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专题24.3 正多边形与圆（六个考点3个易错点）
【考点1 求正多边形的中心角】
【考点2 正多边形与圆求线段长度】
【考点3 正多边形与圆求半径】
【考点4正多边形与圆求面积】
【考点5 正多边形与圆求周长】
【考点6 正多边形与直角坐标系综合】
【考点1 求正多边形的中心角】
1．图中的五角星图案，绕着它的中心O旋转n°后，能与自身重合，则n的值至少是
（ ）
A．144 B．72 C．60 D．50
【答案】B
【分析】五角星图案，可以被平分成五部分，因而每部分被分成的圆心角是72°，并且圆
具有旋转不变性，因而旋转72度的整数倍，就可以与自身重合．
【详解】该图形被平分成五部分，旋转72度的整数倍，就可以与自身重合，
∴旋转的度数至少为72°，
故选：B．
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初
始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做
旋转角．
2．如果正多边形的中心角是60°，那么该正多边形的内角和为 ．
【答案】720°/720度【分析】本题考查了正多边形和圆，多边形内角与外角．先利用多边形的中心角为60°，
计算出这个正多边形的边数，然后根据内角和公式求解．
360°
【详解】解：这个正多边形的边数为 =6，
60°
所以这个正多边形的内角和=(6−2)×180°=720°．
故答案为：720°．
3．如图，A、B、C、D为一个正多边形的相邻四个顶点，O为正多边形的中心，若
∠ADB=12°，则这个正多边形的边数为 ．
【答案】15
【分析】连接AO，BO，根据圆周角定理得到∠AOB=24°，根据中心角的定义即可求解．
【详解】解：如图，连接AO，BO，
∴∠AOB=2∠ADB=24°，
360°
∴这个正多边形的边数为 =15，
24°
故答案为：15．
【点睛】本题主要考查正多边形的性质，解题的关键是熟知圆周角定理．
4．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，以OE为边构造正五边形OEGHK，则
∠DEG= ．【答案】48°/48度
【分析】连接OD，根据正六边形的性质得出△DOE是等边三角形，得到∠OED=60°，
再根据正五边形的内角和求出∠OEG的度数，即可得到答案．
【详解】解：连接OD,
∵点O是正六边形ABCDEF的中心，
360°
∴OD=OE,∠DOE= =60°，
6
∴△DOE是等边三角形，
∴∠OED=60°，
1
∵∠OEG= ×[(5−2)×180°)=108°，
5
∴∠DEG=108°−60°=48°，
故答案为：48°．
【点睛】此题考查了正多边形的性质，多边形的内角和公式，正确掌握正多边形的性质是
解题的关键．
5．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，作OF⊥BC交⊙O于点F，连接FA，则∠OFA＝
°．【答案】36
【分析】连接OA，OB，OB交AF于J．由正多边形中心角、垂径定理、圆周角定理得出
∠AOB＝72°，∠BOF＝36°，再由等腰三角形的性质得出答案．
【详解】解：连接OA，OB，OB交AF于J．
∵五边形ABCDE是正五边形，OF⊥BC，
1 1
∴B´F=C´F= B´C= A´B，
2 2
360° 1
∴∠AOB＝ = 72°，∠BOF= ∠AOB＝36°，
5 2
∴∠AOF＝∠AOB +∠BOF=108°，
∵OA＝OF，
1 1 1
∴∠OAF＝∠OFA＝ (180°−∠AOF)= (180°−108°)= ×72°＝36°
2 2 2
故答案为：36．
【点睛】本题主要考查了园内正多边形中心角度数、垂径定理和圆周角定理，垂直于弦的
直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧，垂径定理常与勾股定理以及圆周角定理相结360°
合来解题．正n边形的每个中心角都等于 ．
n
6．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB=AD，∠C=120°，点E在弧AD上．若
AE恰好为⊙O的内接正十边形的一边，弧DE的度数为 ．
【答案】84°
【详解】连接BD，OA，OE，OD，
∵四边形ABCD是圆的内接四边形，
∴∠BAD+∠C=180°，
∵∠C=120°，
∴∠BAD=60°，
∵AB=AD，
∴△ABD是正三角形，
∴∠ABD=60°，∠AOD=2∠ABD=120°，
∵AE恰好是⊙的内接正十边形的一边，
360°
∴∠AOE= =36°，
10
∴∠DOE=120°−36°=84°，
∴D´E的度数为84°.
