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中考大题 07 几何中的最值问题
在中考数学中，几何最值问题的考察，在小题中通常是选择或者填空题的压轴问题；在解答题中偶尔
也会作为压轴题中的第2个小问题出，难度比较大，是对学生探究能力的综合考察。在中考数学中常见的
几何最值问题是将军饮马类和辅助圆类，剩余几种虽然不经常考察，但是考到的时候难度都比较大，所以
也需要理解并掌握不同类型的几何最值问题的处理办法，这样到考到的时候才能有捷径应对。
题型一： 将军饮马模型
1．（2023·湖北鄂州·中考真题）某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y=ax2(a>0)型抛物线图象．
( 1 )
发现：如图1所示，该类型图象上任意一点P到定点F 0, 的距离PF，始终等于它到定直线l：
4a
1
y=− 的距离PN（该结论不需要证明）．他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，
4a
1 1
y=− 叫做抛物线的准线方程．准线l与y轴的交点为H．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ．
4a 2a
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( 1) 1 1
例如，抛物线y=2x2，其焦点坐标为F 0, ，准线方程为l：y=− ，其中PF=PN，FH=2OF= ．
8 8 4
【基础训练】
1
(1)请分别直接写出抛物线y= x2的焦点坐标和准线l的方程：___________，___________；
4
【技能训练】
1
(2)如图2，已知抛物线y= x2上一点P(x ,y )(x >0)到焦点F的距离是它到x轴距离的3倍，求点P的
4 0 0 0
坐标；
【能力提升】
1 1
(3)如图3，已知抛物线y= x2的焦点为F，准线方程为l．直线m：y= x−3交y轴于点C，抛物线上动
4 2
点P到x轴的距离为d ，到直线m的距离为d ，请直接写出d +d 的最小值；
1 2 1 2
【拓展延伸】
该兴趣小组继续探究还发现：若将抛物线 平移至 ．抛物线
y=ax2(a>0) y=a(x−h) 2+k(a>0)
内有一定点 ( 1 )，直线l过点 ( 1 )且与x轴平行．当动点P在该
y=a(x−h) 2+k(a>0) F h,k+ M h,k−
4a 4a
抛物线上运动时，点P到直线l的距离PP 始终等于点P到点F的距离（该结论不需要证明）．例如：抛
1
( 25) 23
物线y=2(x−1) 2+3上的动点P到点F 1, 的距离等于点P到直线l：y= 的距离．
8 8
请阅读上面的材料，探究下题：
(4)如图4，点D ( −1, 3) 是第二象限内一定点，点P是抛物线y= 1 x2−1上一动点，当PO+PD取最小值
2 4
时，请求出△POD的面积．
2．（2023·四川宜宾·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰直角三角形ABC的直角顶点
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k
C(3，0)，顶点A、B(6，m)恰好落在反比例函数y= 第一象限的图象上．
x
(1)分别求反比例函数的表达式和直线AB所对应的一次函数的表达式；
(2)在x轴上是否存在一点P，使△ABP周长的值最小．若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由
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将军饮马模型
将军饮马问题概述：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地军营巡视，应该怎样走才能使路程最短?
