文档内容
第 03 讲 集合、立体几何、解析几何
及其他新定义综合
（4 类核心考点精讲精练）
集合新定义考情分析
首先，集合的基本概念和表示方法是基础，包括集合的定义、元素、子集、并集、交集、补集等。考
生需要掌握集合的表示方法，如列举法和描述法，并能正确使用集合运算符号。
其次，集合的新定义和新概念可能会出现在高考试题中，考生需要关注集合新问题。
总体而言，新高考数学集合部分的考情分析要求考生不仅要掌握基础知识，还要能够将集合知识与其
他数学领域相结合，解决实际问题。考生应注重基础知识的巩固，同时关注新定义的学习和应用。
立体几何新定义考情分析
新高考数学立体几何部分，新定义的引入是近年来考试改革的一个重要方面。新定义通常涉及一些特
定的几何概念、性质或定理，这些内容在传统的教学大纲中可能没有明确提及，但它们对于解决某些特定
问题非常关键。考情分析显示，新定义的题目往往要求考生具备较强的逻辑推理能力和空间想象能力。
在备考时，考生需要特别注意以下几个方面：
1. 理解新定义的含义：考生需要准确理解新定义的几何概念或性质，并能够将其与已知的数学知识联
系起来。
2. 掌握新定义的应用：通过大量练习，熟悉新定义在解决立体几何问题中的应用，包括但不限于计算
体积、表面积、线段长度、角度等。
3. 分析和解决问题的能力：面对新定义题目，考生应学会如何分析问题，运用逻辑推理和几何直观来
解决问题。
4. 关注新定义与实际问题的结合：新高考数学试题越来越注重实际应用，考生应学会将新定义与实际
问题结合起来，提高解决实际问题的能力。
总之，新定义的引入增加了立体几何题目的难度和深度，考生需要在复习时特别关注这些内容，通过
多种方式提高自己的理解和应用能力。
解析几何新定义考情分析
解析几何是高中数学的重要组成部分，它以代数方法研究几何问题，是连接代数与几何的桥梁。在新
高考数学中，解析几何的内容和考查方式有所更新，主要体现在以下几个方面：
1. 新定义问题的引入：新高考数学解析几何部分增加了对新定义的理解和应用的考查。这类问题通常
会给出一个未见过的几何概念或性质，要求考生在理解的基础上，运用已学知识进行推导和计算。
2. 综合性增强：解析几何题目往往与其他数学领域如代数、三角等知识相结合，考查学生综合运用多种数学工具解决问题的能力。
3. 实际应用背景：新高考数学解析几何题目更加注重实际应用，题目背景往往来源于实际生活或科学
技术，要求学生能够将抽象的数学问题与现实世界联系起来。
4. 创新思维的考查：解析几何题目中可能会出现一些开放性问题，鼓励学生运用创新思维，探索多种
解题方法，而不仅仅是套用固定模式。
5. 计算能力与逻辑推理能力并重：新高考数学解析几何部分不仅考查学生的计算能力，还强调逻辑推
理能力。考生需要准确理解几何图形的性质，合理运用几何定理和公式，进行严密的逻辑推理。
针对这些考情变化，考生在备考时应加强对新定义的理解和应用，提高解决综合性问题的能力，注重
实际应用背景的题目训练，并在解题过程中发挥创新思维，同时加强计算能力和逻辑推理能力的培养。
考点一、 集合新定义
1．（2024·广东深圳·模拟预测）定义两集合 的差集： 且 ，已知集合
， ，则 的子集个数是（ ）个．
A．2 B．4 C．8 D．16
2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B= 且 ，则对于集合A={
}，B={ }， 且 ，以下说法正确的是（ ）
A．若在横线上填入”∩”，则C的真子集有212﹣1 个.
B．若在横线上填入”∪”，则C中元素个数大于250.
C．若在横线上填入”\”，则C的非空真子集有2153﹣2个.
D．若在横线上填入”∪ ”，则 C中元素个数为13.
