文档内容
第 01 讲 集合与逻辑（14 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析
2024年秋考第1题 补集
2024春考第21题 充要条件与函数综合
2023秋考第13题 元素与集合关系的判断
2023春考第1题 集合相等
2022年秋考13题、16题 集合的交集、集合与直线和圆综合
2022年春考2题 集合的交集
2021年秋考2题 集合的交集
2021年春考14题 集合的基本运算
2020年秋考1题
集合的交集
2020年春考1题
集合的包含关系
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是上海高考卷的必考内容，考查形式多样。填空题1题设题稳定，难度较低，分
值为4分，选择题考查比较综合，分值为5分。
【备考策略】
1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系
2.掌握集合交集、并集、补集的运算和性质
3.掌握集合与其他知识综合应用及集合新定义问题
4.掌握逻辑用语与其他知识综合应用
【命题预测】集合仍会从集合之间的关系与基本运算方向进行命制.大概率会出现其他知识结合以及充要
条件应用问题.知识讲解
1.集合的有关概念
（1）集合元素的三大特性：确定性、无序性、互异性．
（2）元素与集合的两种关系：属于，记为；不属于，记为 .
（3）集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
（4）五个特定的集合
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N*或N
＋
2.集合间的基本关系
文字语言 符号语言
相等 集合A与集合B中的所有元素都相同 A ＝ B
集合间的 子集 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素 A B
基本关系 集合A中任意一个元素均为集合B中的元素，且集合B中
⊆
真子集
至少有一个元素不是集合A中的元素
空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
若全集为U，则集合A的
符号表示 A∪B A∩B
补集为
图形表示
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} { x | x ∈ A ，且 x ∈ B } {x|x∈U，且x∉A}
4.集合的运算性质(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( )＝ ，A∪( )＝U， ；
5．常用结论
（1）空集性质：①空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅；
②空集是任何集合的子集（即∅⊆A）；
空集是任何非空集合的真子集（若A≠∅，则∅ A）．
（2）子集个数：若有限集A中有n个元素，
则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有 个．
（3）A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B．
（4） （5）
6.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q ⇏ p
⇒
p是q的必要不充分条件 p ⇏ q且q p
⇒
p是q的充要条件 p q
⇒
p是q的既不充分也不必要条件 p ⇏ q且q ⇏ p
⇔
7.充分、必要条件与集合的关系
设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．
（1）p是q的充分条件⇔A B，p是q的充分不必要条件⇔A B；
（2）p是q的必要条件⇔B⊆A，p是q的必要不充分条件⇔B A；
（3）p是q的充要条件⇔A⊆ ＝B．
考点一.元素与集合关系的判断
1．（2024•杨浦区校级三模）已知集合 ， ， ， ， 或 ，则
A． B． C． D． ，2，
【分析】结合元素与集合的关系，即可求解．
【解答】解： 、 ， 、 ，
或 ，故 正确；
故选： ．
【点评】本题以定义理解为载体，主要考查了集合的运算，属于基础题．2．（2024•宝山区二模）已知集合 ， ， ，且 ，则实数 的值为 0 ．
【分析】由已知结合元素与集合的关系即可求解．
【解答】解：因为集合 ， ， ，且 ，
所以 或 ，
所以 或 ，
当 时， ，1， ，符合题意，
当 时， ，1， ，与集合元素的互异性矛盾．
故答案为：0．
【点评】本题主要考查了元素与集合关系及集合元素的性质的应用，属于基础题．
3．（2023•徐汇区三模）对任意数集 ， ， ，满足表达式为 且值域为 的函数
个数为 ．记所有可能的 的值组成集合 ，则集合 中元素之和为 64 3 ．
【分析】根据给定条件，探讨函数 的性质并作出图象，求出集合 ，进而求得答案作答．
【解答】解： ， ，
当 或 时， ，当 时， ，
即函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
当 时，函数 取得极大值0，
当 时，该函数取得极小值 ，图象如图，
观察图象知，当 ，2， 与图象有一个公共点时，相应的 有1种取法，
当 ，2， 与图象有两个公共点时，相应的 有 种取法，
当 ，2， 与图象有三个公共点时，相应的 有 种取法，
直线 ， ， 与函数图象的交点个数可能的取值为：，1， ， ，1， ， ，1， ， ，2， ， ，2， ， ，3， ， ，2， ， ，3， ，
，3， ，
对应的函数个数为1，3，7， ， ， ， ， ， ，
集合 中元素之和为：
．
故答案为：643．
【点评】本题考查元素与集合的关系、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
4．（2023•徐汇区校级三模）已知集合 ，其中 且 ，记 ，且对
任意 ，都有 ，则 的值是 或 ．
【分析】根据两端区间和 的关系分三种情况讨论： 在 ， ， 左边，在 ，
和 ， 之间，在 ， ， 右边三种情况，根据单调性可得 的值域，从而确定定义域
与值域的关系，列不等式求解即可．
【解答】解：①当 时， 在区间 ， ， 上单调递减，
， ， ，
且 ，
且 ，
，故
，即 ， ，
， ，．
②当 ，即 时，此时区间 ， 在 左侧， ， 在 右侧，
在区间 ， 上为减函数，
当 ， ， ， ，
， ， ， ， ，
，
，
，
，即 ，
， ，
此时区间 ， 在 右侧，
当 ， 时，
， ，
， ， ， ，
，此时 ，解得： ，；
③当 ，即 时， 在 ， ， 右边．
此时 在区间 ， ， 上单调递减，
， ， ，
且 ，
且 ，
，故
，即 ， ，
， ， ，不满足 ．
综上， 的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
【点评】本题主要考查了根据单调性求解值域的问题，需要根据题意，结合分式函数的图象，依据端点与
特殊值之间的关系进行分类讨论，同时需要根据值域的包含关系确定参数的取值范围．求解过程中需要统
一分析，注意不等式之间相似的关系整体进行求解．属于难题．
考点二．集合的表示法
5．（2024•杨浦区校级三模）已知非空集合 ， 满足以下两个条件：
（ⅰ） ，2，3，4，5， ， ；（ⅱ） 的元素个数不是 中的元素， 的元素个数不是 中的元素，则有序集合对 的个数为
A．10 B．12 C．14 D．16
【分析】分别讨论集合 ， 元素个数，即可得到结论．
【解答】解：若集合 中只有1个元素，则集合 中只有5个元素，则 ， ，
即 ， ，此时有 ，
若集合 中只有2个元素，则集合 中只有4个元素，则 ， ，
即 ， ，此时有 ，
若集合 中只有3个元素，则集合 中只有3个元素，则 ， ，不满足题意，
若集合 中只有4个元素，则集合 中只有2个元素，则 ， ，
即 ， ，此时有 ，
若集合 中只有5个元素，则集合 中只有1个元素，则 ， ，
即 ， ，此时有 ，
故有序集合对 的个数是 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查排列组合的应用，根据元素关系分别进行讨论是解决本题的关键．
6．（2024•静安区二模）中国国旗上所有颜色组成的集合为 红，黄 ．
【分析】结合集合的表示法，即可求解．
