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§10.6 事件的相互独立性与条件概率
考试要求 1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，
会利用全概率公式计算概率．
知识梳理
1．相互独立事件
(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝ P ( A ) P ( B ) 成立，则称事件A与事件B相互独
立，简称为独立．
(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
2．条件概率
(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的
条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．
(2)两个公式
①利用古典概型：P(B|A)＝；
②概率的乘法公式：P(AB)＝ P ( A ) P ( B | A ) ．
3．全概率公式
一般地，设A ，A ，…，A 是一组两两互斥的事件，A∪A∪…∪A ＝Ω，且P(A)>0，i＝
1 2 n 1 2 n i
1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝(A)P(B|A)．
i i
常用结论
1．两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另
一事件发生的概率没有影响，两事件相互独立不一定互斥．
2．P(B|A)是在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A|B)是在事件B发生的条件下事件
A发生的概率．
3．计算条件概率P(B|A)时，不能随便用事件B的概率P(B)代替P(AB)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．( × )
(2)若事件A，B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．( √ )
(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”为事件A，“第2枚为正面”为事件B，则
A，B相互独立．( √ )
(4)若事件A 与A 是对立事件，则对任意的事件 B⊆Ω，有P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|
1 2 1 1 2
A)．( √ )
2
教材改编题1．一个电路上装有甲、乙两根保险丝，甲熔断的概率为 0.85，乙熔断的概率为0.74，甲、
乙两根保险丝熔断与否相互独立，则两根保险丝都熔断的概率为( )
A．1 B．0.629
C．0 D．0.74或0.85
答案 B
解析 由题意知甲、乙两根保险丝熔断与否相互独立，∴甲、乙两根保险丝都熔断的概率为
0.85×0.74＝0.629.
2．若P(A|B)＝，P(B)＝，则P(AB)的值是( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由P(AB)＝P(A|B)P(B)，
可得P(AB)＝×＝.
3．已知某公路上经过的货车与客车的数量之比为 2∶1，货车和客车中途停车修理的概率分
别为0.02,0.01，则一辆汽车中途停车修理的概率为( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 设B表示汽车中途停车修理，A 表示公路上经过的汽车是货车，A 表示公路上经过
1 2
的汽车是客车，
则P(A)＝，P(A)＝，P(B|A)＝0.02，P(B|A)＝0.01，
1 2 1 2
则由全概率公式，可知一辆汽车中途停车修理的概率为P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)·P(B|A)＝
1 1 2 2
×0.02＋×0.01＝.
题型一 条件概率
例1 (1)某公司为方便员工停车，租了6个停车位，编号如图所示．公司规定：每个车位只
能停一辆车，每个员工只允许占用一个停车位．记事件 A为“员工小王的车停在编号为奇
数的车位上”，事件B为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”，则P(A|B)等于( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 根据条件概率的计算公式可得，
P(A|B)＝＝＝.
(2)(多选)(2022·滨州模拟)为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增
进全体党员干部职工对党史知识的了解，某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和2道填空题)，不放回地依次随机抽取2
道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第2次抽到选择题”，则下列结
论中正确的是( )
A．P(A)＝ B．P(AB)＝
C．P(B|A)＝ D．P(B|)＝
答案 ABC
解析 P(A)＝＝，故A正确；
P(AB)＝＝，故B正确；
P(B|A)＝＝＝，故C正确；
P()＝1－P(A)＝1－＝，
P(B)＝＝，
P(B|)＝＝＝，故D错误．
教师备选
1．对标有不同编号的6件正品和4件次品的产品进行检测，不放回地依次摸出2件．在第
一次摸出次品的条件下，第二次摸到正品的概率是( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 记A＝“第一次摸出的是次品”，B＝“第二次摸到的是正品”，由题意知，
P(A)＝＝，P＝×＝，
则P＝＝＝.
2．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，
甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(
)
A. B. C. D.
答案 B
解析 设A＝{甲第一次拿到白球}，
B＝{甲第二次拿到红球}，
则P(AB)＝＝，P(A)＝＝，
所以P(B|A)＝＝.
思维升华 求条件概率的常用方法
(1)定义法：P(B|A)＝.
(2)样本点法：P(B|A)＝.
