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第 04 讲 等式与不等式性质（含糖水不等式）
（6 类核心考点精讲精练）
【备考策略】1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质
2.能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系
3.能够利用不等式的关系表示不等式的范围
4.能利用糖水不等式解决不等式的相关问题
知识讲解
1. 等式的性质
性质1 如果 ，那么________；
性质2 如果 ， ，那么________；
性质3 如果 ，那么________；
性质4 如果 ，那么________；
性质5 如果 ， ，那么________；【答案】
2. 比较两个实数大小
两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有：
；
；
另外，若 ，则有 ； ； .
【答案】
3. 不等式的基本性质：
（1）对称性： ．
（2）传递性 ： ．
（3）可加性： ．
（4）可积性：① ；② ．
（5）同向可加性： ；异向可减性： ．
（6）同向正数可乘性 ；异向异号可乘性： ；异向正数可除性： ．
（7）乘方法则： （ ， ）．
（8）开方法则： （ ， ）．
（9）倒数法则： ； ．
【答案】
4. 糖水不等式及其变形
若实数a，b，c，满足 ， ，则 _____ ，_____，(b－m＞0)；_____；_____，(b－m＞0)
（用不等号填空）．
【答案】 ＞ ＞ ＜
5. 对数型糖水不等式及其变形
(1) 设 , 且 , 则有
(2) 设 , 则有
(3) 上式的倒数形式：设 , 则有考点一、 由不等式性质判断式子大小关系
1．（2024·上海杨浦·二模）已知实数 ， ， ， 满足： ，则下列不等式一定正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】举例说明判断ABD；利用不等式的性质推理判断C.
【详解】对于ABD，取 ，满足 ，
显然 ， ， ，ABD错误；
对于C， ，则 ，C正确.
故选：C
2．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ， ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】B
【分析】由不等式的基本性质，赋值法逐项判断即可.
【详解】对于A，可以取 ， ， ，此时 ，所以A错误.
对于B：∵ ，∴ ，因为 ，所以 ，故B正确；
对于C：取 ， 时，则 ， ， ，则 ，故C错误；
对于D：当 ， 时， ， ，则 ，故D错误；
故选：B.
1．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用不等式的性质可判断A项正确，D项错误，通过举反例可说明B,C两项错误.【详解】 ，即 ，故选项A正确；
当 时，满足 ，但 ，此时 ， ，故选项B，C错误；
当 时，由 可得 ，故选项D错误.
故选:A．
2．（2024·北京丰台·二模）若 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】举反例即可求解ABC，根据不等式的性质即可求解D.
【详解】由于 ，取 ， ， ，无法得到 ， ，
故AB错误，
取 ,则 ，无法得到 ，C错误，
由于 ，则 ，所以 ，
故选：D
考点二、 由不等式关系，求解不等式范围
1．（2023高三·全国·专题练习）已知 ， ，求 的取值范围为 .
【答案】
【分析】先利用待定系数法得到 ，再利用不等式的性质即可得解.
【详解】设 ，
则 ，解得 ，
所以 ，因为 ， ，
所以 ， ，
所以 ．
则 的取值范围为 ．
故答案为： .
2．（2024·河北石家庄·二模）若实数 ，且 ，则 的取值
范围是 .
【答案】
【分析】先得到 ，并根据 得到 ，从而求出 .
【详解】因为 ，故 ，
由 得 ，解得 ，
故 .
故答案为：
1．（2024高三·全国·专题练习）已知 ，则 的取值范围是 ， 的取值范
围是 .
【答案】
【分析】根据不等式的性质即可求解.
【详解】因为 ，所以 .
又 ，所以 ，
所以 ，
即 的取值范围是 .
因为 所以 ，
即 ，
所以 的取值范围是
答案： ,
2．（23-24高三·安徽·阶段练习）已知 ， ，则 的最小值 .
【答案】4
【分析】利用不等式的性质求解.
【详解】设 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，
即 ，
所以 的最小值为4，
当 ，即 时取得最小值，
故答案为:4.
3．（2024·浙江·模拟预测）已知正数 满足 ，则 的取值范围为
．
【答案】
【分析】
根据不等式的性质即可求解.