3．（2024·吉林长春·模拟预测）（多选）对于集合 ，若 ，则称 为对偶互存集，则下列
为对偶互存集的是（ ）
A． B．C． D．
4．（2024·北京西城·三模）记集合 .对任意
， ，记 ，对于非空集合
，定义集合 .
(1)当 时，写出集合 ；对于 ，写出 ；
(2)当 时，如果 ，求 的最小值；
(3)求证： .
（注：本题中， 表示有限集合A中的元素的个数.）
5．（2024·浙江·模拟预测）称代数系统 为一个有限群，如果
1. 为一个有限集合， 为定义在 上的运算(不必交换)，
2.
3. 称为 的单位元
4. ，存在唯一元素 使 称为 的逆元有限群 ，称为 的子群.
若 ，定义运算 .
(1)设 为有限群 的子群， 为 中的元素. 求证:
(i) 当且仅当 ；
(ii) 与 元素个数相同.
(2)设 为任一质数 . 上的乘法定义为 ，其中[x]为不大于 的最小整
数.已知 构成一个群，求证: (其中 表示 个 作 运算)
11．（2024·浙江·二模）称平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为正整数的点为好整点，记 为集合
包含的好整点的个数．若 ，则正整数 的最小值是
（ ）
A．1976 B．1977 C． D．
2．（2024·湖南怀化·二模）给定整数 ，有 个实数元素的集合 ，定义其相伴数集
，如果 ，则称集合 为一个 元规范数集．（注： 表示数集中的最小数）．对于集合 ，则（ ）
A． 是规范数集， 不是规范数集 B． 是规范数集， 是规范数集
C． 不是规范数集， 是规范数集 D． 不是规范数集， 不是规范数集
3．（2024·福建·模拟预测）（多选）若平面点集 满足：任意点 ，存在 ，都有
，则称该点集 是 阶聚合点集．下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 是3阶聚合点集
B．存在 对任意正数 ，使 不是 阶聚合点集
C．若 ，则 不是 阶聚合点集
D．“ ”是“ 是 阶聚合点集”的充要条件
4．（2024·贵州遵义·二模）设集合 或 ， 中的元素
， ，定义： ．若 为 的 元
子集，对 ，都存在 ，使得 ，则称 为 的 元最优子集．
(1)若 ，且 ，试写出两个不同的 ；
(2)当 时，集合 ，证明： 为 的2元最优子
集；
(3)当 时， 是否存在2元最优子集，若存在，求出一个最优子集，若不存在，请说明理由．
5．（2024·四川·一模）桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少
会有一个抽屉里面放不少于两个苹果．这一现象就是我们所说的“抽屉原理”．
抽屉原理的一般含义为：如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有 个元
素放到n个集合中去，共中必定有一个集合里至少有两个元素．
应用抽屉原理，解答下列问题：设n为正整数，集合 .对于集
合A中的任意元素 和 ，记
.
(1)当 时，岩 ， ，求 和 的值；
(2)当 时，对于A中的任意两个不同的元素 ， ，证明： .
(3)给定不小于2的正整数n，设B是A的子集，且满足：对于B中的任意两个不同元素 ， ，
.写出一个集合B，使其元素个数最多，并说明由.考点二、 立体几何新定义
1．（2024·青海·模拟预测）如图，在正方体 中， ， ， ， ， ， 分别为棱 ，
， ， ， ， 的中点， 为 的中点，连接 ， ．对于空间任意两点 ， ，若线
段 上不存在也在线段 ， 上的点，则称 ， 两点“可视”，则与点 “可视”的点为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·上海浦东新·阶段练习）在空间直角坐标系中，定义点 和点 两点
之间的“直角距离” ．若 和 两点之间的距离是 ，则 和 两点之间
的“直角距离”的取值范围是 ．
3．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知 是棱长为 的正四面体 ，设 的四个顶点到平面 的距
离所构成的集合为 ，若 中元素的个数为 ，则称 为 的 阶等距平面， 为 的 阶等距集.
(1)若 为 的1阶等距平面且1阶等距集为 ，求 的所有可能值以及相应的 的个数；
(2)已知 为 的4阶等距平面，且点 与点 分别位于 的两侧.若 的4阶等距集为 ，
其中点 到 的距离为 ，求平面 与 夹角的余弦值.