【解答】解：中国国旗上所有颜色组成的集合为 红，黄 ．
故答案为： 红，黄 ．
【点评】本题主要考查集合的表示法，属于基础题．
7．（2023秋•奉贤区期末）用描述法表示所有偶数组成的集合 ， ．
【分析】根据描述法的定义即可求出．
【解答】解：描述法为： ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查了集合的表示方法，属于基础题．
8．（2023秋•宝山区校级期末）已知集合 ， ， ．
（1）若 只有一个元素，试求实数 的值，并用列举法表示集合 ；
（2）若 至少有两个子集，试求实数 的取值范围．
【分析】（1）考虑 和 且△ 两种情况；（2） 至少有两个子集，则方程由一个或两个根，考虑第一问的结果和 且△ 两种情况．
【解答】解：（1） 时 ， ，解得 符合题意；
时令△ 解得 ，
此时 ， ，
解得 符合题意，
故 或 ， 或
（2）若 至少有两个子集，则 至少有一个元素．
由（1）知 或 时符合题意．
由题意可知 时若△ 也符合题意．
即 解得 且 ．
综上实数 的取值范围为 ， ．
【点评】本题主要考查了集合的表示方法，考查了集合的元素个数，是基础题．
考点三．集合的相等
9．（2023秋•普陀区校级期末）下列表示同一集合的是
A． ， ， ， B． ，
C． ， D． ， ，
【分析】直接根据集合相等的概念进行判断即可．
【解答】解：对于选项 ，由集合元素具有无序性可得： ， ， ，故 正确；
对于选项 ，集合 表示直线 上所有的点构成的集合，而集合
表示直线 上所有的点的纵坐标的取值集合，两者不相同，故 不正确；
对于选项 ，点 与点 是不同的点，故 不正确；
对于选项 ，集合 中有两个元素2和4，而集合 中仅有1个元素 ，故 不正确．
故选： ．
【点评】本题考查集合的相等的概念，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．
10．（2023秋•浦东新区校级期末）若集合 ，2， ， ， ，则 6 ．
【分析】利用集合相等的定义求解．
【解答】解： ，2， ， ， ，
．
故答案为：6．
【点评】本题考查代数和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意集合相等的性质的合理运用．11．（2023秋•宝山区校级月考）已知集合 ， ， ， ，且 ，则 的值为 0 ．
【分析】由 ， ， ， ，且 ，知 ，由此能求出实数 的值， 不满足
集合中元素的互异性，舍去．
【解答】解： ， ， ， ，且 ，
，
解得 ，或 ．
不满足集合中元素的互异性，舍去．
符合题意．
故答案是：0．
【点评】本题考查实数 的求法，是基础题．解题时要认真审题，注意集合相等的概念的灵活运用．
12．（2023秋•闵行区校级期中） 是有理数集，集合 ，在下列集合中：
① ；② ， ；
③ ， ， ；④ ， ， ．
与集合 相等的集合序号是 ④ ．
【分析】集合相等条件为集合元素相同，根据此条件分别判断①②③④四个集合中元素是否与集合 一致
即可．
【解答】解：对于①． ，设 ， ， ，则 ，不妨
取 ， ，可知 ，而 ， ，显然 ，故①的集合与 不相等；
对于②．令 ， ， ，则 ，显然 ，但
， ，故②的集合与 不相等：
对于③．当 ， ， ， 时， ，故③的集合与 不相等；
对于④．令 ， ， ， ， ， ， ，
其中 ， ， ，故④的集合与 相等．
故答案为：④．
【点评】本题考查了集合的新定义，关键在于学生对概念的理解，属中档题．
考点四．集合的包含关系判断及应用13．（2024•长宁区二模）已知集合 ， ， ，3， ，若 ，则 2 ．
【分析】由已知结合集合的包含关系即可求解．
【解答】解：因为集合 ， ， ，3， ，
若 ，则 ．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了集合的包含关系的应用，属于基础题．
14．（2024•宝山区校级四模）已知集合 ， 且 ，则实数 的取值范围是
， ．
【分析】由集合 ， 且 ，可得 ，用区间表示可得 的取值范围．
【解答】解： 集合 ， 且 ，
，
实数 的取值范围是： ， ，
故答案为： ，
【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中根据子集的定义，得到 ，是解答的
关键．
考点五．子集与真子集
15．（2024•黄浦区校级三模）已知 ，集合 ，若集合 恰有8个子集，
则 的可能值有几个
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】由已知结合集合元素个数与集合子集个数的关系即可求解．
【解答】解：因为 ， ， ， ， ，
因为集合 恰有8个子集，
所以 中含有3个元素且 ，
结合诱导公式可知， 或 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查了集合元素个数与集合子集个数的规律的应用，属于基础题．
16．（2024•宝山区校级四模）考虑 ， 的非空子集 ，满足 中的元素个数等于 中的最小元素，例如， ，6，8， 就满足此条件．则这样的子集 共有 14 4 个．
【分析】列举出题集合 ， 的所有元素，根据 中元素个数等于 中的最小元素，确定集
合 的组成．即可得到满足条件集合 的个数．
【解答】解：由题意：集合 ， ，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11， ，
非空子集 ，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11， ，且 中元素个数等于 中的最小元素，
满足条件有元素集合有：含有元素1的集合就1个 ，
含有元素2的集合除2以外，再在3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，10个数中取1个数，有 种，
含有元素3的集合除3以外，再在4，5，6，7，8，9，10，11，12，9个数中取2个数，有 种，
含有元素4的集合除4以外，再在5，6，7，8，9，10，11，12，8个数中取3个数，有 种，
含有元素5的集合除5以外，再在6，7，8，9，10，11，12，7个数中取4个数，有 种，
含有元素6的集合除6以外，再在7，8，9，10，11，12，6个数中取5个数，有 种，
含有元素7，8，9，10，11，12的集合都不符合要求，
共 种．
故答案为：144．
【点评】本题主要考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用．属于基础题．
17．（2024•嘉定区二模）若规定集合 ，1，2， ， 的子集 ， ， ， ， 为 的第
个子集，其中 ，则 的第211个子集是 ， 1 ， 4 ， 6 ， ．
【分析】由 可求解．
【解答】解：因为 ，
所以 的第211个子集是 ，1，4，6， ．
故答案为： ，1，4，6， ．
【点评】本题主要考查了集合的新定义问题，属于中档题．
18．（2024•徐汇区校级模拟）已知 ，集合 ，若集合 恰有8个子集，则
的可能值的集合为 ， ．
【分析】由已知结合集合元素个数与集合子集个数的关系即可求解．
【解答】解：因为 ， ， ， ， ，
因为集合 恰有8个子集，
所以 中含有3个元素且 ，结合诱导公式可知， 或 ，
则 的可能值的集合为 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查了集合元素个数与集合子集个数的规律的应用，属于基础题．
考点六．集合中元素个数的最值
19．（2023秋•普陀区校级期末）集合 ，且 ，则 的个数是
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据条件 ，且 ，确定集合的元素 ．
【解答】解：因为 ，且 ，
所以由 得 ．
因为 ，所以 ，1，2，3，4，5，6，7，8，共9个数值．
故选： ．
【点评】本题主要考查集合元素的确定，比较基础．
20．（2024春•徐汇区校级月考）设集合 ， ，且 ， ，则集合 中元素
个数为 6 3 ．
【分析】解出绝对值不等式，可得 及 的可能取值，即可得解．
【解答】解： 可得 ，又 ，
故 可为 、 、 、0、1、2、3共七个数，
可得 ，又 ，
故 可为 、 、 、 、0、1、2、3、4共九个数，
集合 中元素个数为 ．
故答案为：63．