【考点2 正多边形与圆求线段长度】
7．（2024•德阳）已知，正六边形ABCDEF的面积为6 ，则正六边形的边长为（ ）A．1 B． C．2 D．4
【答案】C
【解答】解：如图，连接OA，OB，过点O作OM⊥AB，垂足为点M，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB＝ ＝60°，
∵OA＝OB，
∴△AOB是正三角形，
∴OA＝OB＝AB，
设AB＝x，则OA＝OB＝x，
∴S正六边形 ＝6S△AOB ＝6 ，
∴6× ×x× x＝6 ，
解得x＝2或x＝﹣2＜0舍去，
即正六边形的边长为2．
故选：C．
8．（2024•庐阳区校级三模）如图，正六边形ABCDEF内接与 O，若 O的半径为5，则
CE等于（ ） ⊙ ⊙
A．8 B． C． D．9【答案】C
【解答】解：如图，连接OE、OC，OD，OD交CE于G，
，
∵正六边形ABCDEF内接与 O，
⊙
∴ ，CD＝DE，
∵OC＝OD＝5，
∴△OCD为等边三角形，
∴CD＝5，∠CDO＝60°，
∵CD＝DE，OC＝OE，
∴OD垂直平分CE，即∠CGD＝90°，
∴CE＝2CG， ，
∴ ，
故选：C．
9．（2024春•渠县校级月考）正六边形的半径为12，则它的边心距是（ ）
A．6 B． C． D．24
【答案】C
【解答】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．
在Rt△AOG中，OA＝12，∠AOG＝30°，
∴ ，∴ ．
故选：C．
10．（2024•确山县二模）我们都知道蜂巢是很多个正六边形组合来的．正六边形蜂巢的建
筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固．如图，某蜂巢的房孔是边长为
6的正六边形ABCDEF，若圆O的内接正六边形为正六边形ABCDEF，则BF的长为（
）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【解答】解：如图，连接OA、OB，
∵六边形ABCDEF是 O的内接正六边形，
⊙
∴AB＝AF＝6， ，
∴OA⊥BF，
∴BG＝FG，
∵OA＝OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴OB＝OA＝AB＝6，
在Rt△BOG中，∠O＝60°，OB＝6，
∴ ，
∴ ，故选：C．
11．（2024•越秀区校级开学）如图，正六边形 ABCDEF内接于 O，若 O的边心距
，则正六边形的边长是（ ） ⊙ ⊙
A． B．3 C．6 D．
【答案】A
【解答】解：连接OC，OD，如图，
∵正六边形ABCDEF内接于 O，
⊙
∴ ，
∴△OCD是等边三角形，
∵OG是 O的边心距，
⊙
∴ ，
∴ ，
由勾股定理得，OG2+CG2＝OC2，
∴
解得， ，∴ ，
故选：A．
12．（2023秋•白云区期末）如图，正六边形ABCDEF内接于 O， O的半径是1，则正
六边形ABCDEF的周长是（ ） ⊙ ⊙
A． B．6 C． D．12
【答案】B
【解答】解：如图，连接OA，OB．
在正六边形ABCDEF中，OA＝OB＝1，∠AOB＝ ＝60°，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝1，
∴正六边形ABCDEF的周长是1×6＝6．
故选：B．
13.（2023秋•禹州市期末）如图，正六边形ABCDEF内接于 O，已知 O的半径为1，连
接OA，OE，则四边形AOEF的周长为（ ） ⊙ ⊙
A．6 B． C．4 D．【答案】C
【解答】解析：连接OF，如解图所示．
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOF＝∠EOF＝60°．
又∵OA＝OF＝OE＝1，
∴△AOF，△EOF 均为等边三角形．
∴OA＝OE＝EF＝AF＝1．
∴四边形AOEF的周长为1×4＝4，
故选C．
14．（2024•和顺县一模）如图，正方形 ABCD内接于 O，点E为 上一点，连接AE，
⊙
BE，CE．若AE＝3，BE＝2 ，则CE的长为 1 ．
【答案】1．
【解答】解：如图，连接AC，OB，则AC是直径，过点B作BM⊥AE于点M，
∵正方形ABCD内接于 O，
⊙
∴∠AOB＝ ＝90°，
∴∠AEB＝ ∠AOB＝45°，
在Rt△BME中，BE＝2 ，∠BEM＝45°，
∴EM＝BM＝ BE＝2，∴AM＝AE﹣BM＝3﹣2＝1，
