文档内容
微专题：互斥、对立事件判断
【考点梳理】
1、互斥事件、对立事件概念
互斥
事件A与事件B不能同时发生 A∩B＝∅
(互不相容)
A∪B＝Ω，且
互为对立 事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生
A∩B＝∅
2、互斥事件、对立事件的判定方法：①利用基本概念；②利用集合的观点. 两者的区别及联系：两个事件A与B
是互斥事件，有如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事
件A，B都不发生. 两个事件A与B是对立事件，仅有前两种情况. 因此，互斥未必对立，但对立一定互斥.
【题型归纳】
题型一： 判断所给事件是否是互斥关系
1．坛子中放有3个白球、2个黑球，从中不放回地取球2次，每次取1个球，用 表示“第一次取得白球”，
表示“第二次取得白球”，则 和 是（ ）
A．互斥的事件 B．相互独立的事件
C．对立的事件 D．不相互独立的事件
2．设M，N为两个随机事件，如果M，N为互斥事件，那么（ ）
A． 是必然事件 B． 是必然事件
C． 与 一定为互斥事件 D． 与 一定不为互斥事件
3．袋内有 个白球和 个黑球，从中有放回地摸球，用 表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记
为 ，“第二次摸得黑球”记为 ，那么事件 与 ， 与 间的关系是（ ）
A． 与 ， 与 均相互独立 B． 与 相互独立， 与 互斥
C． 与 ， 与 均互斥 D． 与 互斥， 与 相互独立
题型二：互斥事件的概率加法公式
4．甲、乙两人比赛，每局甲获胜的概率为 ，各局的胜负之间是独立的，某天两人要进行一场三局两胜的比赛，
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司先赢得两局者为胜，无平局．若第一局比赛甲获胜，则甲获得最终胜利的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙均属于次品，生产中出现乙级品的概率为0.03，丙级品的概率为0.01．
若从中抽查一件，则恰好得正品的概率为（ ）
A．0.09 B．0.96 C．0.97 D．0.98
6．甲､乙两人进行五局三胜制的乒乓球单打比赛，每局甲获胜的概率为 .已知在第一局和第二局比赛中甲均获胜，
则继续比赛下去，甲最终赢得比赛的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型三： 利用互斥事件的概率公式求概率
7．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，
假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别为 ，每人每次投壶相互独立．
若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．人类通常有O，A，B，AB四种血型，某一血型的人可以给哪些血型的人输血，是有严格规定的．设X代表
O，A，B，AB中某种血型，箭头左边表示供血者，右边表示受血者，则输血规则如下：①X→X；②O→X；
③X→AB．已知我国O，A，B，AB四种血型的人数所占比例分别为41%，28%，24%，7%，在临床上，按照上述
规则，若受血者为A型血，则一位供血者能为这位受血者正确输血的概率为（ ）
A．0.31 B．0.48 C．0.65 D．0.69
9．国际排球比赛的规则如下：每场比赛采用“5局3胜制”(即有一支球队先胜3局就获胜，比赛结束).比赛排名
采用积分制，积分规则如下：比赛中，以 或 取的球队积3分，负队积0分；以 取胜的球队积2分，负
队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为 ，甲、乙两队比赛1场后，设甲队的积分为X，乙队的积
分为Y，则 的概率为（ ）
A． B． C． D．
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型四：互斥事件与对立事件关系的辨析
10．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件M＝“第一枚硬币正面向上”，N＝“第二枚硬币反面向上”，则下列结论
中正确的是（ ）
A．M与N是对立事件 B．M与N是互斥事件
C．M与N相互独立 D．M与N既不互斥也不独立
11．把语文、数学、物理、化学四本书随机地分给甲、乙、丙、丁四位同学，每人一本，则事件“甲同学分得语
文书”与事件“乙同学分得语文书”是（ ）
A．对立事件 B．不可能事件 C．互斥但不对立事件D．必然事件
12．下列说法错误的个数为（ ）
①对立事件一定是互斥事件；
②若 ， 为两个事件，则 ；
③若事件 ， ， 两两互斥，则 ．
A． B． C． D．
题型五：确定所给事件的对立关系
13．袋中有红､黄两种颜色的球各一个，这两个球除颜色外完全相同，从中任取一个，有放回地抽取3次，记事件
A表示“3次抽到的球全是红球”，事件B表示“3次抽到的球颜色全相同”，事件C表示“3次抽到的球颜色不
全相同”，则下列结论正确的是（ ）
A．事件A与事件B互斥 B．事件A与事件C互为对立事件
C． D．
14．掷两枚质地均匀的骰子，设A=“第一枚出现的点数大于2”，B=“第二枚出现的点数小于6”，则A与B的关系为
（ ）
A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等
15．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件： “点数不大于3”， “点数大于3”， “点数大于
5”； “点数为奇数”； “点数为i”，其中 .下列结论正确的是（ ）
A． B． C． 与 互斥 D． 与 互为对立
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司题型六：写出某事件的对立事件
16．从装有3个红球和2个黑球的口袋内任取3个球，那么“至少有2个黑球”的对立事件是（ ）
A．至少有1个红球 B．至少有1个黑球
C．至多有1个黑球 D．至多2个红球
17．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（ ）
A．只有2次出现反面 B．至多2次出现正面
C．有2次或3次出现正面 D．有0次或1次出现正面
18．某学校计划从3名男生和4名女生中任选4名参加七一征文比赛，记事件M为“至少3名女生参加”，则下列
事件与事件M对立的是（ ）
A．恰有1名女生参加 B．至多有2名男生参加
C．至少有2名男生参加 D．恰有2名女生参加
题型七：利用对立事件的概率公式求概率
19．社会实践课上，老师让甲、乙两同学独立地完成某项任务，已知两人能完成该项任务的概率分别为 ， ，
则此项任务被甲、乙两人完成的概率为（ ）
A． B． C． D．
20．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件 {抽到一等品}，事件 {抽到二等品}，事件 {抽到三等品}，
且已知 ， ， ．则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）
A． B． C． D．
21．某网站登录密码由四位数字组成，某同学将四个数字 ，编排了一个顺序作为密码．由于长时间未登录
该网站，他忘记了密码．若登录时随机输人由 组成的一个密码，则该同学不能顺利登录的概率是（ ）
A． B． C． D．
【双基达标】
22．第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A
餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.8．运动员甲第
二天去A餐厅用餐的概率为（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．0.75 B．0.7 C．0.56 D．0.38
23．下列叙述正确的是（ ）
A．互斥事件一定不是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B．若事件 发生的概率为 ，则
C．频率是稳定的，概率是随机的
D．5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性小
