文档内容
B01 整式的加减与幂的运算复习
考情链接
1. 本次任务由三个部分构成
（1）整式的概念
（2）整式的加减运算
（3）幂的运算
2. 考情分析
（1）整式的基本概念，以填空选择的形式考察，幂的运算和整式的乘法在选填和解答题中
均有涉及．
（2）本讲知识属于数与式，整式的概念包括单项式、多项式、整式的加减；幂的运算涉及
同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方；整式的乘法主要考察单项式与单项式、单项式与多
项式以及多项式与多项式运算；是后期各类运算的基础．
（3）对应教材：初一上册，第九章：整式.
环节 需要时间
作业讲解及复习 10分钟
切片 1：整式的概念 25分钟
切片 2：整式的加减运算 30分钟
切片 3：幂的运算 30分钟
出门测 15分钟
错题整理 10分钟
1知识加油站 1——整式的概念【建议时长：25分钟】
考点一：代数式的概念
知识笔记 1
1、字母表示数书写口诀：
_______________________________________________________________________________
2、代数式的概念：
用运算符号和括号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式．
注：（1）__________________________________________________________
（2）“=”不是运算符号，不能将等式与代数式混淆；
（3）若结果中有多个字母，习惯上按26个字母的先后顺序．
【填空答案】
1、数字在前乘变点、相除写成分数线、带分数化假分数、遇到单位括号添．
2、单独一个数或一个字母也是代数式；
例题1:
（1）（★★☆☆☆）（2023•静安区校级月考）下列各式中，符合代数式书写要求的是
2
( )
3 a2 −b2
A．1 x2 B．a3 C．ab2 D．
4 3
（2）（★★☆☆☆）（2023•闵行区校级月考）设某数为 x ，20 减去某数的 3 倍的差是 ．
（3）（★★☆☆☆）“ a 与 b 的平方的差”用代数式表示为 ．
（4）（★★☆☆☆）（2023•静安区校级月考）如果 x = 2 ，y=3，那么 2 x − 3 y = ．
3 7
【常规讲解】（1）解：A．1 x2应表示为 x2，故A错误；
4 4
B ．a3应表示为3a，故 B 错误；
C
ab
．ab2应该表示为 ，故
2
C 错误；
a2 −b2
D． 符合代数式书写要求，故D正确；
3
故选：D．（2）解：由题意得：
3
2 0 − 3 x ，
故答案为： 2 0 − 3 x ．
（3）解：依题意得：“ a 与 b 的平方的差”用代数式表示为 a − b 2 ．
故答案为： a − b 2 ．
（4）解：把 x = 2 ，y=3代入 2 x − 3 y 得：
原式 = 2 2 − 3 3 = − 5 ．
故答案为： − 5
练习1:【学习框8】
（1）(★★☆☆☆)（2023•徐汇区校级月考）用代数式表示“ a 与 b 的和的倒数”正确的是 ( )
1 1 1 1 1
A． + B． C．a+ D． +b
a b a+b b a
（2）（★★☆☆☆）（2018•嘉定区期中）已知正方形的周长为 a ，用 a 表示正方形的边长是 ．
（3）（★★☆☆☆）（2023•闵行区校级月考）当 x = − 2 时，代数式 2 x − 1 的值是 ．
【常规讲解】（1）解：用代数式表示“ a 与 b 的和的倒数”为
a
1
+ b
．
故选： B ．
（2）解：依题意得，正方形的边长是
1
4
a ．
故答案为：
1
4
a ．
（3）解：当 x = − 2 时，2x−1=−4−1=−5．
故答案为： − 5 ．考点二：代数式的应用
例题2:
(★★★☆☆)（2021•徐汇区校级月考）在长方形
4
A B C D 中， A B = 3 a 厘米， B C = a 厘米，点 P
沿 A B 边从点 A 开始向终点 B 以2厘米/秒的速度移动；点 Q 沿 D A 边从点 D 开始向终点 A
以1厘米 / 秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用 t （秒)表示移动的时间．试解决下列问
题：
（1）用含有 a 、 t 的代数式表示三角形 A P C 的面积；
（2）求三角形 P Q C 的面积（用含有a、t的代数式表示）．
【常规讲解】解：（1）根据题意得：AP=2t， B C ⊥ A B ，
则 S
A P C
=
1
2
A P B C =
1
2
2 t a = a t ；
（2）分两种情况考虑：
在点 Q 到达点 A 前，
1 1 1 3 3
S =S −S −S −S =3a2 − 3at− (a−t)2t− (3a−2t)a= a2 − at+t2