【详解】
正数 、 、 满足 ， ，
， 所以
同理：有 得到 ，所以
两式相加：即
又 ,即
即 ．
故答案为：
考点三、 作差法或作商法比较式子大小关系
1．（2024高三·全国·专题练习）已知实数 ， 满足 ，求证： .
【答案】证明见解析
【分析】利用作差法比较大小即可证明.
【详解】
，
因为 ，所以 ，
所以 .
2．（上海浦东新·阶段练习）设 ，比较 与 的大小
【答案】
【分析】先判断两个式子的符号，然后利用作商法与1进行比较即可.
【详解】 ，
，
，
.
1．（2024高三·全国·专题练习）已知 为正实数．求证： .【答案】证明见解析
【分析】根据题意，化简得到 ，结合不等式的性质，即可得证.
【详解】证明：因为 ，
又因为 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以 .
2．若 ，求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】作商法证明不等式.
【详解】证明：∵a>b>0，
∴ ，且 ．
∴作商得： ．
∴ ．
考点 四 、 由不等式性质证明不等式
1．（2023高三·全国·专题练习）证明命题：“若在 中 分别为角 所对的边长，则
”
【答案】证明见解析
【分析】由作差法证明 ，再由
证明 .
【详解】证明：取 ，
因为 ，所以 ，即 .所以
又因为 ，故 ，
所以 .
1．（1）设 ， ，证明： ；
（2）设 ， ， ，证明： .
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据作差法证明即可；
（2）由于 ，故 ，再结合（1）的结论易证 .
【详解】证明：（1）因为 ， ，所以 ， 。
所以 ，
故得证；
（2）由不等式的性质知， ，
所以 ，
又因为根据（1）的结论可知， ，
所以 .
所以 .
考点 五 、 糖水不等式及其应用
1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知 克糖水中含有 克糖 ，再添加 克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意可知：在糖水中加入糖后，糖水浓度变大了，所以糖水变甜了.
【详解】原糖水的浓度为 ，加入糖后糖水的浓度为 ，加入糖后糖水浓度变大了，
所以 .
故选：D
2．（2023·四川凉山·一模） 克糖水中含有 克糖，糖的质量与糖水的质量比为 ，这个质量比决定了糖
水的甜度，如果再添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为 ( ，
).若 ， ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】根据题意当 ， 时 成立，得出 ，用作差法比较得出 ，
即可得出答案.
【详解】解：因为 ， ，
所以 ， ，
根据题意当 ， 时 成立，
又 ，
所以 ，
即： ，
又
所以 ，
所以 ，
故选：B.
【点睛】对数运算的一般思路：（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利
用对数运算性质化简合并；
（2）合：将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的
积、商、幂的运算.
1．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）已知实数 满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【法一】由糖水不等式的倒数形式， , 则有:
【法二】 ，故B正确；
因为 ，所以有 ，故A错误；
，故C正确；
，故D正确．
【答案】BCD
2．（23-24高三·福建龙岩·阶段练习）若 克不饱和糖水中含有 克糖，则糖的质量分数为 ，这个质量分
数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式
（ ， ）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断 与 的大
小：例如 ，试比较 的大小（填”<”或”>”或”
=”）
【答案】<
【分析】根据糖水不等式的知识求得正确答案.
【详解】依题意 .故答案为：
考点 六 、 多选题综合
1．（2024·湖南长沙·二模）设a，b，c，d为实数，且 ，则下列不等式正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的相关性质可得A ,D 项正确；通过举反例可说明B ,C 项错误.
【详解】对于A，由 和不等式性质可得 ，故A正确；
对于B，因 ，若取 ， ， ， ，
则 ， ，所以 ，故B错误；
对于C，因 ，若取 ， ， ， ，
则 ， ，所以 ，故C错误；
对于D，因为 ，则 ，又因 则 ，
由不等式的同向皆正可乘性得， ，故 ，故D正确．
故选：AD．
2．（2024·广西·二模）已知实数a，b，c满足 ，且 ，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根据不等式的基本性质和已知条件可逐项分析得到答案.