4．（2024高三·全国·专题练习）我们知道，二元实数对 可以表示平面直角坐标系中点的坐标； 那么
对于 元实数对 （ ， 是整数），也可以把它看作一个由 条两两垂直的“轴”构成的高
维空间（一般记为 ）中的一个“点”的坐标表示的距离 ．
(1)当 时， 若 ， ， ， 求 ， 和 的值；
(2)对于给定的正整数 ，证明 中任意三点 满足关系 ；
(3)当 时，设 ， ， ，其中 ， ， ， ．求
满足 点的个数 ，并证明从这 个点中任取11个点，其中必存在 个点，它们共面或者以它们为顶点的三棱锥体积不大于 ．
5．（23-24高一下·江苏常州·期末）离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P为多面体M的一个顶点，
定义多面体M在点P处的离散曲率为 ，其中
为多面体M的所有与点P相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面
和平面 为多面体M的所有以P为公共点的面．
(1)求三棱锥 在各个顶点处的离散曲率的和；
(2)如图，已知在三棱锥 中， 平面ABC， ， ，三棱锥 在顶点C处
的离散曲率为 ．
①求直线PC与直线AB所成角的余弦值；
②若点Q在棱PB上运动，求直线CQ与平面ABC所成的角的最大值．
1．（2023·安徽滁州·模拟预测）（多选）阅读数学材料：“设 为多面体 的一个顶点，定义多面体
在点 处的离散曲率为 ，其中 为
多面体 的所有与点 相邻的顶点，且平面 ，平面 ， ，平面 和平面 为多面
体 的所有以 为公共点的面 ”解答问题：已知在直四棱柱 中，底面 为菱形，
，则下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱 在其各顶点处的离散曲率都相等
B．若 ，则四棱柱 在顶点 处的离散曲率为
C．若四面体 在点 处的离散曲率为 ，则 平面D．若四棱柱 在顶点 处的离散曲率为 ，则 与平面 的夹角为
2．（20-21高一下·四川成都·期末）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如
图1，由射线 ， ， 构成的三面角 ， ， ， ，二面角
的大小为 ，则 ．
（1）当 、 时，证明以上三面角余弦定理；
（2）如图2，平行六面体 中，平面 平面 ， ， ，
①求 的余弦值；
②在直线 上是否存在点 ，使 平面 ？若存在，求出点 的位置；若不存在，说明理由．
3．（2022·辽宁沈阳·二模）蜂房是自然界最神奇的“建筑”之一，如图1所示.蜂房结构是由正六棱柱截去
三个相等的三棱锥 ， ， ，再分别以 ， ， 为轴将 ， ，
分别向上翻转 ，使 ， ， 三点重合为点 所围成的曲顶多面体（下底面开口），如图2所
示.蜂房曲顶空间的弯曲度可用曲率来刻画，定义其度量值等于蜂房顶端三个菱形的各个顶点的曲率之和，
而每一顶点的曲率规定等于 减去蜂房多面体在该点的各个面角之和（多面体的面角是多面体的面的内角，
用弧度制表示）.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是 ，所以正四面体在各顶点的曲率为
.
(1)求蜂房曲顶空间的弯曲度；
(2)若正六棱柱底面边长为1，侧棱长为2，设
（i）用 表示蜂房（图2右侧多面体）的表面积 ；（ii）当蜂房表面积最小时，求其顶点 的曲率的余弦值.
4．（2024高二上·全国·专题练习）已知两个非零向量 ， ，在空间任取一点 ，作 ， ，则
叫做向量 ， 的夹角，记作 .定义 与 的“向量积”为： 是一个向量，它与向量 ，
都垂直，它的模 .如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， 底面 ，
， 为 上一点， .
(1)求 的长；
(2)若 为 的中点，求二面角 的余弦值；
(3)若 为 上一点，且满足 ，求 .
