽度
1．（2023•南充）如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后
向后退（保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端．已知小菲的眼
睛离地面高度为1.6m，同时量得小菲与镜子的水平距离为2m，镜子与旗杆的水平距离为10m，则旗杆
高度为（ ）
A．6.4m B．8m C．9.6m D．12.5m
【分析】根据镜面反射的性质，△ABC∽△EDC，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
【解答】解：如图：
∵AB⊥BD，DE⊥BD，
∴∠ABC＝∠EDC＝90°，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ABC∽△EDC，
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∴ ，
即 ，
∴DE＝8（m），
故选：B．
2．（2023•湖州）某数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，采用以下方法：如图，把支架（EF）放在离
树（AB）适当距离的水平地面上的点F处，再把镜子水平放在支架（EF）上的点E处，然后沿着直线
BF后退至点D处，这时恰好在镜子里看到树的顶端A，再用皮尺分别测量BF，DF，EF，观测者目高
（CD）的长，利用测得的数据可以求出这棵树的高度．已知 CD⊥BD于点 D，EF⊥BD于点 F，
AB⊥BD于点B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，则这棵树的高度（AB的长）是
4.1 米．
【分析】过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，根据镜面反射的性质求出△CHE∽△AGE，再
根据对应边成比例解答即可．
【解答】解：过点E作水平线交AB于点G，交CD于点H，如图，
∵DB是水平线，CD，EF，AB都是铅垂线，
∴DH＝EF＝GB＝0.5米，EH＝DF＝2米，EG＝FB＝6米，
∴CH＝CD﹣DH＝1.7﹣0.5＝1.2（米），
又根据题意，得∠CHE＝∠AGE＝90°，∠CEH＝∠AEG，
∴△CHE∽△AGE，
∴ ，即 ，
解得：AG＝3.6米，
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∴AB＝AG+GB＝3.6+0.5＝4.1（米）．
故答案为：4.1．
3．（2023•潍坊）在《数书九章》（宋•秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图所示，AB表示塔的
高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点
A、C、E在一条水平直线上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶
B，视线恰好经过竹竿的顶端D，可求出塔的高度．根据以上信息，塔的高度为 18. 2 米．
【分析】过点F作FG⊥CD，垂足为G，延长FG交AB于点H，根据题意可得：FH⊥AB，AH＝CG＝
EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，从而可得∠DGF＝∠BHF＝90°，DG＝5.6米，然后证
明A字模型相似三角形△FDG∽△FBH，从而利用相似三角形的性质求出BH的长，最后利用线段的和
差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：过点F作FG⊥CD，垂足为G，延长FG交AB于点H，
由题意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，
∴∠DGF＝∠BHF＝90°，
∵CD＝7米，
∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），
∵∠DFG＝∠BFH，
∴△FDG∽△FBH，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴BH＝16.8，
∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），
∴塔的高度为18.2米，
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故答案为：18.2．
4．（2023•攀枝花）拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最
为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组
决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为
AB，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为1.5m的标杆EF和
GH，两标杆间隔EG为46m，并且东塔AB、标杆EF和GH在同一竖直平面内．从标杆EF后退2m到
D处（即ED＝2m），从D处观察A点，A、F、D在一直线上；从标杆GH后退4m到C处（即CG＝
4m），从C处观察A点，A、H、C三点也在一直线上，且B、E、D、G、C在同一直线上，请你根据
以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔AB的高度．
【分析】设BD＝x m，则BC＝（x+48）m，通过证明△ABD∽△EFD，得到 ，即 ，同
理得到 ，则可建立方程 ，解方程即可得到答案．
【解答】解：设BD＝x m，则BC＝BD+DG+CG＝x+46﹣2+4＝（x+48）m，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，
∴AB∥EF，
∴△ABD∽△FED，
∴ ，即 ，
同理可证△ABC∽△HGC，
∴ ，即 ，
∴ ，
解得x＝48，
经检验，x＝48是原方程的解，
∴ ＝ ，
∴AB＝36m，
∴该古建筑AB的高度为36m．
5．（2023•南京）如图，玻璃桌面与地面平行，桌面上有一盏台灯和一支铅笔，点光源O与铅笔AB所确
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定的平面垂直于桌面．在灯光照射下，AB在地面上形成的影子为CD（不计折射），AB∥CD．
（1）在桌面上沿着AB方向平移铅笔，试说明CD的长度不变．
（2）桌面上一点P恰在点O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度为60cm．
在点O与AB所确定的平面内，将AB绕点A旋转，使得CD的长度最大．
①画出此时AB所在位置的示意图；
②CD的长度的最大值为 8 0 cm．
【分析】（1）设AB平移到EF，EF在地面上形成的影子为MN．利用平行相似即可；（2）①以A为
圆心，AB长为半径画圆，当OQ与 A相切于H时，此时CD最大为CQ．②先证明△GHA～△GPO，
⊙
再利用勾股定理求出AG＝30，由 ，即可求出CD的长度的最大值．
【解答】解：（1）设AB平移到EF，EF在地面上形成的影子为MN．
∵AB∥CD，
∴△OAB～△OCD，
△OEF～△OMN，
△OEB～△OMD，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵EF＝AB，
∴MN＝CD，