24．甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋此赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框
中是进行该场此赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者”，第6场为决赛，获胜的人是
冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为 ，而乙，丙、丁之间相互比赛，每人胜负的可能性相同.则甲获得冠军的概
率为（ ）
A． B． C． D．
25．假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有3个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则下列说法正确的是（
）
A．事件“该家庭3个小孩中至少有1个女孩”和事件“该家庭3个小孩中至少有1个男孩”是互斥事件
B．事件“该家庭3个孩子都是男孩”和事件“该家庭3个孩子都是女孩”是对立事件
C．该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为
D．当已知该家庭3个小孩中有男孩的条件下，3个小孩中至少有2个男孩的概率为
26．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，现有如下说法：①至少有一个黑球与都是黑球是互斥而不
对立的事件；②至少有一个黑球与至少有一个红球不是互斥事件；③恰好有一个黑球与恰好有两个黑球是互斥而
不对立的事件；④至少有一个黑球与都是红球是对立事件.在上述说法中，正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
27．从1，2，3，…，7这7个数中任取两个数，其中：
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；
②至少有一个是奇数和两个都是奇数；
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司③至少有一个是奇数和两个都是偶数；
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件中，是对立事件的是（ ）
A．① B．②④ C．③ D．①③
28．抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件 为“向上的点数为1或4”，事件 为“向上的点数为奇数”，则下列说
法正确的是（ ）
A． 与 互斥 B． 与 对立
C． D．
29．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），
明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划的概率分别为 ，
那么三人中恰有两人通过的概率为（ ）
A． B． C． D．
30．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是（ ）．
A．至多有1次中靶 B．2次都中靶
C．2次都不中靶 D．只有1次中靶
31．设 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
32．某校为宣传《中华人民共和国未成年人保护法》，特举行《中华人民共和国未成年人保护法》知识竞赛，规
定两人为一组，每一轮竞赛中，小组两人分别答两题，若答对题数不少于3，则被称为“优秀小组”，已知甲、乙
两位同学组成一组，且同学甲和同学乙答对题的概率分别为 ， ．若 ， ，则在第一轮竞赛中他们
获得“优秀小组”的概率为（ ）
A． B． C． D．
33．抛掷两枚质地均匀的硬币，下列事件与事件“至少一枚硬币正面朝上”互为对立的是（ ）
A．至多一枚硬币正面朝上 B．只有一枚硬币正面朝上
C．两枚硬币反面朝上 D．两枚硬币正面朝上
34．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为 ，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的
点数出现”，则一次试验中，事件A＋ ( 表示事件B的对立事件)发生的概率为（ ）
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
35．甲､乙､丙三人独立地去译一个密码,译出的概率分别 , , ,则此密码能被译出的概率是
A． B． C． D．
36．已知事件A与事件B是互斥事件，则（ ）
A． B．
C． D．
37．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设 表示事件“3件产品 全不是次品”，
表示事件“3件产品全是次品”， 表示事件“3件产品中至少有1件是 次品”，则下列结论正确的是
（ ）
A． 与 互斥 B． 与 互斥但不对立
C． 任意两个事件均互斥 D． 与 对立
38．从装有两个红球和三个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球” B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“至少有一个黑球”与“都是黑球” D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
39．连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少两次出现正面”的对立事件是（ ）
A．只有2次出现正面 B．至少2次出现正面
C．有2次或者3次出现反面 D．有2次或者3次出现正面
40．甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为 和 ，那么在一次预报中两站
恰有一次准确预报的概率为（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
41．下列命题中正确的是（ ）
A．事件 发生的概率 等于事件 发生的频率
B．一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是 ，说明这个骰子掷6次一定会出现一次3点
C．掷两枚质地均匀的硬币，事件 为“一枚正面朝上，一枚反面朝上”，事件 为“两枚都是正面朝上”，则
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司D．对于两个事件 、 ，若 ，则事件 与事件 互斥
42．某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立的是（ ）
A．至多一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都没中靶
43．一道竞赛题， ， ， 三人可解出的概率依次为 ， ， ，若三人独立解答，则仅有1人解出的概率为
（ ）
A． B．
C． D．1
44．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，
有 不会感染这种病毒，若有 人接种了这种疫苗，则最多 人被感染的概率为（ ）
A． B． C． D．
45．如图，开关 ， 被称为双联开关， 可以与a，b点相连，概率分别为 ， 可以与c，d点相连，概率
分别为 ，普通开关 要么与e点相连（闭合），要么悬空（断开），概率也分别为 ．若各开关之间的连接情
况相互独立，则电灯 不亮的概率是（ ）
A． B． C． D．
46．抛掷两枚均匀的骰子，记录正面朝上的点数，则下列选项的两个事件中，互斥但不对立的是（ ）
A．事件“点数之和为奇数”与事件“点数之和为9”
B．事件“点数之和为偶数”与事件“点数之和为奇数”
C．事件“点数之和为6”与事件“点数之和为9”
D．事件“点数之和不小于9”与事件“点数之和小于等于8”
47．若随机事件 满足 ， ， ，则事件 与 的关系是（ ）
A．互斥 B．相互独立 C．互为对立 D．互斥且独立
48．袋内有 个白球和 个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回 个白球，则第 次恰好取完所有红球的概
率为（ ）
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
二、多选题
49．下列说法正确的是（ ）
