文档内容
第 02 讲 幂函数与二次函数
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第1题,5分 解三次不等式 交集的概念及计算
2023年新I卷，第1题,5分 二次函数图象解不等式 集合间的基本运算
二次函数单调区间求参数值 函数的单调性求参数值
2023年新I卷，第4题,5分
或范围 判断指数型复合函数的单调性
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握幂函数的基本
性质，难度中等偏下
【备考策略】1.掌握幂函数的定义及一般形式，掌握 的图
象和性质
2.理解并掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)
3.理解并掌握幂函数 的单调性和奇偶性
4.会解一元二次不等式、分式不等式、单绝对值不等式和高次不等式
【命题预测】本节内容会结合其他函数内容综合考查，需综合性学习备考知识讲解
1. 幂函数
（1）幂函数的定义及一般形式
形如 的函数称为幂函数，其中 是自变量， 为常数
（2）幂函数的图象和性质
①幂函数的单调性
②幂函数的奇偶性2. 一元二次方程：
①方程有两个实数根
②方程有同号两根
③方程有异号两根
④韦达定理及应用：
,
3. 二次函数
①一般式： ( )，对称轴是
顶点是 ；
②顶点式： ( )，对称轴是 顶点是 ；
③交点式： ( )，其中（ ），（ ）是抛物线与x轴的交点
4. 二次函数的性质
①函数 的图象关于直线 对称。
② 时，在对称轴 （ ）左侧， 值随 值的增大而减少；在对称轴（ ）右侧；
的值随 值的增大而增大。当 时， 取得最小值③ 时，在对称轴 （ ）左侧， 值随 值的增大而增大；在对称轴（ ）右侧；
的值随 值的增大而减少。当 时， 取得最大值
5. 解一元二次不等式
“三个二次”：一元二次不等式与一元二次方程及二次函数的联系
判别式
一元二次方程 有两个不等实根 有两个相等实根
， （设 无实数根
的根 ）
二次函数
的图象
的解集
∅ ∅
的解集
6. 解分式不等式
① ②
③ ④
7. 解单绝对值不等式
或 ，
考点一、 幂函数的图象
1．（23-24高三·阶段练习）已知幂函数 的图象过点 ，则函数 的图象是（ ）
A． B．C． D．
2．（2023高三·山西运城·学业考试）如图的曲线是幂函数 在第一象限内的图象.已知 分别取
四个值，与曲线 相应的 依次为（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三·阶段练习）函数 与 在同一直角坐标系中的图象不可能为
（ ）
A． B．
C． D．1．（23-24高三·阶段练习）已知幂函数的图象经过点 ，则该幂函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三·阶段练习）（多选）现有4个幂函数的部分图象如图所示，则下列选项可能成立的是（
）
A． ， ， ，
B． ， ， ，
C． ， ， ，
D． ， ， ，
3．（22-23高三·全国·对口高考）给定一组函数解析式：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ．
如图所示一组函数图象．图象对应的解析式号码顺序正确的是（ ）A．⑥③④②⑦①⑤ B．⑥④②③⑦①⑤
C．⑥④③②⑦①⑤ D．⑥④③②⑦⑤①
考点二、 幂函数的单调性与奇偶性
1．（上海·高考真题）下列函数中，既是偶函数，又是在区间 上单调递减的函数为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·专题练习）如图所示是函数 （m、 且互质）的图象，则（ ）
A．m，n是奇数且 B．m是偶数，n是奇数，且
C．m是偶数，n是奇数，且 D．m，n是偶数，且
3．（23-24高二下·浙江·期中）幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上是减函数，
则 的值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
1．（1993·全国·高考真题）函数y= 在[－1, 1]上是
A．增函数且是奇函数 B．增函数且是偶函数
C．减函数且是奇函数 D．减函数且是偶函数
2．（2024·全国·模拟预测）（多选）下列函数中既是奇函数，又是定义域上的减函数的是（ ）A． B．
C． D．
3．（2024·广东广州·模拟预测）若幂函数 在 上单调递增，则实数 的值为
（ ）
A．2 B．1 C． D．
考点三、 利用幂函数单调性进行大小比较
1．（安徽·高考真题）设a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>a>b D．b>c>a
2．（2023·广东广州·二模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·福建三明·三模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．设 ，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
考点 四 、 幂函数的综合应用1．（2024·吉林·模拟预测）请写出一个幂函数 满足以下条件：①定义域为 ；② 为增函数；
③对任意的 ， ，都有 ，则 ．
2．（2023·全国·模拟预测）已知x， ，满足 ， ，则
（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
1．（2024·云南曲靖·一模）如图，在第一象限内，矩形 的三个顶点 ， 分别在函数
的图象上，且矩形的边分别与两坐标轴平行，若A点的纵坐标是2，则D点的
坐标是 ．
2．（2024·全国·模拟预测）写出满足下列条件①②③的一个函数： ．
① 的定义域为 ；② ， ；③ ，都有 ．
考点 五 、 解一元二次不等式、分式不等式与高次不等式
1．（2024·上海·高考真题）已知 则不等式 的解集为 ．