∴沿着AB方向平移时，CD长度不变．
（2）①以A为圆心，AB长为半径画圆，
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当OQ与 A相切于H时，此时CD最大为CQ．
此时AB所在位置为AH．
⊙
②∵∠HGA＝∠PGO，∠AHG＝∠OPG＝90°，
∴△GHA～△GPO，
∴ ，
∴设GA＝x，则GO＝2x，
在Rt△OPG中，
OP2+PG2＝OG2，
∴362+（18+x）2＝（2x）2，
∴x2﹣12x﹣540＝0，
∴x ＝30，x ＝﹣18（舍去），
1 2
∴AG＝30，
由① ，
∴ ，
∴CQ＝80，
即CD的长度的最大值为80cm．
【题型7 位似变换】
满分技巧
位似图形满足的条件：
①所有经过对应点的直线都相交于同一点（该点叫做位似中心）；
②这个交点到两个对应点的距离之比都相等（这个比值叫做位似比）
1．（2023•浙江）如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（1，2），B（2，1），C（3，
2），现以原点O为位似中心，在第一象限内作与△ABC的位似比为2的位似图形△A′B′C′，则顶
点C′的坐标是（ ）
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A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）
【分析】根据位似变换的性质解答即可．
【解答】解：∵△ABC与△A′B′C′位似，△A′B′C′与△ABC的相似比为2：1，
∴△ABC与△A′B′C′位似比为1：2，
∵点C的坐标为（3，2），
∴点C′的坐标为（3×2，2×2），即（6，4），
故选：C．
2．（2023•遂宁）在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，
格点△ABC、△DEF成位似关系，则位似中心的坐标为（ ）
A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（0，1） D．（1，0）
【分析】根据位似中心的定义作答．
【解答】解：如图：
△ABC与△DEF的对应顶点的连线相交于点（﹣1，0），则位似中心的坐标为（﹣1，0）．
故选：A．
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3．（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，2），B（4，1），以原点O为位似中心，
相似比为2，把△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标是（ ）
A．（1，1） B．（4，4）或（8，2）
C．（4，4） D．（4，4）或（﹣4，﹣4）
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，相似比为2，把△OAB放大，点A的坐标为（2，2），
∴点A的对应点A′的坐标为（2×2，2×2）或（2×（﹣2），2×（﹣2）），即（4，4）或（﹣4，﹣
4），
故选：D．
4．（2023•阜新）如图，△ABC和△DEF是以点O为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则△ABC和
△DEF的面积比是 4 ： 9 ．
【分析】先利用位似的性质得到△ABC∽△DEF，相似比为2：3，然后根据相似三角形的性质解决问题．
【解答】解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，位似比为2：3，
∴△ABC∽△DEF，相似比为2：3，
∴△ABC与△DEF的面积之比为22：32＝4：9．
故答案为：4：9．
（建议用时：40分钟）
1．（2023•雅安）如图，在 ABCD中，F是AD上一点，CF交BD于点E，CF的延长线交BA的延长线
于点G，EF＝1，EC＝3，则GF的长为（ ）
▱
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A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据平行四边形的性质得出 AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，于是推出△DEF∽△BEC，
△DFC∽△AFG，先求出DF与BC的比值，继而得出DF与AF的比值，再根据相似三角形对应边成比
例即可求出GF的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴△DEF∽△BEC，
∴ ，
∵EF＝1，EC＝3，
∴ ，
即 ，
∴ ，
∵AB∥CD，
∴△DFC∽△AFG，
∴ ，
∵EF＝1，EC＝3，
∴CF＝4，
∴ ，
∴GF＝8，
故选：C．
2．（2023•东营）如图，△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AB上，∠ADE＝60°．若BD＝
4DC，DE＝2.4，则AD的长为（ ）
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A．1.8 B．2.4 C．3 D．3.2
【分析】先证∠CAD＝∠BDE，再根据∠B＝∠C＝60°，得出△ADC∽△DEB，根据相似三角形的性质
即可求出AD的长．
【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠CAD+∠ADC＝120°，
∵∠ADE＝60°．
∴∠BDE+∠ADC＝120°，
∴∠CAD＝∠BDE，
∴△ADC∽△DEB，
∴ ，
∵BD＝4DC，
∴设DC＝x，
则BD＝4x，
∴BC＝AC＝5x，
∴ ，
∴AD＝3，
故选：C．
3．（2023•绵阳）黄金分割由于其美学性质，受到摄影爱好者和艺术家的喜爱，摄影中有一种拍摄手法叫
黄金构图法．其原理是：如图，将正方形ABCD的底边BC取中点E，以E为圆心，线段DE为半径作
圆，其与底边BC的延长线交于点F，这样就把正方形ABCD延伸为矩形ABFG，称其为黄金矩形．若
CF＝4a，则AB＝（ ）
A．（ ﹣1）a B．（ ﹣2）a C．（ +1）a D．（ +2）a
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【分析】设AB＝x，根据正方形的性质可得AB＝BC＝x，然后根据黄金矩形的定义可得 ＝ ，
从而可得 ＝ ，最后进行计算即可解答．
【解答】解：设AB＝x，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝x，
∵矩形ABFG是黄金矩形，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：x＝（2+2 ）a，
经检验：x＝（2+2 ）a是原方程的根，
∴AB＝（2+2 ）a，
故选：D．
4．（2023•烟台）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P为位似中
心作正方形PA A A ，正方形PA A A ，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方
1 2 3 4 5 6
形PA A A 的顶点坐标分别为P（﹣3，0），A （﹣2，1），A （﹣1，0），A （﹣2，﹣1），则顶点
1 2 3 1 2 3
A 的坐标为（ ）
100
A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）
