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微专题：集合间的基本关系
【考点梳理】
1、集合间的基本关系
文字语言 符号语言 记法
集合A中的任意一个元素都是集合B A ⊆ B
子集 x∈A⇒x∈B
中的元素 (或 B ⊇ A )
集合A是集合B的子集，但B中存在 A B
真子集 A⊆B，且∃x∈B，x∉A
元素不属于 A 0 0 (或B A)
集合A的任何一个元素都是集合B的
相等 元素，同时集合B的任何一个元素都 A⊆B，且B⊆A A ＝ B
是集合A的元素
空集 不含任何元素的集合 ∀x，x∉∅，∅⊆A，∅ B(B≠∅) ∅
2、子集的传递性：A⊆B，B⊆C，则A⊆C.
3、子集个数：集合{a，a，…，an}的子集有2n个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
1 2
4、元素个数：记含有限个元素的集合A，B的元素个数为card(A)，card(B)，则：card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－
card(A∩B).
【题型归纳】
题型一：判断集合的子集（真子集）的个数
1．设集合 ，则 的子集共有（ ）
A．15个 B．16个 C．31个 D．32个
2．已知集合 ，则 的真子集共有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．8个
3．满足 的集合 M 共有（ ）
A．6个 B．7个
C．8个 D．15个
题型二：求集合的子集（真子集）
4．已知 则集合 的子集的个数是（ ）
A． B． C． D．
5．从集合 的非空子集中随机选择两个不同的集合 ，则 的概率为（ ）
A． B．
第 1 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
6．已知集合 的所有非空真子集的元素之和等于12，则 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
题型三：根据集合的包含关系求参数
7．已知集合 ， ，且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．设 ， ，若 ，则实数 的值不可以是（ ）
A．0 B． C． D．2
9．设集合 ，集合 ，若 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型四：根据两个集合相等求参数
10．已知集合 ， 若 ， 则 （ ）
A．3 B．4 C． D．
11．若 ，则 的值为（ ）
A．0 B．1 C． D．
12．若 ，则 的值为（ ）
A．-3 B．3 C．-12 D．12
【双基达标】
13．已知 ， ，若集合 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
14．设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A．–4 B．–2 C．2 D．4
15．集合 的真子集的个数是（ ）
A．16 B．8 C．7 D．4
16．设 ， ，若 ，则 （ ）
A．0 B．0或2 C．0或 D．0或
17．已知集合满足 ，则集合A可以是（ ）
A． B． C． D．
18．下列各组集合中，表示同一集合的是（ ）
A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}
B．M＝{3，2}，N＝{2，3}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{3，2}，N＝{(3，2)}
19．已知集合 ，则集合 中元素的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
20．已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
21．若集合 ，则 的子集个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
22．下列表述正确的是（ ）
A． B． C． D．
23．设 ， ， ，若 ，则 （ ）
A． B． C．2 D．0
24．已知集合 ， ，且 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
25．已知集合 ，非空集合 满足：（1） ；（2）若 ，则 ，则集合 的个
数是（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司26．已知集合 ，则集合 的真子集的个数为（ ）
A． B． C． D．
27．已知集合 ， ，则满足条件 的集合C的个数为（ ）
A．7 B．8 C．15 D．16
28．若集合 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
29．若集合 ， ，且 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．0或1
30．设a，b是实数，集合 ， ，且 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【高分突破】
一、单选题
31．已知 ， ，若集合 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
32．设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
33．已知集合 ，则 =（ ）
A． 或 B． 或3 C．1或 D．1或3
34．已知集合 ，非空集合A满足 ，则符合条件的集合A的个数为（ ）
A． B． C． D．
35．已知集合 ，集合 .若 ，则 的取值范围是（ ）
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
36．集合 或 ， ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
37．已知集合 ，集合 与 的关系如图所示，则集合 可能是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
38．已知集合 ， ，下列命题正确的是
A．不存在实数a使得 B．存在实数a使得
C．当 时， D．当 时，
E．存在实数a使得
39．下列命题正确的有（ ）
A． B．
C． D．
40．已知集合 ， ，若 ，则 （ ）
A．0 B．1
C．2 D．0或1或2
41．设全集 ，集合 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．集合 的真子集个数为8
三、填空题
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司42．设集合 ,则满足 且 的集合 的个数是__________个
43．已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围是____________．
44．已知集合 ，且 ，则实数 的值为___________.