原理 问题 模型 最值 原理 问题 模型 最值
基 求线 变 线段垂直平
本 段差 分线上的点 在直线L上求一点P,
AB 式 0
模 的最 到线段两端 求PA-PB的最小值
六
型 小值 距离相等
在直线L上求一点M,求
AM+BM的最小值
变 变
求 式 AB' 式 AB
线 一 七
段 线段
和 两点 差的 三角形两边 在直线L上求一点P,
之间 之差小于第 求PA-PB的最大值
的 最大
线段 三边
最 值
最短 在直线AB和BC上分别
小 变 变
取一点M、N，求△
值 式 PMN周长的最小值 P'P'' 式 AB'
二 八
（一动两定）
线段MN在直线L可
变 在直线AB和BC上分别 变 移动，当MN移动到
取一点M、N，求四边 PQ+ A'B'+
式 式 什么位置时，求
形PQNM周长的最小 P'Q' MN
三 九 AM+MN+NB最小
值（两动两定）
平移 平行四边形 值
的性质+两
类最
点之间线段
小值
最短
求 变 在直线AB和BC上分别 变 A,B是河两侧的定 A'B+
式 取一点M、N，求 PN 式 点，怎样造桥，可
线 MN
四 PM+PN的最小值 十 以让总路程最短
段
和 垂线
的 段最
最 短
小 在直线AB和BC上分别
变
值 取一点M、N，求
式 P'N
PM+PN的最小值（一
五
定两动）
k
1．（2023·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，双曲线y= (x>0)经过B、C两点，△ABC为直
x
角三角形，AC∥x轴，AB∥y轴，A(8，4)，AC=3．
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(1)求反比例函数的表达式及点B的坐标；
(2)点M是y轴正半轴上的动点，连接MB、MC；
①求MB+MC的最小值；
k
②点N是反比例函数y= (x>0)的图像上的一个点，若△CMN是以CN为直角边的等腰直角三角形，求所
x
有满足条件的点N的坐标．
2．（2023·甘肃陇南·三模）（1）如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB边上
任意一点，则CD的最小值为______．
（2）如图②，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M、点N分别在BD、BC上，求CM+MN的最小
值；
（3）如图③，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是AB边上一点，且AE=2，点F是BC边上的任
意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为点G，连接AG、CG，四边形AGCD的面积是否存在最小
值？若存在，求出四边形AGCD面积的最小值；若不存在，请说明理由．
题型二： 费马点
（2023·湖北随州·中考真题）1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线
上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆
利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
(1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择
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填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④
处填写该三角形的某个顶点）
当△ABC的三个内角均小于120°时，
如图1，将△APC绕，点C顺时针旋转60°得到△A'P'C，连接PP'，
由PC=P'C，∠PCP'=60°，可知△PCP'为 ① 三角形，故PP'=PC，又P' A'=PA，故
PA+PB+PC=PA'+PB+PP'≥A'B，
由 ② 可知，当B，P，P'，A在同一条直线上时，PA+PB+PC取最小值，如图2，最小值为A'B，此时
的P点为该三角形的“费马点”，且有∠APC=∠BPC=∠APB= ③ ；
已知当△ABC有一个内角大于或等于120°时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若
∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
(2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于120°，且AC=3，BC=4，∠ACB=30°，已知点P为
△ABC的“费马点”，求PA+PB+PC的值；
(3)如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知AC=4km，BC=2√3km，∠ACB=60°．
现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分
别为a元/km，a元/km，√2a元/km，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．
（结果用含a的式子表示）
【基础】费马点常见结论：
1）对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点；
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2）对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点.
（注意：通常涉及费马点的试题中三角形的最大顶角小于120°）
【解题思路】运用旋转的方法，以∆ABC任意一条边向外旋转60°构造等边三角形，根据两点之间线段最
短，得出最短长度，即当A,A’,P,P’四点共线时取最小值.
A A' A A' A
P'
P'
P P P
C
B C B B C
【进阶】加权费马点模型概述：前面学的PA+PB+PC最小值的费马点问题线段前面系数都是l，如果现在求
mPA+nPB+xPC最小值，前面系数不是1，那么此类题目就叫做“加权费马点”.
【关键】系数的改变只是影响了旋转角度的改变，依然考的是旋转.
已知：在Rt△ABC中，∠ACB=30°，BC=6，AC=5, △ABC内部有一点P,连接PA，PB，PC
A
P
C
B
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备注：若变形后的系数不是特殊值，则可借助位似的相关知识进行求解.
