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重难点突破 01 数式、图形与函数的规律探索问题
目 录
类型一 数式规律
题型01 记数类规律
题型02 系数规律
题型03 等式类规律
题型04 数阵类规律
题型05 末尾数字规律
题型06 杨辉三角
题型07 与实数运算有关的规律题
类型二 图形规律
题型01 图形固定累加型
题型02 图形渐变累加型
题型03 图形个数分区域累加型
题型04 图形循环规律
题型05 与几何图形有关的规律探索
类型三 函数规律
题型01 函数图象规律
题型02 函数上点的规律
题型03 函数图象与几何图形的规律
类型四 新定义类规律
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类型一 数式规律
关于数式规律性问题的一般解题思路：
(1)先对给出的特殊数式进行观察、比较;
(2)根据观察猜想、归纳出一般规律;
(3)用得到的规律去解决其他问题
1.数字猜想型:数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过
适当的计算回答问题。
2.数式规律型:数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论,以列代数式即函
数关系式为主要内容.
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题型 01 记数类规律
1．（2023·浙江衢州·校考一模）观察下列数据：0，3，8，15，24，…，它们是按一定规律排列的，依照
此规律，第201个数据是（ ）
A．40400 B．40040 C．4040 D．404
1 4 7 10
2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）按一定规律排列的数据依次为 ， ， ， ……按此规律
2 5 10 17
排列，则第30个数是 ．
3．（2020·西藏·统考中考真题）观察下列两行数：
1，3，5，7，9，11，13，15，17，…
1，4，7，10，13，16，19，22，25，…
探究发现：第1个相同的数是1，第2个相同的数是7，…，若第n个相同的数是103，则n等于（ ）
A．18 B．19 C．20 D．21
4．（2022·湖南怀化·统考模拟预测）正偶数2，4，6，8，10，……，按如下规律排列，
2
4 6
8 10 12
14 16 18 20
……
则第27行的第21个数是 ．
题型 02 系数规律
5．（2023·四川成都·校考一模）探索规律：观察下面的一列单项式：x、−2x2、4x3、−8x4、16x5、…，
根据其中的规律得出的第9个单项式是（ ）
A．−256x9 B．256x9 C．−512x9 D．512x9
6．（2020·云南·统考中考真题）按一定规律排列的单项式：a，−2a，4a，−8a，16a，−32a，…，第
n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
(−2) n−1a (−2) na 2n−1a 2na
7．（2023·云南昆明·昆明八中校考三模）按一定规律排列的单项式：−x，3x2，−5x3，7x4，−9x5，…，
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第n个单项式是（ ）
A． B． C． D．
(2n−1)(−x) n (2n+1)(−x) n (2n+1)xn (2n−1)xn
题型 03 等式类规律
8．（2023·浙江嘉兴·统考中考真题）观察下面的等式：
32−12=8×1,52−32=8×2,72−52=8×3,92−72=8×4,⋯
(1)写出192−172的结果．
(2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数）
(3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的．
9．（2022·安徽·统考中考真题）观察以下等式：
第1个等式： ，
(2×1+1) 2=(2×2+1) 2−(2×2) 2
第2个等式： ，
(2×2+1) 2=(3×4+1) 2−(3×4) 2
第3个等式： ，
(2×3+1) 2=(4×6+1) 2−(4×6) 2
第4个等式： ，
(2×4+1) 2=(5×8+1) 2−(5×8) 2
……
按照以上规律．解决下列问题：
(1)写出第5个等式：________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
10．（2022·安徽淮南·统考二模）（1）初步感知，在④的横线上直接写出计算结果：
① ；② ；③ ；④ __________；…
√13=1 √13+23=3 √13+23+33=6 √13+23+33+43=
（2）深入探究，观察下列等式：
(1+2)×2 (1+3)×3 (1+4)×4
①1+2= ；②1+2+3= ；③1+2+3+4= ；…
2 2 2
根据以上等式的规律，在下列横线上填写适当内容：
1+2+3+⋯+n+(n+1)=__________．
（3）拓展应用，通过以上初步感知与深入探究，计算：
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① ；
√13+23+33+…+993+1003
②113+123+133+…+193+203．
题型 04 数阵类规律
11．（2023·湖南常德·统考中考真题）观察下边的数表（横排为行，竖排为列），按数表中的规律，分数
20
若排在第a行b列，则a−b的值为( )
2023
1
1
1 2
2 1
1 2 3
3 2 1
1 2 3 4
4 3 2 1
……
A．2003 B．2004 C．2022 D．2023
12．（2018·湖北十堰·中考真题）如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9