PQC 长方形ABCD CDQ APQ BCP 2 2 2 2 2
在点 Q 到达点 A 后， S
P Q C
=
1
2
2 t a = a t ．练习2:【学习框10】
(★★★☆☆)如图，在长方形ABCD中，
5
A B = 1 0 厘米， B C = 6 厘米，点 P 沿 A B 边从点 A 开
始向点 B 以2厘米 / 秒的速度移动；点 Q 沿 D A 边从点 D 开始向点 A 以1 厘米 / 秒的速度移
动．如果 P 、 Q 同时出发，用 t （秒)表示移动的时间，那么：
（1）如图1，用含t的代数式表示 A P = ，AQ= ．若线段AP= AQ，求 t 的值．
（2）如图2，在不考虑点 P 的情况下，连接 Q B ，用含 t 的代数式表示 Q A B 的面积．
（3）图2中，若 Q A B 的面积等于长方形面积的
1
3
，求 t 的值．
【常规讲解】解：（1）由题意得： A P = 2 t ， D Q = t ，则 A Q = 6 − t ，
当AP= AQ时，2t=6−t，
t = 2 ；
故答案为： 2 t ， 6 − t ；
（2） S
A Q B
=
1
2
A B A Q =
1
2
1 0 ( 6 − t ) = − 5 t + 3 0 ( 0 t 6 ) ；
（3）由已知得： S
A Q B
=
1
3
S
长 方 形 A B C D
，
1
−5t+30= 106，
3
t = 2 ，
答：若 Q A B 的面积等于长方形面积的
1
3
， t 的值是2秒．考点三：整式的概念
知识笔记2
1．单项式
_______________________________________________________________________________
也就是说单项式中不存在数字与字母或字母与字母的加、减、除关系，特别的单项式的分母
中不含未知数．单独的一个字母或数也叫做单项式．
（1）单项式的次数：_________________________________________________________．
（2）单项式的系数：_________________________________________________________．
2．多项式
_____________________________________________________________________________．
（1）多项式的项：其中每个单项式都是该多项式的一个项．多项式中的各项包括它前面的
符号．多项式中不含字母的项叫做常数项．
（2）多项数的次数：多项式里，次数最高项的次数就是这个多项式的次数．
（3）多项式的降（升）幂排列：按照同一个字母的指数从大到小（或从小到大）的顺序排
列．
3．整式
_________________________________________________________．
【填空答案】
1、由数字与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式；．
（1）单项式中所有字母的指数和；
（2）单项式中的数字因数叫做单项数的系数
2、由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式
3、单项式和多项式统称整式
6例题3:
（1）（★★☆☆☆）（2023•闵行区校级月考）下列说法正确的是(
7
)
A． 3 x 2 − x + 5 的项是 3 x 2 ， x ，5
B．
x
3
−
y
3
与 3 x 2 − 2 x y − 5 都是多项式
C．多项式 − 3 x 2 + 4 x y 的次数是3
D．一个多项式的次数是5，则这个多项式中只有一项的次数是5
（2）（★★☆☆☆）（2023•静安区校级月考）下列代数式中哪些是单项式，哪些是多项式：
− 3 m 2 n 2 ， x 2 + y 2 ，
x +
3
y
，
x +
3 x
y 2
，− ，0．单项式： ；
a
多项式： ．
（3）（★★☆☆☆）多项式
− 3 x 2 y + 4 x y 2 −
8
7 x 3 + 5 y 4 − 2
是 次多项式，常数项是 ．
（4）（★★☆☆☆）（2023•闵行区校级月考）如果x2y−2x3+myn−2 −xy3−2y是五次多项式，
那么 m + n 的值是 ．
（5）（★★☆☆☆）（2023•闵行区校级月考）多项式 x 7 y 2 − 3 x m − 1 y 3 + x m − 2 y 4 + x 3 y 5 是按 x 的降
幂排列，则整数 m = ．
【常规讲解】（1）解： A 、 3 x 2 − x + 5 的项是 3 x 2 ， − x ，5，原说法错误，故此选项不符合题
意；
B 、
x
3
−
y
3
与 3 x 2 − 2 x y − 5 都是多项式，原说法正确，故此选项符合题意；
C、多项式 − 3 x 2 + 4 x y 的次数是2，原说法错误，故此选项不符合题意；