A．某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷5次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次
投中的概率为 ，，则游戏者闯关成功的概率为
B．从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生的概率为
C．已知随机变量X的分布列为 ，则
D．若随机变量 ，且 .则 ，
50．若 ， ， ，则事件 与 的关系错误是（ ）
A．事件 与 互斥 B．事件 与 对立
C．事件 与 相互独立 D．事件 与 既互斥又独立
51．下面结论正确的是（ ）
A．若 ，则事件A与B是互为对立事件
B．若 ，则事件A与B是相互独立事件
C．若事件A与B是互斥事件，则A与 也是互斥事件
D．若事件A与B是相互独立事件，则A与 也是相互独立事件
52．下列事件A，B不是独立事件的是（ ）
A．一枚硬币掷两次，A=“第一次为正面向上”，B=“第二次为反面向上”
B．袋中有两个白球和两个黑球，不放回地摸两球，A=“第一次摸到白球”，B=“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A=“出现点数为奇数”，B=“出现点数为偶数”
D．A=“人能活到20岁”，B=“人能活到50岁”
53．对于事件 ， ，下列命题正确的是 （ ）
A．如果 ， 互斥，那么 与 也互斥 B．如果 ， 对立，那么 与 也对立
第 9 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C．如果 ， 独立，那么 与 也独立 D．如果 ， 不独立，那么 与 也不独立
54．为庆祝建党100周年，讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进全体党员干部职工对党史知识的了解，
某单位组织开展党史知识竞赛活动，以支部为单位参加比赛，某支部在5道党史题中(有3道选择题和 道填空题)，
不放回地依次随机抽取 道题作答，设事件A为“第1次抽到选择题”，事件B为“第 次抽到选择题”，则下列
结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
55．如图所示，已知一个系统由甲、乙、丙、丁 个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系
统就能正常工作.若每个部件的可靠性均为 ，而且甲、乙、丙、丁互不影响，则系统的可靠度为
___________.
56．某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”
的概率的 ，则这个班的女生人数占全班人数的百分比是_____．
57．若随机事件A、B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且 ， ，则实数a的取值范围是
______．
58． ， ， 表示3种开关并联，若在某段时间内它们正常工作的概率分别0.9，0.8，0.7，那么此系统的可靠性
为______________.
59．某工厂生产了一批节能灯泡，这批产品中按质量分为一等品，二等品，三等品.从这些产品中随机抽取一件产
品测试，已知抽到一等品或二等品的概率为0.86，抽到二等品或三等品的概率为0.35，则抽到二等品的概率为
___________.
60．设随机变量ξ服从二项分布 ，则函数f(x)=x2+4x+ξ存在零点的概率是________.
第 10 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司四、解答题
61．甲、乙两队在进行一场五局三胜制的排球比赛中，规定先赢三局的队获胜，并且比赛就此结束，现已知甲、
乙两队每比赛一局，甲队获胜的概率为 ，乙队获胜的概率为 ，且每局比赛的胜负是相互独立的．
（1）求甲队以3∶2获胜的概率；
（2）求乙队获胜的概率．
62．甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏，规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球，其中2个红球，
2个白球，甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，然后让乙猜．若乙猜出的结果与摸出的2个球特征相符，
则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮（每轮游戏都由甲摸球）．乙所要猜的方案从以下两种
猜法中选择一种；
猜法一：猜“第二次取出的球是红球”；
猜法二：猜“两次取出球的颜色不同”．请回答：
(1)如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由；
(2)假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方，且整个游戏停止．若乙按照（1）中的选
择猜法进行游戏，求乙获得游戏胜利的概率．
63．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会､经济､
生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，
试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为 ，乙同学答对每题的概率都为 ，且在考试中每
人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为 ，恰有一人答对的概率为 .
（1）求 和 的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率.
64．甲､乙两队举行围棋擂台赛，规则如下：两队各出3人，排定1，2，3号.第一局，双方1号队员出场比赛，负
的一方淘汰，该队下一号队员上场比赛.当某队3名队员都被淘汰完，比赛结束，未淘汰完的一方获胜.如图表格中，
第m行､第n列的数据是甲队第m号队员能战胜乙队第n号队员的概率.
0.5 0.3 0.2
0.6 0.5 0.3
0.8 0.7 0.6
（1）求甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率；
第 11 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（2）比较第三局比赛，甲队队员和乙队队员哪个获胜的概率更大一些？
65．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合
格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为 ， ，
，在实际操作考试中“合格”的概率依次为 ， ， ，所有考试是否合格相互之间没有影响.
（1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？
（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率.
66．在一个袋子中放入大小相同的3个白球，1个红球，摇匀后随机摸球．
（1）摸出的球不放回袋中，求第1次或第2次摸出红球的概率；
（2）摸出的球放回袋中，连续摸2次，求第1次或第2次摸出的球都是红球的概率．
第 12 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．D
【分析】根据互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识确定正确答案.
【详解】设白球编号为 ，黑球的编号为 ，
从坛子中不放回地取球2次，基本事件有 ，
， ,
，所以 和 是不相互独立的事件.
基本事件包括“第 次取到白球，第 次取到白球”，即 和 可以同时发生，
所以 和 不是互斥，也不是对立事件.
故选：D
2．A
【分析】根据对立事件和互斥事件的定义，再借助维恩图即可求解.
【详解】因为M，N为互斥事件，则有以下两种情况，如图所示
（第一种情况）
（第二种情况）
无论哪种情况， 均是必然事件．故A正确．如果是第一种情况， 不是必然事件，故B不正确，如果
是第一种情况， 与 不一定为互斥事件，故C不正确，如果是第二种情况， 与 一定为互斥事件，故D不
正确.
故选：A.
3．A
【分析】根据相互独立和互斥的定义即可判断，或者根据概率的乘法公式验证也可判断相互独立.
