文档内容
第 04 讲 随机事件、频率与概率 (精讲）
目录
第一部分：知识点精准记忆
第二部分：课前自我评估测试
第三部分：典型例题剖析
题型一：随机事件之间关系的判断
题型二：随机事件的频率与概率
题型三：互斥事件与对立事件的概率
第四部分：高考真题感悟
第一部分：知 识 点 精 准 记 忆
知识点一：概率与频率
一般地,随着试验次数 的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件 发生的频率 会逐渐稳定于事件
发生的概率 .我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率 来估计概率 .
知识点二：事件的运算
定义 符号表示 图示
事件 与事件 至少一
并事件 个发生，称这个事件为
事件 与事件 的并事 或者
件（或和事件）
事件 与事件 同时发
交事件 生，称这个事件为事件 或者
与事件 的交事件
（或积事件）
知识点三：事件的关系
定义 符号表示 图示
一般地，若事件 发
包含关系生，则事件 一定发 (或 )
生，称事件 包含事件
(或事件 包含于事件
)
一般地，如果事件 与
互斥事件
事件 不能同时发生，
也就是说 是一个
不 可 能 事 件 ， 即
，则称事件
与事件 互斥(或互不
相容)
对立事件 一般地，如果事件 和
事件 在任何一次试验
中有且仅有一个发生， ，
即 ，且 且 .
，那么
称事件 与事件 互为
对立，事件 的对立事
件记为
第二部分：课 前 自 我 评 估 测 试
1．（2022·全国·高一课时练习）袋内有 个白球和 个黑球，从中有放回地摸球，用 表示“第一次摸得
白球”，如果“第二次摸得白球”记为 ，“第二次摸得黑球”记为 ，那么事件 与 ， 与 间的关
系是（ ）
A． 与 ， 与 均相互独立 B． 与 相互独立， 与 互斥
C． 与 ， 与 均互斥 D． 与 互斥， 与 相互独立
2．（2022·吉林·长春市第二实验中学高一期末）命题“事件 与事件 对立”是命题“事件 与事件 互
斥”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2022·全国·高一课时练习）给出下列说法：①若事件 ， 满足 ，则 ， 为对立事
件；②把3张红桃 ， ， 随机分给甲、乙、丙三人，每人 张，事件 “甲得红桃 ”与事件“乙得红桃 ”是对立事件；③一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是“两
次都不中靶”．其中说法正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高一单元测试）已知A与B是互斥事件，且 ， ，则
（ ）
A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.0
5．（2022·全国·高一课时练习）利用如图所示的两个转盘玩配色游戏两个转盘各转一次，观察指针所指区
域的颜色（不考虑指针落在分界线上的情况）．事件A表示“转盘①指针所指区域是黄色”，事件B表示
“转盘②指针所指区域是绿色”，用样本点表示 ， ．
第三部分：典 型 例 题 剖 析
题型一：随机事件之间关系的判断
典型例题
例题1．（2022·陕西渭南·高二期末（文））设靶子上的环数取1~10这10个正整数，脱靶计为0环．某人
射击一次，设事件 “中靶”，事件 “击中环数大于5”，事件 “击中环数大于1且小于6”，事
件 “击中环数大于0且小于6”，则下列关系正确的是（ ）
A． 与 互斥 B． 与 互为对立
C． 与 互为对立 D． 与 互斥
例题2．（多选）（2022·全国·高一课时练习）下列结论正确的是（ ）
A．若 ， 互为对立事件， ，则
B．若事件 ， ， 两两互斥，则事件 与 互斥
C．若事件 与 对立，则
D．若事件 与 互斥，则它们的对立事件也互斥
例题3．（多选）（2022·全国·高一课时练习）一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从
这批产品中任意抽取5件，给出以下四个事件：
事件 ：恰有一件次品；
事件 B：至少有两件次品；
事件 ：至少有一件次品；事件 ：至多有一件次品．
下列选项正确的是（ ）
A． B． 是必然事件
C． D．
同类题型归类练
1．（2022·全国·高一单元测试）若随机事件A，B互斥，且 ， ，则实数a的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南安阳·高一期末）从一批产品中逐个不放回地随机抽取三件产品，设事件A为“三件产品全
不是次品”，事件B为“三件产品全是次品”，事件C为“三件产品不全是次品”，事件D为“第一件是
次品”则下列结论正确的是（ ）
A．B与D相互独立 B．B与C相互对立
C． D．
3．（多选）（2022·河北· 高一阶段练习）从一批产品（既有正品也有次品）中取出三件产品，设
三件产品全不是次品 ， 三件产品全是次品 三件产品有次品，但不全是次品 ，则下列结论中
正确的是（ ）
A． 与 互斥 B． 与 互斥
C．任何两个都互斥 D． 与 对立
题型二：随机事件的频率与概率
典型例题
例题1．（2022·全国·高一课时练习）将容量为100的样本数据，由小到大排列，分成8个小组，如下表所
示：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
1 1 1
频数 10 13 14 13 9
4 5 2
第3组的频率和累积频率分别为（ ）
A．0.14，0.37 B． ， C．0.03，0.06 D． ，
例题2．（2022·河南·高三阶段练习（理））我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓
收粮，有人送来米1423石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得268粒内夹谷32粒.则这批米内夹谷约为
（ ）
A．157石 B．164石 C．170石 D．280石
例题3．（2022·全国·高一专题练习）某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品.规则如下：（ⅰ）摇号的初始中签率为 ；（ⅱ）当
中签率不超过 时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使
中签率增加 .为了使中签率超过 ，则至少需要邀请________位好友参与到“好友助力”活动.