45．已知集合 ,且 ,则满足条件的实数 组成的集合为__________
46．集合 ，若 ，则a的取值范围为________.
47．设集合A={ }，B={x }，且A B，则实数k的取值范围是______________(写成集合
形式).
四、解答题
48．已知集合A＝{x|－1<x<3}，B＝{x|－m<x<m}，若B⊆A，求m的取值范围
49．已知集合M满足：{1，2}⫋M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有的可能情况.
50．（1）写出集合{a，b，c，d}的所有子集；
（2）若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？
51．若一个集合含有n个元素，则这个集合共有多少个子集？
52．（1）已知集合M满足{1，2}⊆M⊆{1，2，3，4，5}，写出集合M所有可能情况．
（2）已知非空集合M⊆{1，2，3，4，5}，且当a∈M时，有6-a∈M，试求M所有可能的结果．
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．B
【解析】
【分析】
分别解出 集合，即可求出 ，则可求出答案.
【详解】
由题意得， ， 或 .
所以 ，
所以 的子集共有 个.
故选：B.
2．B
【解析】
【分析】
根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.
【详解】
解：
， 的真子集是 共3个.
故选：B.
3．C
【解析】
【分析】
根据子集的关系，一一列举即可.
【详解】
由题可知集合 M 中必含元素a，且为 的子集，
可按元素个数分类依次写出集合 M 为 ， ， ， ， ， ， ， 共8
个.
故选：C.
4．B
【解析】
【分析】
由 ，可得 为 的正约数，又 ，从而即可求解.
【详解】
解：因为 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以集合 ，所以集合 的子集个数为 个．
故选：B．
第 7 页5．C
【解析】
【分析】
写出集合 的非空子集，求出总选法，再根据 ，列举出集合 的情况，再根据古典概型公式
即可得解.
【详解】
集合 的非空子集有 共3个，
从3个中选两个不同的集合A，B，共有 种选法，
因为 ，
当 时，则 为 ，
当 时， ，
则符合 的共有 种，
所以 的概率为 .
故选：C.
6．D
【解析】
【分析】
根据真子集的定义进行求解即可.
【详解】
因为集合 的所有非空真子集为： ，
所以有 ，
故选：D
7．A
【解析】
【分析】
直接由 ，可得 的取值范围
【详解】
因为 ， ，且 ，
所以 ，
即 的取值范围是 ，
故选：A
8．D
【解析】
【分析】
根据题意可以得到 ，进而讨论 和 两种情况，最后得到答案.
【详解】
第 8 页由题意， ，因为 ，所以 ，若 ，则 ，满足题意；
若 ，则 ，因为 ，所以 或 ，则 或 .
综上： 或 或 .
故选：D.
9．D
【解析】
【分析】
直接由 求解即可.
【详解】
由 可得 .
故选：D.
10．D
【解析】
【分析】
依题意可得 ，且 ，即可得到 和 为方程 的两个实数根，从而得解；
【详解】
解：因为 且 ，
所以 ，且 ，
又 ，
所以 和 为方程 的两个实数根，
所以 ；
故选：D
11．C
【解析】
【分析】
根据题意得出 或 ，求解即可.
【详解】
因为 ，所以 或 ，
由 可解得 （不符合，舍去）或 ，
由 可解得 ，
综上， ，则 .
第 9 页故选：C.
12．C
【解析】
【分析】
由一元二次方程的根与系数的关系，求得P，q的值，由此可得选项.
【详解】
解：因为 ，所以 ，解得 ，所以 ，
故选：C.
13．B
【解析】
本题可根据 得出 ，然后通过计算以及元素的互异性得出 、 的值，即可得出结果.
【详解】
因为 ，
所以 ，解得 或 ，
当 时，不满足集合元素的互异性，
故 ， ， ，
故选：B.
【点睛】
易错点睛：通过集合相等求参数时，要注意求出参数后，检验集合中的元素是否满足互异性，考查计算能力，是
中档题.
14．B
【解析】
【分析】
由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.
【详解】
求解二次不等式 可得： ，
求解一次不等式 可得： .
由于 ，故： ，解得： .