【详解】方法一：由于摸球是有放回的，故第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故 与 ， 与C
均相互独立．而 与 ， 与 均能同时发生，从而不互斥．
方法二：标记1，2，3表示3个白球，4，5表示2个黑球，全体样本点为
，
第 13 页用古典概型概率计算公式易得 ．而事件 表示“第一次摸得白球且第
二次摸得白球”，所以 ，所以 与 相互独立：同理，事件 表示“第一次摸得
白球且第二次摸得黑球”， ，所以 与 相互独立．
故选:A．
4．B
【分析】分两种情况（甲第二局获胜或甲第二局负，第三局获胜）讨论得解.
【详解】解：根据题意知只需考虑剩下两局的情况，
（1）甲要获胜，则甲第二局获胜，此时甲获得最终胜利的概率为 ；
（2）甲要获胜，则甲第二局负，第三局获胜，所以甲获得最终胜利的概率为 ．
故甲获得最终胜利的概率为 .
故选：B
5．B
【分析】根据互斥事件概率公式即得.
【详解】记事件A={甲级品}，B={乙级品}，C={丙级品}，则A与 是对立事件，
所以 ．
故选：B.
6．B
【分析】因为已经赢了第一和第二局，只要在后面3局中再赢一局即可赢得比赛.
【详解】第三局赢得概率为 ，第三局输第四局赢的概率为 ，
第三局和第四局输第五局赢的概率为 ，
所以甲赢的概率为 ；
故选：B.
7．B
【分析】甲最后获胜的情况有3种：甲投中1次，乙投中0次，或甲投中2次，乙投中1次，或甲投中2次，乙投
中0次，再利用互斥事件的概率公式求解即可
【详解】由题意可得，甲最后获胜的情况有3种
①甲投中1次，乙投中0次，则概率为
②甲投中2次，乙投中1次，则概率为
第 14 页③甲投中2次，乙投中0次，则概率为
，
所以甲最后获胜的概率为 ，
故选：B
8．D
【分析】由题可得O型血和A型血可以为这位受血者输血，即可求出.
【详解】若受血者为A型血，则O型血和A型血可以为这位受血者输血，所以一位供血者能为这位受血者正确输
血的概率为 .
故选：D.
9．D
【分析】先将 分为 种情况，再利用事件的相互独立性的概率乘法公式求解即可.
【详解】乙两队比赛1场后， 包含以下 种情况，
①甲队以 取胜，概率为 ，
②甲队以 取胜，即前三局比赛中甲 胜 负，第四局甲胜，概率为 ，
③甲队以 取胜，即前四局比赛中甲 胜 负，第五局甲胜，概率为 ，
甲、乙两队比赛1场后， 的概率为 ，
故选：D.
10．C
【分析】仔细辨别对立事件，互斥事件，和相互独立事件即可.
【详解】由于事件M与事件N能同时发生，所以不为互斥事件，也不是对立事件，A、B错误；
两个事件可以同时发生，也可以都不发生，M事件发生与否对N事件没有影响，是相互独立事件，C正确，D错
误.
故选：C
11．C
【分析】由互斥事件与对立事件的定义求解即可
【详解】由于只有一本语文书，甲、乙不可能同时得到，
所以这两个事件为互斥事件，
又因为甲、乙可以都得不到语文书，
所以这两件事不是对立事件，
所以事件“甲同学分得语文书”与事件“乙同学分得语文书”是互斥但不对立事件，
故选：C
第 15 页12．C
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐项分析可得答案.
【详解】互斥不一定对立，但对立必互斥，①正确；
只有A与B是互斥事件时，才有 ，②错误；
若事件A，B，C两两互斥，则 ，但 不一定是必然事件，
例如，设样本点空间是由两两互斥的事件A，B，C，D组成且事件D与 为对立事件，当 时，
，③错误．
故选：C.
13．C
【分析】根据题意，结合互斥事件，对立事件概念以及概率公式依次讨论各选项即可得答案.
【详解】对于A，因为3次抽到的球全是红球为3次抽到的球颜色全相同的一种情况，
所以事件A与事件B不互斥，故A错误；
对于B，事件A与事件C不可能同时发生，是互斥事件，但一次试验中还可能
3次抽到的球全是黄球，所以事件A与事件C不是对立事件，故B错误；
对于C，因为 ，故C正确；
对于D，因为事件A与事件C互斥， ，所以
，故D错误.
故选：C.
14．C
【分析】根据试验及事件的描述判断事件间独立性、互斥性、是否相等即可得答案.
【详解】对于该试验，第一枚骰子与第二枚骰子出现点数互不影响，而且事件A、B可以同时发生，
所以A、B相互独立，但不互斥，也不对立，更不相等.
故选：C
15．B
【分析】利用事件的关系与运算判断A，B；利用互斥事件与对立事件的意义判断C，D作答.
【详解】因事件 含有“点数为2”的基本事件，而事件 不含这个基本事件，A不正确；
事件 含有3个基本事件：“点数为1”，“点数为3”， “点数为5”，即 ，B正确；
事件 与 都含有“点数为6”的基本事件， 与 不互斥，C不正确；
事件 与 不能同时发生，但可以同时不发生， 与 不对立，D不正确.
故选：B
16．C
【分析】根据对立事件的定义判断即可
【详解】由题，由对立事件的定义， “至少有2个黑球” 与“至多有1个黑球”对立，
故选：C
17．D
第 16 页【分析】根据连续抛掷一枚硬币3次，“至少2次出现正面”即有2次或3次出现正面，即可知其对立事件至多出
现一次正面，可得答案.
【详解】连续抛掷一枚硬币3次，“至少2次出现正面”即有2次或3次出现正面，
对立事件为有0次或1次出现正面，
故选:D.