∴AB＝ ＝ ，
在Rt△ABC中，AB＝BC＝ ，
∴AC2＝AB2+BC2＝10，
在Rt△ACE中，AC2＝10，AE2＝32＝9，
∴CE＝ ＝ ＝1．
故答案为：1．
15．（2024•秦都区校级一模）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BD、EC交于点G，
已知半径为3，则BG的长为 2 ．
【答案】2 ．
【解答】解：如图，连接OB，OC，
∵六边形ABCDEF是 O的内接正六边形，
⊙
∴∠BOC＝ ＝60°，∠BCD＝∠CDE＝ ＝120°，
∵OB＝OC，
∴△BOC是正三角形，
∴OB＝OC＝BC＝3，∵BC＝CD＝DE，
∴∠CBD＝∠DCE＝ ＝30°，
∴∠BCG＝120°﹣30°＝90°，
在Rt△BCG中，BC＝3，∠CBG＝30°，
∴BG＝ ＝ ＝2 ，
故答案为： ．
【考点3 正多边形与圆求半径】
16．（2024•武威校级三模）如图，正六边形 ABCDEF内接于 O，正六边形的周长是
12，则 O的半径是（ ） ⊙
⊙
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解答】解：连接OB，OC，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC，
∵正六边形的周长是12，
∴BC＝2，
∴ O的半径是2．
故⊙选：C．
17．（2024•雁塔区校级模拟）如图，连接正六边形 ABCDEF的对角线AC、AE、CE，若
CE＝2，则正六边形ABCDEF外接圆的半径为 ．
【答案】 ．
【解答】解：连接OA，OC，OE，连接OB交AC于点G，
由题意可知：六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝BC，∠AOB＝∠BOC＝ ＝60°，
∴∠AOC＝120°，
同理可得：∠AOE＝∠COE＝120°，
∴AC＝CE＝AE，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴∠AGO＝90°，
∵AO＝CO，∠AOG＝∠COG，∴AG＝CG＝ ＝1，
在Rt△AOG中， ＝cos30°＝ ，
∴AO＝ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【考点4正多边形与圆求面积】
18．（2024•台江区校级模拟）如图所示的正八边形是用八个全等的等腰三角形拼成的，
OA＝OB＝2，则正八边形的面积为（ ）
A． B． C．8 D．16
【答案】A
【解答】解：过A作AC⊥OB于C，
∴∠ACO＝90°，
∵∠AOB＝ ＝45°，
∴OC＝AC＝ OA＝ ，
∴正八边形的面积＝8××2 ×＝8 ，故选：A．
19．（2024•平山县一模）如图，点O是正六边形ABCDEF对角线DF上的一点，若S正六边
形ABCDEF
＝30，则阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．15
C．20 D．随点O位置而变化
【答案】B
【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AB＝FE，BC＝ED，∠ABC＝∠FED，
∴△ABC≌△FED，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠B＝∠BAF＝∠AFE＝120°，
∵BC＝ED，
∴∠BAC＝∠BCA＝30°，
∴∠CAF＝90°，
同理∠AFD＝∠FDC＝90°，
∴四边形ACDF是矩形，
连接CF，
∵四边形ACDF是矩形，
∴S△ACF ＝S△DCF
根据三角形面积公式可得：
S△ACO ＝S△ACF ，
∴S△ABC +S△ACO ＝S△FED +S△FCD ，即：阴影部分的面积＝ S正六边形ABCDEF ＝15．
故选：B．
20．（2023秋•环江县期末）正六边形的边长为 6cm，则该正六边形的内切圆面积为（
）
A．48 cm2 B．36 cm2 C．24 cm2 D．27 cm2
【答案π】D π π π
【解答】解：如图，连接OA、OB，OG；
∵正六边形的边长为6cm，
∴六边形ABCDEF是半径为6的正六边形，
∴△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝6cm，∠OAB＝60°，
∴OG＝OA•sin60°＝6× ＝3 （cm），
