文档内容
第 06 讲指对运算
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析
充分条件的判定及性质必要条件的判定及性质、比较指数幂的大小、判
2024年天津卷，第2题,5分
断一般幂函数的单调性
2024年天津卷，第5题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2023年天津卷，第3题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2022年天津卷，第5题,5分 对数的运算、对数的运算性质的应用
2022年天津卷，第6题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2021年天津卷，第5题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2021年天津卷，第7题,5分 运用换底公式化简计算
2020年天津卷，第6题,5分 比较指数幂的大小、比较对数式的大小
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度中档，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握指对运算法则，能够灵活运用指对互化
2.能掌握对数的换底公式
3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图进行比较大小的计算
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出等式，做指对化简计算，或者比较大小。知识讲解
知识点一指数运算
实数指数幂运算法则
.
＝ ＋ ， ， ．
1.
r s r s
ar
(
(
1
2
)
)
aa=a ar−s
(
(
a
a
>
>
0
0
，r
r
，s
s
∈
∈R
R
)
)
as
＝ ， ， ．
r s rs
＝ ， ， ．
(3) (a) a (a>0 r s∈R)
r r r
2.分数指数幂的意义与运算法则
(4) (ab) a b (a>0 b>0 r∈R)
1
1
m m
(1) an＝√n am， a − n＝
a
m
n
＝ √n am (其中a >0，m，n∈N*，且n>1)．
(2)0的正分数指数幂等于0, 0的负分数指数幂没有意义．
3.√n an与(√n a)n 的区别
(1)√n an是实数an的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限
制．
其算法是对a先乘方，再开方(都是n次)，结果不一定等于a，
当n为奇数时，√n an＝a；
当n为偶数时，√n an＝| a |＝
(2)(√n a)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值范围由n的奇偶决定．其算法是对a先开方，后
乘方(都是n次)，结果恒等于a.
知识点二.对数运算
1.对数与指数的关系
当a>0,且a≠1时，ax＝N⇔x=logN.
a
2.对数的基本性质(1)负数和零没有对数，即N>0；
(2)log1＝0(a>0，a≠1)；
a
(3)loga＝1(a>0，a≠1).
a
对数恒等式：
3①.alog a N ＝ 且 ， ；② ＝ 且 ．
N
4.对数的运算法则 a
N(a>0 a≠1 N>0) loga N(a>0 a≠1)
如果 ，且 ， ， ，那么：
M
(1) a >0 a ≠1 ；M>0 N>0 ； ；
N
n
a a a a a a a a
log(MN)=logM+log
l
N ogblog =logM-logN logM =nlogM (n∈R)
换底公式：logb= c
＞ ，且 ¿ ； ＞ ，且 ¿ ； ＞ ．
a loga
c
(2) (a 0 a 1 c 0 c 1 b 0)
(3)可用换底公式证明以下结论：
1
logb=
① ；
a log a
b
②logb∙logc∙loga=1；
a b c
③logbn=logb
；
an a
m
④logbm= logb
；
an n a
logb =−logb
⑤ 1 a.
a
考点一、根式与分数指数幂运算
√ y √ x
1.（2024·广东·模拟预测）若xy=3，则x + y = ．
x y
2.（2024高三·全国·专题练习）化简下列各式：
2
[( 1) −2.5]
3 √ 3
（1） 0.0645 −33 −π0 =
8
√a3b2√3 ab2
（2） ( 1 1) 4 − 1 1 （a>0,b>0=
a4b2 a 3b3
1 1
（3）设 x2+x − 2=3 ，则x+x−1的值为1 1
1.（23-24高三上·北京丰台·期末）已知f(x)=4x−4−x，则f(− )+f( )= ．
2 2
2.（23-24高三上·上海奉贤·阶段练习）已知a>0，将√a√a化为分数指数幂ak形式，则k=
2x
3.（23-24 高三上·上海闵行·期中）已知函数f(x)= ，若实数 m，n 满足2m+n=3mn，且
2x+3x
1
f(m)=− ，则f(n)= .
3
4.（20-21高三上·天津滨海新·阶段练习）计算：
（1）(√32×√3) 6 +(−2019) 0−4× (16)− 1 2+√4 (3−π) 4
49
（2）log 6.25+lg0.001+2ln√e−21+log 2 3
2.5
考点二、 对数运算
1. （23-24高三上·天津和平·期末）计算31+log 3 2+lg5+log 2×log 9×lg2的值为（ ）
3 4
A．5 B．6 C．7 D．8
2.（2023·全国·模拟预测）求值：lg(√27+10√2+√27−10√2)= ．
1.（全国·高考真题）已知函数f (x)=log (x2+a)，若f (3)=1，则a= ．
2
2.（2024·全国·模拟预测）在等差数列{a }中，已知a 与a 是方程2x2−x+m=0的两根，则
n 3 9
(1) log 4 (a 1 +a 2 +⋯+a 11 )
=（ ）
2
√11 2√11 √11 11
A． B． C． D．
11 11 4 2
3.（2024·北京·三模）使lga+lgb=lg(a+b)成立的一组a，b的值为a= ，b= .