行从左至右第5个数是（ ）
¿ ¿1 ¿
¿
A．2√10 B．√41 C．5√2 D．√51
13．（2023·安徽合肥·统考一模）将从1开始的连续自然数按以下规律排列：
请根据上述规律解答下面的问题：
(1)第6行有______个数；第n行有______个数（用含n的式子表示）；
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(2)若有序数对(n，m)表示第n行，从左到右第m个数，如(3，2)表示6．
①求(11，20)表示的数；②求表示2023的有序数对．
题型 05 末尾数字规律
14．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学
模型．在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型2n来表
示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，请你推算22022的个位数字是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
15．（2023·河南南阳·统考一模）观察下列等式：70=1，71=7，72=49，73=343，74=2401，
75=16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+⋯+72023的结果的个位数字是（ ）
A．0 B．1 C．7 D．8
16．（2022·湖南湘西·校考模拟预测）观察下列等式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，
⋅⋅⋅，根据这个规律，则21+22+23+24+⋅⋅⋅+22022的末尾数字是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
题型 06 杨辉三角
17．（2023·四川成都·模拟预测）我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出如图，此表揭
示了 （n为非负整数）展开式的各项系数的规律，例如：
(a+b) n
，展开式有两项，系数分别为1，1；
(a+b) 1=a+b
，展开式有三项，系数分别为1，2，1；
(a+b) 2=a2+2ab+b2
，展开式有四项，系数分别为1，3，3，1；
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
…
根据以上规律，（a＋b）4展开式共有五项，系数分别为 ．
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18．（2023·黑龙江大庆·统考中考真题）1261年，我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提到
了如图所示的数表，人们将这个数表称为“杨辉三角”．
观察“杨辉三角”与右侧的等式图，根据图中各式的规律， 展开的多项式中各项系数之和为 ．
(a+b) 7
19．（2022下·重庆·九年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）我国古代数学的许多发现都曾位于世界前列，其
中杨辉三角（如图）就是一例．这个三角形给出了 （ ）的展开式（按a的次数由
(a+b) n n=1,2,3,4,5,6…
大到小顺序排列）的系数规律．例如在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应
(a+b) 2=a2+2ab+b2
展开式中各项的系数；第四行的五个数1，4，6，4，1，恰好对应着
展开式中各项的系数等等．有如下结论：①“杨辉三角”中第9行
(a+b) 4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4
所有数之和1024；②“杨辉三角” 中第20行第3个数为190；③ ；④
(a+b) 3=a3−3a2b−3ab2+b3
993+3×992+3×99+1的结果是106；⑤当代数式a4+8a3+24a2+32a+16的值是1时，a的值是−1或
−3．上述结论中，正确的有（ ）
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A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
20．（2022·重庆巴南·统考模拟预测）“杨辉三角”给出了 展开式的系数规律（其中n为正整数，
(a+b) n
展开式的项按a的次数降幕排列），它的构造规则是：两腰上都是数字1，而其余的数则是等于它肩上的
两个数之和．例如： 展开式的项的系数1，2，1与“杨辉三角”第三排对应：
(a+b) 2=a2+2ab+b2
展开式的项的系数1，3，3，1．与“杨辉三角”第四排对应；依此类
(a+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3
推……判断下列说法正确的是（ ）
①“杨辉三角”第六排数字依次是：1，5，10，10，5，1；
②当a=2,b=−1时，代数式a3+3a2b+3ab2+b3的值为−1；
③ 展开式中所有系数之和为 ；
(a+b) 2022 22022
④当代数式a4−8a3+24a2−32a+16的值为1时，a=1或3．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
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题型 07 与实数运算有关的规律题
1 2
21．（2022·湖北恩施·统考中考真题）观察下列一组数：2， ， ，…，它们按一定规律排列，第n个数
2 7
1 1 2
记为a ，且满足 + = ．则a = ，a = ．
n a a a 4 2022