【点评】本题主要考查元素和集合的关系，属于中档题．
21．（2023 秋•浦东新区校级月考）已知集合 为非空数集，定义： ， ， ，
， ， ．
（1）若集合 ， ，直接写出集合 ， （无需写计算过程）；
（2）若集合 ， ， ， ， ，且 ，求证： ；
（3）若集合 ， ， ，记 为集合 中元素的个数，求 的最大值．【分析】（1）根据题目的定义，直接计算集合 ， 即可；
（2）根据集合相等的概念，能证明 ；
（3）通过假设集合 ， ， ， ， ，求出对应的集合 ， ，通过
，建立不等式关系，求出对应的值即可．
【解答】解：（1） 集合 ， ， ， ， ， ， ， ，
集合 ，4， ，集合 ， ．
（2）证明： 集合 ， ， ， ， ，且 ，
中也只包含4个元素，即 ， ， ， ，
剩下的元素满足 ，
；
（3）集合 ， ， ，记 为集合 中元素的个数，
设集合 ， ， ， 满足题意，其中 ，
则 ，
， ， ，
，由容斥原理， ，
最小的元素为0，最大的元素为 ，
，
，解得 ，
实际上当 ，675， ， 时满足题意．
证明如下：
设 ， ， ， ， ， ， ，
则 ， ， ， ， ， ，1，2， ， ，
依题意，有 ，即 ， 的最小值为674，
当 时，集合 中元素最多，即 ，675， ， 时满足题意，
综上， 的最大值为1348．
【点评】本题考查集合的运算、容斥原理、交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
考点七．集合关系中的参数取值问题22．（2023秋•青浦区校级月考）设集合 ， ，若 ，则 的取
值范围是 ．
【分析】将集合 化简为 ， ，根据 ，说明两个集合没有公共的元素，再
结合数轴就能得到正确答案．
【解答】解：化简得 ， ，
， ，
结合数轴得，
故答案为
【点评】本题考查了集合关系中的参数取值问题，属于基础题．数形结合是解决此类问题的常用方法，本
题利用了数轴，使问题变得一目了然．
23．（2023 秋•青浦区校级月考）设集合 ， ，且满足（1） ；（2）若 ，则
．
（1） 能否为单元集，为什么？
（2）求出只含两个元素的集合 ．
（3）满足题设条件的集合 共有几个？为什么？能否列举出来．
【分析】（1） 不是为单元集，通过题意推出方程，直接求解推出 的值即可说明；
（2）通过 ，利用 替换 ，求出只含两个元素的集合 ，说明不存在即可．
（3）满足题设条件的集合 ，通过 所以 必然是12的约数，然后一一列举出来，即可．
【解答】解：（1）不能，因为 ， 且 ，
而 ，
如果 是单元素集，必须 ，
解得 ，其不属于非0自然数，
所以 不是为单元集．（2）若 ，则 ， ，
2与13重复出现， ， ，
同理，7与3，4与5成对出现， ， ， ， ， ， ．
（3）有7个．理由如下：
中的元素成对出现，有3对，
认为 为 ，3，4，5，2， 的子集，
但7与3，4与5，2与13分别绑在一起，认为有3个元素，
而 ，则 有 个，
则 可能为： ， ， ， ， ， ， ，13，7， ， ，13，4， ， ，3，4， ， ，
13，7，3，4， ．
所以满足条件的 共有7个．
【点评】本题是中档题，考查集合的参数的讨论，集合中元素的性质，考查逻辑推理能力，计算能力．
考点八．并集及其运算
24．（2024•青浦区校级模拟）若集合 ， ， ，则实数 2 ．
【分析】由已知结合集合的并集运算即可求解．
【解答】解：因为集合 ， ， ，
所以 ．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了集合的并集运算，属于基础题．
25．（2024•黄浦区二模）集合 ， ， ，则 ， ．
【分析】由并集运算可得．
【解答】解：由集合 ， ， ，
得 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查并集及其运算，属于基础题．
26．（2024•浦东新区校级模拟）已知集合 ， ，则 ．
【分析】直接利用交集运算的定义求解．【解答】解： 集合 ， ，
，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
27．（2024•宝山区三模）若集合 ，2， ， ，2， ，则 ， 1 ， 2 ， 3 ， ．
【分析】利用并集定义直接求解．
【解答】解：集合 ，2， ， ，2， ，
则 ，1，2，3， ．
故答案为： ，1，2，3， ．
【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
考点九．交集及其运算
28．（2024•松江区校级模拟）已知集合 ， ，则
．
【分析】根据交集的定义，解方程组 即可得出 ．
【解答】解：解 得 ，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了描述法、列举法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．
29．（2024•浦东新区校级三模）集合 ，集合 ，则 ，
．
【分析】可求出集合 ， ，然后进行交集的运算即可．
【解答】解： ， ， ；
， ．
故答案为： ， ．
【点评】考查描述法、区间的定义，对数函数的定义域，以及交集的运算．30．（2024•闵行区校级模拟）已知集合 ，3， ， ， ，若 ，则 3 ．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解： 集合 ，3， ， ， ， ，
，
解得 ．
故答案为：3．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
31．（2024•浦东新区校级模拟）已知集合 ， ， ，则
．
【分析】根据指数、对数函数的性质可解集合 、 ，再利用集合的交集运算可解．
【解答】解：因为集合 ， ， ，
则 ，
故答案为： ．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
考点十．交、并、补集的混合运算
32．（2023春•徐汇区校级期末）已知集合 ， ， ．
（1）求 ；
（2）求 ．
【分析】分别通过解绝对值不等式，指数不等式，分式不等式得出集合 、 、 的范围，再根据集合运
算得出结果．
【解答】解：（1）由 可得 ，即 ，
由 ，可得 ，解得 ，即 ，
由 ，可得 ，解得 ，即 ，故 ；
（2）因为 ， ，
所以 ．
【点评】本题考查不等式的解法，集合的运算，属基础题．
33．（2022秋•上海期末）已知全集 ，集合 ， ．求 ， ．
【分析】根据补集，交集，并集的定义进行计算即可．
【解答】解： ， ．
，则 或 ，
或 ，
则 或 ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，交、并、补的定义是解决本题的关键，是基础题．
34．（2023秋•浦东新区校级期中）定义一种集合运算 为： 或 ，设全集为
，给定集合 与 ，则仅使用 运算和 、 、 ，可以表示下列集合中的 ①②③ （填序
号）
① ；
② ；
③ ．
【分析】根据新定义运算逐个判断即可．
【解答】解：由 定义知 的意义是集合 的补集与 补集的并集，即 ，
则 或 ， 或 ，
所以 或 或 ，
所以 ，
综上， ， ， ．
故答案为：①②③．
【点评】本题主要考查了集合中的新定义问题，解题关键是分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新
定义的要求解决问题，属于中档题．
35．（2023秋•静安区校级月考）设非空集合 ， ，定义集合． 且 ，则集合
是A． B． C． D．
【分析】准确理解新定义，根据定义先求 ，再结合定义求 ．
【解答】解：因为 ， ，所以 ， ，
所以 ．
故选： ．
【点评】本题考查集合的运算，属于基础题．
考点十一．子集与交集、并集运算的转换
36．（2023秋•杨浦区校级期中）设 为全集，对集合 、 ，定义运算“ ”， ．对
于集合 ，2，3，4，5，6，7， ， ，2， ， ，4， ， ，4， ，则
， 3 ， 5 ， 6 ， ．
【分析】根据条件进行交集的运算求出 ，然后根据“ “的运算即可求出 ，进而求
出 ，4， ，然后进行补集的运算即可求得答案．
【解答】解： ，2，3，4，5，6，7， ， ，2， ， ，4， ， ，4， ，
，由题中定义可得， ，2，4，5，6，7， ，
，4， ，
，3，5，6， ．
故答案为： ，3，5，6， ．