2．（全国·高考真题）不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·全国·高考真题）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．1．（2024·福建福州·一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． 或 B．
C． D． 或
2．（2024·全国·一模）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·河南南阳·阶段练习）不等式 的解集是（ ）
A． 或 B． 或
C． D．
考点 六 、 二次函数的综合应用
1．（2023·全国·高考真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）若函数 在 上单调，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·广东揭阳·二模）已知函数 在 上不单调，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．4．（2024·陕西渭南·二模）已知函数 是 上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川成都·二模）已知函数 的值域为 .若 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
1．（2024·辽宁·一模）若函数 在区间 内单调递减，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东·二模）已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是
（ ）．
A． B．
C． D．
3．（2024·河南信阳·模拟预测）若函数 在 上单调，则实数 的值可以为
（ ）
A． B． C． D．3
4．（23-24高三下·福建·开学考试）已知函数 的值域为 ，则实数a的取值范围
为 ．
5．（2024·河南·模拟预测）已知函数 在 上的最大值为 ，在 上的
最大值为 ，若 ，则实数 的取值范围是 ．一、单选题
1．（2024·山东日照·二模）已知幂函数的图象过点 ，则函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山东日照·二模）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024·北京朝阳·一模）已知 ，则“ ”是“函数 在 上单调递增”的
（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·辽宁·模拟预测）若 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广西·二模）下列函数中，在 上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知函数 的单调递增区间是 ，则实数a的值是
（ ）
A． B．3 C． D．1
8．（2024·北京西城·一模）已知函数 ，若 存在最小值，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．
9．（2024·新疆喀什·二模）已知函数 ，满足 ，则实数 的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．二、填空题
10．（2023·广东珠海·模拟预测）已知函数 在区间 上是增函数，则实数 的取
值范围是 .
一、单选题
1．（2023·四川成都·模拟预测）幂函数 在区间 上单调递减，则下列说法正确
的是（ ）
A． B． 是减函数
C． 是奇函数 D． 是偶函数
2．（2024·广东·一模）已知集合 ，若 且互不相等，则使得指数函数 ，
对数函数 ，幂函数 中至少有两个函数在 上单调递增的有序数对 的个数是
（ ）
A．16 B．24 C．32 D．48
3．（23-24高三上·广东深圳·期末）已知实数 满足 ，则 （ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
二、填空题
4．（2024·北京延庆·一模）已知函数 在区间 上单调递减，则 的一个取值为
．
5．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题 ：函数 在区间 上单调递增，命题 ： ，
若 是 的充分不必要条件，则 的取值范围是 .
6．（22-23高一上·全国·课后作业）已知幂函数 ，若 ，则a的取值范围是
.
7．（2022高三·全国·专题练习）不等式 的解集为： ．
8．（23-24高一上·江苏盐城·期末）关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是
.
9．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，若对任意的 ，使得
，求实数 的取值范围是 ．10．（23-24高三下·江苏南京·强基计划）已知函数 ，对于 ， 恒成
立，求 的最大值是 .
一、单选题
1．（2024·天津·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2023·天津·高考真题）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·天津·高考真题）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4．（全国·高考真题）函数 的图象是
A． B．
C． D．
5．（山东·高考真题）关于函数 ，以下表达错误的选项是（ ）
A．函数的最大值是1 B．函数图象的对称轴是直线
C．函数的单调递减区间是 D．函数图象过点
6．（全国·高考真题）函数 是单调函数的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
7．（全国·高考真题）若函数 与 在区间 上都是减函数，则 的取值范围（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（上海·高考真题）若 ，则满足 的 取值范围是 .