【详解】 且 ，则 ， ，
则 ，A正确；
因为 ， ，所以 ，B错误；
因为 ， ， ，
当 时， ，则 ；当 时， ，则 ，当 时，
，则 ，故C错误；因为 ，
当且仅当 时，等号成立，此时由 可得 ，不符合 ，
所以 不成立，故 ，即 ，D正确.
故选：AD
1．（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】AC
【分析】对A和C利用不等式性质即可判断，对B和D举反例即可反驳.
【详解】对A，因为 ，则两边同乘 得 ，两边同乘 得 ，
则 ，故A正确；
对B，当 时， ，故B错误；
对C，因为 ，则 ，又因为 ，所以 ，故C正确；
对D，举例 ，则 ，而 ，
此时两者相等，故D错误.
故选：AC.
2．（2024·江西·模拟预测）已知 ，则下列不等式一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】根据不等式的性质逐项判断可得答案.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，故A正确；
对于B，因为 ， ，所以 ，故B正确；对于C，当 ， ， ， 时， ，故C不正确；
对于D，因为 ，所以 ，又 ，所以 .故D正确.
故选：ABD.
3．（2024·安徽淮北·一模）已知 ， ， ，下列命题为真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BD
【分析】
利用举反例和不等式得性质进行判断.
【详解】当 为负数时A可能不成立，例如 但 是错误的.
因为 根据不等式性质可得 正确.
因为 ，所以 所以 即 所以 故C错误.
因为 ，所以 ，
所以 正确.
故选：BD
一、单选题
1．（2024·河南·模拟预测）“ ， 是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据不等性质直接判断.
【详解】由于 ， 的正负性不确定，由“ ， ”不能推出“ ”，故充分性不成立；
同时当“ ”时也不能推出“ ， ”，故必要性也不成立.
故选：D.2．（2023·吉林长春·一模）若 ， ， ，且 ，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用特殊情形可判断ABC，根据不等式性质判断D.
【详解】对A，当 时， 不成立，故A错误；
对B，当 时， 不成立，故B错误；
对C，当 时， 不成立，故C错误；
对D，由 ，又 ，所以 ，故D正确.
故选：D
3．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）设 ， ， 为实数，且 ，则下列不等式正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】A选项，举出反例；B选项，作差法比较出大小关系；CD选项，利用不等式的性质得到答案.
【详解】A选项，当 时， ，A错误；
B选项， ，
因为 ，所以 ，则 ，
故 ， ，B错误；
C选项， 两边同乘以 得 ，
两边同乘以 得 ，
故 ，C正确；
D选项，因为 ，所以 ，
两边同除以 得 ，D错误.
故选：C
4．（2023·山东·模拟预测）对于实数 ， ， ，下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则C．若 ，则 D．若 ， ，则
【答案】D
【分析】由不等式的性质逐一判断．
【详解】解：对于A： 时，不成立，A错误；
对于B：若 ，则 ，B错误；
对于C：令 ，代入不成立，C错误；
对于D：若 ， ，则 ， ，则 ，D正确；
故选：D．
5．（23-24高三上·北京房山·期末）已知 ， 为非零实数，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】对A、B、C举反例即可得，对D作差计算即可得.
【详解】对A：若 ，则 ，故错误；
对B：若 ，则 ，故错误；
对C：若 ，则 ， ，左右同除 ，有 ，故错误；
对D：由 且 ， 为非零实数，则 ，即 ，故正确.
故选：D.
6．（2023·广东·二模）若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用作差法比较大小即可得出正确选项.
【详解】因为 ，所以 .
，
因为 ，且 ，所以 ，所以 ，所以 .故 .
故选： A
二、多选题
7．（2023·湖南张家界·二模）下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】BC
【分析】
举例说明即可判断AD；根据不等式的基本性质即可判断B；根据幂函数的性质即可判断C.
【详解】A：若 ，则 ，故A错误；
B：若 ，则 ，故 ，两边平方，可得 ，故B正确；
C：因为 在 上单调递增，所以若 ，则 ，故C正确；
D：若 ，不妨设 ， ，显然不满足 ，故D错误.