考点三、 解析几何新定义
1．（2024·河南·二模）从椭圆 外一点P(x ,y )向椭圆引两条切线，切点分别为
0 0
，则直线 称作点 关于椭圆 的极线，其方程为 .现有如图所示的两个椭圆 ，离
心率分别为 ， 内含于 ，椭圆 上的任意一点 关于 的极线为 ，若原点 到直线 的距离为
1，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．2．（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）椭圆 的离心率e满足 ，则称该椭圆
为“黄金椭圆”．若 是“黄金椭圆”，则 ；“黄金椭圆”
两个焦点分别为 、 （ ），P为椭圆C上的异于顶点的任意一
点，点M是 的内心，连接PM并延长交 于N，则 ．
3．（2024·山东青岛·三模）在平面内，若直线 将多边形分为两部分，多边形在 两侧的顶点到直线 的距
离之和相等，则称 为多边形的一条“等线”，已知 为坐标原点，双曲线 的左、
右焦点分别为 的离心率为2，点 为 右支上一动点，直线 与曲线 相切于点 ，且与 的渐近
线交于 两点，当 轴时，直线 为 的等线.
(1)求 的方程;
(2)若 是四边形 的等线，求四边形 的面积;
(3)设 ，点 的轨迹为曲线 ，证明: 在点 处的切线 为 的等线
4．（2024·浙江舟山·模拟预测）阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用．如图，在平面直角坐
标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点 ，
并按这样的规律继续下去．
(1)求 ．
(2)求证：不存在正整数 ，使得三角形 的面积为2022;
(3)求证：对于任意正整数 ，三角形 为锐角三角形．
5．（2024·江西新余·二模）通过研究，已知对任意平面向量 ，把 绕其起点A沿逆时针方向旋
转 角得到向量 ，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转 角得到点P，
(1)已知平面内点 ，点 ，把点B绕点A逆时针旋转 得到点P，求点P的坐标：(2)已知二次方程 的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆 绕原点O逆
时针旋转 所得的斜椭圆C，
（i）求斜椭圆C的离心率；
（ⅱ）过点 作与两坐标轴都不平行的直线 交斜椭圆C于点M、N，过原点O作直线 与直线
垂直，直线 交斜椭圆C于点G、H，判断 是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说
明理由.
1．（2024·河南信阳·模拟预测）在空间解析几何中，可以定义曲面（含平面） 的方程，若曲面 和三元
方程 之间满足：①曲面 上任意一点的坐标均为三元方程 的解；②以三元方程
的任意解 为坐标的点均在曲面 上，则称曲面 的方程为 ，方程
的曲面为 .已知空间中某单叶双曲面 的方程为 ，双曲面 可视为平面 中
某双曲线的一支绕 轴旋转一周所得的旋转面，已知直线 过C上一点 ，且以 为方向
向量.
(1)指出 平面截曲面 所得交线是什么曲线，并说明理由；
(2)证明：直线 在曲面 上；
(3)若过曲面 上任意一点，有且仅有两条直线，使得它们均在曲面 上.设直线 在曲面 上，且过点
，求异面直线 与 所成角的余弦值.
2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在平面直角坐标系 中，利用公式 ①（其中 ， ， ，
为常数），将点 变换为点 的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该
变换公式①可由 ， ， ， 组成的正方形数表 唯一确定，我们将 称为二阶矩阵，矩阵通
常用大写英文字母 ， ，…表示.(1)如图，在平面直角坐标系 中，将点 绕原点 按逆时针旋转 角得到点 （到原点距离
不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵 ；
(2)在平面直角坐标系 中，求双曲线 绕原点 按逆时针旋转 （到原点距离不变）得到的双曲线
方程 ；
(3)已知由（2）得到的双曲线 ，上顶点为 ，直线 与双曲线 的两支分别交于 ， 两点（ 在第一象
限），与 轴交于点 .设直线 ， 的倾斜角分别为 ， ，求证： 为定值.