D 、一个多项式的次数是5，则这个多项式中至少有一项的次数是5，原说法错误，故此选
项不符合题意；
故选： B ．
（2）解：−3m2n2，x2 + y2，
x +
3
y
，
x +
3 x
y
， −
2
a
，0中：
−3m2n2，0是单项式；
x 2 + y 2 ，
x +
3
y
是多项式；
x+ y 2
，− 不是单项式，也不是多项式．
3x a故答案为：
8
− 3 m 2 n 2 ，0； x 2 + y 2 ，
x +
3
y
．
（3）解：多项式
− 3 x 2 y + 4 x y 2 −
8
7 x 3 + 5 y 4 − 2
是4次多项式，常数项是 −
1
4
．
故答案为：4， −
1
4
．
（4）解： x 2 y − 2 x 3 + m y n − 2 − x y 3 − 2 y 是五次多项式，
3 + m + n − 2 = 5 ，
解得， m + n = 4 ，
故答案为：4．
（5）解：若多项式x7y2 −3xm−1y3 +xm−2y4 +x3y5是按 x 的降幂排列，
则 m − 1 = 6 ， m − 2 = 5 或m−1=6， m − 2 = 4 ，或 m − 1 = 5 ，m−2=4，
当 m − 1 = 6 ， m − 2 = 5 时，解得 m = 7 ；
当 m − 1 = 6 ， m − 2 = 4 时，解得 m = 7 ， m = 6 矛盾，舍去；
当 m − 1 = 5 ， m − 2 = 4 时，解得 m = 6 ；
所以整数 m 的值为7或6，
故答案为：7或6．
练习3:【学习框12】
（1）（★★☆☆☆）（2022•宝山区校级月考）下列说法中正确的是 ( )
t
A． 不是整式 B．−3x3y的次数是4
2
C．4ab与4xy是同类项 D．
1
y
是单项式
3x2y
（2）（★★☆☆☆）单项式− 系数是 ．
4
（3）（★★☆☆☆） 3 a 2 − a b 2 + 2 a 2 − 3 4 是 式（填几次几项）．
（4）（★★☆☆☆）关于x的多项式(a−4)x3 −xb +x−b是二次三项式，则a= ，b= ．
1 1
（5*）（★★☆☆☆）多项式2x3y+ y− xy2 −5x2按
2 3
x 的降幂排列为 ．
【常规讲解】（1）解： A 、
t
2
是整式，故错误；
B 、−3x3y的次数是4，正确；
C、4ab与4xy不是同类项，故错误；9
D
1
、 不是单项式，是分式故错误．
y
故选： B ．
（2）解：单项式 −
3 2 x
4
y
系数是 −
3
4
．
故答案为： −
3
4
．
（3）解： 3 a 2 − a b 2 + 2 a 2 − 3 4 = 5 a 2 − a b 2 − 3 4 是三次三项式．
故答案为：三次三项．
（4）解： 多项式 ( a − 4 ) x 3 − x b + x − b 是二次三项式，
不含 x 3 项，即 a − 4 = 0 ， a = 4 ；
其最高次项的次数为2，即 b = 2 ．
故填空答案：4，2．
（5）解：多项式 2 x 3 y +
1
2
y −
1
3
x y 2 − 5 x 2 按 x 的降幂排列为 2 x 3 y − 5 x 2 −
1
3
x y 2 +
1
2
y ．
故答案为： 2 x 3 y − 5 x 2 −
1
3
x y 2 +
1
2
y ．知识加油站 2——整式的加减运算【建议时长：30分钟】
考点四：整式的加减
知识笔记3
1、同类项的概念
______________________________________________________________________________．
2、合并同类项
合并同类项的法则：在合并同类项时，把同类项的系数相加的结果作为合并后的系数，字母
和字母的指数不变．
3、去括号法则：
去括号法则可简记为：__________________________________________．
4、添括号法则：
添括号法则可简记为：“负”变“正”不变．
5、整式的加减
一般步骤是：_____________________________________________________．
【填空答案】
1、 所含的字母相同，且相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项
3、“负”变“正”不变
5、①如果有括号，先去括号；②合并同类项
例题4:
（1）（★★☆☆☆）（2023•闵行区校级月考）下列各对单项式中不是同类项的是
10
( )
A． −
3
4
x 4 y 2 与(−4x2y)2 B． 2 8 x 4 y 3 与 − 1 5 y 3 x 4
C．15a2b与0.02ab2 D．−34与 − 4 3（2）（★★☆☆☆）（2023•静安区校级月考）下列去括号中，正确的是
11
( )
