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§10.6 事件的相互独立性与条件概率
考试要求 1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，
会利用全概率公式计算概率．
知识梳理
1．相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ P ( A ) P ( B ) 成立，则称事件A与事件B相互独
立，简称为独立．
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
2．条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的
条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
(2)两个公式
①利用古典概型：P(B|A)＝；
②概率的乘法公式：P(AB)＝ P ( A ) P ( B | A ) ．
3．全概率公式
一般地，设A ，A ，…，A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A ＝Ω，且P(A)>0，i＝
1 2 n 1 2 n i
1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(A)P(B|A)．
i i
常用结论
1．两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另
一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．
2．P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事件
A发生的概率．
3．计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．( × )
(2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．( √ )
(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，则
A，B相互独立．( √ )
(4)若事件A 与A 是对立事件，则对任意的事件 B⊆Ω，有P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|
1 2 1 1 2
A)．( √ )
2
教材改编题1．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为 0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、
乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为( )
A．1 B．0.629
C．0 D．0.74或0.85
答案 B
解析 由题意知甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，∴甲、乙两根保险丝都熔断的概率为
0.85×0.74＝0.629.
2．若P(A|B)＝，P(B)＝，则P(AB)的值是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由P(AB)＝P(A|B)P(B)，
可得P(AB)＝×＝.
3．已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为 2∶1，货车和客车中途停车修理的概率分
别为0.02,0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设B表示汽车中途停车修理，A 表示公路上经过的汽车是货车，A 表示公路上经过
1 2
的汽车是客车，
则P(A)＝，P(A)＝，P(B|A)＝0.02，P(B|A)＝0.01，
1 2 1 2
则由全概率公式，可知一辆汽车中途停车修理的概率为P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)·P(B|A)＝
1 1 2 2
×0.02＋×0.01＝.
题型一 条件概率
例1 (1)某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只
能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件 A为“员工小王的车停在编号为奇
数的车位上”，事件B为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则P(A|B)等于( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 根据条件概率的计算公式可得，
P(A|B)＝＝＝.
(2)(多选)(2022·滨州模拟)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增
进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2
道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结
论中正确的是( )
A．P(A)＝ B．P(AB)＝
C．P(B|A)＝ D．P(B|)＝
答案 ABC
解析 P(A)＝＝，故A正确；
P(AB)＝＝，故B正确；
P(B|A)＝＝＝，故C正确；
P()＝1－P(A)＝1－＝，
P(B)＝＝，
P(B|)＝＝＝，故D错误．
教师备选
1．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第
一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 记A＝“第一次摸出的是次品”，B＝“第二次摸到的是正品”，由题意知，
P(A)＝＝，P＝×＝，
则P＝＝＝.
2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，
甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(
)
A. B. C. D.
答案 B
解析 设A＝{甲第一次拿到白球}，
B＝{甲第二次拿到红球}，
则P(AB)＝＝，P(A)＝＝，
所以P(B|A)＝＝.
思维升华 求条件概率的常用方法
(1)定义法：P(B|A)＝.
(2)样本点法：P(B|A)＝.
(3) 缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．
跟踪训练1 (1) (多选)下列说法正确的是( )
A．P(A|B)0，P(B|A)＋P()＝1，则事件A与事件B( )
A．互斥 B．对立
C．相互独立 D．以上均不正确
答案 C
解析 依题意，
P(B|A)＋P()＝P(B|A)＋1－P(B)＝1，
则P(B|A)＝P(B)，
即＝P(B)，
于是得P(AB)＝P(A)P(B)，
所以事件A与事件B相互独立．
4．某道数学试题含有两问，当第一问正确做答时，才能做第二问，为了解该题的难度，调
查了100名学生的做题情况，做对第一问的学生有80人，既做对第一问又做对第二问的学
生有72人，以做对试题的频率近似作为做对试题的概率，已知某个学生已经做对第一问，
则该学生做对第二问的概率为( )
A．0.72 B．0.8
C．0.9 D．0.2
答案 C
解析 做对第一问的学生有80人，则做对第一问的频率为0.8，做对第一问又做对第二问的
学生有72人，则两问都做对的频率为0.72，设“做对第一问”为事件A，“做对第二问”
为事件B，则P(A)＝0.8，P(AB)＝0.72，某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的
概率P(B|A)＝＝＝0.9.