n n+2 n+1
1 1 1
22．（2021·湖北鄂州·统考中考真题）已知a 为实数﹐规定运算：a =1− ，a =1− ，a =1− ，
1 2 a 3 a 4 a
1 2 3
1 1
a =1− ，……，a =1− ．按上述方法计算：当a =3时，a 的值等于（ ）
5 a n a 1 2021
4 n−1
2 1 1 2
A．− B． C．− D．
3 3 2 3
23．（2020·浙江金华·统考一模）求1＋2＋22＋23＋…＋22020的值，可令S＝1＋2＋22＋23＋…＋22020，则2S
＝2＋22＋23＋24＋…＋22021，因此2S－S＝22021－1．仿照以上推理，计算出1＋2020＋20202＋20203＋…＋
20202020的值为（ ）
20202020−1 20202021−1 20202021−1 20202020−1
A． B． C． D．
2020 2020 2019 2019
24．（2023·浙江·统考一模）有一列数，记为a ，a ，…，a ，记其前n项和为S =a +a +⋅⋅⋅+a ，定
1 2 n n 1 2 n
S +S +⋅⋅⋅+S
义T = 1 2 n为这列数的“亚运和”，现有99个数a ，a ，…，a ，其“亚运和”为1000，
n n 1 2 99
则1，a ，a ，…，a 这100个数的“亚运和”为（ ）
1 2 99
A．791 B．891 C．991 D．1001
√5−1
25．（2022·四川达州·统考中考真题）人们把 ≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法
2
√5−1 √5+1 1 1 2 2
中的“0.618法”就应用了黄金比．设a= ，b= ，记S = + ，S = + ，
2 2 1 1+a 1+b 2 1+a2 1+b2
100 100
…，S = + ，则S +S +⋯+S = ．
100 1+a100 1+b100 1 2 100
26．（2021·湖南怀化·统考中考真题）观察等式：2+22=23−2，2+22+23=24−2，2+22+23+24=25−2，
……，已知按一定规律排列的一组数：2100，2101，2102，……，2199，若2100=m，用含m的代数式表示这
组数的和是 ．
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27．（2021·四川眉山·统考中考真题）观察下列等式： √ 1 1 3 1 ；
x = 1+ + = =1+
1 12 22 2 1×2
√ 1 1 7 1 ；
x = 1+ + = =1+
2 22 32 6 2×3
√ 1 1 13 1 ；
x = 1+ + = =1+
3 32 42 12 3×4
……
根据以上规律，计算x +x +x +⋯+x −2021= ．
1 2 3 2020
28．（2023·内蒙古·统考中考真题）观察下列各式：
√ 1 1 1 ， √ 1 1 1 ， √ 1 1 1 ，…
S = 1+ + =1+ S = 1+ + =1+ S = 1+ + =1+
1 12 22 1×2 2 22 32 2×3 3 32 42 3×4
请利用你所发现的规律，计算：S +S +⋯+S = ．
1 2 50
类型二 图形规律
方法总结：解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前
一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．
题型 01 图形固定累加型
解题技巧：对于图形固定累加首先要确定基础图形中含所求图形的个数a,在确定出后一个图形在前一个图
形的基础上累加的所求图形的个数 b(即固定累加图形个数)，再根据固定累加的图形规律推导出与序数 n
有关的关系式为a+b(n-1).
29．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②
个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则
第⑦个图案中圆圈的个数为（ ）
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A．14 B．20 C．23 D．26
30．（2023·山西·统考中考真题）如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的圆片组成．第1个图
案中有4个白色圆片，第2个图案中有6个白色圆片，第3个图案中有8个白色圆片，第4个图案中有10
个白色圆片，…依此规律，第n个图案中有 个白色圆片（用含n的代数式表示）
31．（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，用相同的圆点按照一定的规律拼出图形．第一幅图4个圆点，
第二幅图7个圆点，第三幅图10个圆点，第四幅图13个圆点……按照此规律，第一百幅图中圆点的个数
是（ ）
A．297 B．301 C．303 D．400
32．（2023·四川遂宁·统考中考真题）烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为
燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、
癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为CH ，
4
乙烷的化学式为C H ，丙烷的化学式为C H ……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化
2 6 3 8
学式为 ．
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题型 02 图形渐变累加型
解题技巧：对于个数不固定,
1）首先观察图形，直接可以从图形或者补全图形后就能找出规律，根据图形摆放形状的规律总结推导出
关系式即可.