【点评】考查列举法的定义，理解定义的“ “的运算，以及交集和补集的运算．
37 ． （ 2023 秋 • 静 安 区 校 级 期 中 ） 用 （ A ） 表 示 非 空 集 合 中 元 素 的 个 数 ， 设
，若 （A） ，则实数 的取值范围 ， ， ．
【分析】由题意可得： 有 5 个不同实数解．必然 ，方程化为：
， 可 得 是 此 方 程 的 一 个 实 数 根 ， 时 ， 化 为 ：
，分别作出函数 ， 的图象． ， ．由于函数
， 的图象必须有四个交点，当 的图象与 相切
时，解得 ，进而得出．
【解答】解： ， （A） ，则 有5个不同实数解．
必然 ，
方程化为： ，
是此方程的一个实数根，
时，化为： ，
分别作出函数 ， 的图象． ， ．
由于函数 ， 的图象必须有四个交点，
当 的图象与 相切时，可得： 化为： ．
联立化为： ，由△ ，解得 ，或 ．
或 ．
实数 的取值范围是 ， ， ．
故答案为： ， ， ．
【点评】本题考查了方程的解法、集合运算性质、分类讨论方法、数形结合方法，考查了推理能力与计算
能力，属于难题．
38 ． （ 2023 秋 • 杨 浦 区 校 级 期 中 ） 用 （ A ） 表 示 非 空 集 合 中 元 素 的 个 数 ， 定 义
，若 ， ， ，且 ，设实数
的所有可能取值构成集合 ，则 3 ．【分析】根据新定义建立关系讨论即可．
【解答】解： ， ，有两个元素；
，
由 ，
当 有一个元素时，满足题意，此时方程 有一个解，
可得 ．
当 有3个元素时，满足题意，此时方程 有3个解，
可得： ， ，
那么 有一个解，
△ ，
可得 ．
综上可知实数 的取得为0， ， ，够成集合 个数为：3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了集合中元素的判断，新定义的理解，属于基础题．
39．（2023秋•徐汇区校级月考）对于集合 、 ，定义集合运算 且 ，给出下列三
个结论：
（1） ；
（2） ；
（3）若 ，则 ．
则其中所有正确结论的序号是
A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3）
【分析】先画 图，结合新定义依次判断即可．
【解答】解：对于结论（1）， 且 ，
是 图中的第1部分，
且 ，
是 图中的第3部分，
，故正确；
对于结论（2）， 是 图中的第1、3部分，
也是 图中的第1、3部分，
，故正确；
对于结论（3），若 ，则 且 ，故正确；
故选： ．
【点评】本题考查了集合的定义及运用，考查了数形结合的思想，属于中档题．
考点十二．Venn图表达集合的关系及运算
40．（2023秋•青浦区校级月考）如图， 表示全集， ， 是 的子集，则阴影部分所表示的集合是
A． B． C． D．
【分析】根据韦恩图写出阴影部分的集合表达式即可．
【解答】解：由韦恩图知：阴影部分为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用 图确定集合的关系是解决本题的关键．
41．（2023秋•宝山区校级月考）如图， 为全集， 、 、 是 的三个子集，则阴影部分所表示的集
合是
A． B． C． D．
【分析】由 图可得，集合表示 ， 的交集与 的补集的交集，从而得到答案．
【解答】解：由 图可得，
集合表示 ， 的交集与 的补集的交集，即 ．
故选： ．【点评】本题考查交集、补集、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
42．（2023秋•浦东新区校级月考）设全集 ，集合 ，1，3，5，7， ， ，2，4，5，
，则图中阴影部分表示的集合是 ， ．
【分析】根据集合补集和交集的定义进行求解即可．
【解答】解：设集合 ，5， ，
所以图中阴影部分表示的集合是 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，属于基础题．
43．（2023秋•闵行区校级月考）对班级40名学生调查对 、 两事件的态度，有如下结果：赞成 的人
数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成 的比赞成 的多3人，其余的不赞成，另外，对 、 都不
赞成的学生数比对 、 都赞成的学生数的三分之一多1人，问对 、 都赞成的学生有 1 8 人．
【分析】赞成 的人数是24人，赞成 的人数为27人，设对 、 都赞成的学生数为 ，则对 、 都
不赞成的学生数为 ，设40名学生组成的集合为 ，赞成 的学生全体为集合 ，赞成集合 的学
生全体为集合 ，作出韦恩图，能求出结果．
【解答】解：赞成 的人数是 人，赞成 的人数为 人，
设对 、 都赞成的学生数为 ，则对 、 都不赞成的学生数为 ，
设40名学生组成的集合为 ，赞成 的学生全体为集合 ，赞成集合 的学生全体为集合 ，
作出韦恩图得：由韦恩图得： ，解得 ．
故答案为：18．
【点评】本题考查集合的运算、韦恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
考点十三．充分条件与必要条件
44．（2024•闵行区二模）设 ，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】根据已知条件 ，“ ，解出 或 ，再根据充分必要条件的定义进行判断；
【解答】解： ，“ ， 或 ；
，可得 ，
或 ；
“ ”是“ ”必要不充分条件；
故选： ．
【点评】此题主要考查充分必要条件的定义，解题的关键是能够正确求解不等式，此题是一道基础题；
45．（2024•黄浦区校级三模）设 且 ，则“函数 在 上是减函数”是“函数
在 上是增函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据函数单调性的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．
【解答】解： 且 ，则“函数 在 上是减函数”，所以 ，
“函数 在 上是增函数”所以 ；
显然 且 ，则“函数 在 上是减函数”，
是“函数 在 上是增函数”的充分不必要条件．
故选： ．
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性的性质是解决本题的关键．
46．（2024•浦东新区三模）“ ”，是“ ”的 条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要【分析】可看出充分性成立，而举个反例说明必要性不成立即可，最后即可得出正确的选项．
【解答】解： 时， ，即 成立，充分性成立；
时，不等式 成立，得不出 ，必要性不成立，
“ ”是“ ”的充分不必要条件．
故选： ．
【点评】本题考查了充分条件和必要条件的定义及判断方法，是基础题．
47．（2024•长宁区校级三模）已知角 ， 是 的内角，则“ ”是“ ”的
条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【分析】利用三角形的边角关系和正弦大量，即可得出“ ”是“ ”的充要条件．
【解答】解： 中，“ ”等价于“ “，
也等价于“ “，
也等价于“ ”，其中 为 外接圆的半径；
所以“ ”是“ ”的充要条件．
故选： ．
【点评】本题考查了三角形的边角关系判断问题，是基础题．
48．（2024•嘉定区校级模拟）“ ”是“ ”的 条件．
A．充要 B．充分非必要 C．必要非充分 D．非充分非必要
【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可．
【解答】解： 时， ， ，所以 ，充分性成立；
时， 或 ，解得 或 ，此时都满足题意，所以必要性不成立；
所以“ ”是“ ”的充分非必要条件．
故选： ．
【点评】本题考查了充分与必要条件的判断问题，也考查了组合数公式应用问题，是基础题．
49．（2024•宝山区三模）已知数列 为无穷项等比数列， 为其前 项的和，“ ，且 ”是
“ ，总有 ”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不必要又不充分条件
【分析】根据已知条件，推得 ， ， ，再对 分类讨论，即可判断充分性；结合等比
数列的前 项和公式，即可判断必要性．
【解答】解：若 ，且 ，
则 ， ， ，故 ，当 或 时， ， ，则 ，
当 时，“ ，总有 ”，