A． a 2 − ( 2 a − 1 ) = a 2 − 2 a − 1 B． a 2 + ( − 2 a − 3 ) = a 2 − 2 a + 3
C． 3 a − [ 5 b − ( 2 c − 1 ) ] = 3 a − 5 b + 2 c − 1 D． − ( a + b ) + ( c − d ) = − a − b − c + d
【常规讲解】（1）解： ( − 4 x 2 y ) 2 = 1 6 x 4 y 2 ，它与 −
3
4
x 4 y 2 是同类项，则 A 不符合题意；
2 8 x 4 y 3 与 − 1 5 y 3 x 4 是同类项，则 B 不符合题意；
1 5 a 2 b 与 0 .0 2 a b 2 中，相同字母的指数不相同，则 C 符合题意；
−34与 − 4 3 是同类项，则 D 不符合题意；
故选： C ．
（2）解： A ， a 2 − ( 2 a − 1 ) = a 2 − 2 a + 1 ，故此选项错误；
B ， a 2 + ( − 2 a − 3 ) = a 2 − 2 a − 3 ，故此选项错误；
C ，3a−[5b−(2c−1)]=3a−5b+2c−1，故此选项正确；
D ， − ( a + b ) + ( c − d ) = − a − b + c − d ，故此选项错误；
故选： C ．
练习4:【学习框14】
（1）（★★☆☆☆）在下列各组单项式中，不是同类项的是 ( )
A．5x2y和 − 7 x 2 y B．m2n和 2 m n 2 C．−3和99 D．−abc和 9 a b c
（2）（★★☆☆☆）下列去括号正确的是 ( )
A．a2 −(2a−b+c)=a2 −2a−b+c B． − ( x − y ) + ( x y − 1 ) = − x − y + x y − 1
C． a 2 − 2 ( a + b + c ) = a 2 − 2 a + b − c D．x−[y−(z+1)]=x−y+z+1
【常规讲解】（1）解：A．5x2y和 − 7 x 2 y 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同
类项，故本选项不合题意；
B ． m 2 n 和 2 m n 2 所含字母相同，但相同字母的指数不相同，故不是同类项，故本选项符合
题意；
C ． − 3 和99是同类项，故本选项不合题意；
D．−abc和 9 a b c 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项不合题
意．
故选：B．（2）解：A、a2 −(2a−b+c)=a2 −2a+b−c，原等式错误，不符合题意；
12
B 、 − ( x − y ) + ( x y − 1 ) = − x + y + x y − 1 ，原等式错误，不符合题意；
C 、 a 2 − 2 ( a + b + c ) = a 2 − 2 a − 2 b − 2 c ，原等式错误，不符合题意；
D 、 x − [ y − ( z + 1 ) ] = x − y + z + 1 ，正确，符合题意．
故选： D ．
例题5:
（1）（★★★☆☆）（2023•闵行区校级月考）已知关于 x 的多项式3x2 −2mx减去
m
2
x 2 + 5 x − x 2
的差是一个单项式，求 m 的值．
（2）（★★★☆☆）（2022•宝山区校级月考）已知 A = 3 x 2 − 4 x y + 2 y 2 ， B = x 2 + 2 x y − 5 y 2 ．
①求 A + B ；
②求 A − B ；
③若 2 A − B + C = 0 ，求 C ．
【常规讲解】（1）解：原式 = 3 x 2 − 2 m x −
m
2
x 2 − 5 x + x 2
= ( 3 −
m
2
+ 1 ) x 2 − ( 2 m + 5 ) x ，
其差是单项式，
3 −
m
2
+ 1 = 0 或2m+5=0，
5
解得m=8或m=− ．
2
（2）解：① A = 3 x 2 − 4 x y + 2 y 2 ， B = x 2 + 2 x y − 5 y 2 ，
A + B = ( 3 x 2 − 4 x y + 2 y 2 ) + ( x 2 + 2 x y − 5 y 2 ) = 3 x 2 − 4 x y + 2 y 2 + x 2 + 2 x y − 5 y 2 = 4 x 2 − 2 x y − 3 y 2
② A = 3 x 2 − 4 x y + 2 y 2 ，B=x2 +2xy−5y2，
A − B = ( 3 x 2 − 4 x y + 2 y 2 ) − ( x 2 + 2 x y − 5 y 2 ) = 3 x 2 − 4 x y + 2 y 2 − x 2 − 2 x y + 5 y 2 = 2 x 2 − 6 x y + 7 y 2
③ 2A−B+C=0，
C=B−2A=(x2+2xy−5y2)−2(3x2−4xy+2y2)=x2+2xy−5y2−6x2+8xy−4y2 =−5x2+10xy−9y2