18．C
【分析】由对立事件的定义判断．
【详解】至少3名女生的对立面是至多两名女生．总共选4名，也即为至少2名男生，
故选：C．
19．D
【分析】从对立事件出发，求出此项任务不能完成的概率，即可得能被完成的概率.
【详解】解：依题意，此项任务不能完成的概率为 ，
此项任务被甲乙两人完成的概率为 .
故选:D.
20．D
【分析】根据对立事件的概率计算公式，由题中条件，即可求解.
【详解】∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，事件 {抽到一等品}， ，∴抽到不是一等品
的概率是 ．
故选:D．
21．B
【分析】利用树状图表示出所有可能的结果，由此可得输入由 组成的一个四位数字，恰是密码的概率，由
对立事件概率公式可求得结果.
【详解】用事件 表示“输入由 组成的一个四位数字，但不是密码”，则其对立事件 为“输入由
组成的一个四位数字，恰是密码”，
四个数字 随机编排顺序，所有可能结果可用树形图表示，如图所示，
从树形图可以看出，将四个数字 随机编排顺序，共有 种可能的结果，即样本空间共含有 个样本点，
且 个样本点出现的结果是等可能的，
，则 ，
即登录时随机输人由 组成的一个密码，该同学不能顺利登录的概率为 .
第 17 页故选：B.
22．A
【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间
表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.
【详解】设 “第1天去A餐厅用餐”， “第1天去B餐厅用餐”，
“第2天去A餐厅用餐”，则 ，且 与 互斥，
根据题意得： ， ， ，
则 .
故选：A.
23．B
【分析】由互斥事件及对立事件的关系，频率与概率的关系及随机事件的概率逐一判断即可得解.
【详解】解：对于A，互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件，即A错误；
对于B，事件 发生的概率为 ，则 ，即B正确；
对于C，概率是稳定的，频率是随机的，即C错误；
对于D，5张奖券中有一张有奖，甲先抽，乙后抽，那么乙比甲抽到有奖奖券的可能性都为 ，即D错误，
即叙述正确的是选项B，
故选：B.
【点睛】本题考查了互斥事件及对立事件的关系，重点考查了频率与概率的关系及随机事件的概率，属基础题.
24．D
【分析】甲获得冠军，有三种途径，第一种连胜三场，第二种先胜一场，然后输一场胜两场，第三种先输一场，
再连赢三场，求三种情况的概率之和即可．
【详解】甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：
1胜3胜6胜； 1胜3负5胜6胜； 1负4胜5胜6胜；
所以甲获得冠军的概率为 ,
故选：D
25．D
【分析】根据互斥事件和对立事件的概念判断A、B；利用列举法求出只有一个男孩的概率，即可判断C；利用条
件概率的求法计算，即可判断D.
【详解】A：假设事件A：该家庭3个小孩至少有1个女孩，则包含(女，男，男)的可能，
事件B：该家庭3个小孩至少有一个男孩，则包含(女，女，男)的可能，
所以 ，故A错误；
B：事件“3个孩子都是男孩”与事件“3个孩子都是女孩”不可能同时发生，
是互斥但不对立事件，故B错误；
C：3个小孩可能发生的事件如下：
男男男、男男女、男女女、男女男、女女女、女女男、女男女、女男男共8种，
第 18 页其中只有一个男孩的概率为： ，故C错误；
D：设M={至少一个有男孩}，N={至少有2个男孩}，由选项C可知，
，所以 ，故D正确.
故选：D
26．C
【分析】利用互斥事件和对立事件的定义逐个判断即可
【详解】①“至少有一个 黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”与“都是黑球”可以同时发生，不是
互斥事件，故错误.
②“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，“至少有一个红球”等价于“一个黑球和一
个红球或两个红球”，可以同时发生，故正确.
③“恰好有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球”，与“恰好有两个黑球”，不同时发生，还有可能都是红
球，不是对立事件，故正确.
④“至少有一个黑球”等价于“一个黑球和一个红球或两个黑球”，与“都是红球”，不同时发生，但一定会有
一个发生，是对立事件，故正确.上述说法中，正确的个数为3.
故选：C
【点睛】此题考查互斥事件和对立事件的判断，属于基础题
27．C
【分析】列举出从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可共有三件事件：“两个都是奇数”“一奇一偶”“两
个都是偶数”，再由对立事件的定义即可得出选项.
【详解】解析：③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”，
而从1~7中任取两个数根据取到数的奇偶性可认为共有三件事件：
“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”，
故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件，其余都不是对立事件.
故选：C
28．C
【解析】根据互斥事件和对立事件的定义判断．求出事件 ，然后计算概率．
【详解】 与 不互斥，当向上点数为1时，两者同时发生，也不对立，
事件 表示向上点数为 之一，∴ ．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件和对立事件，考查事件的和，掌握互斥事件和对立事件的定义是解题关
键．判断互斥事件，就看在一次试验中两个事件能不能同时发生，只有互斥事件才可能是对立事件，如果一次试
验中两个事件不能同时发生，但非此即彼，即必有一个发生，则它们为对立事件．而不互斥的事件的概率不能用
概率相加，本题 ．
29．C
【分析】根据积事件与和事件的概率公式可求解得到结果.
【详解】记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件 ，显然 为相互独立事件，
第 19 页则“三人中恰有两人通过”相当于事件 ，且 互斥，
所求概率
.
故选：C.
30．C
【分析】根据对立事件的定义判断即可.
【详解】对立事件的定义是：A，B两件事A，B不能同时发生，但必须有一件发生，
则A，B是对立事件，事件：至少有一次中靶包括恰有一次中靶和二次都中靶，
所以对立事件是二次都不中靶.
故选：C.
31．C
【分析】根据条件概率公式可求出 ，然后根据对立事件的概率公式即可求出 的值.
【详解】因为 ， ， ，
所以 ．
故选：C．
32．A
【分析】根据给定条件，分析甲乙所在的小组获 “优秀小组”的所有可能情况，再利用互斥事件的加法公式，相
互独立事件的乘法公式计算即得.