1
4．（22-23高三上·天津静海·期末） lg4+lg25+93×√33= ．
5．（23-24高三上·山东·阶段练习）已知1，2，2，2，3，4，5，6的中位数是a，第75百分位数为b，
( 1 ) 3
则lg4+lga+ 2b= ．
1000
考点 三 、 指对运算综合1.（2023·北京·高考真题）已知函数f(x)=4x+log x，则f
(1)
= ．
2 2
2.（2024·全国·三模）若a>1，则alg(lga)−(lga) lga的值是（ ）
A．零 B．正数 C．负数 D．以上皆有可能
1 1 n
1.（2024·广东·二模）已知正实数m,n满足 lnm=ln(m−2n)− lnn，则 =（ ）
2 2 m
1 1
A．1 B． C．4 D．1或
4 4
2.（2024 高三下·河南·专题练习）已知实数m,n满足m+lnm=4,nlnn+n=e3，则mn的值为
（ ）
A．e2 B．e3 C．e4 D．e5
3.（2024·江苏·模拟预测）已知x +2x 1=4，x +log x =4，则x +x 的值为（ ）
1 2 2 2 1 2
A．2 B．3 C．4 D．5
4.（2024·江苏南通·模拟预测）方程xln3+xln4=xln5正实数解为 .
1
5.（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设a= lg20+lg√5,b=log 3，则a+2b的值为（ ）
2 4
A．1+√3 B．1+√5 C．26 D．27
考点 四 、 指数函数中的条件等式
1. （23-24高三上·天津·期中）已知4a=5,log 9=b，则22a−3b=（ ）
8
5 25
A． B．5 C． D．25
9 9
2.（2020·全国·高考真题）设alog 4=2，则4−a=（ ）
3
1 1 1 1
A． B． C． D．
16 9 8 6
xy mn2
1.（2024·全国·模拟预测）已知m，n，p是均不等于1的正实数，mx=n2y=p3z，z= ，则 =
x+ y p3
（ ）
3 1
A．2 B． C．1 D．
2 21 3 1
2.（2024·全国·模拟预测）已知2x=3y=4z=6，则 + + = ．
x y z
2
3.（2023·全国·模拟预测）已知b= ，则ab= .
lna
4．（23-24高三上·天津·期中）若log (2√2)=a,8b=2√2，则a+b= .
2
2 1
5．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知3a=5b且 + =1，则a的值为 .
a b
考点 五 、 指对等式比较大小
1.（2024·河南·二模）“lnx>ln y”是“x2>y2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.（2024·湖南·二模）已知实数a>b>0，则下列选项可作为a−b<1的充分条件的是（ ）
1 1 1
A．√a−√b=1 B． − =
b a 2
C．2a−2b=1 D．log a−log b=1
2 2
1. （2024·天津南开·二模）已知a=log 2，b=log
√2
，c=
(1)
3
1
，则（ ）.
√3 2 2 3
A．a>b>c B．c>b>a C．a>c>b D．b>c>a
2. （2024·天津河北·二模）若a=30.5,b=log 3,c=0.32 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
0.5
A．bb>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a
1
4.（2021·全国·高考真题）已知a=log 2，b=log 3，c= ，则下列判断正确的是（ ）
5 8 2
A．c1，则（ ）c c
A．cblog b C．sin >sin D．ac0,01，b>1.若ax=by=3，a+b=2√3，则 + 最大值为
x y
（ ）
3 1
A．2 B． C．1 D．
2 2
5
7．（2024·上海·模拟预测）已知正实数a,b满足log b+log a= ，aa=bb，则a+b= .
a b 21．（2022·浙江·高考真题）已知2a=5,log 3=b，则4a−3b=（ ）
8
25 5
A．25 B．5 C． D．
9 3
2．（2019·天津·高考真题）已知a=log 7，b=log 8，c=0.30.2，则a,b,c的大小关系为
2 3
A．c0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a
5.（2023·全国·高考真题）已知函数 f (x)=e−(x−1)2 ．记a=f
(√2)
,b=f
(√3)
,c=f
(√6)
，则
2 2 2
（ ）
A．b>c>a B．b>a>c C．c>b>a D．c>a>b
6.（2022·全国·高考真题）已知9m=10,a=10m−11,b=8m−9，则（ ）
A．a>0>b B．a>b>0 C．b>a>0 D．b>0>a
1
7.（2022·全国·高考真题）设a=0.1e0.1,b= ，c=−ln0.9，则（ ）
9
A．a1且 − =− ，则a= ．
log a log 4 2
8 a