(3) 缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．
跟踪训练1 (1) (多选)下列说法正确的是( )
A．P(A|B)<P(AB) B．P(A|B)＝是可能的C．0≤P(A|B)≤1 D．P(A|A)＝1
答案 BCD
解析 由条件概率公式P(A|B)＝及0<P(B)≤1，知P(A|B)≥P(AB)，故A错误；
当事件B包含事件A时，有P(AB)＝P(A)，
此时P(A|B)＝，故B正确；由于0≤P(A|B)≤1，P(A|A)＝1，故C，D正确．
(2)(2022·石家庄模拟)某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院某科室的5名男医生(含
一名主任医师)、4名女医生(含一名主任医师)中分别选派3名男医生和2名女医生，则在有
一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 设事件A表示“有一名主任医师被选派”，事件B表示“两名主任医师都被选派”，
则“在有一名主任医师被选派的条件下，两名主任医师都被选派”的概率为P(B|A)＝＝＝
＝.
题型二 相互独立事件的概率
例2 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随
机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二
次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两
次取出的球的数字之和是7”，则( )
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
答案 B
解析 事件甲发生的概率P(甲)＝，事件乙发生的概率P(乙)＝，事件丙发生的概率P(丙)＝
＝，事件丁发生的概率 P(丁)＝＝.事件甲与事件丙同时发生的概率为 0，P(甲
丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为＝，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，
故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为＝，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙
与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．
(2)(多选)甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．
先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以 A ，A 和A 表示由甲罐取出的球是红球，白球
1 2 3
和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下
列结论中正确的是( )
A．P(B)＝
B．P(B|A)＝
1
C．事件B与事件A 相互独立
1
D．A，A，A 是两两互斥的事件
1 2 3
答案 BD解析 易知A，A，A 是两两互斥的事件，
1 2 3
P(B|A)＝＝＝，
1
P(B)＝P(BA)＋P(BA)＋P(BA)＝×＋×＋×＝.
1 2 3
延伸探究 (多选)若将乙罐中球的个数改为“乙罐中有3个红球，4个白球和3个黑球”，
其他条件不变，则下列选项正确的是( )
A．P(B)＝
B．P(B|A)＝
1
C．事件B与事件A 相互独立
1
D．A，A，A 是两两互斥的事件
1 2 3
答案 BD
解析 由题意A，A，A 是两两互斥的事件，
1 2 3
P(A)＝＝，P(A)＝＝，
1 2
P(A)＝，
3
P(B|A)＝＝＝，
1
由此知，B正确；
P(B|A)＝，P(B|A)＝，
2 3
而P(B)＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)
1 2 3
＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＋
1 1 2 2
P(A)P(B|A)＝×＋×＋×＝.由此知A，C不正确．
3 3
教师备选
1．(多选)若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系错误的是( )
A．事件A与B互斥
B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立
D．事件A与B既互斥又独立
答案 ABD
解析 由题意可得P(A)＝1－P()＝，
因为P(AB)＝，P(B)＝，
所以P(AB)＝P(A)·P(B)，
故事件A与B相互独立．
2．(2022·福州模拟)投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏．晋代在广泛开展
投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了
许多名目，如“贯耳(投入壶耳)”．每一局投壶，每一位参赛者各有四支箭，投入壶口一次
得1分，投入壶耳一次得2分．现有甲、乙两人进行投壶比赛(两人投中壶口、壶耳是相互独立的)，甲四支箭已投完，共得3分，乙投完2支箭，目前只得1分，乙投中壶口的概率
为，投中壶耳的概率为.四支箭投完，以得分多者赢．请问乙赢得这局比赛的概率为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由题意，若乙要赢得这局比赛，按照乙第三支箭的情况可分为两类：
(1)第三支箭投中壶口，第四支箭必须投入壶耳，
其概率为P＝×＝；
1
(2)第三支箭投入壶耳，第四支箭投入壶口、壶耳均可，
其概率为P＝×＝，所以乙赢得这局比赛的概率为P＝P＋P＝＋＝.
2 1 2
思维升华 求相互独立事件同时发生的概率的方法
(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．
(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．
跟踪训练2 溺水、触电等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视，为了普及
安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队3人，每人回答一个问题，答对得
1分，答错得0分．在竞赛中，假设甲队每人回答问题的正确率均为，乙队每人回答问题的
正确率分别为，，，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．
(1)分别求甲队总得分为3分与1分的概率；
(2)求甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率．
解 (1)记“甲队总得分为3分”为事件A，“甲队总得分为1分”为事件B.