【详解】依题意，在第一轮竞赛中甲乙所在的小组能获得“优秀小组”的所有可能的情况有：
甲答对1题，乙答对2题；甲答对2题，乙答对1题；甲答对2题，乙答对2题，且每人所答两题中答对的1题有
先后之分，
所以所求概率为 .
故选：A
33．C
【分析】由对立事件的概念直接判断即可.
【详解】由对立事件的概念知：“至少一枚硬币正面朝上”的对立事件为“两枚硬币反面朝上”.
故选：C.
34．C
【分析】由题意知试验发生包含的所有事件共有6种，事件 和事件 是互斥事件，看出事件 和事件 包含的基
本事件数，根据互斥事件和古典概型概率公式得到结果．
【详解】解： 事件 表示“小于5的点数出现”，
的对立事件是“大于或等于5的点数出现”，
表示事件是出现点数为5和6．
事件 表示“小于5的偶数点出现”，
第 20 页它包含的事件是出现点数为2和4，
，
．
故选：C．
35．C
【解析】先计算出不能被译出的概率，由此求得被译出的概率.
【详解】用事件A,B,C分别表示甲､乙､丙三人能破译出密码,则 , , ,且
.
∴此密码能被译出的概率为 .
故选：C
【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查对立事件概率计算，属于基础题.
36．D
【分析】根据互斥事件、对立事件、必然事件的概念可得答案.
【详解】因为事件A与事件B是互斥事件， 不一定是互斥事件，所以 不一定为0，故A错误；
因为 ，所以 ，而 不一定为0，故B错误；
因为事件A与事件B是互斥事件，不一定是对立事件，所以C错误；
因为事件A与事件B是互斥事件， 是必然事件， 所以 ，故D正确.
故选：D.
37．D
【分析】列出基本事件，再结合互斥事件，对立事件的定义即可判断.
【详解】设1表示取到正品, 0 表示取到次品，所有事件
则
故 与 不互斥，故A,C错
故 与 互斥且对立,故B错，D正确
故选：D
38．A
【分析】根据互斥事件和对立事件的定义直接判断.
【详解】对于A：“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不能同时发生，但能同时不发生，故A中的两事件
互斥而不对立；
对于B：“至少有一个黑球”与“至少有一个红球” 能同时发生，故B中的两事件不互斥；
对于C：“至少有一个黑球”与“都是黑球”能同时发生，故C中的两事件不是互斥事件；
第 21 页对于D：“至少有一个黑球”与“都是红球” 互斥并且对立.
故选：A
39．C
【分析】考虑硬币抛掷3次的结果的情况，利用对立事件的含义解答即可.
【详解】连续抛掷一枚硬币3次，
结果可能是三次都是正面或两次正面一次反面或一次正面两次反面或三次反面，
故事件“至少两次出现正面”的对立事件是有2次或者3次出现反面，
故选：C
40．D
【解析】利用相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式运算即可得解.
【详解】因为甲、乙两个气象站同时作气象预报，甲站、乙站预报的准确率分别为 和 ，
所以在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为：
.
故选：D．
41．C
【解析】根据频率与概率的关系判断即可得A选项错误；根据概率的意义即可判断B选项错误；根据古典概型公
式计算即可得C选项正确；举例说明即可得D选项错误.
【详解】解：对于A选项，频率与实验次数有关，且在概率附近摆动，故A选项错误；
对于B选项，根据概率的意义，一个质地均匀的骰子掷一次得到3点的概率是 ，表示一次实验发生的可能性是 ，
故骰子掷6次出现3点的次数也不确定，故B选项错误；
对于C选项，根据概率的计算公式得 ， ，故 ，故C选项正确；
对于D选项，设 ，A事件表示从 中任取一个数 ，使得 的事件，则 ，B事件表示
从 中任取一个数 ，使得 的事件，则 ，显然 ，此时A
事件与B事件不互斥，故D选项错误.
【点睛】本题考查概率与频率的关系，概率的意义，互斥事件等，解题的关键在于D选项的判断，适当的举反例
求解即可.
42．D
【分析】利用对立事件的定义判断可得出结论.
【详解】对于A，“至多一次中靶”包含：一次中靶、两次都不中靶，
“至少一次中靶”包含：一次中靶、两次都中靶，A选项不满足条件；
对于B，“两次都中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，B选项不满足条件；
对于C，“只有一次中靶”与“至少一次中靶”是包含关系，C选项不满足条件；
对于D，“两次都没有中靶”与“至少一次中靶”对立，D选项满足条件.
故选：D.
43．B
第 22 页【解析】根据题意，只有1人解出，则分三类，一是A解出而其余两人没有解出，一是B解出而其余两人没有解
出，一是C解出而其余两人没有解出，每一类用独立事件概率的乘法公式求解，然后这三类用互斥事件概率的加
法求解.
【详解】 .
故选：B
【点睛】本题主要考查了独立事件的概率和互斥事件的概率，还考查了理解辨析问题的能力，属于基础题.
44．A
【分析】最多 人被感染即4人没有人感染和4人中恰好有1人被感染，利用独立重复试验的概率和互斥事件的概
率求解.
【详解】由题得最多 人被感染的概率为 .
故选：A
【点睛】方法点睛：求概率常用的方法：先定性（确定所求的概率是六种概率（古典概型的概率、几何概型的概
率、互斥事件的概率、独立事件的概率、独立重复试验的概率、条件概率）的哪一种），再定量.
45．C
【分析】利用对立事件，结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.
【详解】先考虑对立事件“电灯 亮”：首先需要“ 与e点相连”，同时满足“ 与 点相连且 与c点相
连”或“ 与b点相连且 与d点相连”，因此电灯 亮的概率 ，故电灯 不亮的概率
为 .