【分析】根据位似变换的概念、点的坐标的变化情况找出点的横纵坐标的变化规律，根据规律解答即可．
【解答】解：由题意可知：点A （﹣2，1），点A （﹣1，2），点A （0，3），
1 4 7
∵1＝3×0+1，4＝3×1+1，7＝3×2+1，……，100＝3×33+1，﹣2＝0﹣2，﹣1＝1﹣2，0＝2﹣2，1＝
0+1，2＝1+1，3＝2+1，
∴顶点A 的坐标为（33﹣2，33+1），即（31，34），
100
故选：A．
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5．（2023•内江）如图，在△ABC 中，点 D、E 为边 AB 的三等分点，点 F、G 在边 BC 上，
AC∥DG∥EF，点H为AF与DG的交点．若AC＝12，则DH的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【分析】首先根据点D、E为边AB的三等分点得AB＝3BE，AE＝2AD，再根据EF∥AC得△BEF和
△BAC相似，从而可求出EF＝4，然后根据DG∥EF得△ADH和△AEF相似，进而可求出DH的长．
【解答】解：∵点D、E为边AB的三等分点，
∴AD＝DE＝EB，
∴AB＝3BE，AE＝2AD，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC，
∴EF：AC＝BE：AB，
∵AC＝12，AB＝3BE，
∴EF：12＝BE：3BE，
∴EF＝4，
∵DG∥EF，
∴△ADH∽△AEF，
∴DH：EF＝AD：AE，
∵EF＝4，AE＝2AD，
∴DH：4＝AD：2AD，
∴DH＝2．
故选：C．
6．（2023•恩施州）如图，在△ABC中，DE∥BC分别交AC，AB于点D，E，EF∥AC交BC于点F，
，BF＝8，则DE的长为（ ）
A． B． C．2 D．3
【分析】由 DE∥BC，EF∥AC，得四边形 EFCD 是平行四边形，DE＝CF，设 DE＝CF＝x，由
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△AED∽△ABC， ＝ 可得 ＝ ，即可解得答案．
【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AC，
∴四边形EFCD是平行四边形，
∴DE＝CF，
设DE＝CF＝x，
∵BF＝8，
∴BC＝BF+CF＝8+x，
∵DE∥BC，
∴△AED∽△ABC，
∴ ＝ ，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得x＝ ，
故选：A．
7．（2023•威海）如图，四边形ABCD是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使 DA边落在DC
边上，点A落在点H处，折痕为DE；使CB边落在CD边上，点B落在点G处，折痕为CF．若矩形
HEFG与原矩形ABCD相似，AD＝1，则CD的长为（ ）
A． ﹣1 B． ﹣1 C． +1 D． +1
【分析】设HG＝x，根据矩形的性质可得∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，再根据折叠的性质可得：
∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，从而可得四边形ADHE是正方形，然后利用正方形的
性质可得AD＝HE＝1，最后利用相似多边形的性质，进行计算即可解答．
【解答】解：设HG＝x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ADH＝90°，AD＝BC＝1，
由折叠得：∠A＝∠AHE＝90°，AD＝DH＝1，BC＝CG＝1，
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∴四边形ADHE是矩形，
∵AD＝DH，
∴四边形ADHE是正方形，
∴AD＝HE＝1，
∵矩形HEFG与原矩形ABCD相似，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得：x＝ ﹣1或x＝﹣ ﹣1，
经检验：x＝ ﹣1或x＝﹣ ﹣1都是原方程的根，
∵GH＞0，
∴GH＝ ﹣1，
∴DC＝2+x＝ +1，
故选：C．
8．（2023•南京）如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB
的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（
）
A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm
【分析】过点B作BC⊥AH，垂足为C，再证明A字模型相似△AOH∽△ABC，从而可得 ＝ ，过
点A作AD⊥BH，垂足为D，然后证明A字模型相似△ABD∽△OBH，从而可得 ＝ ，最后进行计
算即可解答．
【解答】解：如图：过点B作BC⊥AH，垂足为C，
∵OH⊥AC，BC⊥AC，
∴∠AHO＝∠ACB＝90°，
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∵∠BAC＝∠OAH，
∴△AOH∽△ABC，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
如图：过点A作AD⊥BH，垂足为D，
∵OH⊥BD，AD⊥BD，
∴∠OHB＝∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝∠OBH，
∴△ABD∽△OBH，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ + ＝ + ，
∴ + ＝ ，
∴ + ＝1，
解得：OH＝36，
∴跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是36cm，
故选：A．
9．（2023•绍兴）如图，在△ABC中，D是边BC上的点（不与点B，C重合）．过点D作DE∥AB交AC
于点E；过点D作DF∥AC交AB于点F，N是线段BF上的点，BN＝2NF，M是线段DE上的点，DM
＝2ME．若已知△CMN的面积，则一定能求出（ ）
A．△AFE的面积 B．△BDF的面积
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C．△BCN的面积 D．△DCE的面积
【分析】如图所示，连接 ND，证明△FBD∽△EDC，得出 ＝ ，由已知得出 ，则
，又∠NFD＝∠MEC，则△NFD∽△MEC，进而得出∠MCD＝∠NDB，可得MC∥ND，结合
题意得出 ，即可求解．
【解答】解：如图所示，连接ND，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠ECD＝∠FDB，∠FBD＝∠EDC，∠BFD＝∠A，∠A＝DEC．
∴△FBD∽△EDC，∠NFD＝∠MEC．
∴ ＝ ，
∵DM＝2ME，BN＝2NF，
∴ ，ME＝ DE，
∴
∴ ，
又∵∠NFD＝∠MEC，
∴△NFD∽△MEC．
∴∠ECM＝∠FDN．
∵∠FDB＝∠ECD，
∴∠MCD＝∠NDB．
∴MC∥ND．
∴S△MNC ＝S△MDC ．
∵DM＝2ME，
∴ ．
故选：D．
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10．（2023•泰安）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠A＝36°．以点B为圆心，任意长为半径作弧，