当 时， ， ，即 ，
综上所述， 恒成立，故充分性成立，
“ ，总有 ”，
则 ，且 ，故必要性成立，
综上所述，“ ，且 ”是“ ，总有 ”的充分必要条件．
故选： ．
【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
考点十四．命题的真假判断与应用
50．（2024•浦东新区校级模拟）设正数 ， ， 不全相等， ，函数 ．
关于说法①对任意 ， ， ， 都为偶函数，②对任意 ， ， ， 在 ， 上严格单调增，
以下判断正确的是
A．①、②都正确 B．①正确、②错误 C．①错误、②正确 D．①、②都错误
【分析】根据题意，由函数奇偶性和单调性的判断方法分析2个命题，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析2个命题：
对于①， ，其定义域为 ，
有 ，
则 为偶函数，①正确；
对于②，可将 展开表示为 ．
考虑 ．若 ，其为常值；
若 ，则当 在 上逐渐变大时， 在 上逐渐变大，由 在 上严格单调增，
可知 严格增；
若 ，则将 视为 ，类似知 严格增．对 与 亦有类似结论．
鉴于 ， ， 不全为1，故 在 上严格增，②正确．
故选： ．【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的判断，涉及指数函数的性质，属于基础题．
51．（2024•松江区二模）设 为数列 的前 项和，有以下两个命题：①若 是公差不为零的等差
数列且 ， ，则 是 的必要非充分条件；②若 是等比数列且
， ，则 的充要条件是 ．那么
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，①是真命题
C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题
【分析】根据题意，由等差数列和等差数列前 项和的性质分析①的真假，由等比数列和等比数列前 项
和的性质分析②的真假，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，对于命题①， 是公差不为零的等差数列，若 ，则在 、 、
、 中，至少有一项为0，
假设 ， ， ，必有 ，
反之，在等差数列 中，若 ，则 ， ，有 ，
则 成立，但 不成立，
故 是 的必要非充分条件，①正确；
对于命题②，若 是等比数列，设其公比为 ，
若 ， 时，有 ，则 ，则 、 中，至少有一项为0，
假设 ，则有 ，必有 ，
又由 ，必有 为偶数且 ，故 ，
反之，若 ，则 ，必有 ，则有 ， ，则 ，
故若 是等比数列且 ， ，则 的充要条件是 ，②正确．
故选： ．
【点评】本题考查等差数列、等比数列的性质，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．
52．（2024•虹口区模拟）以下四个命题：
①函数 最小值为3；
②方程 没有整数解；
③若 ，则 ；
④不等式 的解集为 ．
其中真命题的个数为A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据题意，结合二次函数的性质分析 的最小值，可得①错误，分析函数
的 零 点 情 况 ， 可 得 ② 正 确 ， 由 对 数 的 运 算 性 质 可 得
，设 ，结合 的单调性分析可得③
正确，举出反例可得④错误，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①，由于 ，则 ，即函数 最小值为4，①错误；
对于②，设 ，易得 在 上为增函数，
而 （4） ， （5） ，
则 在 上有且仅有一个零点，且零点在区间 上，
故方程 ，即程 没有整数解，②正确；
对于③，由于 ，则有 ，
设 ，易得 在 上为增函数，
必有 ，③正确；
对于④，当 时， ，即 在不等式的解集内，④错误；
4个命题中正确的有2个．
故选： ．
【点评】本题考查命题真假的判断，涉及指数、对数函数的性质，属于基础题．
53．（2024•浦东新区校级模拟）若非空实数集 中存在最大元素 和最小元素 ，则记△ ．
下列命题中正确的是
A．已知 ， ， ， ，且△ △ ，则
B．已知 ， ， ，若△ ，则对任意 ， ，都有
C．已知 ， ， ， 则存在实数 ，使得△
D．已知 ， ， ， ，则对任意的实数 ，总存在实数 ，使得△
【分析】直接利用信息的应用和赋值法的应用利用函数的恒成立问题和存在性问题的应用判断 、 、 、
的结论．
【解答】解：对于 ：已知 ， ， ， ，且△ △ ，则 ，故
错误；
对于 ：由于△ 知： ， ，则 （1） （1）且 但是 不一定成立，
比如 ， ，故 错误；
对于 ：由题意知： ， ，当 或 时， （a），
当 时， （a） ，
当 时， ，综上所述，△ ，故 错误；
对于 ：取 ，易知△ ，对于任意的实数 ，总存在 使之成立，故 正确．
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：信息题，赋值法的应用，恒成立问题，主要考查学生的运算能力和数学思
维能力，属于中档题．
54．（2024•浦东新区校级模拟）能够使得命题“曲线 上存在四个点 ， ， ， 满足
四边形 是正方形”为真命题的一个实数 的值为 或 的任意实数 ．
【分析】由题意可设 ， ，由对称性可得 ， ， ，可得 ，
代入曲线方程，由双曲线的范围，解不等式即可得到所求值．
【解答】解：曲线 上存在四个点 ， ， ， 满足四边形 是正方形，
可设 ， ，由对称性可得 ，
， ，
则 ，
即 ，即 ，
由曲线的方程可得 ，
即 有解，
即有 ，
可得 ，
解得 或 ，
故答案为： 或 的任意实数．
【点评】本题考查双曲线方程和性质，主要是范围的运用，考查对称性和不等式的解法，属于基础题．
一．选择题（共9小题）
1．（2023•徐汇区二模）设 ，则 是 为纯虚数的A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】由充分必要条件的判断方法，结合两复数和为纯虚数的条件判断．
【解答】解：对于复数 ，若 ， 不一定为纯虚数，可以为0，反之，若 为纯虚数，
则 ．
“ ”是“ 为纯虚数”的必要非充分条件．
故选： ．
【点评】本题考查复数的基本概念，考查了充分必要条件的判断方法，是基础题．
2．（2024•宝山区校级四模）设无穷等比数列 的公比为 ，则“ ， ”是“ 为严格增数
列”的 条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【分析】举出反例分别判断充分性及必要性即可判断．
【解答】解：无穷等比数列 的公比为 ，则 ， 时， 不一定为严格增数列，例如
，即充分性不成立；
当 为严格增数列时，不一定满足 ， ，例如 ，即必要性不成立．
故选： ．
【点评】本题以充分必要条件的判断为载体，主要考查了等比数列单调性的判断，属于基础题．
3．（2023•虹口区校级三模）若 、 为实数，则“ ”是“直线 与直线 平
行”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【分析】由已知结合直线平行的条件先求出两直线平行时的 ， 满足的条件，进而判断充分及必要性．
【解答】解：若直线 与直线 平行，则 且 ，
即 ， 时，直线 与直线 平行，
当 ， 时，两直线重合，
故“ ”是“直线 与直线 平行”的必要不充分条件．
故选： ．
【点评】本题主要考查了直线平行条件的应用，属于基础题．
4 ． （ 2023• 浦 东 新 区 校 级 模 拟 ） 设 点 满 足 ， 则 “ ” 是 “
为定值”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】根据几何意义，将所求式转化为点到直线的距离，进而研究图像求解．
【解答】解：若 为定值，
即点 到直线 ， 两条直线距离之和为定值，
显然，这两条直线平行，如图，
所以当点 在与这两条直线平行的直线上时，
此时直线 满足 且 ，
即 ，且 ， ， 为定值，
所以“ ”是“ 为定值”的必要不充分条件．
故选： ．
【点评】本题考查充分条件与必要条件的定义，属于基础题．
5．（2023•嘉定区校级三模）已知函数 ， 的导数是 ，那么“函数 在 上
严格递增”是 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【分析】利用充分条件和必要条件的定义直接判断．