甲队得3分，即三人都回答正确，
其概率P(A)＝××＝，
甲队得1分，即三人中只有1人回答正确，其余2人都回答错误，其概率
P(B)＝××＋××＋××＝.故甲队总得分为3分与1分的概率分别为，.
(2)记“甲队总得分为2分”为事件C，“乙队总得分为1分”为事件D.
甲队得2分，即甲队三人中有2人回答正确，1人回答错误，
则P(C)＝××＋××＋××＝，
乙队得1分，即乙队三人中只有1人回答正确，其余2人回答错误，
则P(D)＝××＋××＋××＝.
由题意得事件C与事件D相互独立，
则甲队总得分为2分且乙队总得分为1分的概率为P(CD)＝P(C)P(D)＝×＝.
题型三 全概率公式的应用
例3 (1)某保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统
计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05,0.15,0.30.若该保险公司的被保
险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占
30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是( )A．0.155 B．0.175
C．0.016 D．0.096
答案 B
解析 设事件B 表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件B 表示“被保险人是‘一般的’”，
1 2
事件B 表示“被保险人是‘冒失的’”，则P(B)＝20%，P(B)＝50%，P(B)＝30%.设事件
3 1 2 3
A表示“被保险人在一年内发生事故”，则P(A|B)＝0.05，P(A|B)＝0.15，P(A|B)＝0.30.由
1 2 3
全概率公式，得P(A)＝(B)P(A|B)＝0.05×20%＋0.15×50%＋0.30×30%＝0.175.
i i
(2)人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因
素，比如利率的变化．现假设人们经分析估计利率下调的概率为 60%，利率不变的概率为
40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率为80%，而在
利率不变的情况下，其价格上涨的概率为40%，则该支股票将上涨的概率为________．
答案 0.64
解析 记“利率下调”为事件A，则“利率不变”为事件，“价格上涨”为事件C，
由题意知：P(A)＝60%，P()＝40%，
P(C|A)＝80%，P(C|)＝40%，
∴P(C)＝P(A)P(C|A)＋P()P(C|)
＝0.48＋0.16＝0.64.
教师备选
已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.25%患有色盲症，随机抽一人发现
患色盲症，其为男子的概率为(设男子和女子的人数相等)( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 设A表示“男子”，B表示“女子”，C表示“这人有色盲”，
则P(C|A)＝0.05，P(C|B)＝0.002 5，
P(A)＝0.5，P(B)＝0.5，
可得P(A|C)＝
＝＝.
思维升华 利用全概率公式的思路
(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A(i＝1,2，…，n)；
i
(2)求P(A)和所求事件B在各个互斥事件A发生条件下的概率P(A)P(B|A)；
i i i i
(3)代入全概率公式计算．
跟踪训练3 (1)某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为 0.5，知道正
确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目
的概率为( )A．0.625 B．0.75
C．0.5 D．0
答案 A
解析 用A表示事件“考生答对了”，用B表示“考生知道正确答案”，
用表示“考生不知道正确答案”，
则P(B)＝0.5，P()＝0.5，P(A|B)＝100%，
P(A|)＝0.25，
则P(A)＝P(AB)＋P(A)
＝P(A|B)P(B)＋P(A|)P()
＝1×0.5＋0.25×0.5＝0.625.
(2)葫芦山庄襟渤海之辽阔，仰天角之雄奇，勘葫芦之蕴涵，显人文之魅力，是渤海湾著名
的人文景区，是葫芦岛市“葫芦文化与关东民俗文化”代表地和中小学综合实践教育基地．
山庄中葫芦品种分为亚腰、瓢、长柄锤、长筒、异型、花皮葫芦等系列．其中亚腰胡芦具有
天然迷彩花纹，果实形状不固定，观赏性强，每株亚腰葫芦可结出果实 20～80个.2021年初
葫芦山庄播种用的一等亚腰葫芦种子中混有2%的二等种子，1.5%的三等种子，1%的四等种
子，一、二、三、四等种子长出的葫芦秧结出 50 颗以上果实的概率分别为 0.5，
0.15,0.1,0.05，则这批种子所生长出的葫芦秧结出50颗以上果实的概率为________．
答案 0.482 5
解析 设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件分别是A ，A ，A ，A ，则
1 2 3 4
Ω＝A∪A∪A∪A ，且A ，A ，A ，A 两两互斥，设B表示“从这批种子中任选一颗，所
1 2 3 4 1 2 3 4
生长出的葫芦秧结出50颗以上果实”，
则P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＋P(A)·P(B|A)＋P(A)P(B|A)
1 1 2 2 3 3 4 4
＝95.5%×0.5＋2%×0.15＋1.5%×0.1＋1%×0.05＝0.482 5.