交AB于点F，交BC于点G，分别以点F和点G为圆心，大于 FG的长为半径作弧，两弧相交于点
H，作射线BH交AC于点D；分别以点B和点D为圆心，大于 BD的长为半径作弧，两弧相交于M、
N两点，作直线MN交AB于点E，连接DE．下列四个结论：①∠AED＝∠ABC；②BC＝AE；③ED
＝ BC；④当AC＝2时，AD＝ ﹣1．其中正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，可得到△BCD也是含有36°角的等腰三角形，
进而得出AD＝BD＝BC，再根据三角形内角和定理和等腰三角形的判定，进一步得出 AE＝AD＝BD＝
BC，对①作出判断；在根据平行线的判定方法可得出DE∥BC，对①作出判断；由AE≠BE，可得DE
不是△ABC的中位线，对③作出判断，最后再根据相似三角形的判定和性质，得出△BCD∽△ABC，
进而求出BC，即AD即可对④作出判断．
【解答】解：由题意可知，BD是∠ABC的平分线，MN是线段BD的中垂线，
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠ACB＝ ＝72°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝ ∠ABC＝36°＝∠A，
∴AD＝BD，
在△BCD中，∠C＝72°，∠CBD＝36°，
∴∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°＝∠C，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，
∵MN是BD的中垂线，
∴EB＝ED，
∴∠BDE＝∠ABD＝36°＝∠CBD，
∴DE∥BC，
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∴∠AED＝∠ABC，
因此①正确，
∴AE＝AD＝BD＝BC，
因此②正确；
由于DE不是△ABC的中位线，
因此③不正确；
∵∠CBD＝∠BAC＝36°，∠BCD＝∠ACB＝72°，
∴△BCD∽△ABC，
∴ ＝ ，
即BC2＝AC•CD，
设BC＝x，则CD＝2﹣x，
∴x2＝2×（2﹣x），
解得x＝﹣1﹣ （舍去）或x＝ ﹣1，
即BC＝ ﹣1＝AD，
因此④正确，
综上所述，正确的结论有①②④，共有3个，
故选：C．
11．（2023•南通）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，则 ＝ ．
【分析】根据已知易证△ADE∽△ABC，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解．
【解答】解：∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴ ，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ＝（ ）2＝ ．
故答案为： ．
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12．（2023•鄂州）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A B C 位似，原点O是位似中心，且
1 1 1
＝3．若A（9，3），则A 点的坐标是 （ 3 ， 1 ） ．
1
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵△ABC与△A B C 位似，且原点O为位似中心，且 ＝3，点A（9，3），
1 1 1
∴ ×9＝3， ×3＝1，
即A 点的坐标是（3，1），
1
故答案为：（3，1）．
13．（2023•江西）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺
（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．如图，点 A，B，
Q在同一水平线上，∠ABC和∠AQP均为直角，AP与BC相交于点D．测得AB＝40cm，BD＝20cm，
AQ＝12m，则树高PQ＝ 6 m．
【分析】根据题意可知：△ABC∽△AQP，从而可以得到 ，然后代入数据计算，即可得到PQ
的长．
【解答】解：由题意可得，
BC∥PQ，AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，
∴△ABD∽△AQP，
∴ ，
即 ，
解得QP＝6，
∴树高PQ＝6m，
故答案为：6
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14．（2023•盘锦）如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），以点O为位似中心，
将△ABO缩小为原来的 ，得到△A′B′O，则点A′的坐标为 （ ， 2 ）或（﹣ ，﹣ 2 ） ．
【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的 ，可以得到△A'B'O，点A的坐标为
（2，6），
∴点A'的坐标是（2× ，6× ）或（2×（﹣ ），6×（﹣ ）），即（ ，2）或（﹣ ，﹣2）．
故答案为：（ ，2）或（﹣ ，﹣2）．
15．（2023•广东）边长分别为10，6，4的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上（如图），
则图中阴影部分的面积为 1 5 ．
【分析】根据相似三角形的性质，利用相似比求出梯形的上底和下底，用面积公式计算即可．
【解答】解：如图，
∵BF∥DE，
∴△ABF∽△ADE，
∴ ＝ ，
∵AB＝4，AD＝4+6+10＝20，DE＝10，
∴ ＝ ，
∴BF＝2，
∴GF＝6﹣2＝4，
∵CK∥DE，
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∴△ACK∽△ADE，
∴ ＝ ，
∵AC＝4+6＝10，AD＝20，DE＝10，
∴ ＝ ，
∴CK＝5，
∴HK＝6﹣5＝1，
∴阴影梯形的面积＝ （HK+GF）•GH
＝ （1+4）×6
＝15．
故答案为：15．
16．（2023•日照）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P在对角线BD上，过点P作MN⊥BD，交
边AD，BC于点M，N，过点M作ME⊥AD交BD于点E，连接EN，BM，DN．下列结论：
①EM＝EN；
②四边形MBND的面积不变；
③当AM：MD＝1：2时，S△MPE ＝ ；
④BM+MN+ND的最小值是20．
其中所有正确结论的序号是 ②③④ ．
【分析】①根据等腰三角形的性质判定；
②先根据三角形相似的性质求出对角线的长，再根据面积等于对角线乘积的一半求出面积；
③根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解；
④先根据轴对称确定最小值，再根据勾股定理求解．
【解答】解：①∵MN⊥BD，要使EM＝EN，需要MP＝NP，而P不一定是MN的中点，
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故①是错误的；
②如图1：延长ME交BC于F，
在矩形ABCD中，BD＝10，
∵ME⊥AD，MN⊥BD，
∴∠EMN+∠DMN＝∠EMN+∠MED＝90°，
∴∠DMN＝∠MED，
∵∠MFN＝∠A＝90°，
∴△MFN∽△DAB，
∴ ，即： ，