1．（2023·贵州遵义·三模）（1）【问题发现】如图①，在△OAB中，若将△OAB绕点O逆时针旋转120°
得到△OA'B'，连接BB'；求∠OBB'= ；
（2）【问题探究】如图②，已知△ABC是边长为4√3的等边三角形，以BC为边向外作等边三角形BCD，
P为△ABC内一点，将线段CP绕点C逆时针旋转60°，点P的对应点为点Q．
①求证：△DCQ≌△BCP；
②求PA+PB+PC的最小值；
（3）【实际应用】如图③，在矩形ABCD中，AB=600，AD=800，P是矩形内一动点
S =2S ，Q为△ADP内任意一点，是否存在点P和点Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在
△PAD △PBC
求其值；若不存在，请说明理由．
2．（2022·山东德州·一模）若一个三角形的最大内角小于120°，则在其内部有一点所对三角形三边的张角
均为120°，此时该点叫做这个三角形的费马点．如图1，当△ABC三个内角均小于120°时，费马点P在
△ABC内部，此时∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，PA+PB+PC的值最小．
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(1)如图2，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，小林利用“转化”思想，将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处，连接PP'，此时
△ACP'≌△ABP，这样就可以通过旋转变换，将三条线段PA，PB，PC转化到一个三角形中，从而求出
∠APB=______．
(2)如图3，在图1的基础上延长BP，在射线BP上取点D，E，连接AE，AD．使AD=AP，
∠DAE=∠PAC，求证：BE=PA+PB+PC．
(3)如图4，在直角三角形ABC中 ，∠ABC=90°，∠ACB=30°，AB=1，点P为直角三角形ABC的费
马点，连接AP，BP，CP，请直接写出PA+PB+PC的值．
3．（2019·山西·一模）请阅读下列材料，并完成相应的任务：
费马，17世纪德国的业余数学家，被誉为“业余数学家之王”，他独立于笛卡尔发现了解析几何的基本原
理.
费马得到过这样的结论：如图①，当三角形的三个角均小于120°时，在三角形内有一点P，使得
∠APB=∠APC=∠BPC=120°，且该点到三角形三个顶点的距离之和最小，这个点被称为费马点.
证明：如图②，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP'C'，连接PP'，则∠PAP'=60°，
∵________，
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∴△APP'为等边三角形.
∴AP=PP',P'C'=PC，
∴PA+PB+PC=PP'+PB+P'C'，
点C'可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC为定长，
∴当B、P、P'、C'四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小，
这时∠BPA=180°−∠APP'=180°−60°=120°，
∠APC=∠AP'C'=180°−∠AP'P=180°−60°=120°，
∠BPC=360°−∠BPA−∠APC=360°−120°−120°=120°.
任务：（1）横线处填写的条件是__________；
（2）已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为√2+√6，求此正方形的边长.
题型三： 阿氏圆
1．（2023·山东烟台·中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点
C,AB=4．抛物线的对称轴x=3与经过点A的直线y=kx−1交于点D，与x轴交于点E．
(1)求直线AD及抛物线的表达式；
(2)在抛物线上是否存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形?若存在，求出所有点M的坐标；
若不存在，请说明理由；
1
(3)以点B为圆心，画半径为2的圆，点P为⊙B上一个动点，请求出PC+ PA的最小值．
2
2．（2021·四川宜宾·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴
交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE．
（1）求抛物线的表达式；
（2）判断△BCE的形状，并说明理由；
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1
（3）如图2，以C为圆心，√2为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋ EP的值最小，若存在，
2
请求出最小值；若不存在，请说明理由．
对于阿氏圆而言：当系数k＜1的时候，一般情况下，考虑向内构造。
当系数k＞1的时候，一般情况下，考虑向外构造。
【注意事项】针对求PA+kPB的最小值问题时，当轨迹为直线时，运用“胡不归模型”求解；
当轨迹为圆形时，运用“阿氏圆模型”求解.