例题4．（2022·全国·高一单元测试）某射击队统计了甲､乙两名运动员在平日训练中击中10环的次数，如
下表：
5
射击次数 10 20 100 200 500
0
4
甲击中10环的次数 9 17 92 179 450
4
甲击中10环的频率
4
乙击中10环的次数 8 19 93 177 453
4
乙击中10环的频率
(1)分别计算出甲､乙两名运动员击中10环的频率，补全表格；
(2)根据（1）中的数据估计两名运动员击中10环的概率.
同类题型归类练
1．（2022·甘肃·兰州五十一中高一期末）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了100
次试验，发现正面朝上出现了48次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ）
A．0.48，0.48 B．0.5，0.5 C．0.48，0 .5 D．0.5，0.48
2．（2022·全国·高三专题练习）某同学做立定投篮训练，共 场，每场投篮次数和命中的次数如表中记录
板所示．
第二
第一场 第三场
场
投篮次数
投中次数
根图中的数据信息，该同学 场投篮的命中率约为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山西·平遥县第二中学校高一期末）已知小张每次射击命中十环的概率都为40%，现采用随机模
拟的方法估计小张三次射击恰有两次命中十环的概率，先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定2，4，6，8表示命中十环，0，1，3，5，7，9表示未命中十环，再以每三个随机数为一组，代表三次
射击的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数：
据此估计，小张三次射
击恰有两次命中十环的概率约为__________.
4．（2022·全国·高二课时练习）为了研究某种油菜籽的发芽率，科研人员在相同条件下做了8批试验，油
菜籽发芽试验的相关数据如下表．
批次 1 2 3 4 5 6 7 8
每批粒 300
5 10 130 700 1500 2000 5000
数 0
发芽粒 270
4 9 116 637 1370 1786 4490
数 9
(1)如何计算各批试验中油菜籽发芽的频率？
(2)由各批油菜籽发芽的频率，可以得到频率具有怎样的特征？
(3)如何确定该油菜籽发芽的概率？
5．（2022·湖南·高一课时练习）某文具厂打算生产一种中学生使用的笔袋，但无法确定各种颜色的产量，
于是该文具厂就笔袋的颜色随机调查了5000名中学生，并在调查到1000名，2000名，3000名，4000名，
5000名时分别计算了各种颜色的频率，绘制的折线图如下：(1)随着调查次数的增加，红色的频率如何变化？
(2)你能估计中学生选取红色的概率是多少吗？
(3)若你是该厂的负责人，你将如何安排生产各种颜色笔袋的产量？
题型三：互斥事件与对立事件的概率
典型例题
例题1．（2022·河北唐山·高一期末）甲、乙两人独立地破译一份密码，已知两人能独立破译的概率分别是
0.3，0.4，则密码被成功破译的概率为（ ）
A．0.18 B．0.7 C．0.12 D．0.58
例题2．（2022·江西·高三阶段练习（理））甲、乙两人打台球，每局甲胜的概率为 ，若采取三局两胜制，
即先胜两局者获胜且比赛结束，则比赛三局结束的概率为（ ）
A． B． C． D．
例题3．（2022·河南·商丘市第一高级中学高一阶段练习）投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴
饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，
且甲、乙每次投壶投中的概率分别为 ，每人每次投壶相互独立．若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投
中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
例题4．（2022·全国·高一课时练习）某网站登录密码由四位数字组成，某同学将四个数字 ，编排了一个顺序作为密码．由于长时间未登录该网站，他忘记了密码．若登录时随机输人由 组成的一个
密码，则该同学不能顺利登录的概率是（ ）
A． B． C． D．
同类题型归类练
1．（2022·河南商丘·高一期末）已知袋子中有10个小球，其中红球2个，黑球和白球共8个，从中随机取
出一个，设取出红球为事件A，取出黑球为事件B，随机事件C与B对立.若 ，则
（ ）
A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.8
2．（2022·河南安阳·高一期末）银行定期储蓄存单的密码由6个数字组成，每个数字均是0~9中的一个，
小王去银行取一笔到期的存款时，忘记了密码中某一位上的数字，他决定不重复地随机进行尝试，则不超
过2次就按对密码的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·黑龙江·哈尔滨三中高一期末）甲乙两名运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶
概率为0.9，则至少有一人中靶的概率为（ ）
A．0.26 B．0.72 C．0.74 D．0.98
4．（2022·山东聊城·高一期末）甲､乙两人打靶，已知甲的命中率为0.8，乙的命中率为0.7，若甲､乙分别
向同一靶子射击一次，则该靶子被击中的概率为（ ）
A．0.94 B．0.90 C．0.56 D．0.38
第四部分：高考真题感悟
1．（2020·海南·高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的
学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
（ ）
A．62% B．56%
C．46% D．42%
2．（2020·天津·高考真题）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为 和 ．假定两球是否落入盒子互不影
响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．