第 10 页故选：B.
【点睛】
本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15．C
【解析】
先用列举法写出集合 ，再写出其真子集即可.
【详解】
解：∵ ，
的真子集为： 共7个．
故选：C．
16．C
【解析】
【分析】
根据题意分 和 两种情况，进而对方程的根依次检验即可得答案.
【详解】
当 时，得 ，
若 ，则 不满足集合中的元素的互异性，所以 ；
若 ，则 ， ，满足题意，
当 时， 或 （舍去）， 满足题意，
∴ 或 ，
故选：C．
17．D
【解析】
【分析】
由题可得集合A可以是 ， .
【详解】
，
集合A可以是 ， .
故选：D.
18．B
【解析】
【分析】
根据同一集合的概念进行判断即可．
【详解】
对于A：M，N都是点集， 与 是不同的点则M，N是不同的集合，故不符合；
对于B：M，N都是数集，都表示2，3两个数，是同一个集合，复合要求；
对于C：M是点集，表示直线 上所有的点，而N是数集，表示函数 的值域，则M，N是不同的集
第 11 页合，故不符合；
对于D：M是数集，表示1，2两个数，N是点集，则M，N是不同的集合，故不符合；
故选：B．
【点睛】
本题考查集合的概念和同一集合的意义，解题的关键在于分析集合的意义，认清集合中元素的性质．
19．D
【解析】
【分析】
根据 求得集合A，从而判定出集合中元素个数.
【详解】
，所以集合 中元素的个数为3.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查集合的表示法，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属基础题.
20．D
【解析】
【分析】
直接根据集合的包含关系得解.
【详解】
因为集合 ， ，
所以 .
故选：D
21．D
【解析】
【分析】
先求得集合A,然后根据子集的个数求解即可.
【详解】
解： ，则 的子集个数为 个，
故选：D.
22．C
【解析】
【分析】
根据元素与集合，集合与集合的关系判断即可；
【详解】
解：对于A： ，故A错误；对于B： ，故B错误；对于C： ，故满足
，故C正确；
对于D： ，故D错误；
故选：C
第 12 页23．D
【解析】
【分析】
根据集合的包含关系，结合集合的性质求参数a、b，即可求 .
【详解】
由 知： ，即 ，得 ，
∴ .
故选：D.
24．B
【解析】
由 得到 ，建立不等式，即可求出 的取值范围．
【详解】
解： ， ，且
所以 ，当 时， 解得 ；
当 时，
解得
故选：B
【点睛】
本题考查集合的包含关系，考查解不等式，属于基础题．
25．C
【解析】
【分析】
根据题意把 中元素按相反数分成4组，这4组元素中一定是一组元素全属于 或全不属于 ，由此结合集合的
子集的性质可得 的个数．
【详解】
满足条件的集合 应同时含有 或 或 或0，又因为集合 非空，所以集合
的个数为 个，
故选： .
26．A
【解析】
【分析】
首先确定集合 的元素个数，接着根据公式求出集合 的所有子集个数，减掉集合 本身得出结果即可.
【详解】
因为集合 ，画出如下示意图：
第 13 页由图可知集合 有9个元素，集合 的所以子集的个数为 ，
所以集合 的真子集的个数为 ，
故选：A.
【点睛】
集合 有n个元素,则集合 的所有子集个数为 ，集合 的所有非空子集个数为 ，集合 的所有真子集
个数为 ，集合 的所有非空真子集个数为 ；
27．A
【解析】
【分析】
先求出集A，B，再由件 ，确定集合C即可
【详解】
解：由题意得 ,
因为
所以 ，
所以集合C的个数为集合 的非空子集的个数为 ，
故选：A.
28．D
【解析】
由集合 的特征判断集合 中元素为整数， ，结合元素与集合的关系即可判断
【详解】
因为 ，所以 中元素全是整数，因为 ，所以 ，
故选：D．
【点睛】
本题考查元素与集合的关系的判断，属于基础题
29．A
【解析】
【分析】
根据集合相等，结合集合元素的互异性，即可求得参数值.
【详解】
， ， 或1，
显然 ， .
第 14 页故选：A.
【点睛】
本题考查由集合相等求参数值，涉及集合的互异性，属基础题.