1．（2023·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、
PA
B，则所有满足 =k（k>0且k≠1）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发
PB
现，故称“阿氏圆”．
【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知r=kOB，连
接PA、PB，则当“PA+kPB”的值最小时，P点的位置如何确定？
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第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP；
OC OP
第2步：在OB上取点C，使得OP2=OC⋅OB，即 = ，构造母子型相似△OCP∽△OPB（图
OP OB
2）；
第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）．
【问题解决】如图，⊙O与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，⊙O半径为3，点A(0,2)，点
(3 )
B ,0 ，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．
2
(1)PA+2PB的最小值是多少？
(2)请求出（1）条件下，点P的坐标．
2．（2020·山西·模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务．阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga），古
希腊人（公元前262~190年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了
圆锥曲线的各种性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题．一动点P与两定点A，B的距离之比
等于定比m:n，则点P的轨迹是以定比m:n(m:n≠1)内分和外分线段AB的两个分点的连线为直径的圆，
这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”．
PA m
如图1，点A，B为两定点，点P为动点，满足 = ，点M在线段AB上，点N在AB的延长线上且
PB n
MA NA m(m )
= = ≠1 ，则点P的运动轨迹是以MN为直径的圆．
MB NB n n
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下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）：
过点B作BD//AP交PM的延长线于点D．
∴∠A=∠ABD，∠APM=∠BDM．
∴△APM∽△BDM．
PA MA
∴ = ．
BD MB
MA m PA
又∵ = = ，
MB n PB
PA PA
∴ = ．
BD PB
∴BD=BP．
∴∠BPD=∠BDP．
∴∠APD=∠BPD．
NA PA
如图2，在图1（隐去MD，BD）的基础上过点B作BE//PN交AP于点E，可知 = ，……
NB PE
任务：
（1）判断PN是否平分∠BPC，并说明理由；
（2）请根据上面的部分证明及任务（1）中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分；
（3）应用：如图3，在平面直角坐标系xOy中，A(−2,0)，B(1,0)，PA=2PB，则点P所在圆的圆心坐
标为________．
题型四： 胡不归问题
（2019·湖南张家界·中考真题）已知抛物线 过点 ， 两点，与y轴交
y=ax2+bx+c(a≠0) A(1,0) B(3,0)
于点C，OC=3．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)过点A作AM⊥BC，垂足为M，求证：四边形ADBM为正方形；
(3)点P为抛物线在直线BC下方图形上的一动点，当ΔPBC面积最大时，求点P的坐标；
1
(4)若点Q为线段OC上的一动点，问：AQ+ QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，
2
请说明理由．
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【解题关键】在求形如“BC+kAC”的式子的最值问题中，关键是构造与 kAC 相等的线段，将
“BC+kAC”型问题转化为“BC+CE”型.(若k>1，则提取系数，转化为小于1的形式解决即可).
B
C' C
m
A
E
M
1
1．（2021·四川绵阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝ x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点
2
3
C．抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是x＝－ 且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
2
(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c的表达式；
(2)点P为线段AB上的动点，求AP＋2PC的最小值；
(3)抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A，M，N为顶点的三角形与△ABC
相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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2．（23-24九年级下·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2−2ax−3a与x轴交
于A，B两点，若AB=m，函数y=ax2−2ax−3a的最小值为n，且m+n=0．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如果将该抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，得到的图象与剩余的图象组成新图形G．当函数
y =kx−1+2k的图象与图形G的公共点的个数大于2时，求k的取值范围；
1
(3)在（2）的条件下，当k取最大值时，函数y =kx−1+2k的图象与图形G的对称轴交于点P，若过P作
1
平行于x轴的直线交图形G于点Q，过点Q作y轴的平行线交函数y =kx+1−2k的图象于点R，D为线段
1
RQ上的一点，动点C从点R出发，沿RD→DP运动到点P停止，已知点C在RD上运动的速度为√5单位
长度每秒，在DP上运动的速度为1单位长度每秒．求当点C运动的时间最短时，对应的点D的坐标．
题型五： 瓜豆原理
在△ABC中，D为直线AC上一动点，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转90°，得到BE，连接DE与AB
相交于点F．
(1)如图1，若D为AC的中点，∠BAC=90°，AC=4，BD=√29，连接AE，求线段AE的长；
(2)如图2，G是线段BA延长线上一点，D在线段AC上，连接DG，EC，若∠BAC<90°，EC⊥BG，
∠ADE=∠DBC，∠DBC＋∠G=∠EBF，证明√2BC=2AD+DC；
(3)如图3，若△ABC为等边三角形，AB=6√2，点M为线段AC上一点，且2CM=AM，点P是直线BC
上的动点，连接EP，MP，EM，请直接写出当EP+MP最小时△EPM的面积．
【条件】瓜豆原理运用满足的三个条件(“一定两动、定角、定比”)；
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①有一个定点、两个动点，且一个动点(从动点)因另一个动点(主动点)的运动而随之运动；
②两个动点与定点所连线组成的夹角是定角;
③两个动点到定点的距离的比值是定值.
OB
【模型一】如图，点O是定点，点 A、B是动点，∠AOB=α且 =k，如果A点的运动轨迹是直线，那么
OA
B点的运动轨迹也是直线.
OB
【模型二】如图，点O是定点，点 A、B是动点，∠AOB=α且 =k，如果A点的运动轨迹是圆，那么B
OA
点的运动轨迹也是圆.