练习5:【学习框16】
（1）（★★★☆☆）（2022•宝山区校级月考）若 4x2 +3xy 减去某个多项式的差是
−4x2 −3xy−5y2，那么这个多项式是 ．（2）（★★★☆☆）若
13
1
2
a 6 + x b 3 y 与 3 a 4 b 6 是同类项，试求 3 y 3 − 4 x 3 y − 4 y 3 + 2 x 3 y 的值．
【常规讲解】（1）解：由题意可得： 4 x 2 + 3 x y − ( − 4 x 2 − 3 x y − 5 y 2 )
= 4 x 2 + 3 x y + 4 x 2 + 3 x y + 5 y 2
= 8 x 2 + 6 x y + 5 y 2 ．
故答案为： 8 x 2 + 6 x y + 5 y 2 ．
（2）解：
1
2
a 6 + x b 3 y 与3a4b6是同类项，
6 + x = 4 ，3y=6，
解得：x=−2， y = 2 ，
3 y 3 − 4 x 3 y − 4 y 3 + 2 x 3 y
= ( 3 y 3 − 4 y 3 ) + ( − 4 x 3 y + 2 x 3 y )
= − y 3 − 2 x 3 y ，
当 x = − 2 ， y = 2 ，
原式 = − 2 3 − 2 ( − 2 ) 3 2
= − 8 + 3 2
= 2 4 ．知识加油站 3——幂的运算【建议时长：30分钟】
考点五：幂的运算
知识笔记4
1、同底数幂相乘
____________________________________________________________．
用式子表示为：_____________________．
2、幂的乘方法则：
____________________________________________________________．
用式子表示为：_____________________．
3、积的乘方法则：
____________________________________________________________．
用式子表示为：_____________________．
【填空答案】：
1．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加；
14
a m a n = a m + n （ m ， n 都是正整数）
2. 幂的乘方，底数不变，指数相乘； ( a m ) n = a m n （m、 n 都是正整数）
(ab)n =anbn
3. 积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘； （n是正整
数）．
例题6:
1
（1）（★★☆☆☆）计算：(− )2(−3)3 = ．
3
（2）（★★☆☆☆）计算：(a−b) (b−a)2 = （结果用幂的形式表示）．
（3）（★★☆☆☆）（2023•闵行区校级月考）计算： 3 4 9 8 1 = ；62512556 = ．
（4）（★★☆☆☆）已知： 2 2 x + 3 − 2 2 x + 1 = 1 9 2 ，则x= ．
1
【常规讲解】（1）解：(− )2(−3)3
315
= [ ( −
1
3
) ( − 3 ) ] 2 ( − 3 )
= − 1 2 3
= − 1 3
= − 3 ，
故答案为： − 3 ．
（2）解： ( a − b ) ( b − a ) 2 = ( a − b ) ( a − b ) 2 = ( a − b ) 3 ．
故应填： ( a − b ) 3 ．
（3）解：34981
= 3 4 3 2 3 4
= 3 4 + 2 + 4
= 3 1 0 ；
6 2 5 1 2 5 5 6
= 5 4 5 3 5 6
= 5 4 + 3 + 6
= 5 1 3 ．
故答案为： 3 1 0 ， 5 1 3 ．
（4）解：由题意得， 2 2 x + 1 ( 4 − 1 ) = 1 9 2 ，
整理可得： 2 2 x + 1 = 6 4 = 2 6 ，
2 x + 1 = 6 ，
解得： x = 2 .5 ．
故答案为：2.5．
练习6:【学习框18】
（1）（★★☆☆☆）计算： 4 2 0 2 0 ( − 0 .2 5 ) 2 0 2 1 = ．
（2）（★★☆☆☆）计算：
(−1)(−1)3(−1)2001 =
（3）（★★☆☆☆）（2023•闵行区校级月考）计算： ( 3 1 0 6 ) ( 5 1 0 7 ) ( 4 1 0 4 ) = ．
（4）（★★☆☆☆）（2021•虹口区校级期末）若xm+n =24，xm =8，则 x 3 n = ．
【常规讲解】（1）解：42020(−0.25)2021
1
=42020(−0.25)2020(− )
4
1 1
=42020( )2020(− )
4 416
= ( 4
1
4
) 2 0 2 0 ( −
1
4
)
= 1 2 0 2 0 ( −