3．（24-25高三上·上海·阶段练习）若坐标平面内的曲线 与某正方形 四条边的所在直线均相切，则称
曲线 为正方形 的一条“切曲线”，正方形 为曲线 的一个“切立方”．
(1)试写出圆 的一个切立方 的四条边所在直线的方程；
(2)已知正方形 的方程为 ，且正方形 为双曲线 的一个“切立方”，求双曲线的离心
率 的取值范围；
(3)设函数 的图象为曲线 ，试问曲线 是否存在切立方，并说明理由．
4．（24-25高三上·内蒙古赤峰·阶段练习）在平面直角坐标系 中，定义：若曲线 和 上分别存在点
， 关于原点 对称，则称点 和点 为 和 的一对“关联点”.
(1)若 上任意一点 的“关联点”为点 ，求点 所在的曲线方程.
(2)若 上任意一点 的“关联点”为点 ，求 的取值范围.
(3)若 和 有且仅有两对“关联点”，求实数 的取值范围.
5．（2024·江西新余·模拟预测）我们知道，在平面直角坐标系 中，可以用两点之间距离公式刻画
两点的距离 ，事实上，这里的距离属于这两个点的一种“度量”.在拓扑学中，我们规定某一
实数 满足：① ，当且仅当 时等号成立； ② ； ③
.其中， 为平面直角坐标系内的三个点，我们就称 是关于
两点的一个“度量”.设：平面直角坐标系 （ 为坐标原点）内两点 的“ 距离” .
(1)求证： 两点的“ 距离”是关于 两点的一个“度量”.
(2)设 为平面直角坐标系 内任意一点.
（ⅰ）若 ，请在下图中定性做出 点的集合组成的图像（不必说明理由，但要求做出特殊点与
其特征）.
（ⅱ）求证： .
(3)规定平面内两条平行直线的 距离 为在 上分别取的任意两个点 距离的最小值.已知
不重合的直线 ， ， ，求 的取值范围.
考点 四 、 其他新定义综合
1．（2024·浙江·二模）古人把正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数、正割函数、余割函数、正矢函
数、余矢函数这八种三角函数的函数线合称为八线.其中余切函数 ，正割函数 ，余
割函数 ，正矢函数 ，余矢函数 .如图角 始边为 轴的非负
半轴，其终边与单位圆交点 ， 、 分别是单位圆与 轴和 轴正半轴的交点，过点 作 垂直 轴，
作 垂直 轴，垂足分别为 、 ，过点 作 轴的垂线，过点 作 轴的垂线分别交 的终边于 、
，其中 、 、 、 为有向线段，下列表示正确的是（ ）A． B．
C． D．
2．（2024·吉林长春·一模）我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都
可以用二元有序实数对 表示.平面向量又称为二维向量，一般地，n元有序实数组 称为n
维向量，它是二维向量的推广.类似二维向量，对于n维向量，可定义两个向量的数量积，向量的长度
（模）等：设 ， ，则 ；
.已知向量 满足 ，向量 满足
(1)求 的值；
(2)若 ，其中 .
（i）求证： ；
（ii）当 且 时，证明： .
3．（22-23高一上·云南昆明·期末）人脸识别技术在各行各业的应用改变着人类的生活，所谓人脸识别，
就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别对象的身份，在人脸识
别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试，常用测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.若二
维空间有两个点 ， ，则曼哈顿距离为： ，余弦相似度为：
，余弦距离为
(1)若 ， ，求A，B之间的曼哈顿距离 和余弦距离；
(2)已知 ， ， ，若 ， ，求
的值1．（24-25高三上·北京·阶段练习）古希腊数学家托勒密对三角学的发展做出了重要贡献，托勒密把圆的
半径60等分，用圆的半径长的 作为单位来度量弦长.将圆心角 所对的弦长记为 .如图，在圆 中，
的圆心角所对的弦长恰好等于圆 的半径，因此 的圆心角所对的弦长为60个单位，即 .
若 为圆心角， ，则 .
2．（2024·广西钦州·三模）对于平面向量 ，定义“ 变换”：
，其中 表示 中较大的一个数，
表示 中较小的一个数.若 ，则 .记
.
(1)若 ，求 及 ；
(2)已知 ，将 经过 次 变换后， 最小，求 的最小值；
(3)证明：对任意 ，经过若干次 变换后，必存在 ，使得 .