【解答】解：充分性：因为函数 在 上严格递增，所以 ．即充分性成立；
必要性：取特殊函数 ，有 符合“ ”，但是不符合“函数 在 上严格递
增”．即必要性不满足．
所以已知函数 ， 的导数是 ，那么“函数 在 上严格递增”是“ ”
的充分不必要条件．
故选： ．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
6．（2023•长宁区校级三模）已知 是两个非零向量，那么“ ”是“存在 ，使得
”成立的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】根据向量共线的性质，结合充分条件和必要条件的定义判断即可．
【解答】解：若 ，则存在唯一的实数 ，使得 ，故 ，又因为 ，
所以存在 使得 成立，
所以“ ”是“存在 ，使得 ”的充分条件，
若 ，且 ，则 与 方向相同，故此时 ，
所以“ ”是“存在 ，使得 ”的必要条件，
故“ ”是“存在 ，使得 ”的充要条件．
故选： ．
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，考查了向量共线的性质，属于基础题．
7．（2024•黄浦区校级三模）在区间 上， 是函数 在该区间严格增的 条件．
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【分析】根据题意利用导数研究函数的单调性，对两个条件进行正反推理论证，可得它们之间的充分和必
要关系，进而得出正确答案．
【解答】解：当 在区间 上成立时，函数 在该区间单调递增；
当 在该区间单调递增时，可能 ，此时 不成立，
比如函数 ，在区间 上单调递增，但 ，而不是 ．
综上所述， 是函数 在该区间严格增的充分不必要条件．
故选： ．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、充要条件的定义与判断等知识，考查了逻辑推理能力，
属于基础题．
8．（2023•虹口区校级三模）设 是两个非零向量 的夹角，若对任意实数 ， 的最小值为1．命
题 ：若 确定，则 唯一确定；命题 ：若 确定，则 唯一确定．下列说法正确的是
A．命题 是真命题，命题 是假命题
B．命题 是假命题，命题 是真命题
C．命题 和命题 都是真命题
D．命题 和命题 都是假命题
【分析】根据若对任意实数 ， 的最小值为1．构造二次函数，求出最值关系，建立方程进行判断
即可．
【解答】解： 若对任意实数 ， 的最小值为1，
恒成立，
设 ，则判别式△ 恒成立，
即函数的最小值为 ，
若 确定，则 确定，但 有可能是锐角也可能是钝角，即 不确定，即 是假命题．
若 确定，则 ，即 唯一确定，即 是真命题．
故选： ．
【点评】本题主要考查命题的真假判断，根据向量模长的最值关系，构造函数，建立方程进行求解是解决
本题的关键，是中档题．
9．（2023•徐汇区三模）已知不等式 有实数解．命题①：设 ， 是 的两个解，
则 和 ；命题②：设 是 的一个解，若 也成立，则 ，下列说法
正确的是
A．命题①、②都成立 B．命题①、②都不成立
C．命题①成立，命题②不成立 D．命题①不成立，命题②成立
【分析】根据一元二次不等式与二次方程以及二次函数之间的关系，以及考虑特殊情况通过排除法确定选
项．
【解答】解：当 且△ 时， 的解为全体实数，
故对任意的 ， ， 与 的关系不确定，
例如： ，取 ， ，而 ，
所以 ，故结论①不成立．
当 且△ 时， 的解为 或 ，
其中 ， 是 的两个根．
当 ， 时， ，但 值不确定，
比如： ，取 ，
则 ，但 ，故结论②不成立．
故选： ．
【点评】本题考查了不等式恒成立问题，考查了转化思想和分类讨论思想，属中档题．
二．填空题（共13小题）
10．（2023•虹口区校级模拟）已知集合 ， ，若 ，则实数 1 ．
【分析】根据元素与集合的关系，建立方程，即可求解．【解答】解： ， ，且 ，
， ．
故答案为：1．
【点评】本题考查素与集合的关系，方程思想，属基础题．
11．（2023•松江区校级模拟）已知集合 ，1， ， ，3， ，则 ， 1 ， 3 ，
．
【分析】根据并集的定义即可得到答案．
【解答】解： 集合 ，1， ， ，3， ，
，1，3， ；
故答案为： ，1，3， ．
【点评】本题考查了集合并集运算，属于基础题．
12．（2024•黄浦区校级三模）已知集合 ，2，3， ， ，则 ， ．
【分析】由集合交集的定义求解即可．
【解答】解：因为集合 ，2，3， ， ，
则 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础
题．
13．（2023•徐汇区校级模拟）已知集合 ，集合 ，0，1， ，则 ， ．
【分析】首先解分式不等式求出集合 ，再根据交集的定义计算可得．
【解答】解：由 ，即 ，等价于 ，解得 或 ，
所以 ，又 ，0，1， ，
所以 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
14．（2024•杨浦区校级三模）已知集合 ， ，则 ．
【分析】先求出集合 ， ，再结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合 ，
或 ，故 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
15．（2024•闵行区二模）集合 ， ， ， ，则 ， ．
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合 ， ， ， ，
， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
16．（2023•宝山区校级模拟）设集合 ，则集合 ， 0 ， 1 ， ．
【分析】解分式不等式得到 ，进而求出交集．
【解答】解： ，即 ，解得 ，
故 ，则 ，0，1， ．
故答案为： ，0，1， ．
【点评】本题主要考查了集合交集运算及分式不等式的求解，属于基础题．
17．（2023•杨浦区二模）集合 ， ， ，则 ．
【分析】根据已知条件，结合交集的运算，即可求解．
【解答】解： ， ， ， ，
则 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题．
18．（2023•浦东新区校级模拟）已知全集 ， ，集合 ，则 ， ．
【分析】根据全集 和集合 的范围，由补集概念直接得出结论．
【解答】解：因为全集 ， ，集合 ，
所以 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查集合的补集运算，属基础题．
19．（2023•黄浦区校级三模）若全集为 ，集合 ， ，则．
【分析】先求出集合 ， ，再求出 ，再利用集合的运算即可得出结果．
【解答】解：因为 ，由 ，得到 ，即 ，
又 ，易知 ，所以 ，
所以 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了集合的交集及补集运算，属于基础题．
20．（2023•嘉定区校级三模）设集合 ， ，则 ．
【分析】先解对数不等式求出 ，再利用交集运算求解即可．
【解答】解： ，
，
．
故答案为： ．
【点评】本题考查了对数不等式的解法，交集及其运算，属于基础题．
21．（2023•徐汇区校级三模）已知全集 ，集合 ，0，1， ， ，则
， ．
【分析】由已知直接利用交集运算得答案．
【解答】解：因为全集 ，集合 ，0，1， ， ，
则 ，
则 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查交集及其运算，是基础题．
22．（2023•徐汇区校级三模）设全集为 ， ，则 或 ．
【分析】解绝对值不等式（利用初中已学知识）得到集合 ，写出补集即可．
【解答】解： ，
则集合 的补集 或 ．
故答案为： 或 ．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
一．选择题（共5小题）1．（2023秋•金山区期末）设集合 ，2， ， ， 、 均为 的非空子集（允许 ． 中
的最大元素与 中的最小元素分别记为 、 ，则满足 的有序集合对 的个数为
A． B．
C． D．
【分析】根据子集的个数，先求解 的有序集合对 的个数，然后用总个数减去即可求解．