1
4
)
= 1 ( −
1
4
)
= −
1
4
．
故答案为： −
1
4
．
（2）解： ( − 1 ) ( − 1 ) 3 ( − 1 ) 2 0 0 1 = ( − 1 ) 2 0 0 5 = − 1 ．
故答案为： − 1 ．
（3）解：原式 = 3 5 4 1 0 1 7
= 6 0 1 0 1 7
= 6 1 0 1 8 ，
故答案为： 6 1 0 1 8 ．
（4）解析： x m + n = 2 4 ，xm =8，
x n = x m + n x m = 2 4 8 = 3 ，
x 3 n = ( x n ) 3 = 3 3 = 2 7 ．
故答案为：27．
例题7:
（1）（★★★☆☆）（2023•闵行区校级月考）计算： ( − x 4 ) 5 + 5 ( x 1 0 ) 2 − 3 [ ( − x ) 2 x 3 ] 4 ．
（2）（★★★☆☆） ( − 3 a 3 ) 2 a 3 + ( − 4 a 2 ) a 7 − ( 5 a 3 ) 3
（3）（★★★☆☆）计算：(−2x3)2x−x3x4 +(−x)7．
（4）（★★★☆☆） ( −
1
1
0
) 1 0 0 0 ( − 1 0 ) 1 0 0 1 + (
1
4
5
) 2 0 2 3 ( − 3
3
4
) 2 0 2 2 ．
【常规讲解】（1）解：原式 = − x 2 0 + 5 x 2 0 − 3 ( x 2 x 3 ) 4
= − x 2 0 + 5 x 2 0 − 3 ( x 5 ) 4
= − x 2 0 + 5 x 2 0 − 3 x 2 0
= x 2 0 ．
（2）解：原式=9a6 a3−4a2 a7 −125a9
= 9 a 9 − 4 a 7 − 1 2 5 a 9
=−120a9．
（3）解：原式=4x6x−x7 −x7=4x7 −x7 −x7
17
= 2 x 7 ．
（4）原式 = [ −
1
1
0
( − 1 0 ) 1] 0 0 0 ( − 1 0 ) + [
1
4
5
( −
1 5
4
) ] 2 0 2 2
1
4
5
= 1 1 0 0 0 ( − 1 0 ) + ( − 1 ) 2 0 2 2
1
4
5
4
=−10+
15
= − 9
1
1
1
5
．
练习7:【学习框20】
（1）（★★☆☆☆）计算：(−2x2)3 +(−3x3)2 +(x2)2x2；
（2）（★★★☆☆）（2023•静安区校级月考）计算：(−x)2(−x)5 +x(−x2)3
（3）（★★★☆☆）计算： − ( − 2 a ) 3 ( − b 3 ) 2 + ( − 3 a b 2 ) 3
（4）（★★★☆☆）计算：9(a3)2(−a)2(−b2)2 +(−2)4(a2)4b4
【常规讲解】
解：（1） ( − 2 x 2 ) 3 + ( − 3 x 3 ) 2 + ( x 2 ) 2 x 2
= − 8 x 6 + 9 x 6 + x 6
= 2 x 6 ；
（2）原式 = x 2 ( − 1 ) 5 x 5 + x ( − 1 ) 3 x 6
= − x 7 − x 7
= − 2 x 7 ；
（3） − ( − 2 a ) 3 ( − b 3 ) 2 + ( − 3 a b 2 ) 3
= 8 a 3 b 6 − 2 7 a 3 b 6
=−19a3b6．
（4）解：原式 = 9 a 6 a 2 b 4 + 1 6 a 8 b 4
=9a8b4 +16a8b4
= 2 5 a 8 b 4 ．考点六：幂的运算的应用
例题8:
（★★★★☆）一般地，若
18
a n = b ( a 0 且 a 1 ， b 0 ) ，则 n 叫做以a为底b的对数，记为 lo g ba ，
即logb =n．譬如：34 =81，则4叫做以3为底81的对数，记为
a
lo g 8 13 （即 lo g 8 13 = 4 ) ．根据
对数的定义完成下列问题：
（1）计算以下各对数的值：
log4 = ；log16 = ；log64 = ．
2 2 2
（2）由（1）中计算的结果及结合三个数4；16；64之间满足的等量关系式，直接写出 lo g 42 ；
lo g 1 62 ； lo g 6 42 满足的等量关系式．
（3）由（2）猜想一般性结论：logm+logn = (a0且a1，m0，n0)，并根据幂
a a
的运算法则： a b a c = a b + c 以及对数的含义证明你的猜想．
【常规讲解】解：（1） 2 2 = 4 ，
lo g 42 = 2 ；
2 4 = 1 6 ，
lo g 1 62 = 4 ；
2 6 = 6 4 ，
lo g 6 42 = 6 ，
故答案为：2，4，6；
（2） 2 + 4 = 6 ，
lo g 6 42 = lo g 42 + lo g 1 62 ；
（3） lo g ma + lo g na = lo g ma n ，
证明：设 lo g ma = b ， lo g na = c ，