3．（2024·山西太原·二模）已知两个非零向量 ， ，将向量 绕着它的起点沿逆时针方向旋转 （
）弧度后，其方向与向量 的方向相同，则 叫做向量 到 的角．已知非零向量 到 的角为 ，
数量 叫做向量 与 的 运算，记作 ，即 ．根据此定义，不难证明以下性
质：
① ；
② ；
③ ．
(1)利用以上性质证明： ；(2)设 到 的角为 ，定义 ．当 时，则 表示△OAB面积；当
时，则 表示△OAB面积的相反数．利用上述定义和性质证明：
①如图，四边形ABCD的两边AD，BC延长相交于点E，对角线AC，BD的中点为F，G，求证：四边形
ABCD的面积等于△EFG的面积的4倍；
②在平面直角坐标系中，记向量 ， ，△ABC各顶点坐标分别为 ， ，
，求证：△ABC面积为 ．
4．（24-25高二上·河北保定·开学考试）给定平面上一个图形D，以及图形D上的点 ，如果对于
D上任意的点P， 为与P无关的定值，我们就称 为关于图形D的一组稳定向量基点.
(1)已知 为图形D，判断点 是不是关于图形D的一组稳定向量基点；
(2)若图形D是边长为2的正方形， 是它的4个顶点，P为该正方形上的动点，求
的取值范围；
(3)若给定单位圆 及其内接正2024边形 为该单位圆上的任意一点，证明 是关于
圆 的一组稳定向量基点，并求 的值.
1．（2021·四川达州·一模）两个非零向量 ， ，定义 ．若 ， ，
则 ．
2．（23-24高三上·安徽合肥·阶段练习）（多选）设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的
离散曲率为 ，其中 ， 为多面体
的所有与点 相邻的顶点，且平面 ，平面 ，平面 和平面 为多面体 的所有以 为公共点的面.已知在直四棱柱 中，四边形 为菱形， ，则下列说法正
确的是（ ）
A．四棱柱 在其各顶点处的离散曲率都相等
B．若 ，则四棱柱 在顶点 处的离散曲率为
C．若四面体 在点 处的离散曲率为 ，则 平面
D．若四棱柱 在顶点 处的离散曲率为 ，则直线 与平面 所成的角的正弦值
为
3．（2021·全国·模拟预测）（多选）设 为多面体 的一个顶点，定义多面体 在点 处的离散曲率为
，其中 为多面体 的所有与点
相邻的顶点，且平面 ，平面 ，…，平面 和平面 为多面体 的所有以 为公共点
的面．已知在直四棱柱 中，底面 为菱形， ，则下列结论正确的是（ ）
A．直四棱柱 在其各顶点处的离散曲率都相等
B．若 ，则直四棱柱 在顶点 处的离散曲率为
C．若 ，则直四棱柱 在顶点 处的离散曲率为
D．若四面体 在点 处的离散曲率为 ，则 平面
4．（24-25高三上·河南·阶段练习）已知数列 （正整数 且 为常数）的各项均为正整数，
设集合 ，记 中的元素个数为 .
(1)若数列 求集合 及 的值；
(2)若数列 为等差数列，求 的值；
(3)求 的最大值．
5．（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知集合 ，若存在数阵
满足：① ；② ；则称 为“好
集合”，并称数阵 为 的一个“好数阵”．(1)已知数阵 是 的一个好数阵，试写出 ， ， ， 的值；
(2)若集合 为“好集合”，证明：集合 的“好数阵”必有偶数个；
(3)判断 是否为“好集合”．若是，求出满足条件 的所有“好数阵”；若不是，说明理
由．
6．（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）给定正整数 ，集合 .若存在集合 ， ， ，
同时满足下列三个条件：
① ， ；
②集合 中的元素都为奇数，集合 中的元素都为偶数，所有能被3整除的数都在集合 中（集合 中还
可以包含其它数）；
③集合 ， ， 中各元素之和分别为 ， ， ，有 ；
则称集合 为可分集合.
(1)已知 为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合 ， ， ；
(2)当 时， 是不是可分集合？判断并说明理由；
(3)已知 为偶数，求证：“ 是整数”是“ 为可分集合”的必要不充分条件.