故选：C
46．C
【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．
【详解】对于 ，二者能同时发生，不是互斥事件，故 错误；
对于 ，二者不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故 错误；
对于 ，二者不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故 正确；
对于 ，二者不能同时发生，也不能同时不发生，是对立事件，故 错误．
故选： ．
47．B
【分析】利用独立事件，互斥事件和对立事件的定义判断即可
【详解】解：因为 ， ，
又因为 ，所以有 ，所以事件 与 相互独立，不互斥也不对立
故选：B.
48．B
【解析】第 次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红，据此由互斥事件的和及相互独立
事件同时发生的概率公式求解.
第 23 页【详解】第 次恰好取完所有红球有三种情形，红白白红，白红白红，白白红红，
∴第 次恰好取完所有红球的概率为：
，
故选：B
49．AC
【分析】选项A 先求5次都没投中的概率，由对立事件的概率关系判断；选项B. 由其中至少有一名女生分为：1
名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都是女生四种情况，可判断; 选项C. 由分布列的性
质先求 ，即可判断；选项C. 由正态分布的性质和期望的性质可判断.
【详解】选项A. 5次都没投中的概率为 .
所以游戏者闯关成功的概率为 ，故A正确.
选项B. 从10名男生、5名女生中选取4人，则其中至少有一名女生分为：
1名女生3名男生、2名女生2名男生、3名女生1名男生和4名都是女生四种情况.
共有 种情况.而
所以其中至少有一名女生的概率为： .故B不正确.
选项C. 由 ，则 ，解得
所以 ，故C正确.
选项D. 由随机变量 ，则 ，
所以 ,故D不正确.
故选：AC
50．ABD
【分析】计算得出 ，由此可得出结论.
【详解】由题意可得 ，因为 ， ，所以， ，
故事件 与 相互独立.
故选：ABD.
51．BD
【解析】根据互斥事件、对立事件的知识判断AC两个选项的正确性，根据相互独立事件的知识判断BD两个选项
的正确性.
【详解】对于A选项，要使 为对立事件，除 还需满足 ，也即 不能同时发生，所
以A选项错误.
对于C选项， 包含于 ，所以 与 不是互斥事件，所以C选项错误.
第 24 页对于B选项，根据相互独立事件的知识可知，B选项正确.
对于D选项，根据相互独立事件的知识可知，D选项正确.
故选：BD
【点睛】本小题主要考查互斥事件和对立事件，考查相互独立事件，属于基础题.
52．BCD
【分析】利用相互独立事件的概念，对四个选项逐一分析排除，从而得出正确选项.
【详解】对于A选项， 两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件；
对于B选项，A事件发生时，影响到B事件，故不是相互独立事件；
对于C选项，由于投的是一个骰子， 是对立事件，所以不是相互独立事件；
对于D选项，能活到20岁的，可能也能活到50岁，故 不是相互独立事件.
故选：BCD.
53．BCD
【分析】A.利用互斥事件的定义判断；B.利用对立事件的定义判断；C.利用相互独立事件的定义判断；D.利用相互
独立事件的定义判断.
【详解】A.如果 ， 互斥，由互斥事件的定义得 与 不一定互斥，故错误；
B.如果 ， 对立，由对立事件的定义得 与 也对立，故正确；
C.如果 ， 独立，由相互独立事件的定义得 与 也独立，故正确；
D.如果 ， 不独立，由相互独立事件的定义得 与 也不独立，故正确；
故答案为：BCD
54．ABC
【分析】根据古典概型概率的求法及条件概率，互斥事件概率求法，可以分别求得各选项.
【详解】 ,故A正确；
，故B正确；
，故C正确；
， ， ，故D错误.
故选: ABC
55．
【解析】记甲、乙都正常工作为事件 ，记丙、丁都正常工作为事件 ，计算出 、 ，利用对立事件的概
率公式可求得系统的可靠度为 .
【详解】记甲、乙都正常工作为事件 ，记丙、丁都正常工作为事件 ，则 ，
第 25 页当且仅当事件 或事件 发生时，系统正常工作，
当且仅当事件 和事件 都不发生时，系统不工作.
因此，系统的可靠度为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查事件概率的计算，解本题的关键就是确定事件“系统正常运行”的对立事件为
“两条线路都不工作”，进而可利用概率的乘法公式以及对立事件的概率公式来进行求解.
56．75%
【解析】设“选出代表是女生”的概率为 ,则“选出代表是男生”的概率为 ,则 ,进而求解即可.
【详解】设“选出代表是女生”的概率为 ,则“选出代表是男生”的概率为 ,
因为 ,所以 ,
所以这个班的女生人数占全班人数的百分比为 ,
故答案为:
【点睛】本题考查概率性质以及对立事件概率,属于基础题.
57．
【分析】由互斥事件的性质，列不等式组求a的范围.
【详解】由题意， ，即 ，解得 ．
故答案为：
58．0.994
【解析】根据并联线路的特征，只有三个开关同时发生故障，系统才不正常，可以考虑对立事件求解.
【详解】某段时间内三个开关全部坏掉的概率为 ，所以系统正常工作的概率为
，所以此系统的可靠性为0.994.
故答案为：0.994.
【点睛】本题主要考查对立事件和独立事件的概率求解，正面考虑情况较多时，一般考虑对立事件来转化，侧重
考查数学运算的核心素养.
59．0.21##
【分析】设抽到一等品，二等品，三等品的事件分别为 ，利用互斥事件加法列出方程组即可求解.
【详解】设抽到一等品，二等品，三等品分别为事件A，B，C
则 ，则
第 26 页故答案为：0.21
60．
【分析】由存在零点结合判别式即可求出ξ≤4，由已知二项分布可求出 .
【详解】由函数f(x)=x2+4x+ξ存在零点，得Δ=16-4ξ≥0，即ξ≤4.又因为变量ξ~B ，
所以所求概率 .
故答案为: .
【点睛】关键点睛:
本题关键是由存在零点求出 的取值范围，结合二项分布即可求出所求.
61．（1） ；（2） .
