文档内容
第 01 讲 集合(精讲+精练）
目录
第一部分：思维导图（总览全局）
第二部分：知识点精准记忆
第三部分：课前自我评估测试
第四部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：集合的基本概念
高频考点二：集合的基本关系
高频考点三：集合的运算
高频考点四： 图的应用
高频考点五：集合新定义问题
第五部分：高考真题感悟
第六部分：集合(精练）
第一部分：思 维 导 图 总 览 全 局第二部分：知 识 点 精 准 记 忆
1、元素与集合
（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.（2）元素与集合的关系：属于 或 不属于，数学符号分别记为： 和 .
（3）集合的表示方法：列举法、描述法、韦恩图（ 图）.
（4）常见数集和数学符号
数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
或
说明：
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的；也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这
个集合中就确定了.给定集合 ，可知 ,在该集合中， ,不在该集合中；
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的；也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
集合 应满足 .
③无序性：组成集合的元素间没有顺序之分。集合 和 是同一个集合.
④列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“ ”括起来表示集合的方法叫做列举法.
⑤描述法
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法.
具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，
在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
2、集合间的基本关系
（1）子集（subset）：一般地，对于两个集合 、 ，如果集合 中任意一个元素都是集合 中的元素，
我们就说这两个集合有包含关系，称集合 为集合 的子集 ，记作 （或 ），读作“ 包含
于 ”（或“ 包含 ”）.
（2）真子集（proper subset）：如果集合 ，但存在元素 ，且 ，我们称集合 是集合
的真子集，记作 （或 ）.读作“ 真包含于 ”或“ 真包含 ”.
（3）相等：如果集合 是集合 的子集（ ，且集合 是集合 的子集（ ），此时，集合
与集合 中的元素是一样的，因此，集合 与集合 相等，记作 .
（4）空集的性质： 我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作 ； 是任何集合的子集，是任何非空
集合的真子集.
3、集合的基本运算
（1）交集：一般地，由属于集合 且属于集合 的所有元素组成的集合，称为 与 的交集，记作
，即 ．
（2）并集：一般地，由所有属于集合 或属于集合 的元素组成的集合，称为 与 的并集，记作
，即 ．
（3）补集：对于一个集合 ，由全集 中不属于集合 的所有元素组成的集合称为集合 相对于全集的补集，简称为集合 的补集，记作 ，即 ．
4、集合的运算性质
（1） ， ， ．
（2） ， ， ．
（3） ， ， ．
5、高频考点结论
（1）若有限集 中有 个元素，则 的子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非空真
子集有 个．
（2）空集是任何集合 的子集，是任何非空集合 的真子集．
（3） ．
（4） , ．
第三部分：课 前 自 我 评 估 测 试
一、判断题
1．（2022·江西·贵溪市实验中学高二期末）集合 的子集共有8个 ( )
2．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）集合 和 表示同一个集合( )
3．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）满足条件 的集合 的个数是2个.(
)
4．（2021·江西·贵溪市实验中学高三阶段练习）已知集合 ，则 .( )
5．（2021·江西·贵溪市实验中学高二阶段练习）满足条件 的集合 的个数是
3 ( )
二、单选题
1．（2022·广东茂名·高一期末）已知集合 ，集合 ，则 （ ）
A．0 B． C． D．
2．（2021·广东·佛山一中高一阶段练习）已知集合 ， ，若
，则实数 的取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河南平顶山·高三阶段练习（文））已知集合 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
4．（2022·湖南·沅陵县第一中学高二开学考试）如图所示，阴影部分表示的集合是（ ）
A． B． C． D．
第四部分：典 型 例 题 剖 析
高频考点一：集合的基本概念
1．（2020·重庆·一模（理））已知集合 ，则B中元素个数为
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（2021·上海黄浦·一模）已知集合 ，若 ，则 ___________.
3．（2012·全国·一模（理））集合 中含有的元素个数为
A．4 B．6 C．8 D．12
4．（2017·河北·武邑宏达学校模拟预测（理））集合 ，则
中元素的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（2020·湖南·邵东市第十中学模拟预测（理））已知集合 ， ，
则集合 中所含元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
6．（2021·全国·二模（理））定义集合运算： ，设 ， ，则
集合 的所有元素之和为（ ）
A．16 B．18 C．14 D．8
高频考点二：集合的基本关系1．（2021·广东肇庆·模拟预测）已知集合 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山东·模拟预测）已知集合 ，若 ，则x=__.
3．（2020·江苏省如皋中学二模）设 ， ，且 ，则实数m的值是________.
4．（2021·辽宁·东北育才学校一模）所有满足 的集合M的个数为________；
5．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围
为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020·广西·模拟预测）已知集合 ， ， .
（1）求 ， ：
（2）若 ，求实数m的取值范围.
7．（2020·广西·模拟预测）已知集合 ， 或 .
（1）若 ，求 ；
（2）若 ，求a的取值范围.
