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专题 4.4 导数在研究函数极值和最值的应
用
题型一 函数极值（点）的辨析
题型二 最值与极值的辨析
题型三 求已知函数的极值（点）和最值
题型四 根据极值（点）求参数
题型五 根据最值求参数
题型六 函数（导函数）图象与极值（点）的关系
题型七 利用导数解决实际问题
题型一 函数极值（点）的辨析
例1．（2023春·吉林长春·高二长春市实验中学校考阶段练习）（多选）函数 的导函
数 在区间 上的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 在 处有极小值
B．函数 在 处有极小值
C．函数 在区间 内有4个极值点
D．导函数 在 处有极大值
例2．（2023·全国·高三专题练习）若函数 存在一个极大值 与一个极小值
满足 ，则 至少有（ ）个单调区间.
A．3 B．4 C．5 D．6练习1．（2023春·北京大兴·高三校考阶段练习）若 是 上的连续可导函数，
，且 时， ， 时， ，则 是 的（ ）
A．极大值点 B．极小值点 C．最大值点 D．最小值点
练习2．（2023春·河南洛阳·高三校考阶段练习）对于定义在 上的可导函数 ，
为其导函数，下列说法正确的是（ ）
A．使 的 一定是函数的极值点
B． 在 上单调递增是 在 上恒成立的充要条件
C．若函数 既有极小值又有极大值，则其极小值一定不会比它的极大值大
D．若 在 上存在极值，则它在 一定不单调
练习3．（2023春·河北石家庄·高三校联考期中）已知函数 的导函数为 ，函数
的图象如图所示，则 在 ________处取得极大值，在 ________处取得
极小值.
练习4．（2023春·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）若函数 的定义域为R
且可导，则“ 在 处的导数为0”是“当 时， 取到极值”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
练习5．（2023·新疆喀什·校考模拟预测）以函数 的图象上相邻四个极
值点为顶点的四边形对角线互相垂直，则 ______.
题型二 最值与极值的辨析
例3．（2023·高三校考课时练习）下列有关函数的极值与最值的命题中，为真命题的是（）．
A．函数的最大值一定不是这个函数的极大值
B．函数的极大值可以小于这个函数的极小值
C．函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值
D．函数在开区间上不存在极大值和最大值
例4．（2023春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）定义在 上的可导函数
的导函数的图象如图所示，则以下结论正确的是（ ）
A． 是函数 的一个零点 B． 是函数 的极大值点
C． 的单调递增区间是 D． 无最小值
练习6．（2022秋·江西南昌·高三校联考期末）设 是区间 上的连续函数，且在
内可导，则下列结论中正确的是（ ）
A． 的极值点一定是最值点
B． 的最值点一定是极值点
C． 在区间 上可能没有极值点
D． 在区间 上可能没有最值点
练习7．（2023春·河北邯郸·高三武安市第三中学校考阶段练习）函数图象连续的函数
在区间 上（ ）
A．一定存在极小值 B．一定存在极大值 C．一定存在最大值 D．极小值一定比极大
值小
练习8．（2023·全国·高三专题练习）定义在闭区间 上的连续函数 有唯一的
极值点 ，且 ，则下列说法正确的是
A．函数 的最大值也可能是 B．函数 有最小值，但不一定是C．函数 有最小值 D．函数 不一定有最小值
练习9．（2023·全国·高三专题练习）设 ，在 上，以下结论正确的
是 （ ）
A． 的极值点一定是最值点 B． 的最值点一定是极值点
C． 在 上可能没有极值点 D． 在 上可能没有最值点
练习10．（2023·全国·高三专题练习）（多选）下列结论中不正确的是（ ）.
A．若函数 在区间 上有最大值，则这个最大值一定是函数 在区间 上的
极大值
B．若函数 在区间 上有最小值，则这个最小值一定是函数 在区间 上的
极小值
C．若函数 在区间 上有最值，则最值一定在 或 处取得
D．若函数 在区间 内连续，则 在区间 内必有最大值与最小值
题型三 求已知函数的极值（点）和最值
例5．（2023春·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考期中）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)求函数 的极值．
例6．（2023·广西玉林·统考模拟预测）已知 为函数 的极值点，则
在区间 上的最大值为（ ）（注： ）
A．3 B．
C．5 D．练习11．（2023春·上海杨浦·高三上海市控江中学校考期中）已知函数 ，
.