【解析】（1）由已知分析知：前四局中甲、乙各胜2局，最后一局甲胜，根据独立重复试验的乘法公式求概率即
可.
（2）分为比赛进行三局、四局、五局讨论乙获胜，并分别求得它们的概率，由分类加法求乙获胜的概率即可.
【详解】(1)设甲队以3∶2获胜的概率为P，则前四局中甲、乙各胜2局，最后一局甲胜，
1
∴P＝
1
(2)设乙队获胜的概率为P，则
2
1、比三局都是乙胜，
2、比四局中前三局2局乙胜，第四局乙胜，
3、比五局中前四局2局乙胜，第五局乙胜，
∴P .
2
62．(1)选择猜法二，理由见解析
(2)
【分析】(1)利用列举法列出不放回取两球的所有结果，再借助古典概率公式计算判断作答.
(2)利用(1)的结论，将乙获胜的事件分拆成三个互斥事件的和，再利用概率的乘法、加法公式计算得解.
(1)
用a，b表示两个红球，用1，2表示两个白球，甲不放回取两球的所有结果：
ab，ba，a1，1a，a2，2a，b1，1b，b2，2b，12，21，共12个不同结果，它们等可能，
令事件 为“第二次取出的是红球”，则事件A所含结果有：ab，ba，1a，2a，1b，2b，共6个，
令事件 为“两次取出球的颜色不同”，则事件B所含结果有：a1，1a，a2，2a，b1，1b，b2，2b，共8个，
于是得 ， ，显然， ，
第 27 页为了尽可能获胜，应该选择猜法二．
(2)
由(1)知，乙选择猜法二，每一轮乙获胜的概率为 ，
游戏结束时，乙获胜的事件M是乙在第一、二轮胜的事件M，第一轮负另外两轮胜的事件M，第二轮负另外两
1 2
轮胜的事件M 的和，它们互斥，
3
于是得 ，
所以乙获得游戏胜利的概率是 .
63．（1） ， ；（2） .
【解析】（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得 ；
（2）分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1
道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论．
【详解】解：（1）设 {甲同学答对第一题}， {乙同学答对第一题}，则 ， .
设 {甲、乙二人均答对第一题}， {甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
则 ， .
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以 与 相互独立， 与 相互互斥，所以
，
.
由题意可得
即 解得 或
由于 ，所以 ， .
（2）设 {甲同学答对了 道题}， {乙同学答对了 道题}， ，1，2.
由题意得， ， ，
， .
设 {甲乙二人共答对3道题}，则 .
由于 和 相互独立， 与 相互互斥，
第 28 页所以 .
所以，甲乙二人共答对3道题的概率为 .
【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件与独立事件的概率公式，解题关键是把所求概率事件用互斥事件表示，
然后求概率，如设 {甲同学答对第一题}， {乙同学答对第一题}，设 {甲、乙二人均答对第一题}，
{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则 ， ．同样两人共答对3题分拆成甲答对2题乙答对1
题与甲答对1题乙答对2题两个互斥事件．
64．（1） ；（2）甲队队员获胜的概率更大一些.
【解析】（1）甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰这个事件的发生应是甲队1号输给乙队1号，然后甲队2号上
场，三场全胜，由独立事件概率公式计算可得；
（2）第三局比赛甲胜可分为3个互斥事件：甲队1号胜乙队3号，甲队2号胜乙队2号，甲队3号胜乙队1号，分
别计算概率后相加可得．然后由对立事件概率得出乙队胜的概率，比较后要得结论．
【详解】解：（1）甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率为
（2）第3局比赛甲队队员获胜可分为3个互斥事件
（i）甲队1号胜乙队3号，概率为 ；
（ii）甲队2号胜乙队2号，概率为 ；
(iii)甲队3号胜乙队1号，概率为
故第3局甲队队员胜的概率为 .
则第3局乙队队员胜的概率为
因为 ，
故甲队队员获胜的概率更大一些．
【点睛】关键点点睛：本题考查相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式．解题关键是把事件“第3局比
赛甲队队员获胜”分斥成3个互斥事件，然后分别求得概率后易得出结论．
65．（1）丙；（2）
【解析】（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两
人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解.
【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，
则 ， ， .
因为 ，所以丙获得合格证书的可能性最大.
（2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则
.
【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题.
66．（1） ；（2） .
【分析】（1）记“第1次摸到红球”为事件A，“第2次摸到红球”为事件B，得到A，B为互斥事件，且
第 29 页，利用古典摡型的概率计算公式，求得 ，结合互斥事件的概率加法公式，即可求解；
（2）利用列举法求得第1次，第2次摸球的基本事件的总数，求得第1次摸出红球，第2次摸出不是红球和第1
次摸出不是红球，第2次摸出是红球，以及两次都是红球的概率，利用概率的加法公式，即可求解.
【详解】（1）由题意，一个袋子中放入大小相同的3个白球，1个红球，
记“第1次摸到红球”为事件A，“第2次摸到红球”为事件B，
显然A，B为互斥事件，且 ,
记3个白球分别为白1，白2，白3，则不放回地摸两次球的样本点为：
(白1，白2)，(白1，白3)，(白1，红)，(白2，白1)，(白2，白3)，(白2，红)，
(白3，白1)，(白3，白2)，(白3，红)，(红，白1)，(红，白2)，(红，白3)，共12个，
第二次摸到红球有3个样本点，所以 ，
故第1次或第2次摸到红球的概率为 .
（2）把第1次，第2次摸球的样本点列举出来，除了上题中列举的12个以外，
由于放回，又会增加4个即(白1，白1)，(白2，白2)，(白3，白3)，(红，红)，
这样共有16个，
其中第1次摸出红球，第2次摸出不是红球的概率为 ，
第1次摸出不是红球，第2次摸出是红球的概率为 ，
两次都是红球的概率为 ，
所以第1次或第2次摸出的球都是红球的概率为 .
第 30 页第 31 页