【解答】解：对于给定的 ，集合 是集合 ，2， ， 的任意一个子集与 的并，故有
种不同的取法，
又 ，所以 ， ， ， 的任意一个非空子集，共有 种取法，
因 此 ， 满 足 的 有 序 集 合 对 的 个 数 为
，
由于有序对 有 个，
因此满足 的有序集合对 的个数为 ．
故选： ．
【点评】本题考查集合中元素的个数问题，属于中档题．
2．（2023•浦东新区校级三模）对于两个实数 ， ，设 则“ ”是“函数
， 的图象关于直线 对称”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据函数图象的对称性求解参数，再利用充要条件的概念判断即可．
【解答】解：如图，在同一个坐标系中做出两个函数 与 的图象，
则函数 ， 的图象为两个图象中较低的一个，即为图象中实线部分，
根据图象令 ，解得 ，
分析可得其图象关于直线 对称，
要使函数 ， 的图象关于直线 对称，则 的值为 ，
当 时，函数 ， 的图象关于直线 对称，
所以“ ”是“函数 ， 的图象关于直线 对称”的充分必要条件．
故选： ．【点评】本题考查函数图象的对称性以及充要条件的概念，属于中档题．
3．（2022•闵行区二模）已知 、 、 是平面内不共线的三点，点 满足 为实常
数，现有下述两个命题：（1）当 时，满足条件的点 存在且是唯一的；（2）当 时，满足条
件的点 不存在．则说法正确的一项是
A．命题（1）和（2）均为真命题
B．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题
C．命题（1）和（2）均为假命题
D．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题
【分析】直接利用向量的线性运算和共线向量的基本定理的应用判断（1）和（2）命题的真假．
【解答】解：对于（1）：当 时，由 ，整理得： ；
整理得： ，
由于 和 不共线，
由向量基本定理得：满足条件的点 存在且是唯一的，故（1）为真命题；
对于（2）：当 时，整理得 ，
所以 ，所以 和 共线；
所以 、 、 三点共线；与 、 、 是平面内不共线的三点出现矛盾，故满足条件的点 不存在，
故（2）为真命题；
故选： ．
【点评】本题考查的知识要点：向量的线性运算，平面向量基本定理，向量的共线的充要条件，主要考查
学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
4．（2023•闵行区校级一模）已知 是等差数列， ，且存在正整数 ，使得对任意的正整数
都有 ．若集合 ， 中只含有4个元素，则 的取值不可能是
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据 为等差数列，写出通项，根据题意列出 ， 之间的关系，进而找到两个数列基本量之
间的关系，分别就 ， ， ， 四种情况讨论，选出符合题意的值，进而判断选项即可．
【解答】解：设等差数列 首项为 ，公差为 ，则 ， ，由题知，存在正整数 ，使得 ， ，
若集合 有4个不同元素，则 ，
当 时， ，即 ，即 ， ，
所以 ，或 ， ，
因为 是等差数列，各项均唯一，所以 ， 舍去，
故解得 ，取 时， ，
此时在单位圆上的4等分点可取到4个不同的正弦值，
即集合 可取4个元素，
当 时， ，即 ，即 ， ，
所以 ，或 ， ，（舍 ，
故解得 ，此时在单位圆上的5等分点，
取到的 ， ， ， ， ，不可能取到4个不同的正弦值，故不成立，
同理可得当 ， 时，集合 可取4个元素．
故选： ．
【点评】本题考查集合间的基本关系，等差数列的通项公式，考查运算求解能力，属于难题，
5．（2020•浦东新区二模）设集合 ，2，3， ， ，设集合 是集合 的非空子集， 中的最
大元素和最小元素之差称为集合 的直径．那么集合 所有直径为71的子集的元素个数之和为
A． B． C． D．
【分析】先确定集合 中最大元素 最小元素 ，集合 中元素最多为72个，即可求出集合 中包含 ，
的所有子集元素之和个数为 ，再数出组合 的个数即可求出．
【解答】解：设集合 中最大元素为 ，最小元素为 ，所以满足 的组合有 个，
集 合 中 元 素 最 多 为 72 个 ， 而 集 合 中 包 含 ， 所 有 子 集 元 素 之 和 个 数 为
，
设 ，则 ，
所以 ，即 ，
因此，集合 所有直径为71的子集的元素个数之和为 ．
故选： ．
【点评】本题主要考查集合的子集个数的求法以及二项式定理性质的应用，属于中档题．
二．填空题（共4小题）6．（2024春•宝山区校级期中）已知全集 ， ，集合 ， 为 的子集，则有序集合 一共有
16 组．
【分析】可求出集合 共4个子集，然后根据分步计数原理即可得出有序集合 的组数．
【解答】解： 的子集有 个， 有4种选法， 有4种选法，
共 组．
故答案为：16．
【点评】本题考查了子集的定义，子集个数的计算公式，分步计数原理，是中档题．
7．（2022•杨浦区模拟）已知 ， ，则 ．
【分析】求出 与 中不等式的解集分别确定出 与 ，找出两集合的交集即可．
【解答】解：集合 中不等式，当 时，解得： ，此时 ；
当 时，解得： ，无解，
，
集合 中不等式变形得： ，即 ，
解得： ，即 ，
则 ，
故答案为： ．
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
8．（2023秋•普陀区校级期末）已知全集 ，2，3，4， ，集合 ，3， ，则 ， ．
【分析】利用集合的补集运算即可得解．
【解答】解：因为 ，2，3，4， ， ，3， ，
所以 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查补集及其运算，属于基础题．
9．（2023•徐汇区三模）
对任意数集 ， ， ，满足表达式为 且值域为 的函数个数为 ．记所有可能
的 的值组成集合 ，则集合 中元素之和为 64 3 ．
【分析】根据给定条件，探讨函数 的性质并作出图象，求出集合 ，进而求得答案作答．
【解答】解： ， ，
当 或 时， ，当 时， ，即函数 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
当 时，函数 取得极大值0，
当 时，该函数取得极小值 ，图象如图，
观察图象知，当 ，2， 与图象有一个公共点时，相应的 有1种取法，
当 ，2， 与图象有两个公共点时，相应的 有 种取法，
当 ，2， 与图象有三个公共点时，相应的 有 种取法，
直线 ， ， 与函数图象的交点个数可能的取值为：
，1， ， ，1， ， ，1， ， ，2， ， ，2， ， ，3， ， ，2， ， ，3， ，
，3， ，
对应的函数个数为1，3，7， ， ， ， ， ， ，
集合 中元素之和为：
．
故答案为：643．
【点评】本题考查元素与集合的关系、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
三．解答题（共1小题）
10．（2021•黄浦区三模）集合 ， ； ， ，2， ，集合 ，
，若集合 中元素个数为 ，且所有元素从小到大排列后是等差数列，则称集合 为“好
集合”．
（1）判断集合 ，2， 、 ，2，3， 是否为“好集合”；
（2）若集合 ，3，5， 是“好集合”，求 的值；
（3）“好集合” 的元素个数是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出 ， 对应的 ；
（2）写出 对应的 ，根据该数列为等差数列得出 ，即可得到 的值；
（3）首先观察元素个数为4满足题意，然后证明 和 时不符合题意即可．【解答】解：（1）因为 ，2， 对应的 ，4， ，故 是“好集合”，
因为 ，2，3， 对应的 ，4，5，6， ，元素个数 ，故 不是“好集合”；
（2）由于 ，3，5， 对应的 ，6，8， ， ， ，而 ，
故 中元素从小到大的顺序为4，6，8， ， ， 或4，6， ，8， ， ，
因为该数列为等差数列，所以公差 ，所以 ，所以 ；
（3）“好集合” 的元素个数存在最大值4，
由（2）知， ，3，5， 即为“好集合”，
先证明 都不是“好集合”，
不妨设 ，记 ，
中的所有元素从小到大排列为 构成的数列 公差为 ，
显然 ， ，所以 ，
假设 ，①当 时，可得 ，所以 ， ，
所以 ， ， ，在此后的两项之和 中， 最小，
所以 ，所以 ，
余下的项中， 和 较小，因为 ，所以 ， ，