(1)求 的值，并写出该函数在点 处的切线方程；
(2)求函数 在区间 上的最大值和最小值.
练习12．（2023春·北京海淀·高三北理工附中校考期中）已知函数 .
(1)求 的极值；
(2)求 在区间 上的最大值和最小值；
(3)若曲线 在点 处的切线互相平行，写出 中点的坐标(只需直接写出结果).
练习13．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）已知函数 ， ，则
函数 的最小值为______.
练习14．（2023春·黑龙江鸡西·高三鸡西市第四中学校考期中）（多选）函数
，已知 在 时取得极值，则下列选项中正确的是（ ）
A．
B．函数 在 处有极大值为0
C．函数 在 处有极大值为0
D．函数 在区间 上单调递减
练习15．（2023春·四川绵阳·高三校考期中）已知 ，曲线
在点 处的切线斜率为5．
(1)求a的值；
(2)求函数 的极值．题型四 根据极值（点）求参数
例7．（2023春·北京·高三北师大二附中校考期中）已知函数
，当 时， 有极小值．写出符合上述要求的一组a，
b的值为a= _______ ，b=_______ ．
例8．（2023春·四川成都·高三树德中学校考阶段练习）若函数
有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练习16．（2023春·北京·高三汇文中学校考期中）已知函数 在 处有极
大值，则 ______.
练习17．（2023·山西阳泉·统考二模）（多选）已知 在 处取得极
大值3，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
练习18．（2023·江西九江·统考三模）已知函数 有两个极值点 ， ，
且 ，则 ______.
练习19．（2023春·北京东城·高三北京二中校考期中）已知函数 有两个极
值点，则实数 的取值范围是________．
练习20．（2023春·山东潍坊·高三统考期中）已知函数 在 取得极值，
则 _____________
题型五 根据最值求参数
例9．（2023春·山东聊城·高三山东省聊城第三中学校考期中）已知函数在 上的最大值为2，则 ______．
例10．（2023秋·陕西西安·高三长安一中校考期末）若函数 在 上
有最小值，则实数 的取值范围是_______.
练习21．（2023春·天津滨海新·高三校考期中）已知函数 在区间
上的最大值为28，则实数 的取值范围为__________．
练习22．（2023春·天津红桥·高三天津市瑞景中学校考期中）函数
的最大值为1，则实数 的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．
练习23．（2023春·河南商丘·高三商丘市实验中学校联考期中）若函数 在
区间 上存在最大值，则实数 的取值范围是______．
练习24．（2023·全国·高三专题练习）已知 和 有相同的最大值（
），求 的值；
练习25．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 的最小值为0．
求实数 的值；
题型六 函数（导函数）图象与极值（点）的关系
例11．（2023春·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）（多选）定义在 上
的函数 的导函数 的图象如图所示，函数 的部分对应值如下表．下列关于函
数 的结论正确的是（ ）x 0 2 4 5
1 3 1 3 2
A．函数 的极大值点的个数为2
B．函数 的单调递增区间为
C．当 时，若 的最小值为1，则t的最大值为2
D．若方程 有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是
例12．（2023春·吉林长春·高三长春吉大附中实验学校校考阶段练习）已知函数 ，
的导函数 ， 的图象如图所示，则 的极值情况为（ ）
A．2个极大值，1个极小值 B．1个极大值，1个极小值
C．1个极大值，2个极小值 D．1个极大值，无极小值
练习26．（2022春·河北·高三唐山一中校联考期中）设 是定义在R上的连续可导函数，
其导函数记为 ， 函数 的图象如图所示，给出下列判断：① 在 上是增函数； ② 共有2个极值点；
③ 在 上是单调函数； ④ .