O
B
A
1．（2020九年级·全国·专题练习）如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，BC=2√3，以点B为
圆心，√3为半径作圆．点P为⊙B上的动点，连接PC，作P'C⊥PC，使点P'落在直线BC的上方，且满
足P'C:PC=1:√3，连接BP，AP'．
（1）求∠BAC的度数，并证明△AP'C∽△BPC；
（2）如图2，若点P在AB上时，连接BP'，求BP'的长；
（3）点P在运动过程中，BP'是否有最大值或最小值？若有，请求出当BP'取得最大值或最小值时，
∠PBC的度数；若没有，请说明理由．
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2．（2021九年级·全国·专题练习）如图，正方形ABCD的边长为4cm，点E、F分别从点D和点C出发，
沿着射线DA、射线CD运动，且DE＝CF，直线AF、直线BE交于H点．
（1）当点E从点D向点A运动的过程中：
①求证：AF⊥BE；
②在图中画出点H运动路径并求出点H运动的路径长；
（2）在整个运动过程中：
①线段DH长度的最小值为______．
②线段DH长度的最大值为_________ ．
k
1．（2023·河南安阳·模拟预测）如图，反比例函数y= 与直线y=2x+b交于A(−1,−4),B(m,n)两点．
x
(1)求m和n的值；
(2)点C是直线x=−2上一点，求△ABC的周长的最小值，并求出此时点C的坐标．
2．（2024·四川达州·模拟预测）【问题发现】
（1）如图1，在△OAB中，OB=3，若将△OAB绕点O逆时针旋转120°得OA'B'，连接BB'，则BB'=
________．
【问题探究】
（2）如图2，已知△ABC是边长为4√3的等边三角形，以BC为边向外作等边△BCD，P为△ABC内一点，
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连接AP，BP，CP，将△BPC绕点C逆时针旋转60°，得△DQC，求PA+PB+PC的最小值；
【实际应用】
（3）如图3，在长方形ABCD中，边AB=10，AD=20，P是BC边上一动点，Q为△ADP内的任意一
点，是否存在一点P和一点Q，使得AQ+DQ+PQ有最小值？若存在，请求出此时PQ的长，若不存在，
请说明理由．
3．（2022九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2＋bx＋c经过点A（4，
0）、B（0，4）、C．其对称轴l交x轴于点D，交直线AB于点F，交抛物线于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P为直线l上的动点，求△PBC周长的最小值；
(3)点N为直线AB上的一点（点N不与点F重合），在抛物线上是否存在一点M，使以点E、F、N、M为
顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标，若不存在，说明理由．
4．（23-24九年级上·天津北辰·阶段练习）已知抛物线 与 轴相交于A、B两点（点A
y=ax2+bx+3(a<0) x
在点B右侧），与y轴相交于点C，点B(−3,0)，A(1,0)．
(1)求抛物线的顶点坐标；
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(2)若点P是第二象限内抛物线上一动点，过点P作线段PF⊥x轴，交直线BC于点F，当线段PF取得最大
值时，求此时点P的坐标．
(3)若取线段BC的中点E，向右沿x轴水平方向平移线段BE，得到线段B'E'，当CB'+CE'取得最小值时，
求此时点B'的坐标
√3
5．（2021九年级·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝ x＋√3和直线l：y＝﹣√3
1 2
3
x＋b相交于y轴上的点B，且分别交x轴于点A和点C．
（1）求△ABC的面积；
（2）点E坐标为（5，0），点F为直线l 上一个动点，点P为y轴上一个动点，求当EF＋CF最小时，点
1
√2
F的坐标，并求出此时PF＋ OP的最小值．
2
6．（2022·江苏扬州·一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接BD，将 ABD绕点D顺时针旋
转，记旋转后的三角形为 A′B′D，旋转角为α（0°＜α＜360°且α≠180°）． △
△
(1)在旋转过程中，当A′落在线段BC上时，求A′B的长；
(2)连接A′A、A′B，当∠BA′B'＝90°时，求tan∠A′AD；
(3)在旋转过程中，若 DAA′的重心为G，则CG的最小值＝ ．
7．（2023·江苏淮安·二
△
模）某数学兴趣小组同学遇到这样一个问题：如图1，点A是一只探照灯，距离地
面高度AB=m，照射角度∠MAN=α，在地平线l上的照射范围是线段MN，此灯的光照区域△AMN的面
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积最小值是多少？