课时精练
1．从应届高中生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其
他几项标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该生各项均合格的概率为(假设各项标准
互不影响)( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 各项均合格的概率为××＝.
2．(2022·开封模拟)某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.8，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是( )
A．0.819 2 B．0.972 8
C．0.974 4 D．0.998 4
答案 B
解析 4个都不亮的概率为(1－0.8)4＝0.001 6，
只有1个亮的概率为
4×0.8×(1－0.8)3＝0.025 6，
所以至少有两个能正常照明的概率是
1－0.001 6－0.025 6＝0.972 8.
3．已知P(A)>0，P(B|A)＋P()＝1，则事件A与事件B( )
A．互斥 B．对立
C．相互独立 D．以上均不正确
答案 C
解析 依题意，
P(B|A)＋P()＝P(B|A)＋1－P(B)＝1，
则P(B|A)＝P(B)，
即＝P(B)，
于是得P(AB)＝P(A)P(B)，
所以事件A与事件B相互独立．
4．某道数学试题含有两问，当第一问正确做答时，才能做第二问，为了解该题的难度，调
查了100名学生的做题情况，做对第一问的学生有80人，既做对第一问又做对第二问的学
生有72人，以做对试题的频率近似作为做对试题的概率，已知某个学生已经做对第一问，
则该学生做对第二问的概率为( )
A．0.72 B．0.8
C．0.9 D．0.2
答案 C
解析 做对第一问的学生有80人，则做对第一问的频率为0.8，做对第一问又做对第二问的
学生有72人，则两问都做对的频率为0.72，设“做对第一问”为事件A，“做对第二问”
为事件B，则P(A)＝0.8，P(AB)＝0.72，某个学生已经做对第一问，则该学生做对第二问的
概率P(B|A)＝＝＝0.9.
5．(多选)下列各对事件中，M，N是相互独立事件的有( )
A．掷1枚质地均匀的骰子一次，事件M＝“出现的点数为奇数”，事件N＝“出现的点数
为偶数”
B．袋中有5个红球，5个黄球，除颜色外完全相同，依次不放回地摸两次，事件M＝“第1
次摸到红球”，事件B＝“第2次摸到红球”C．分别抛掷2枚相同的硬币，事件M＝“第1枚为正面”，事件N＝“两枚结果相同”
D．一枚硬币掷两次，事件M＝“第一次为正面”，事件N＝“第二次为反面”
答案 CD
解析 在A中，P(MN)＝0，所以M，N不相互独立；在B中，M，N不是相互独立事件；
在C中，P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝，P(MN)＝P(M)·P(N)，因此M，N是相互独立事件；在
D中，第一次为正面对第二次的结果不影响，因此M，N是相互独立事件．
6．(多选)(2022·合肥质检)有3台车床加工同一型号的零件．第1台加工的次品率为6%，第
2,3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1,2,3台车床的零件数分
别占总数的25%,30%,45%，则下列选项正确的有( )
A．任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为0.06
B．任取一个零件是次品的概率为0.052 5
C．如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率为
D．如果取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为
答案 BC
解析 记A 为事件“零件为第i(i＝1,2,3)台车床加工”，记B为事件“任取一个零件为次
i
品”，
则P(A)＝0.25，P(A)＝0.3，P(A)＝0.45，
1 2 3
对于A，即P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.25×0.06＝0.015，A错误；
1 1 1
对于B，P(B)＝P(A)·P(B|A)＋P(A)·P(B|A)＋P(A)·P(B|A)
1 1 2 2 3 3
＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05
＝0.052 5，B正确；
对于C，
P(A|B)＝＝
2
＝，C正确；
对于D，
P(A|B)＝＝
3
＝，D错误．
7．冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，医务工作者行动
会更方便．研究人员得到石墨烯后，在制作石墨烯发热膜时有三个环节：①透明基底及UV
胶层；②石墨烯层；③表面封装层．每个环节生产合格的概率均为，且各生产环节相互独立．
则成功生产出质量合格的发热膜的概率为________．
答案
解析 由题意，要成功生产出质量合格的发热膜，则制作石墨烯发热膜的三个环节都必须合
格，
∴成功生产出质量合格的发热膜的概率为P＝××＝.