7．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知无穷数列{a }，{b }各项都是正整数，定义集合：
n n
， ；
(1)已知 ， ，直接写出集合 ；
(2)若 ， ， ，求证：{a }中有无穷多个1；
n
(3)若{a }，{b }均为等差数列，且 ， 均为无限集，求证： ．
n n
8．（24-25高三上·北京海淀·阶段练习）已知数列{a }记集合
n
(1)对于数列{a }： ，列出集合 的所有元素；
n
(2)若 是否存在 ，使得 ？若存在，求出一组符合条件的 ；若不存在，说明理
由；
(3)若 把集合 中的元素从小到大排列，得到的新数列为 若 ，求 的
最大值.
9．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个
平面向量，都可以用二元有序实数对 表示．平面向量又称为二维向量．一般地，n元有序实数组称为n维向量，它是二维向量的推广．类似二维向量，对于n维向量，也可定义两个向量
的数量积、向量的长度（模）等：设 ， ，则
； ．已知向量
满足 ，向量 满足 ．
(1)求 的值；
(2)若 ，其中 ，当 且 时，证明： ．
10．（24-25高三上·江苏盐城·阶段练习）设集合A为非空数集，定义
.
(1)若集合 ，直接写出集合 及 ；
(2)若集合 且 ，求证 ；
(3)若集合 且 ，求A中元素个数的最大值.
11．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知集合 ，对于任意
，
操作一：选择 中某个位置（某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后），插入连续 个 或连续
个 ，得到 ；
操作二：删去 中连续 个 或连续 个 ，得到 ；
进行一次操作一或者操作二均称为一次“ 月变换”，在第 次 “ 月变换”的结果上再进行
次“ 月变换”称为第 次“ 月变换”．
(1)若对 进行两次“ 月变换”，依次得到 ， ．直接写出 和 的所有可能情况．
(2)对于 和 至少要对 进行多少次“ 月变换”才能得到 ？
说明理由．
(3)证明：对任意 ，总能对 进行不超过 次“ 月变换”得到 ．
12．（24-25高三上·浙江·阶段练习）正整数集 ，其中 .将集合
拆分成 个三元子集，这 个集合两两没有公共元素.若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数
等于其他两数之和，则称集合 是“三元可拆集”.
(1)若 ，判断集合 是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由；
(2)若 ，证明：集合 不是“三元可拆集”；
(3)若 ，是否存在 使得集合 是“三元可拆集”，若存在，请求出 的最大值并给出一种拆法；若不存在，请说明理由.
13．（23-24高三下·湖南常德·阶段练习）对于给定的正整数n，记集合
，其中元素 称为一个n维向量.特别地，
称为零向量.设 ， ， ，定义加法和数乘：
， .对一组向量 ， ，…， ，若存
在一组不全为零的实数 ， ，…， ，使得 ，则称这组向量线性相关.否则，称为
线性无关.
(1)对 ，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由.
① ， ；
② ， ， .
(2)已知 ， ， 线性无关，判断 ， ， 是线性相关还是线性无关，并说明理由.
(3)已知 个向量 ， ，…， 线性相关，但其中任意 个都线性无关，证明：
①如果存在等式 （ ， ，2，3，…，m），则这些系数 ， ，…， 或
者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式 ， （ ， ， ，2，3，…，m）
同时成立，其中 ，则 .
14．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）已知有限集 ，若 中的元素
满足 ，则称 为“ 元重生集”.
(1)集合 是否为“2元重生集”，请说明理由；
(2)是否存在集合中元素均为正整数的“3元重生集”？如果有，请求出有几个，如果没有，请说明理由；
(3)若 ，证明：“ 元重生集” 有且只有一个，且 .
15．（24-25高三上·江苏·阶段练习）已知集合 ， 为集合 的子集．定义 ，
．
(1)取 ．
①若存在 且 ，求 的最小值；
②对于给定的 ，若存在 互不相同且 ，求 的最大值 及此时的最大值 ．
(2)取 ，是否存在 及 ，使得 ，且 ？若存在，请举例；若不
存在，请证明．