(1)小明同学利用特殊化方法进行分析，请你完成填空：如图2，设α=90°，m=4，构造△AMN的外接圆
⊙O，可得OA≥AB，即OA的最小值为4，又MN=2OA，故得MN的最小值为__________，通过计算可
得△AMN的面积最小值为__________．
(2)当α=45°，m=4时，小慧同学采用小明的思路进行如下构造，请你在图1中画出图形，并把解题过程
续写完整：
解：作△AMN的外接圆⊙O，作OH⊥MN于H，设MN=2x
(3)请你写出原题中的结论：光照区域△AMN的面积最小值是__________________________．（用含
m，α的式子表示）
(4)如图3，探照灯A到地平线1距离AB=4米，到垂直于地面的墙壁n的距离AD=6米，探照灯的照射角
4
度∠MAN，且sin∠MAN= ，光照区域为四边形AMCN，点M、N分别在射线CD、CB上，设
5
△ACM的面积为S ，△ACN的面积为S ，求4S +9S 的最大值．
1 2 1 2
1．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于两点
A(−3,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,4)．
(1)求此抛物线的解析式；
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(2)已知抛物线上有一点 ，其中 ，若 ，求 的值；
P(x ,y ) y <0 ∠CAO+∠ABP=90° x
0 0 0 0
(3)若点D，E分别是线段AC，AB上的动点，且AE=2CD，求CE+2BD的最小值．
2（2021·四川达州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+bx+c交x轴于点A和C(1,0)，
交y轴于点B(0,3)，抛物线的对称轴交x轴于点E，交抛物线于点F．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将线段OE绕着点О沿顺时针方向旋转得到线段OE'，旋转角为α(0°<α<90°)，连接AE'，BE'，
1
求BE'+ AE'的最小值．
3
（3）M为平面直角坐标系中一点，在抛物线上是否存在一点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为
矩形？若存在，请直接写出点N的横坐标；若不存在，请说明理由；
3．（2023·宁夏·中考真题）如图，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴交于点 ．
y=ax2+bx+3(a≠0) x A B y C
已知点A的坐标是(−1,0)，抛物线的对称轴是直线x=1．
(1)直接写出点B的坐标；
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(2)在对称轴上找一点P，使PA+PC的值最小．求点P的坐标和PA+PC的最小值；
(3)第一象限内的抛物线上有一动点M，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，连接BC交MN于点Q．依题意
补全图形，当MQ+√2CQ的值最大时，求点M的坐标．
4．（2023·甘肃武威·中考真题）如图1，抛物线y=−x2+bx与x轴交于点A，与直线y=−x交于点
B(4,−4)，点C(0,−4)在y轴上．点P从点B出发，沿线段BO方向匀速运动，运动到点O时停止．
(1)求抛物线y=−x2+bx的表达式；
(2)当BP=2√2时，请在图1中过点P作PD⊥OA交抛物线于点D，连接PC，OD，判断四边形OCPD的
形状，并说明理由．
(3)如图2，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P
停止运动时点Q也停止运动．连接BQ，PC，求CP+BQ的最小值．
5．（2023·陕西·中考真题）（1）如图①，在△OAB中，OA=OB，∠AOB=120°，AB=24．若⊙O的
半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接PM，求线段PM的最小值；
（2）如图②所示，五边形ABCDE是某市工业新区的外环路，新区管委会在点B处，点E处是该市的一个
交通枢纽．已知：∠A=∠ABC=∠AED=90°，AB=AE=10000m，BC=DE=6000m．根据新区的
自然环境及实际需求，现要在矩形AFDE区域内（含边界）修一个半径为30m的圆型环道⊙O；过圆心O，
作OM⊥AB，垂足为M，与⊙O交于点N．连接BN，点P在⊙O上，连接EP．其中，线段BN、EP及
MN是要修的三条道路，要在所修道路BN、EP之和最短的情况下，使所修道路MN最短，试求此时环道
⊙O的圆心O到AB的距离OM的长．
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