30．D
【解析】
【分析】
解绝对值不等式得到集合 ，再利用集合的包含关系得到不等式，解不等式即可得解.
【详解】
集合 ，
或
又 ，所以 或
即 或 ，即
所以 的取值范围为
故选：D
31．B
【解析】
【分析】
先利用集合相等列式 ，解得a，b，再验证集合元素的互异性，代入计算即得结果.
【详解】
因为 ，
所以 ，解得 或 ，
当 时，不满足集合元素的互异性，
故 ， ，即 .
故选：B.
32．C
【解析】
【分析】
首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.
【详解】
第 15 页由题意结合补集的定义可知： ，则 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.
33．B
【解析】
【分析】
利用集合的包含关系可得 或 ，求出 ，再根据集合的互异性即可求解.
【详解】
因为集合 ， ，且 ，所以 或 ，
若 ，则 ，满足 ；
若 ，则 或 ，
当 时， ，满足 ；
当 时，集合A中元素不满足互异性，舍去，
故选：B.
34．A
【解析】
【分析】
由题可得符合条件的集合A的个数即为 的非空子集个数.
【详解】
根据题意，得 ，即求 的非空子集个数，
， 的非空子集个数是 ，
所以集合A的个数是3．
故选：A．
35．A
【解析】
【分析】
分 和 两种情况讨论，利用 列不等式求解即可．
【详解】
当 时， ，满足 ；
当 时，若 ，只需 ，解得
综上， 的取值范围是
故选：A
36．B
【解析】
第 16 页【分析】
分 与 两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，最后取并集即可；
【详解】
解：∵ ，
∴①当 时，即 无解，此时 ，满足题意.
②当 时，即 有解，当 时，可得 ，
要使 ，则需要 ，解得 .
当 时，可得 ，要使 ，则需要 ，解得 ，
综上，实数 的取值范围是 .
故选：B.
37．D
【解析】
由图可得 ，由选项即可判断.
【详解】
解：由图可知： ，
，
由选项可知： ，
故选：D.
38．AE
【解析】
【分析】
利用集合相等判断A选项错误，由 建立不等式组，根据是否有解判断B选项；
时求出B，判断是否 可得C错误，分B为空集，非空集两种情况讨论可判断D选项，由D选项判断过
程可知E选项正确.
【详解】
A选项由相等集合的概念可得 解得 且 ，得此方程组无解，
故不存在实数 使得集合A=B，因此A正确；
B选项由 ，得 即 ，此不等式组无解，因此B错误；
C选项当 时，得 为空集，不满足 ，因此C错误；
D选项当 ，即 时， ，符合 ；当 时，要使 ，需满足 解得
第 17 页，不满足 ，故这样的实数 不存在，则当 时 不正确，因此D错误；
E选项由D选项分析可得存在实数 使得 ，因此E正确.
综上AE选项正确.
故选：AE.
【点睛】
本题主要考查了集合相等，子集的概念，考查了推理运算能力，属于中档题.
39．CD
【解析】
【分析】
利用集合的交、并、补运算法则直接求解．
【详解】
对A，因为 ，故 错误；
对B，因为 ，故B错误；
对C， ，故 正确；
对D， ，故 正确．
故选：CD．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查集合的交、并、补运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
40．AB
【解析】
【分析】
由 ，则 或 ，再根据集合相等求出参数的值；
【详解】
解：由 ，可知 或 ，
所以 或1.
故选:AB.
【点睛】
本题考查根据集合的包含关系求参数的值，属于基础题.
41．AC
【解析】
【分析】
根据集合交集、补集、并集的定义，结合集合真子集个数公式逐一判断即可.
【详解】
因为全集 ，集合 ， ，
所以 ， ， ，
因此选项A、C正确，选项B不正确，
因为集合 的元素共有3个，所以它的真子集个数为： ，因此选项D不正确，
故选：AC
第 18 页42．56
【解析】
【分析】
正难则反， ，从这个条件出发，可先求 的个数，再用全部子集的个数减去 的个数即可
【详解】
集合A的子集有: , , , , , , ,共64个;
又 ,所以S不能为: , , ,
共8个,则满足 且 的集合S的个数是 .
【点睛】
集合中元素个数若为n个，则子集个数为 个
43．
【解析】
【分析】
分情况讨论：当 或 ，根据集合的包含关系即可求解.