则ab =m， a c = n ，
mn=abac =ab+c，
b+c=logm +logn，
a a
lo g ma + lo g na = lo g ma n ，
故答案为： lo g ma n ．练习8:【学习框22】
（★★★★☆）为了求1+2+22 +23++22008的值，可令S =1+2+22 +23++22008，
则
19
2 S = 2 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + + 2 2 0 0 9 ， 因 此 2S−S =22009 −1 ， 所 以
1 + 2 + 2 2 + 2 3 + + 2 2 0 0 8 = 2 2 0 0 9 − 1 仿照以上推理，计算 1 + 5 + 5 2 + 5 3 + + 5 2 0 0 9 的值．
【常规讲解】解：令 S = 1 + 5 + 5 2 + 5 3 + + 5 2 0 0 9 ，
则5S =5+52 +53++52010，
5 S − S = − 1 + 5 2 0 1 0 ，
4S =52010 −1，
则 S =
5 2 0 1 0
4
− 1
．全真战场
教师可以根据课堂节奏将“全真战场”作为课堂补．充．练习或课后补．充．练习让学生的完成
关卡一
练习1:
（1）（★★☆☆☆）如图
20
L 形纸片的面积用代数式表示为 ( )
A． a d + b c B． c ( b − d ) + d ( a − c )
C． a d + c ( b − d ) D．ab−cd
（2）（★★☆☆☆）若单项式 − 8 x a y 和
1
4
x 2 y b 的积为 − 2 x 5 y 6 ，则 a b 的值为 ( )
A．2 B．30 C． − 1 5 D．15
【常规讲解】（1）解：如图所示：
L形纸片的面积，
= S
1
+ S
2
，
= d ( a − c ) + b c ，
= a d − c d + b c ，
= a d + c ( b − d ) ，
故选： C ．
1
（2）解：−8xay x2yb =−2xa+2yb+1 =−2x5y6，
4
a+2=5， b + 1 = 6 ，
解得 a = 3 ，b=5，
a b = 3 5 = 1 5 ，
故选：D．练习2:
（1）（★★☆☆☆）当
21
a = − 2 时， − a 2 − 2 a + 1 = ．
（2）（★★☆☆☆）已知 x m = 5 ， x n = 3 ，则 x 2 m + n = ．
（3）（★★☆☆☆）计算： − x 2 − 2 x 2 = ．
（4）（★★☆☆☆）计算： ( 3 x 3 ) 2 ( − x 2 ) 3 = ．
【常规讲解】（1）解：当 a = − 2 时，
−a2 −2a+1
= − ( − 2 ) 2 − 2 ( − 2 ) + 1
= − 4 + 4 + 1
= 1 ．
故答案为：1．
（2）解： x 2 m + n
= ( x m ) 2 x n
= 5 2 3
= 7 5 ．
故答案为：75．
（3）解： − x 2 − 2 x 2 = − 3 x 2 ．
故答案为： − 3 x 2
（4）解：(3x3)2(−x2)3
= 9 x 6 ( − x 6 )
= − 9 x 12 ．
故答案为：−9x12．
练习3:
（★★★☆☆）计算：
（1）（2023•闵行区校级月考）a3−a2b+ab2 +a2b−ab2 +b3；
（2）计算： ( − 4 a 3 b ) 2 − ( a 2 ) 2 ( 3 a b ) 2
（3）(−a3)2(−a2)3 a；
（4）(m−n)3(n−m)4(n−m)5．
【常规讲解】解：（1）a3−a2b+ab2 +a2b−ab2 +b3 =a3+b3；（2）解：(−4a3b)2 −(a2)2(3ab)2
22
= 1 6 a 6 b 2 − a 4 9 a 2 b 2
= 1 6 a 6 b 2 − 9 a 6 b 2
= 7 a 6 b 2 ．
（3） ( − a 3 ) 2 ( − a 2 ) 3 a
= ( − 1 ) 2 ( a 3 ) 2 ( − 1 ) 3 ( a 2 ) 3 a
= − a 6 a 6 a
= − a 6 + 6 − 1
=−a11；
（4） ( m − n ) 3 ( n − m ) 4 ( n − m ) 5
= − ( n − m ) 3 ( n − m ) 4 ( n − m ) 5
= − ( n − m ) 3 + 4 + 5
= − ( n − m ) 1 2 ．
练习4:
（★★★☆☆）如果 a m = 5 ， a n = 2 ，记 M = a m − n ，N =am+n．
（1）分别求 M 、 N 的值；
（2）求 ( − 0 .0 4 ) 2 0 2 1 ( − M 2 0 2 2 ) N 2 0 2 3 的值．
【常规讲解】解：（1） a m = 5 ， a n = 2 ，
M = a m − n
= a m a n