8．某学校有A，B两家餐厅，甲同学第一天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第一天
去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.6；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅
的概率为0.8.则甲同学第二天去A餐厅用餐的概率为________．
答案 0.7
解析 设A＝“第1天去A餐厅用餐”，
1
B＝“第1天去B餐厅用餐”，
1
A＝“第2天去A餐厅用餐”，
2
则Ω＝A∪B，且A 与B 互斥，
1 1 1 1
根据题意得：
P(A)＝P(B)＝0.5，P(A|A)＝0.6，
1 1 2 1
P(A|B)＝0.8，
2 1
由全概率公式，得
P(A)＝P(A)P(A|A)＋P(B)P(A|B)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7.
2 1 2 1 1 2 1
9．“西北狼联盟”学校为了让同学们树立自己的学习目标，特进行了“生涯规划”知识竞
赛．已知甲、乙两队参赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得
零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正
确与否相互之间没有影响．
(1)分别求甲队总得分为0分，2分的概率；
(2)求甲队得2分乙队得1分的概率．
解 (1)记“甲队总得分为0分”为事件A，“甲队总得分为2分”为事件B，
甲队总得分为0分，即甲队三人都回答错误，其概率P(A)＝3＝；
甲队总得分为2分，即甲队三人中有1人答错，其余两人答对，
其概率P(B)＝3×2＝.
(2)记“乙队得1分”为事件C，“甲队得2分乙队得1分”为事件D，事件C即乙队三人中
有2人答错，其余1人答对，
则P(C)＝××＋××＋××＝，
甲队得2分乙队得1分即事件B，C同时发生，
则P(D)＝P(B)P(C)＝×＝.
10．两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是
0.02.加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．
(1)求任意取出的零件是合格品的概率；
(2)如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
解 设A表示“第i台机床加工的零件”(i＝1,2)；B表示“出现废品”；C表示“出现合格
i
品”．(1)P(C)＝P(AC∪AC)＝P(AC)＋P(AC)
1 2 1 2
＝P(A)P(C|A)＋P(A)P(C|A)
1 1 2 2
＝×(1－0.03)＋×(1－0.02)≈0.973.
(2)P(A|B)＝
2
＝
＝＝0.25.
11．(多选)某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛(每人被选中
的机会均等)，记A为“男生甲被选中”，B为“男生乙和女生丙至少一个被选中”，则下
列结论中正确的是( )
A．P(A)＝ B．P(AB)＝
C．P(B)＝ D．P(B|A)＝
答案 ABD
解析 由题意得P(A)＝＝＝，故A正确；
P(AB)＝＝，故B正确；
P(B)＝1－＝1－＝，故C错误；
P(B|A)＝＝＝，故D正确．
12．(2022·张家口模拟)某大学进行“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团选拔．某同学
经过考核选拔通过该校的“羽毛球”、“美术”、“音乐”三个社团的概率依次为a，
b，，已知三个社团中他恰好能进入两个的概率为，假设该同学经过考核通过这三个社团选
拔成功与否相互独立，则该同学一个社团都不能进入的概率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由题意知，三个社团中他恰好能进入两个的概率为，
则ab·＋a(1－b)＋b(1－a)＝，
所以(a＋b)－ab＝，
所以a＋b－ab＝，
所以该同学一个社团都不进入的概率
P＝(1－a)(1－b)·
＝[1－(a＋b)＋ab]
＝{1－[(a＋b)－ab]}
＝×
＝.
13．设两个相互独立事件A，B都不发生的概率为，则A与B都发生的概率可能为( )A. B. C. D.