5．(多选)下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有( )
A．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数
为偶数”
B．袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1
次摸到红球”，事件B＝“第2次摸到红球”C．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”
D．一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”
答案 CD
解析 在A中，P(MN)＝0，所以M，N不相互独立；在B中，M，N不是相互独立事件；
在C中，P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，P(MN)＝P(M)·P(N)，因此M，N是相互独立事件；在
D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件．
6．(多选)(2022·合肥质检)有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第
2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1,2,3台车床的零件数分
别占总数的25%,30%,45%，则下列选项正确的有( )
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B．任取一个零件是次品的概率为0.052 5
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
答案 BC
解析 记A 为事件“零件为第i(i＝1,2,3)台车床加工”，记B为事件“任取一个零件为次
i
品”，
则P(A)＝0.25，P(A)＝0.3，P(A)＝0.45，
1 2 3
对于A，即P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.25×0.06＝0.015，A错误；
1 1 1
对于B，P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P(A)·P(B|A)＋P(A)·P(B|A)
1 1 2 2 3 3
＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05
＝0.052 5，B正确；
对于C，
P(A|B)＝＝
2
＝，C正确；
对于D，
P(A|B)＝＝
3
＝，D错误．
7．冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，医务工作者行动
会更方便．研究人员得到石墨烯后，在制作石墨烯发热膜时有三个环节：①透明基底及UV
胶层；②石墨烯层；③表面封装层．每个环节生产合格的概率均为，且各生产环节相互独立．
则成功生产出质量合格的发热膜的概率为________．
答案
解析 由题意，要成功生产出质量合格的发热膜，则制作石墨烯发热膜的三个环节都必须合
格，
∴成功生产出质量合格的发热膜的概率为P＝××＝.
8．某学校有A，B两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天
去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅
的概率为0.8.则甲同学第二天去A餐厅用餐的概率为________．
答案 0.7
解析 设A＝“第1天去A餐厅用餐”，
1
B＝“第1天去B餐厅用餐”，
1
A＝“第2天去A餐厅用餐”，
2
则Ω＝A∪B，且A 与B 互斥，
1 1 1 1
根据题意得：
P(A)＝P(B)＝0.5，P(A|A)＝0.6，
1 1 2 1
P(A|B)＝0.8，
2 1
由全概率公式，得
P(A)＝P(A)P(A|A)＋P(B)P(A|B)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.
2 1 2 1 1 2 1
9．“西北狼联盟”学校为了让同学们树立自己的学习目标，特进行了“生涯规划”知识竞
赛．已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得
零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正
确与否相互之间没有影响．
(1)分别求甲队总得分为0分，2分的概率；
(2)求甲队得2分乙队得1分的概率．
解 (1)记“甲队总得分为0分”为事件A，“甲队总得分为2分”为事件B，
甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率P(A)＝3＝；
甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，
其概率P(B)＝3×2＝.
(2)记“乙队得1分”为事件C，“甲队得2分乙队得1分”为事件D，事件C即乙队三人中
有2人答错，其余1人答对，
则P(C)＝××＋××＋××＝，
甲队得2分乙队得1分即事件B，C同时发生，
则P(D)＝P(B)P(C)＝×＝.
10．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是
0.02.加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．
(1)求任意取出的零件是合格品的概率；
(2)如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
解 设A表示“第i台机床加工的零件”(i＝1,2)；B表示“出现废品”；C表示“出现合格
i
品”．(1)P(C)＝P(AC∪AC)＝P(AC)＋P(AC)
1 2 1 2
＝P(A)P(C|A)＋P(A)P(C|A)
1 1 2 2
＝×(1－0.03)＋×(1－0.02)≈0.973.
(2)P(A|B)＝
2
＝
＝＝0.25.
11．(多选)某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中
的机会均等)，记A为“男生甲被选中”，B为“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下
列结论中正确的是( )
A．P(A)＝ B．P(AB)＝
C．P(B)＝ D．P(B|A)＝
答案 ABD
解析 由题意得P(A)＝＝＝，故A正确；
P(AB)＝＝，故B正确；
P(B)＝1－＝1－＝，故C错误；
P(B|A)＝＝＝，故D正确．
12．(2022·张家口模拟)某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学
经过考核选拔通过该校的“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为a，
b，，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为，假设该同学经过考核通过这三个社团选
拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为，
则ab·＋a(1－b)＋b(1－a)＝，
所以(a＋b)－ab＝，
所以a＋b－ab＝，
所以该同学一个社团都不进入的概率
P＝(1－a)(1－b)·
＝[1－(a＋b)＋ab]
＝{1－[(a＋b)－ab]}
＝×
＝.
13．设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为，则A与B都发生的概率可能为( )A. B. C. D.
答案 D
解析 因为A，B是相互独立事件，设A不发生的概率为x，B不发生的概率为y，
则xy＝，0Q；
n n
当n＝3k＋1(k∈N*)时，P＝Q；
n n
当n＝3k＋2(k∈N*)时，P