∴边长为6cm的正六边形的内切圆的半径为3 cm．
该正六边形的内切圆面积为 cm2
故选：D．
21．（2023秋•东营期末）如图，正六边形ABCDEF中，△ABD的面积为4，则正六边形
ABCDEF的面积是（ ）A．8 B．10 C．12 D．14
【答案】C
【解答】解：如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，连接OB，
则OA＝OD，
∴S△OAB ＝S△OBD ＝ S△ABD ＝ ×4＝2，
∴S正六边形ABCDEF ＝6S△OAB ＝6×2＝12，
故选：C．
22．（2023秋•福州期末）如图所示，某同学作了一个圆内接正十二边形．若 O的半径
为1，则这个圆内接正十二边形的面积为（ ） ⊙
A．1 B．3 C． D．2
【答案】B π π
【解答】解：如图，过A作AC⊥OB于C，
∵圆的内接正十二边形的圆心角为 ，OA＝1，∴ ，
∴ ，
∴这个圆的内接正十二边形的面积为 ，
故选：B．
23．（2024•惠州模拟）如图，在正八边形ABCDEFGH中，将EF绕点E点逆时针旋转60°
到EP，连接AE，AP，若AB＝2，则△APE的面积为 1+ ﹣ ．
【答案】1+ ﹣ ．
【解答】解：如图，连接AF，PF，作PS⊥AF，HM⊥AF，GN⊥AF，
由正八边形性质得，AF∥HG，AF⊥EF，
∵EF＝PE，∠PEF＝60°，
∴△PEF为等边三角形，
∴∠PFE＝60°，∠PFA＝30°，
∵EF＝AB＝2，
∴PF＝2，PS＝1，
由正八边形性质得∠AHG＝135°，
∴∠AHM＝45°，
∵AH＝2，
∴AM＝2•sin45°＝ ，同理FN＝ ，∴AF＝2+2 ，
∴S△PAE ＝S△AEF ﹣S△PEF ﹣S△PAE
＝ EF•AF﹣ EF2﹣ AF•PS
＝ ×2（2+2 ）﹣ ×22﹣ （2+2 ）×1
＝1+ ﹣ ．
故答案为：1+ ﹣ ．
24．（2024•仪征市二模）如图，点M是正六边形ABCDEF对角线DF上的一点，若AB＝
2 ，则阴影部分的面积为 6 ．
【答案】6 ．
【解答】解：如图，连接AC，过点B作BG⊥AC于点G，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠ABC＝ ＝120°，AB＝BC＝CD＝AF＝2 ，
∴∠ABG＝∠CBG＝ ∠ABC＝60°，
在Rt△ABG中，AB＝2 ，∠ABG＝60°，
∴BG＝ AB＝ ，AG＝ AB＝ ，
∴AC＝2AG＝2 ，
∴S阴影部分 ＝S△ABC +S△AMC＝ ×2 × + ×2 ×2
＝6 ．
25．（2024•天祝县三模）如图，已知正五边形的边长为 2，则阴影部分的面积为
． π
【答案】 ．
π
【解答】解：由于正五边形的每一个内角的度数为： ＝108°，
所以阴影部分的面积S＝5S扇形 ＝5× ＝ ，
π
故答案为： ．
26．（2024•雁塔π区模拟）如图，正六边形 ABCDEF和正方形ABGH的边长都为2，则
△BCG的面积为 1 ．【答案】1．
【解答】解：连接BD，过点C作CM⊥BD，垂足为点M，
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴BC＝AB＝CD＝2，∠ABC＝∠BCD＝ ＝120°，
∴∠CBD＝∠CDB＝30°，
∵CM⊥BD，
∴CM＝ BC＝1，
∵四边形ABGH为正方形，
∴BG＝AB，∠ABG＝90°，
∴BC＝BG，∠CBG＝360°﹣90°﹣120°＝150°，
∴∠GBM＝∠CBM+∠CBG＝180°，
∴G，B，M三点共线，
∴S△BCG ＝ BG•CM＝ ×2×1＝1，
故答案为：1．
27．（2024•雁塔区校级一模）如图，正六边形ABCDEF内接于 O．
⊙
（1）若P是 上的动点，连接BP，FP，求∠BPF的度数；
（2）已知△ADF的面积为 ，求 O的面积．
⊙
【答案】（1）60°；（2）4 ．
【解答π】解：（1）如图所示，在弧CD取一点P，连接BP、AP、FP、FO，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴AF＝AB， ，
∴ ，
∵AF＝AB，
∴∠APB＝∠APF＝30°，
∴∠BPF＝∠APB+∠APF＝60°；
（2）∵∠A0F＝60°，AO＝FO，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠DAF＝60°；
∴ ，AD＝2AF，
∴ ，
∴AF＝2，即 O的半径为2，