答案 D
解析 因为A，B是相互独立事件，设A不发生的概率为x，B不发生的概率为y，
则xy＝，0<x，y≤1，
所以x＋y＝x＋≥2＝，当且仅当x＝，即x＝y＝时，等号成立，所以
P＝(1－x)(1－y)＝1－(x＋y)＋xy≤.
14．某病毒会造成“持续的人传人”，即存在A传B，B又传C，C又传D的传染现象，那
么A，B，C就被称为第一代、第二代、第三代传播者．假设一个身体健康的人被第一代、
第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.9,0.8，0.7.已知健康的小明参加了一次多人宴会，
参加宴会的人中有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，若小明参加
宴会仅和感染的10个人中的一个有所接触，则被感染的概率为________．
答案 0.83
解析 设事件E＝“小明与第一代传播者接触”，
事件F＝“小明与第二代传播者接触”，
事件G＝“小明与第三代传播者接触”，
事件D＝“小明被感染”，
则P(E)＝0.5，P(F)＝0.3，P(G)＝0.2，
P(D|E)＝0.9，P(D|F)＝0.8，P(D|G)＝0.7，
所以P(D)＝P(D|E)P(E)＋P(D|F)P(F)＋P(D|G)P(G)＝0.9×0.5＋0.8×0.3＋0.7×0.2＝0.83.
所以所求概率为0.83.
15．(多选)设随机变量X表示从1到n这n个整数中随机抽取的一个整数，Y表示从1到X
这X个整数中随机抽取的一个整数，则( )
A．当n＝2时，P(X＝2，Y＝1)＝
B．当n＝4时，P(X＋Y＝4)＝
C．当n＝k(k≥2且k∈N*)时，P(X＝k，Y＝k)＝
D．当n＝2k(k≥2且k∈N*)时，(X＝2i，Y＝1)＝
答案 ACD
解析 对于A，当n＝2时，
P(X＝2，Y＝1)＝×＝，故A正确；
对于B，当n＝4时，
∵X≥Y，
则由X＋Y＝4可得X＝3，Y＝1或X＝2，Y＝2，
∴P(X＋Y＝4)＝P(X＝3，Y＝1)＋P(X＝2，Y＝2)＝×＋×＝，故B错误；对于C，当n＝k(k≥2且k∈N*)时，
则P(X＝k，Y＝k)＝×＝，
故C正确；
对于D，
(X＝2i，Y＝1)＝×＋×＋…＋×＝＝，
所以D正确．
16．甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题，为体现公平，制定如下
规则：
①第一轮回答顺序为甲、乙、丙，第二轮回答顺序为乙、丙、甲，第三轮回答顺序为丙、甲、
乙，第四轮回答顺序为甲、乙、丙，…，后面按此规律依次向下进行；
②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出．
已知每次甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，丙回答正确的概率为，三个人回答每
个问题相互独立．
(1)求一轮中三人全部回答正确的概率；
(2)分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率；
(3)记P 为甲在第n轮胜出的概率，Q 为乙在第n轮胜出的概率，求P 与Q ，并比较P 与
n n n n n
Q 的大小．
n
解 (1)设“一轮中三人全部回答正确”为事件M，
则P(M)＝××＝.
(2)甲在第一轮胜出的概率为×＝.
甲在第二轮胜出，说明第一轮、第二轮中三人都回答正确，第三轮中丙回答错误，
故甲在第二轮胜出的概率为
××＝2×＝.
同理，甲在第三轮胜出的概率为
××××＝3×＝.
(3)由(2)知P＝，
1
P＝2×＝，
2
P＝3×＝.
3
由题意得
P＝3×P＝3×＝4，
4 1
P＝3×P＝5×，
5 2
P＝3×P＝6×，
6 3
P＝6×P＝7，….
7 1
所以当n＝3k(k∈N*)时，P＝n×；
n
当n＝3k＋1(k∈N*)时，P＝n；
n当n＝3k＋2(k∈N*)时，
P＝n×.
n
同理可得当n＝3k(k∈N*)时，
Q＝n×；
n
当n＝3k＋1(k∈N*)时，
Q＝n；
n
当n＝3k＋2(k∈N*)时，
Q＝n－1×.
n
所以当n＝3k(k∈N*)时，P>Q；
n n
当n＝3k＋1(k∈N*)时，P＝Q；
n n
当n＝3k＋2(k∈N*)时，P<Q.
n n