解得：FN＝4.5，MN＝7.5，
∴四边形MBND的面积为： ×BD×NM＝ ×10×7.5＝37.5，
故②是正确的；
③∵AB∥ME，
∴△ABD∽△MED，
∴ ，
∴ME＝4，
∵∠ADB＝∠EMN，∠MPB＝∠A＝90°，
∴△MEP∽△DBA，
∴ ＝（ ）2＝ ，
∵S△ABD ＝24，
∴S△MPE ＝ ，
故③是正确的；
④∵BM+MN+ND＝BM+ND+7.5，
当BM+ND最小时，BM+MN+ND的值最小，
作B、D关于AD、BC的对称点B′，D′，如图2：
把图2的CD′移到图3的C′D′，使得CD′＝4.5，连接B′D′，
则B′D′就是BM+ND的最小值，
∴B′D′＝ ＝12.5，
即BM+MN+ND的最小值是12.5+7.5＝20，
故④是正确的，
故答案为：②③④．
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17．（2023•上海）如图，在梯形 ABCD 中 AD∥BC，点 F，E 分别在线段 BC，AC 上，且∠FAC＝
∠ADE，AC＝AD．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF•CE．
【分析】（1）证明△ACF≌△DAE（ASA），即可解决问题；
（2）证明△ABF∽△CDE，得AF•DE＝BF•CE，结合（1）AF＝DE，即可解决问题．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACF＝∠DAC
∵∠FAC＝∠ADE，AC＝AD，
∴△ACF≌△DAE（ASA），
∴AF＝DE；
（2）∵△ACF≌△DAE，
∴∠AFC＝∠DEA，
∴∠AFB＝∠DEC，
∵∠ABC＝∠CDE，
∴△ABF∽△CDE，
∴ ＝ ，
∴AF•DE＝BF•CE，
∵AF＝DE，
∴AF2＝BF•CE．
18．阅读下列材料，回答问题．
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任务：测量一个扁平状的小水池的最大宽度，该水池东西走向的最大宽度AB远大于南北走
向的最大宽度，如图1．
工具：一把皮尺（测量长度略小于AB）和一台测角仪，如图2．皮尺的功能是直接测量任意
可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度）；测角仪的功能是测量角
的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得∠POQ的大小，如图3．
小明利用皮尺测量，求出了小水池的最大宽度AB．其测量及求解过程如下：
测量过程：
（ⅰ）在小水池外选点C，如图4，测得AC＝a m，BC＝b m；
（ⅱ）分别在AC，BC上测得CM＝ m，CN＝ m；测得MN＝c m．
求解过程：
由测量知，AC＝a，BC＝b，CM＝ ，CN＝ ，
∴ ＝ ＝ ，又∵① ∠ C ＝∠ C ，
∴△CMN∽△CAB，∴ ．
又∵MN＝c，∴AB＝② 3 c （m）．
故小水池的最大宽度为***m．
（1）补全小明求解过程中①②所缺的内容；
（2）小明求得AB用到的几何知识是 相似三角形的判定和性质 ；
（3）小明仅利用皮尺，通过5次测量，求得AB．请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等
几何量，并利用解直角三角形的知识求小水池的最大宽度AB，写出你的测量及求解过程．
要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用 ， ， …表示；测量次数不超过4次（测量的
几何量能求出AB，且测量的次数最少，才能得满分）．
α β γ
【分析】（1）利用相似三角形的判定和性质解决问题即可；
（2）利用相似三角形的判定和性质；
（3）（i）在小水池外选点C，如图，用测角仪在点B处测得∠ABC＝ ，在点A处测得∠BAC＝ ；
α β
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（ii）用皮尺测得 BC＝a m．由此求解即可，
【解答】解：（1）①由测量知，AC＝a，BC＝b，CM＝ ，CN＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
又∵∠C＝∠C，
∴△CMN∽△CAB，
∴ ．
又∵MN＝c，
∴AB＝3c（m）．
故答案为：∠C＝∠C； ②3c；
（2）求得AB用到的几何知识是：相似三角形的判定和性质．
故答案为：相似三角形的判定与性质；
（3）测量过程：（i）在小水池外选点C，如图，用测角仪在点B处测得∠ABC＝ ，在点A处测得
∠BAC＝ ；
α
（ii）用皮尺测得 BC＝a m．
β
求解过程：由测量知，在△ABC中，∠ABC＝ ，∠BAC＝ ，BC＝a．
过点C作 CD⊥AB，垂足为D．
α β
在Rt△CBD中， ，
即 ，所以BD＝acos ．
同理，CD＝asin ．
α
α
在Rt△ACD中， ，
即 ，所以 ，
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所以 ．
故小水池的最大宽度为 ．
19．（2023•泰安）如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，EF⊥AD；
（1）当AF＝DF时，求∠AED；
（2）求证：△EHG∽△ADG；
（3）求证： ．
【分析】（1）可推出AC是ED的垂直平分线，从而得出AE＝AD，根据题意得出AE＝ED，从而得出
△ADE是等边三角形，从而得出结果；
（2）可证得∠EGH＝∠AGD＝90°，∠DAG＝∠GEH，从而得出结论；
（3）根据（2）得出比例式 ＝ ，进而得出 ＝ ，根据等比的性质得出结论．
【解答】（1）解：∵△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，
∴∠ECD＝90°，∠ACB＝45°，EC＝DC，
∴∠ACD＝∠ECD﹣∠ACB＝90°﹣45°＝45°，
∴AC垂直平分ED，
∴AE＝AD，
∵EF⊥AD，
∴AE＝ED，
∴AD＝AE＝ED，
∴∠AED＝60°；
（2）证明：由（1）得：AC⊥ED，
∴∠AGD＝∠AGE＝90°，
∵EF⊥AD，
∴∠AFE＝90°，
∴∠AGE＝∠AFE，
∵∠EHG＝∠AHF，
∴∠DAG＝∠GEH，
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∴△EHG∽△ADG；
（3）证明：由（2）知：△EHG∽△ADG，
∴ ＝ ，
∵AD＝AE，
∴ ，
∵∠ECD＝90°，EG＝DG，
∴CG＝EG＝DG，
∴ ＝ ，
∴ ．
20．（2023•南京）在平面内，将一个多边形先绕自身的顶点A旋转一个角度 （0°＜ ＜180°），再将旋
转后的多边形以点A为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，称这种变换
θ θ
为自旋转位似变换．若顺时针旋转，记作T（A，顺 ，k）；若逆时针旋转，记作T（A，逆 ，k）．
例如：如图①，先将△ABC绕点B逆时针旋转50°，得到△A BC ，再将△A BC 以点B为位似中心缩
θ 1 1 1 1 θ
小到原来的 ，得到△A BC ，这个变换记作T（B，逆50°， ）．
2 2
（1）如图②，△ABC经过T（C，顺60°，2）得到△A′B′C，用尺规作出△A′B′C．（保留作图
痕迹）
（2）如图③，△ABC经过T（B，逆 ，k ）得到△EBD，△ABC经过T（C，顺 ，k ）得到△FDC，
1 2
连接AE，AF．求证：四边形AFDE是平行四边形．
α β