2）如果图形也看不出规律的应该先数出所求图形的个数,在比较后一个图形和前一个图形通过作差(商)来
观察图形个数或将图形个数与n进行对比，寻找是否与n有关的平方、平方加1、平方减1等关系,从而总
结规律推导出关系式.
33．（2021·湖北十堰·统考一模）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2
幅图中有5个正方形……按这样的规律下去，第9幅图中正方形正的个数为（ ）
A．180 B．204 C．285 D．385
34．（2023·重庆江北·校考一模）下列图形都是由相同的小正方形按照一定规律摆放而成的，照此规律排
列下去，第1个图形中小正方形的个数是3个，第2个图形中小正方形的个数是8个，第3个图形中小正
方形的个数是15个，第9个图形中小正方形的个数是（ ）
A．100 B．99 C．98 D．80
35．（2021·黑龙江绥化·统考中考真题）下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三
角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n个图形中
三角形个数是 ．
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36．（2023·广东·统考二模）如图是由同样大小的圆按一定规律排列所组成的，其中第1个图形中一共有4
个圆，第2个图形中一共有8个圆，第3个图形中一共有14个圆，第4个图形中一共有22个圆．……按此
规律排列下去，现已知第n个图形中圆的个数是134个，则n= ．
题型 03 图形个数分区域累加型
解题技巧：首先应观察图形区分图形累加的各部分,分别求出各部分累加规律,再将各部分关系式相加,得
到第n项（某项)图形的数量与序数关系式.
37．（2021·内蒙古鄂尔多斯·统考中考真题）将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个
“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有 个“〇”．
38．（2021下·重庆巴南·九年级校考期中）下列图形都是由同样大小的圆按一定的规律组成，其中，第①
个图形中一共有2个圆；第②个图形中一共有7个圆；第③个图形中一共有16个圆；第④个图形中一共有
29个圆，…，则第⑦个图形中圆的个数为（ ）
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A．67 B．92 C．113 D．121
39．（2020·海南·统考中考真题）海南黎锦有着悠久的历史，已被列入世界非物质文化遗产名录．图是黎
锦上的图案，每个图案都是由相同菱形构成的，若按照第1个图至第4个图中的规律编织图案，则第5个图
中有 个菱形， 第n个图中有 个菱形(用含n的代数式表示)．
40．（2020·贵州黔西·统考中考真题）如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①
个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律
排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为 ．
题型 04 图形循环规律
解题技巧： ①先找出一个周期的图形个数n:
②N(第N个)÷n=b……m(0≤m0)的图象上，过P A的中点B 作矩形B A A P ，使顶点
1 x 1 1 1 1 2
P 落在反比例函数的图象上，再过P A 的中点B 作矩形B A A P ，使顶点P 落在反比例函数的图象上，
2 2 1 2 2 1 2 3 3
…，依此规律可得：
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（1）点P 的坐标为
2
（2）作出矩形B A A P 时，落在反比例函数图象上的顶点P 的坐标为 ．
18 17 18 19 19
类型四 新定义类规律
解题技巧：新定义运算的规律其实是这几种规律当中最为简单的一种，因为其规律都是由题目给出的，想
要找到其规律，需要从所给的条件当中进行简单的推论.这时候就考验大家的观察能力，以及对数字的敏
感程度.
65．（2022·湖南株洲·统考二模）定义一种关于整数n的“F”运算：（1）当n是奇数时，结果为3n+5；
n n
（2）当n是偶数时，结果是 （其中k是使 是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n=58，
2k 2k
第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74，……；若
n=9，则第2020次运算结果是（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
66．（2022·湖南永州·统考二模）定义运算：把1×2×3×⋅⋅⋅×n缩写为n！，n！叫做n的阶乘，如3！
=1×2×3=6，4！=1×2×3×4=12．请你化简1！×1＋2！×2＋3！×3＋…＋n！×n，得（ ）
A．（n＋1）！－1 B．n！－1
C．（n＋1）！ D．（n＋1）！＋1
67．（2023·四川成都·统考中考真题）定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且
m−n>1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16=52−32，16就是一个智慧优数，可以利用
进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是 ；第23个
m2−n2=(m+n)(m−n)
智慧优数是 ．
xy
68．（2020·四川成都·统考二模）定义运算x★y＝ ，则共
x+ y
⏟2020★2020★2020★…2020★2020★
100个★的计算结果是 ．
共100个★
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