【详解】
当 时，有 ，则 ；
当 时，若 ，如图，
则 解得 ．
综上， 的取值范围为 ．
故答案为：
44． 或0.
【解析】
【分析】
根据题意，考虑到各种可能性，分别解方程，并注意检验集合元素的互异性，即可得到答案.
【详解】
若 ，则 或
当 时， ，符合元素的互异性；
当 时， ，不符合元素的互异性，舍去
若 ，则 或
当 时， ，符合元素的互异性；
当 时， ，不符合元素的互异性，舍去；
故答案为： 或0.
第 19 页【点睛】
关键点点睛：本题考查元素与集合的关系，检验集合元素的互异性排除不符合答案是解题的关键，属基础题.
45．
【解析】
【分析】
由题可知 ，说明 ，再根据条件进行求解
【详解】
若集合 ，将-2带入B中，则应满足 ， ，反求得集合 ,与假设矛盾，排除
若 ，则 ，即 ，
所以满足条件的 组成的集合为
【点睛】
由 ，当 时，有两层具体含义：一是B是A的非空子集；二是 ，第二种情况在解题
中最容易遗漏，需特别注意
46． .
【解析】
【分析】
根据集合的包含关系利用数轴求a的范围.
【详解】
∵ ，∴a在数轴上的对应点位于6所对应点的右侧或为6所对应的点，
∴a的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】
本题考查根据集合的包含关系求参数的范围，属于基础题.
47．
【解析】
【分析】
由 知，集合B为A的非空子集或空集，列出满足的包含关系，求得k的范围.
【详解】
由 知，集合B为A的非空子集或空集，
即 或 ，
解得 或
故答案为：
48． ．
第 20 页【解析】
【分析】
分类讨论： 和 ，前者由子集定义即得，后者由包含关系得不等关系后可得．
【详解】
当 时， ，
当 时，则 ，解得 ．
综上， 的取值范围是 ．
49．{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}
【解析】
根据子集与真子集的定义，即可求解.
【详解】
由题意可以确定集合M必含有元素1，2，
且至少含有元素3，4，5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：
含有3个元素：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}；
含有4个元素：{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}；
含有5个元素：{1，2，3，4，5}.
故满足条件的集合M为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，
{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}.
【点睛】
本题考查集合间的关系，属于基础题.
50．（1）见解析；（2）有 个子集， 个真子集.
【解析】
（1）由题意结合子集的概念，按照子集元素个数从少到多逐步写出即可得解；
（2）由题意结合集合元素个数与子集个数的关系即可得解.
【详解】
（1）集合 的所有子集有： 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、
、 、 、 、 ；
（2）若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有 个子集， 个真子集.
【点睛】
本题考查了集合子集的求解及集合元素个数与子集个数关系的应用，属于基础题.
51．
【解析】
【分析】
根据子集的定义、元素与集合之间的关系和分步计数原理即可得出答案.
【详解】
对于集合中的任意一个元素，它与子集的关系都有且仅有两种选择：“属于”与“不属于”，由分布乘法计数原
理，集合中的n个元素在子集中的情况共有 种，故这个集合共有 个子集.
第 21 页52．（1）{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，
3，4，5}；（2）{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}．
【解析】
【分析】
（1）列举法，按元素个数分类写出所有可能情况；
（2）将元素分为三组3，2和4，1和5，按元素个数分类列举写出所有结果即可.
【详解】
（1）因为{1，2}⊆M，所以1∈M，2∈M，
又因为M⊆{1，2，3，4，5}，
所以M是含有1，2的{1，2，3，4，5}的子集，
故M的所有可能情况是{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，
5}，{1，2，3，4，5}共8个．
（2）若M只含1个元素，则M={3}；
若M只含2个元素，则M={1，5}，{2，4}；
若M只含3个元素，则M={1，3，5}，{2，3，4}；
若M只含4个元素，则M={1，2，4，5}；
若M含5个元素，则M={1，2，3，4，5}．
所以M可能的结果为：{3}，{1，5}，{2，4}，{1，3，5}，{2，3，4}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个．
【点睛】
关于集合子集个数的结论：一个集合有n个元素，则这个集合的子集的个数为 ，真子集的个数为 .
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