（3）如图④，在△ABC中，∠A＝150°，AB＝2，AC＝1．若△ABC经过（2）中的变换得到的四边形
AFDE是正方形．
Ⅰ．用尺规作出点D（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；
Ⅱ．直接写出AE的长．
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【分析】（1）旋转60°，可作等边三角形DBC，ACE，从而得出B点和点A对应点D，E，进而作出图
形；
（2）根据△EBD和△ABC位似，△FDC与△ABC位似得出∠EBD＝∠ABC， ， ，进
而推出△EBA∽△DBC，从而 ，进而得出AE＝DF，同理可得：DE＝AF，从而推出四边形
AFDE是平行四边形；
（3）要使 AFDE是正方形，应使∠EAF＝90°，AE＝AF，从而得出∠BAE+∠FAC＝270°﹣∠BAC＝
120°，从而得出∠DBC+∠DCB＝120°，从而∠BDC＝60°，于是作等边△BCG，保证∠BDC＝∠G＝
▱
60°，作直径BD，保证BD＝2CD，这样得出作法．
【解答】（1）解：如图1，
1．以B为圆心，BC为半径画弧，以C为圆心，BC为半径画弧，两弧在BC的上方交于点D，分别以
A，C为圆心，以AC为半径画弧，两弧交于点E，
2．延长CD至B′，使DB′＝CD，延长CE至A′，使A′E＝CE，连接A′B′，
则△A′B′C就是求作的三角形；
（2）证明：∵△EBD和△ABC位似，△FDC与△ABC位似，
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∴∠EBD＝∠ABC， ， ，
∴∠EBA＝∠DBC，
∴△EBA∽△DBC，
∴ ，
∴ ，
∴AE＝DF，
同理可得：DE＝AF，
∴四边形AFDE是平行四边形；
（3）解：如图2，
1．以BC为边在BC上方作等边三角形GBC，
2．作等边三角形BCG的外接圆O，作直径BD，连接CD，
3．作∠DBE＝∠ABC，∠BDE＝∠ACB，延长BA，交 O于F，连接CF，DF，
则四边形AFDE是正方形，
⊙
证明：由上知：△EBA∽△DBC，△FAC∽△DBC，
∴∠BAE＝∠DCB，∠FAC＝∠DBC， ， ，
∴∠BAE+∠FAC＝∠DBC+∠DBC，
要使 AFDE是正方形，应使∠EAF＝90°，AE＝AF，
▱
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∴∠BAE+∠FAC+∠BAC＝270°，BD＝2CD，
∴∠BAE+∠FAC＝270°﹣∠BAC＝270°﹣150°＝120°，
∴∠DBC+∠DCB＝120°，
∴∠BDC＝60°，
∴作等边△BCG，保证∠BDC＝∠G＝60°，作直径BD，保证BD＝2CD，这样得出作法；
∵∠ABE＝∠DBC＝30°，∠EAB＝∠BCD＝90°，AB＝2，
∴AE＝ AB＝ ．
（建议用时：45分钟）
1．（2023•长宁区一模）已知线段a、b、c、d是成比例线段，如果a＝1，b＝2，c＝3，那么d的值是（
）
A．8 B．6 C．4 D．1
【分析】根据成比例线段的概念可得a：c＝c：b，可求d的值．
【解答】解：∵线段a、b、c、d是成比例线段，a＝1，b＝2，c＝3，
∴a：b＝c：d，
即1：2＝3：d，
解得：d＝6．
故选：B．
2．（2024•长沙模拟）如图，在△ABC中，DE∥AB，且 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵DE∥AB，
∴ ＝ ＝ ，
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故选：A．
3．（2024•鞍山模拟）如图，已知D、E分别在△ABC的AB、AC边上，△ABC∽△AED，则下列各式成
立的是（ ）
A． B．AB•AD＝AE•AC
C． D．AD•DE＝AE•EC
【分析】根据相似三角形的性质，写出各边的比例关系，然后根据比例的基本性质求解即可．
【解答】解：∵△ABC∽△AED，
∴ ＝ ＝ ，
∵ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ， ≠ ，
∴ ，故A错误；
∵ ＝ ，
∴AB•AD＝AC•AE，故B正确；
∵ ＝ ，AE≠AD，
∴ ，故C错误；
∵AE•EC＝AE（AC﹣AE）＝AE•AC﹣AE2＝AB•AD﹣AE2，AD•DE＝AD ＝ •AD2，
∴无法推出AD•DE＝AE•EC，故D错误．
故选：B．
4．（2023•宁波模拟）矩形相邻的两边长分别为25和x（x＜25），把它按如图所示的方式分割成五个全
等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似，则x的值为（ ）
A．5 B．5 C．5 D．10
【分析】根据相似多边形的性质得出比例式，即可得到答案．
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【解答】解：∵原矩形的长为25，宽为x，
∴小矩形的长为x，宽为 ＝5，
∵小矩形与原矩形相似，
∴ ，
解得：x＝5 或﹣5 （舍去），
故选：B．
5．（2024•深圳模拟）一段加固后的护栏如图所示，该护栏竖直部分是由等距（任意相邻两根木条之间的
距离相等）且平行的木条构成．已知AC＝50cm，则BC的长度为（ ）
A．20cm B．25cm C．30cm D．
【分析】由平行线分线段成比例可得出答案．
【解答】解：过点C作CD⊥AM交AM于点D，交BN于点E，
∵BE∥AD，
∴ ，
∵AC＝50cm，
∴BC＝30cm．
故选：C．
6．（2024•石家庄一模）如图，在△ABC中，DE∥BC，若 ，△ADE的面积为4，则△ABC的面积
为（ ）
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A．6 B．8 C．9 D．16
【分析】根据△ADE∽△ABC的相似比可得到其面积比等于相似比的平方，即可根据此求得△ABC的
面积．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴△ADE∽△ABC，
又∵ ，
∴ ，
∵S△ADE ＝4，
∴S△ABC ＝9，
故选：C．
7．（2024•南昌一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点O为位似中心，把线段AB放大后得到线
段CD．若点A（1，2），B（2，0），D（5，0），则点A的对应点C的坐标是（ ）
A．（2，5） B．（ ，5） C．（3，5） D．（3，6）
【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点坐标的关系．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段 AB放大后得到线段CD，且B（2，0），D（5，0），
∴ ＝ ，
∵A（1，2），
∴C（ ，5）．
故选：B．
8．（2023•潜山市模拟）如图，在平行四边形FBCE中，点J，G分别在边BC，EF上，JG∥BF，四边形
ABCD～四边形HGFA，相似比k＝3，则下列一定能求出△BIJ面积的条件（ ）
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A．四边形HDEG和四边形AHGF的面积之差
B．四边形ABCD和四边形HDEG的面积之差
C．四边形ABCD和四边形ADEF的面积之差
D．四边形JCDH和四边形HDEG的面积之差
【分析】分别过点A，D作BC的平行线，根据相似比，找出对应相似图形的面积关系，然后找出符合
的选项即可．