=52
=
5
2
；
N = a m + n
= a m a n
= 5 2
=10；
5
（2） M = ，N =10，
2
( − 0 .0 4 ) 2 0 2 1 ( − M 2 0 2 2 ) N 2 0 2 3
= ( −
1
2 5
) 2 0 2 1 [ − (
5
2
) 2 0 2 2 ] 1 0 2 0 2 3
1 5 5
=−( )2021[−( )2021]102021( )102
25 2 2
1 5 5
=( 10)2021 102
25 2 223
= 1 2 0 2 1
5
2
1 0 0
= 1
5
2
1 0 0
= 2 5 0 ．
关卡二
练习5:
（★★★★☆）已知： | a − 4 | + | 2 a + c | + | b + c − 1 |= 0 ，且 a 、 b 、 c 分别是点 A 、 B 、 C 在数
轴上对应的数．
（1）写出 a = ； b = ； c = ．
（2）若甲、乙、丙三个动点分别从 A 、 B 、 C 三点同时出发沿数轴负方向运动，它们的速
度分别是1、2、4，（单位/秒），运行t秒后，甲、乙、丙三个动点对应的位置分别为： x
甲
，
x
乙
， x
丙
，当 t 5 时，求式子
x
甲
− x
乙
+ x
丙
t
−
−
x
5
甲
− x
丙
− x
乙 的值．
（3）若甲、乙、丙三个动点分别从 A 、 B 、 C 三点同时出发沿数轴正方向运动，它们的速
度分别是1、2、4，（单位 / 秒），运动多长时间后，乙与甲、丙等距离？
【常规讲解】解：（1）由 | a − 4 | + | 2 a + c | + | b + c − 1 |= 0 ，
a − 4 = 0 ，2a+c=0， b + c − 1 = 0 ，
a = 4 ，b=9， c = − 8
（2）由题可知：甲、乙、丙经过 t 秒后的路程分别是 t ， 2 t ，4t ，
甲、乙、丙三个动点分别从A、B、 C 三点同时出发沿数轴负方向运动
4−x =t，
甲
9 − x
乙
= 2 t ， − 8 − x
丙
= 4 t ，
x =4−t，
甲
x
乙
= 9 − 2 t ，x =−8−4t，
丙
x
甲
− x
乙
= t − 5 ，x −x =−12−3t
丙 甲
x −x =−17−2t
丙 乙
当t5时，
x −x 0，x −x =−12−3t−27，x −x =−17−2t−27，
甲 乙 丙 甲 丙 乙24
原式 =
t − 5 − ( − 1 2 −
t
3
−
t )
5
+ ( − 1 7 − 2 t )
= 2
（3）由题可知：甲、乙、丙经过 t 秒后的路程分别是 t ， 2 t ，4t ，
甲、乙、丙三个动点分别从 A 、 B 、 C 三点同时出发沿数轴正方向运动，
x
甲
− 4 = t ， x
乙
− 9 = 2 t ， x
丙
+ 8 = 4 t ，
x
甲
= 4 + t ， x
乙
= 9 + 2 t ， x
丙
= − 8 + 4 t ，
x
乙
− x
甲
= 5 + t ， x
乙
− x
丙
= 1 7 − 2 t
由题意可知： x
乙
− x
甲
= x
乙
− x
丙
，
(5+t)2 =(17−2t)2，
解得： t = 4 或 t = 2 2
练习6:
（★★★★★）如图，在矩形 A B C D 中，有正方形 A E G F ，正方形 J H M I ，正方形 K L C M ，
问：知道哪个正方形的面积可以得到两个阴影部分的周长之差．
【常规讲解】解：设 F G 与 J I 的交点为X ， E G 与 J H 的交点为 Y ，
则设GX =x，JX = y，正方形AEGF的边长为a，正方形JHMI 的边长为b，正方形KLCM
的边长为c，25
F X = a − x ，XI =b−y， E D = b + c − x ，EY =a−y， Y H = b − x ， H K = b − c ， K L = c ，
D L = a + b − y − c ，
四边形 F B I X 的周长 = E B + B I + I X + F X = b − y + a − x + b − y + a − x = 2 a + 2 b − 2 x − 2 y ，
六边形 E Y H K L D 的周长
= E Y + Y H + H K + K L + D L + E D = a − y + b − x + b − c + c + a + b − c − y + b + c − x = 2 a + 4 b − 2 y − 2 x
，
六边形 E Y H K L D 的周长 − 四边形 F B I X 的周长
= 2 a + 4 b − 2 y − 2 x − ( 2 a + 2 b − 2 x − 2 y ) = 2 b ，
只要知道正方形JHMI 的边长b，就可以求出两个阴影部分的周长之差，
只要知道正方形JHMI 的面积可以得到两个阴影部分的周长之差．