∴ O的面积⊙＝ ×22＝4 ．
⊙ π π
【考点5 正多边形与圆求周长】
28．（2024•官渡区一模）如图，螺母的一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形
ABCDEF的半径是2 cm，则这个正六边形的周长是（ ）A．12cm B．6 cm C．36cm D．12 cm
【答案】D
【解答】解：设正六边形的中心为O，连接AO，BO，如图所示：
∵O是正六边形ABCDEF的中心，
∴AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠AOB＝60°，AO＝BO＝2 cm，
∴△AOB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2 cm，
∴正六边形ABCDEF的周长＝6AB＝12 cm．
故选：D．
【考点6 正多边形与直角坐标系综合】
30．（2024•宣恩县三模）蜂巢结构精巧，如图为其横截面示意图，其形状均为正六边形，
如图中的7个全等的正六边形不重复且无缝隙，以坐标原点为对称中心建立平面直角坐
标系，已知P（0，﹣2），则Q点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，连接OA，延长QC交x轴于点B，
∵点O是正六边形的中心，点A、点P是正六边形的顶点，
∴△AOP是正三角形，∵点P（0，﹣2），即OP＝2，
∴OA＝AP＝OP＝2＝QC，
∴OD＝ OA＝ ，
∴OB＝2OD＝2 ，
同理可得BC＝CQ＝AP＝2，
∴QB＝2QC＝4，
∵点Q在第二象限，
∴点Q（﹣2 ，4），
故选：B．
31．（2024•唐山二模）两个边长为2的正六边形按如图所示方式放置，则点A的坐标是（
）
A． B．（3，4） C． D．
【答案】D
【解答】解：如图所示，设左边正六边形的中心为C，连接CB，CD，AB，
∴ ，
∴△BCD是等边三角形，
∴∠CDB＝60°，
∵正六边形的一个内角度数为 ，
∴∠ADB＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∴∠CDB+∠ADB＝180°，
∴A、C、D三点共线，∵AD＝BD，
∴ ，
∴∠ABC＝90°，
∴ ，
又∵OB＝OC+BC＝4，
∴ ，
故选：D．
32．（2024•长沙模拟）正六边形结构在自然界是广泛存在的．如图，将一个正六边形放在
平面直角坐标系中，其中心与原点重合．若正六边形的边长是2，则点B的坐标为（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：连接OB，如图所示：
由正六边形是轴对称图形知：
在Rt△OBG中，∠GOB＝30°，OB＝2．
∴GB＝1，OG＝ ，
∴B（1， ），故选：A．
33．（2023秋•霍林郭勒市校级期末）如图，在平面直角坐标系中，正六边形OABCDE的
边长是4，则它的内切圆圆心M的坐标是（ ）
A． B． C． D．（2，4）
【答案】A
【解答】解：如图所示，作OE、CD的垂直平分线交于点F，即为内切圆圆心M，连接
MO，ME，
∵正六边形OABCDE的边长是4，
∴OH＝HE＝2，△OME为等边三角形，∠OMH＝30°，
∴MO＝2OH＝4，
∴
∴点M的坐标为：
故选：A．34．（2023秋•天津期末）如图，正六边形ABCDEF的中心为原点O，顶点B，E在x轴上，
半径为4，则顶点D的坐标为（ ）
A． B． C．（2，﹣4） D．
【答案】B
【解答】解：连接OD，OC，设CD交y轴于G，
∴OG⊥CD，
∵正六边形ABCDEF的中心为原点O，
∴∠COD＝ ＝60°，
∵OC＝OD＝4，
∴∠GOD＝ ＝30°，
∴DG＝2，
∴OG＝ ＝2 ，
∴D点的坐标为（2，﹣2 ）．
故选：B．35．（2024•碑林区校级四模）“剪纸”是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生
活或配合其他民俗活动的民间艺术．如图是一个正六边形剪纸，将其放在平面直角坐标
系中，边OE在x轴上，若点E的坐标为（4，0），则点A的坐标为 （﹣ 2 ， 2 ）
．
【答案】（﹣2，2 ）．
【解答】解：作AH⊥x轴于H，如图，
∵E的坐标为（4，0），
∴OE＝4，
∵多边形为正六边形，
∴OA＝OE＝4，∠AOE＝120°，
∴∠AOH＝60°，
∴OH＝ OA＝2，AH＝2 ，
∴A（﹣2，2 ）．故答案为：（﹣2，2 ）．