其中正确的判断共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
练习27．（2022春·广东佛山·高三顺德市李兆基中学校考期中）（多选）已知函数f (x)的
定义域为R，导数为 ，如图是函数 的图象，则下列说法正确的有（ ）
A．函数f (x)的单调递减区间是
B．函数f (x)的单调递增区间是
C．x＝0是函数f (x)的零点
D．x＝－2时函数f (x)取极小值
练习28．（2022春·福建宁德·高三福建省福安市第一中学校考阶段练习）已知函数 的
导函数的图像如下图所示，
①函数 在 上单调递增；
②函数 在 上单调递减；
③当 时，函数 取得极小值；
④当 时，函数 取得极大值．
则上述结论中，正确结论的序号为（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．②③练习29．（2022·高二单元测试）（多选）已知函数 的定义域为 ，其导函数为
， 的部分图象如图所示，则（ ）
A． 在 上单调递增
B． 的最大值为
C． 的一个极大值点为
D． 的一个减区间为
练习30．（2022春·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考阶段练习）已知函数 的定义
域为 ，部分对应值如下表， 的导函数 的图象如图所示．则函数
的零点个数不可能为（ ）个．
x -1 0 4 5
1 2 2 1
A．2 B．3 C．4 D．5
题型七 利用导数解决实际问题
例13．我国是一个人口大国，产粮､储粮是关系国计民生的大事.现某储粮机构拟在长100
米，宽80米的长方形地面建立两座完全相同的粮仓（设计要求：顶部为圆锥形，底部为圆
柱形，圆锥高与底面直径为 ，粮仓高为50米，两座粮仓连体紧靠矩形一边），已知稻谷容重为600千克每立方米，粮仓厚度忽略不计，估算两个粮仓最多能储存稻谷（ ）（
取近似值3）
A．105000吨 B．68160吨 C．157000吨 D．146500吨
例14．（2023春·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考期中）某网球中心在10000平方米
土地上，欲建数块连成片的网球场．每块球场的建设面积为1000平方米．当该中心建设
块球场时，每平方米的平均建设费用（单位：元）可近似地用函数关系式
来刻画，此外该中心还需为该工程一次性向政府缴纳环保费用
1280000元．
(1)请写出当网球中心建设 块球场时，该工程每平方米的综合费用 的表达式，
并指出其定义域（综合费用是建设费用与环保费用之和）；
(2)为了使该工程每平方米的综合费用最省，该网球中心应建多少个球场？
练习31．（2022春·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）工厂生产某种产品，
每日的成本C（单位：元）与日产量 （单位：吨）满足函数关系式 ，每
日的销售额R（单位：元）与日产量 满足函数关系式： ，
已知每日的利润 ，且当 时 ．
(1)求 的值；
(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．
练习32．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·高三齐齐哈尔市第八中学校校考期中）用铁皮围成一
个容积为8 的有盖正四棱柱形水箱，需用铁皮的面积至少为_____ ．（注：铁皮厚度
不计，接缝处损耗不计）
练习33．（2023·重庆·统考模拟预测）某几何体的直观图如图所示，是由一个圆柱体与两
个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为2，高为4．现要加工成一个圆柱，使
得圆柱的两个底面的圆周落在半球的球面上，则圆柱的最大体积为______．练习34．（2023春·吉林长春·高三长春吉大附中实验学校校考阶段练习）第14届全运会于
2021年在陕西西安举行，其中水上项目将在西安奥体中心游泳跳水馆进行，为了应对比赛，
大会组委会将对泳池进行检修，已知泳池深度为2m，其容积为 ，如果池底每平方
米的维修费用为150元，设入水处的较短池壁长度为x，且据估计较短的池壁维修费用与池
壁长度成正比，且比练习系数为 ，较长的池壁总维修费用满足代数式 ，
则当泳池的维修费用最低时x值为______．
练习35．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）一艘渔船在进行渔
业作业的过程中，产生的主要费用有燃油费用和人工费用，已知渔船每小时的燃油费用与
渔船速度的立方成正比，已知当渔船的速度为10海里/小时时，燃油费用是600元/小时，
人工费用是4050元/小时，记渔船的航行速度为v（海里/小时），满足0≤v≤30，记渔船航
行一个小时的主要费用为q元（主要费用=燃油费+人工费），渔船每航行1海里产生的主
要费用为p元.
(1)用航行速度v（海里/小时）表示出航行一小时的主要费用q元；
(2)用航行速度v（海里/小时）表示出航行1海里产生的主要费用p元；
(3)求航行1海里产生的主要费用p（元）的最小值，及此时渔船的航行速度v（海里/小
时）的大小.