则 ，而 ，这与“ 中元素个数为 ”矛盾；
②当 时，可得 ， ，
余下的项中， 和 较小，
若 ，则 ，所以 ，这与“ 中元素个数为 ”
矛盾，
若 ，则 ，所以 ，所以 ， ，
在此后的两项之和 中， 最小，所以 ，所以 ，
同理 ，所以 ，这与“ 中元素个数为 ”矛盾；
综上，假设不成立，所以 ，
当 时，显然 ， ， ， ，
所以 ，则 ， ，
所以 ， ，若 ，由 ，得 ，所以 ，这与“ 中元素个数为 ”矛盾；
所以 ，由 ，
所以 ， ， ，因为 ，所以 ，所以 ， ， ， 成等差
数列，
故 ，这与“ 中元素个数为 ”矛盾，所以 不符合题意，
综上所述：“好集合” 的元素个数存在最大值4．
【点评】本题考查了集合的互异性和等差数列的性质，首先需要观察出 不能出现重复元素，通过这
个作为切入点进行求解，需要很强的逻辑思维能力，属于难题．
一．选择题
1．（2022•上海）若集合A＝[﹣1，2），B＝Z，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，﹣1，0，1} B．{﹣1，0，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1}
【分析】根据集合的运算性质计算即可．
【解答】解：∵A＝[﹣1，2），B＝Z，
∴A∩B＝{﹣1，0，1}，
故选：B．
【点评】本题考查了集合的交集的运算，是基础题．
2．（2021•上海）已知集合A＝{x|x＞﹣1，x R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x R}，则下列关系中，正确的是（
）
∈ ∈
A．A B B． A B C．A∩B＝ D．A∪B＝R
R R
【分析】根据集合的基本运算对每一选项判断即可．
⊆ ∁ ⊆∁ ∅
【解答】解：已知集合A＝{x|x＞﹣1，x R}，B＝{x|x2﹣x﹣2≥0，x R}，
解得B＝{x|x≥2或x≤﹣1，x R}，
∈ ∈
A＝{x|x≤﹣1，x R}， B＝{x|﹣1＜x＜2}；
R R ∈
则A∪B＝R，A∩B＝{x|x≥2}，
∁ ∈ ∁
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
3．（2020•上海）命题p：存在a R且a≠0，对于任意的x R，使得f（x+a）＜f（x）+f（a）；
命题q ：f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立；
1 ∈ ∈
命题q ：f（x）单调递增，存在x ＜0使得f（x ）＝0，
2 0 0
则下列说法正确的是（ ）
A．只有q 是p的充分条件
1
B．只有q 是p的充分条件
2C．q ，q 都是p的充分条件
1 2
D．q ，q 都不是p的充分条件
1 2
【分析】对于命题q ：当a＞0时，结合f（x）单调递减，可推出 f（x+a）＜f（x）＜f（x）+f（a），
1
命题q 是命题p的充分条件．对于命题q ：当a＝x ＜0时，f（a）＝f（x ）＝0，结合f（x）单调递增，
1 2 0 0
推出f（x+a）＜f（x），进而f（x+a）＜f（x）+f（a），命题q 都是p的充分条件．
2
【解答】解：对于命题q ：当f（x）单调递减且f（x）＞0恒成立时，
1
当a＞0时，此时x+a＞x，
又因为f（x）单调递减，
所以f（x+a）＜f（x）
又因为f（x）＞0恒成立时，
所以f（x）＜f（x）+f（a），
所以f（x+a）＜f（x）+f（a），
所以命题q 命题p，
1
对于命题q
2⇒
：当f（x）单调递增，存在x
0
＜0使得f（x
0
）＝0，
当a＝x ＜0时，此时x+a＜x，f（a）＝f（x ）＝0，
0 0
又因为f（x）单调递增，
所以f（x+a）＜f（x），
所以f（x+a）＜f（x）+f（a），
所以命题p 命题p，
2
所以q
1
，q
2
都
⇒
是p的充分条件，
故选：C．
【点评】本题考查命题的真假，及函数的单调性，关键是分析不等式之间关系，属于中档题．
二．填空题
4．（2022•上海）已知集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），则A∩B＝ （ 1 ， 2 ） ．
【分析】利用交集定义直接求解．
【解答】解：∵集合A＝（﹣1，2），集合B＝（1，3），
∴A∩B＝（1，2）．
故答案为：（1，2）．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（2021•上海）已知A＝{x|2x≤1}，B＝{﹣1，0，1}，则A∩B＝ { ﹣ 1 ， 0 } ．
【分析】直接根据交集的运算性质，求出A∩B即可．
【解答】解：因为A＝{x|2x≤1}＝{x|x }，B＝{﹣1，0，1}，
所以A∩B＝{﹣1，0}．
故答案为：{﹣1，0}．
【点评】本题考查了交集及其运算，属基础题．6．（2020•上海）已知集合A＝{1，2，4}，集合B＝{2，4，5}，则A∩B＝ { 2 ， 4 } ．
【分析】由交集的定义可得出结论．
【解答】解：因为A＝{1，2，4}，B＝{2，4，5}，
则A∩B＝{2，4}．
故答案为：{2，4}．
【点评】本题考查交集的定义，属于基础题．
7．（2020•上海）集合A＝{1，3}，B＝{1，2，a}，若A B，则a＝ 3 ．
【分析】利用集合的包含关系即可求出a的值．
⊆
【解答】解：∵3 A，且A B，∴3 B，∴a＝3，
故答案为：3．
∈ ⊆ ∈
【点评】本题主要考查了集合的包含关系，是基础题．
8．（2023•上海）已知集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，则a＝ 2 ．
【分析】根据已知条件，结合集合相等的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{1，2}，B＝{1，a}，且A＝B，
则a＝2．
故答案为：2．
【点评】本题主要考查集合相等的定义，属于基础题．
9.【2024上海】 设全集 U={1,2,3,4,5} ,集合 A={2,4} ,求 A´ =
【考点】补集
【答案】 A´ ={1,3,5}
三、解答题
10.（2024•上海）记 （a） （a）， ， （a） （a）， ．
（1）若 ，求 （1）和 （1）；
（2）若 ，求证：对于任意 ，都有 （a） ， ，且存在 ，使得
（a）．
（3）已知定义在 上 有最小值，求证“ 是偶函数“的充要条件是“对于任意正实数 ，均有
（c）”．
【分析】（1）根据条件，直接求出 （1）和 （1）即可；
（2）由题意知， （a） ， ，记 ，判断 的单
调性，求出极值，再对 分类讨论，进一步证明结论成立即可；
（3）必要性：若 为偶函数，则 ， ， （c）
（c）， ，结合条件，得到 （c）即可；充分性：若对于任意正实数 ，均有
（c），其中 ， ， （c） （c）， ，由 有最小
值，不妨设 （a） ，进一步证明 是偶函数即可．【解答】解：（1）由题意，得 （1） ， ， ；
．
（2）证明：由题意知， （a） ， ，
记 ，则 或2．
0 2
正 0 负 0 正
极大值 极小值
现对 分类讨论，当 ，有 ， 为严格增函数，
因为 （a） ，所以此时 （a） ， ， 符合条件；
当 时， ， 先增后减， ，
因为 取等号），所以 ，
则此时 （a） ， ， 也符合条件；
当 时， ， ，在 ， 严格增，在 ， 严格减，在 ， 严格增，
，
因为 （a） ，当 时， （a） ，则 （a） ，
则此时 （a） ， ， 成立；
综上可知，对于任意 ，都有 （a） ， ，且存在 ，使得 （a）．
（3）证明：必要性：若 为偶函数，
则 ， ， （c） （c）， ，
当 ， （c），因为 ，故 （c）；
充分性：若对于任意正实数 ，均有 （c），
其中 ， ， （c） （c）， ，
因为 有最小值，不妨设 （a） ，
由于 任意，令 ，则 ， ，所以 最小元素为 （a） ．
（c）中最小元素为 （c），又 （c） （c） 对任意 成立，
所以 （a） ，
若 ，则 （c） 对任意 成立 是偶函数；若 ，此后取 ， ，
综上，任意 ， （c） ，即 是偶函数．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，充分必要条件的证明，函数的奇偶性与集合间的
关系，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