【解答】解：如图，分别过点A，D作BC的平行线交CE于点M，交BF于点N，
∵四边形ABCD～四边形HGFA，相似比k＝3，
∴CD＝3AF＝3ME，BC＝3FG＝3BJ，△BCD～△BJI，相似比k＝3，
则S平行四边形BCDN ＝3S平行四边形MEFA ＝2S△BCD ，9S△BJI ＝S△BCD ，
∵S△ADN ＝S△ADM ，
∴S四边形ABCD ﹣S四边形ADEF ＝S
BCDN
﹣S
MEFA
＝ S△BCD ＝12S△BIJ ，选项C符合题意，
故选：C． ▱ ▱
9．（2024•应县一模）如图，这是一把折叠椅子及其侧面的示意图，线段 AE和BD相交于点C，点F在
AE的延长线上，测得AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，若∠BAC＝60°，则∠DEF的度
数为（ ）
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A．120° B．125° C．130° D．135°
【分析】根据已知易得： ＝ ＝ ，从而可得△ACB∽△ECD，然后利用相似三角形的性质可得
∠BAC＝∠DEC＝60°，从而利用平角定义进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，
∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵∠ACB＝∠DCE，
∴△ACB∽△ECD，
∴∠BAC＝∠DEC＝60°，
∴∠DEF＝180°﹣∠DEC＝120°，
故选：A．
10．（2024•鞍山模拟）如图，正方形网格图中的△ABC与△A′B′C是位似关系图，则位似中心是（
）
A．点R B．点P C．点Q D．点O
【分析】根据位似变换的性质，连接AA′，BB′，CC′，交点即为位似中心，据此解答．
【解答】解：如图：
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∴点O是位似中心．
故选：D．
11．（2023•南岳区一模）如图，有一块直角边AB＝4cm，BC＝3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成
一个正方形（加工中的损耗忽略不计），则正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三
角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE＝x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可
得．
【解答】解：如图，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC ＝ •AB•BC＝ •AC•BP，
∴BP＝ ＝ ＝ ．
∵DE∥AC，
∴∠BDE＝∠A，∠BED＝∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴ ＝ ．
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设DE＝x，则有： ＝ ，
解得x＝ ，
故选：D．
12．如图是一个由A，B，C三种相似的直角三角形纸片（相似比相同）拼成的矩形，相邻纸片之间互不重
叠也无缝隙，其中A，B，C的纸片的面积分别S ，S ，S ，若S ＞S ＞S ，则这个矩形的面积一定可以
1 2 3 1 2 3
表示为（ ）
A．4S B．6S C．4S +3S D．3S +4S
1 2 2 3 1 3
【分析】如图，由A、B、C三种直角三角形相似，设相似比为k，EF＝m，则GH＝mk，FH＝mk2．想
办法构建方程，求出k定值，证明S +S ＝S 即可解决问题；
2 3 1
【解答】解：如图，由A、B、C三种直角三角形相似，设相似比为 k，EF＝m，则GH＝mk，FH＝
mk2．
∴EH＝m（1+k2），FM＝ ，FK＝km（1+k2），
则有：km（1+k2）+mk＝ ，
整理得：k4+k2﹣1＝0，
∴k2＝ 或 （舍去），
∴S ＝ S ，S ＝（ ）2S ＝ S ，
2 1 3 1 1
∴S +S ＝S ，
2 3 1
∴这个矩形的面积＝2S +2（S +S ）＝4S ，
1 2 3 1
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故选：A．
13．（2023秋•包河区期中）如图，点D，E，F分别在△ABC的边上， ，DE∥BC，EF∥AB，点M
是DF的中点，连接CM并延长交AB于点N， 的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】过点F作FG∥CN交AB于点G，证明MN是△DGF的中位线，得GF＝2MN，由GF∥CN，
EF∥AB，得四边形GFHN是平行四边形，证明MH＝MN，设MH＝MN＝a，则GF＝2a，然后证明CN
＝4GF＝8a，所以CH＝CN﹣NH＝8a﹣2a＝6a，得CM＝CH+MH＝6a+a＝7a，进而可以解决问题．
【解答】解：过点F作FG∥CN交AB于点G，
∵点M是DF的中点，
∴N是DG的中点，
∴MN是△DGF的中位线，
∴GF＝2MN，
∵GF∥CN，EF∥AB，
∴四边形GFHN是平行四边形，
∴NH＝GF＝2MN，
∴MH＝MN，
设MH＝MN＝a，则GF＝2a，
∵DE∥BC，
△ADE∽△ABC，
∴ ＝ ＝ ，
∴BC＝4DE，
∵EF∥AB，DE∥BC，
∴四边形DEFB是平行四边形，
∴DE＝BF，
∵FG∥CN，
∴ ＝ ，
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∵ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CN＝4GF＝8a，
∴CH＝CN﹣NH＝8a﹣2a＝6a，
∴CM＝CH+MH＝6a+a＝7a，
∴ ＝ ＝ ，
故选：D．
14．（2024•深圳模拟）若 ，则 的值为 ．
【分析】根据两内项之积等于两外项之积用a表示出b，然后代入比例式进行计算即可得解．
【解答】解：∵ ＝ ，
∴b＝ a，
∴ ＝ ＝ ．
故答案为： ．
15．（2024•鞍山模拟）图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交
于点O，AB∥CD，根据图2中的数据可得x的值为 0.9 6 ．
【分析】在图 2 中，过点 O 作 MN⊥AB 于点 M，MN 交 CD 于点 N，则 ON＝x，OM＝1.2，由
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AB∥CD，可得出△OCD∽△OBA，再利用相似三角形的性质，即可求出x的值．
【解答】解：在图2中，过点O作MN⊥AB于点M，MN交CD于点N，则ON＝x，OM＝1.2，
∵AB∥CD，
∴△OCD∽△OBA，
∴ ＝ ，
∴即 ＝ ，
∴x＝0.96．
故答案为：0.96．
16．（2024•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心、BA为半径画劣弧 交射线
CB于点D，M为 的中点，联结CM、AD，CM分别交AB、AD于点E、F，如果点B是线段CD的黄
金分割点，则cos∠ABC＝ ．
【分析】根据题意可得：BD＝BA，然后利用黄金分割的定义可得 ＝ ＝ ，从而在Rt△ABC
中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：BD＝BA，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴AB＞BC，
∴BD＞BC，
∵点B是线段CD的黄金分割点，
∴ ＝ ＝ ，
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∴cos∠ABC＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
17．（2024•雁塔区校级二模）视力表对我们来说并不陌生，它蕴含着一定的数学知识．下面我们以标准
对数视力表为例，来探索视力表中的奥秘．
用硬纸板复制视力表中所对应的“E”，并依次编号为①，②，放在水平桌面上．如图所示，将②号
“E”沿水平桌面向右移动，直至从观测点O看去，对应顶点P ，P ，O在一条直线上为止．这时我们
1 2
说，在D 处用①号“E”测得的视力与在D 处用②号“E”测得的视力相同．
1 2
（1）探究图中 与 之间的关系，请说明理由；
（2）若b ＝3.2cm，b ＝2cm，①号“E”的测量距离l ＝80cm，要使测得的视力相同，求②号“E”
1 2 1
的测量距离l ．
2
【分析】（1）根据相似三角形的对应边成比例解答；
（2）根据相似三角形的对应边成比例代入数据进行计算．
【解答】解：（1）相等，
理由：∵P D ∥P D ，
1 1 2 2
∴△P D O∽△P D O，
1 1 2 2
∴ ，
即 ＝ ．
（2）∵ ＝ 且b ＝3.2cm，b ＝2cm，l ＝80cm，
1 2 1
∴ ，
∴l ＝50，
2
答：②号“E”的测量距离l 是50cm．
2
18．（2024•青山湖区模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，点D关于直线AB对称点
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为E，连接DE交AB于点F，连接BE．
（1）如图1，若∠C＝50°，则∠EBF＝ 5 0 °，∠BDE＝ 4 0 °；
（2）如图2，若∠C＝45°，求证： ．
【分析】（1）由等腰三角形的性质∠ABC＝∠C＝50°，由轴对称的性质可得∠ABC＝∠ABE＝50°，BE
＝BD，AB⊥DE，即可求解；
（2）通过证明△BDF∽△BCA，可得 ，即可求解．
【解答】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝50°，
∵点D关于直线AB对称点为E，
∴∠ABC＝∠ABE＝50°，BE＝BD，AB⊥DE，
∴∠BDE＝40°，
故答案为：50，40；
（2）证明：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝45°，
∴∠BAC＝90°，
∵点D关于直线AB对称点为E，
∴∠ABC＝∠ABE＝45°，BE＝BD，AB⊥DE，
∴CA∥DE，
∴△BDF∽△BCA，
∴ ，
∴ ．
19．（2023•西安三模）党的二十大报告提出要“全面推进乡村振兴”，这是对党的十九大报告所提出的
“实施乡村振兴战略”的进一步发展，彰显出新时代新征程在工农城乡关系布局上的深远谋划，为不断
推进乡村振兴、加快农村现代化进程指明了方向某市为了加快城乡发展，保障市民出行方便，在流经该
市的河流上架起一座桥，连通南北，铺就城市繁荣之路．小明和小颖想通过自己所学的数学知识计算该
桥AF的长．如图，该桥两侧河岸平行，他们在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河岸的这一边选
出点B和点C，分别在AB、AC的延长线上取点D、E，使得DE∥BC．经测量，BC＝120米，DE＝210
米，且点E到河岸BC的距离为60米．已知AF⊥BC于点F，请你根据提供的数据，帮助他们计算桥
AF的长度．
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【分析】过E作EG⊥BC于G，依据△ABC∽△ADE，即可得出 ，依据△ACF∽△ECG，即可得
到 ，进而得出AF的长．
【解答】解：如图所示，过E作EG⊥BC于G，
∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE，
∴ ＝ ，
∴ ，
∵AF⊥BC，EG⊥BC，
∴AF∥EG，
∴△ACF∽△ECG，
∴ ，即 ，
解得AF＝80，
∴桥AF的长度为80米．
20．（2024•鞍山模拟）在△ABC中，AB＝2，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，且CN∥BM，MA
的延长线与CN交于点P，若AM＝3， ．
（1）求证：△ABM∽△CBN；
（2）求AP的长．
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【分析】（1）由旋转易得 AB＝MB，BC＝BN，∠ABC＝∠MBN，进而可得 ，∠ABM＝
∠CBN，以此即可证明△ABM∽△CBN；
（2）由△ABM∽△CBN得∠BMA＝∠BNC，由CN∥BM得∠BMA＝∠APN，由BC＝BN得∠BNC＝
∠BCN，以此可得∠APN＝∠BCN，则BC∥MP，于是可知四边形BCPM为平行四边形，BC＝PM，利
用△ABM∽△CBN的对应边成比例，求得CB＝5＝PM，则AP＝PM﹣AM．
【解答】（1）证明：∵将△ABC绕点B逆时针旋转得到△MBN，
∴AB＝MB，BC＝BN，∠ABC＝∠MBN，
∴ ，
∴∠MBN+∠ABN＝∠ABC+∠ABN，即∠ABM＝∠CBN，
∴△ABM∽△CBN；
（2）解：由（1）知，△ABM∽△CBN，
∴∠BMA＝∠BNC，
∵CN∥BM，
∴∠BMA＝∠APN，
∴∠APN＝∠BNC，
又∵BC＝BN，
∴∠BNC＝∠BCN，
∴∠APN＝∠BCN，
∴BC∥MP，
∴四边形BCPM为平行四边形，
∴BC＝PM，
∵△ABM∽△CBN，
∴ ，即 ，
∴CB＝5＝PM，
∴AP＝PM﹣AM＝5﹣3＝2．
21．（2023•顺德区一模）如图，四边形ABCD为正方形，且E是边BC延长线上一点，过点B作BF⊥DE
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于F点，交AC于H点，交CD于G点．
（1）求证：△BGC∽△DGF；
（2）求证：GD•AB＝DF•BG；
（3）若点G是DC中点，求 的值．
【分析】（1）由相似三角形的判定可证△BGC∽△DGF；
（2）由相似三角形的性质可得 ，而AB＝BC，即可证明；
（3）首先利用AAS证明△BGC≌△DEC，得CG＝EC，由△BGC∽△DGF，得GF：DG＝CG：BG，
在Rt△BGC中，设CG＝x，则BC＝2x，BG＝ x，从而得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝∠ADC＝90°，AB＝BC，
∵BF⊥DE，
∴∠GFD＝90°，
∴∠BCD＝∠GFD，
∵∠BGC＝∠FGD，
∴△BGC∽△DGF；
（2）证明：∵△BGC∽△DGF，
∴ ，
∴DG•BC＝DF•BG，
∵AB＝BC，
∴DG•AB＝DF•BG；
（3）解：∵△BGC∽△DGF，
∴∠FDG＝∠CBG，
在△BGC与△DEC中，
，
∴△BGC≌△DEC（AAS），
∴CG＝EC，
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∵G是CD中点，
∴CG＝DG，
∴GF：CE＝GF：DG，
∵△BGC∽△DGF，
∴GF：DG＝CG：BG，
在Rt△BGC中，设CG＝x，则BC＝2x，BG＝ x，
∴CG：BG＝ ，
∴GF：CE＝ ．
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