高频考点三：集合的运算
1．（2022·甘肃陇南·模拟预测（理））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．C． D．
2．（2022·北京丰台·一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·河南·模拟预测（理））已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·模拟预测（理））设全集 ，集合 ，集合 ，则 是
（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022·江西赣州·一模（理））设集合 ， .若 ，则实数
n的值为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．（2021·江西·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党
史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟
业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟
业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，
只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支
短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为________.
7．（2021·上海·模拟预测）已知集合 ， ，则
__________.
高频考点四： 图的应用
1．（2022·贵州贵阳·一模（理））若全集U和集合A，B的关系如图所示，则图中阴影部分表示的集合为
（ ）A． B．
C． D．
2．（2021·广东·模拟预测）已知全集 ，集合 ，它们的关系如
图（ 图）所示，则阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2021·黑龙江·哈九中三模（理））如图， 是全集， 是 的子集，则阴影部分表示的集合是
（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏徐州·二模）某班45名学生参加“3·12”植树节活动，每位学生都参加除草､植树两项劳动.依
据劳动表现，评定为“优秀”､“合格”2个等级，结果如下表：
等级
优秀 合格 合计
项目
除草 30 15 45
植树 20 25 45
若在两个项目中都“合格”的学生最多有10人，则在两个项目中都“优秀”的人数最多为（ ）
A．5 B．10 C．15 D．20
5．（2020·北京市第五中学模拟预测）高二一班共有学生50人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、
地理、政治这六门课程中选择三门课程进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少20人，这三门课程都不选的有10人，这三门课程都选的有10人，在这三门课程中选择任意两门课程的都至少有13人，
物理、化学只选一科的学生都至少6人，那么选择物理和化学这两门课程的学生人数至多（ ）
A．16 B．17 C．18 D．19
高频考点五：集合新定义问题
1．定义集合 且 .己知集合 ， ， ，则
中元素的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．设A、B是非空集合，定义： 且 ．已知 ， ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
3．已知集合 ， ，则集合 中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
4．已知非空集合 、 满足以下两个条件：（1） ， ；（2） 的元素个数不
是 中的元素， 的元素个数不是 中的元素.则有序集合对 的个数为（ ）
A． B． C． D．
5．（多选）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即
， .则下列结论正确的是（ ）
A． ； B． ；
C． ； D．整数 ， 属于同一“类”的充要条件是“ ”.
第五部分：高 考 真 题 感 悟
1．（2021·山东·高考真题）假设集合 ， ，那么 等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·湖南·高考真题）已知集合 ， ，且 （ ）A． B．
C． D．
3．（2021·江苏·高考真题）已知集合 ， ，若 ，则 的值是（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
4．（2021·天津·高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2021·全国·高考真题）设集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2021·浙江·高考真题）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国·高考真题（理））已知集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
第六部分：第 01 讲 集合（精练）
一、单选题
1．（2021·北大附中云南实验学校高一阶段练习）下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与 非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校 学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学D．高一年级很有才华的老师
2．（2022··模拟预测（理））已知集合 ， ，则 中元素的个
数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知集合 ， ，若 ，则
（ ）
A． B．0 C．1 D．
4．（2022·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则集合B的子集的个数是
（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
5．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）集合 ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·广东·高二期末）集合 ， ， ，则 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·湖南·长郡中学高二阶段练习）已知集合 ， ，则
（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·河南·温县第一高级中学高三阶段练习（理））已知集合 ，B={-2，-1，0，1}，
则A∩B=（ ）
A．{-2，-1，0，1} B．{-1，0，1} C．{-1，0} D．{-2，-1，0}
二、填空题
9．（2022·四川·雅安中学高一阶段练习）集合 ，则 的子集的
个数为___________.
10．（2022·上海金山·高一期末）满足条件： 的集合M的个数为______.11．（2022·全国·高三专题练习）已知集合 ，若 ，
求实数a的取值范围是___________.
12．（2022·全国·高三专题练习）设集合 ， 或 ，若 ，
则 的取值范围是___________.
三、解答题
13．（2022·山西·榆次一中高一开学考试）已知集合 ， ．
(1)当 时，求 以及 ；
(2)若 ，求实数m的取值范围．
14．（2022·江苏省天一中学高一期末）集合 ， .
(1)若 ， ，求实数 的值；
(2)从条件①②③这三个条件中选择一个作为已知条件，求实数 的取值范围.
条件：① ；② ；③ .（注：答题前先说明选择哪个条件，如果选择多
于一条件分别解答，按第一个解答计分）.
15．（2022·江西·赣州市赣县第三中学高一开学考试）已知集合 ，
.
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求a的取值集合.16．（2022·江苏·高一）已知集合 为非空数集，定义： ，
.
(1)若集合 ，直接写出集合 、 ；
(2)若集合 ，且 ，写出一个满足条件的集合 ，并说明理由；
(3)若集合 ， ，记 为集合 中元素的个数，求 的最大值.