故选：BC.
三、填空题
8．（2023高三·全国·课后作业）已知 ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】利用不等式的性质即可求出 的取值范围.
【详解】由题意，
在 中，
∵ ，
∴ ，解得： ，
故答案为： .
9．（2023高三·全国·专题练习）若 , ,则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】
根据绝对值定义求 范围,再根据不等式性质求出结果.
【详解】因为 ,
所以 ,
又 ,
所以 ,
所以 .
故答案为: .
10．（23-24高三上·海南海口·开学考试）已知 ， ，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】由 得到 ，相加后得到取值范围.
【详解】因为 ，
所以 ，
得 .
故答案为：
一、单选题
1．（2024·山东聊城·三模）“ ，且 ”是“ ，且 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】若 ，且 ，根据不等式的加法和乘法法则可得 ，且 ，即必要性成立；
当 ，满足 ，且 ，但是 ，故充分性不成立，
所以“ ，且 ”是“ ，且 ”的必要不充分条件.
故选：B
2．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】由不等式的性质可判断A,B,C，利用基本不等式 ，当且仅当 时等号成立，即可判断D.
【详解】对于A，由 ， 可得 ，故A错误；
对于B，由 ， ， ，可得 ，故B错误；
对于C，若 ，且当 时，可得 为任意值，故C错误；
对于D，因为 ，当且仅当 时，等号成立，
即 ，故D正确.
故选：D.
3．（2024·陕西铜川·三模）已知 为正实数，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】若 ，根据糖水不等式可得 ，即充分性成立；
若 ，则 ，即 且 ，故 ，即必要性成立，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
4．（2024·福建福州·模拟预测）设 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充要条件的概念即可求解.
【详解】当 时， 或 ，则 ，即充分性成立；
当 时， ，则 ，即必要性成立；
综上可知，“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
5．（2024·安徽淮北·二模）已知 ，下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则B．若 ，则
C．若 ，则
D．若 ，则
【答案】D
【分析】举反例即可推出A,B,C错误，D利用反比例函数单调性和不等式可加性即可证得.
【详解】当 时， ，所以A错.
当 时， ，所以B错.
当 时， ，所以C错.
若 ，则 ，则 成立，所以D正确.
故选：D
6．（2024·北京·三模）已知 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，正切函数的性质，以及指数函数与对数函数的性质，逐项判
定，即可求解.
【详解】对于A中， ，其中 ，但 的符号不确定，所以A不正确；
对于B中，例如 ，此时 ，所以B不正确；
对于C中，由函数 在 上为单调递减函数，
因为 ，所以 ，可得 ，所以C正确；
对于D中，例如 ，此时 ，所以D不正确.
故选：C.
7．（2024·四川成都·模拟预测）已知 ， 为实数，则使得“ ”成立的一个必要不充分条件为
（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用不等式的性质、结合对数函数、幂函数单调性，充分条件、必要条件的定义判断即得.
【详解】对于A， ，不能推出 ，如 ，反之 ，则有 ，
即 是 的既不充分也不必要条件，A错误；
对于B，由 ，得 ，即 ，
不能推出 ，反之 ，则 ，
因此 是 的必要不充分条件，B正确；
对于C， ， 是 的充分必要条件，C错误；
对于D，由 ，得 ，反之 不能推出 ，
因此 是 的充分不必要条件，D错误.
故选：B.
8．（2024高三下·全国·专题练习）记 表示 这3个数中最大的数．已知 ， ， 都是
正实数， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可得 ， ，所以 ，即 ，解不等式即可得到答案.
【详解】因为 ，所以 ， ，所以 ，
所以 ，即 ，当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 ．
故选：A
二、多选题
9．（2024·辽宁·模拟预测）若 ，则使“ ”成立的一个充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．【答案】AD
【分析】根据不等式的性质及对数函数的单调性结合充分条件的定义即可得解.
【详解】对于A，因为 ，所以 ，选项A正确；
对于B， 满足 ，选项错B错误；
对于C， ，当 时， ，选项错C错误；
对于D， ，
因为 ，所以 ，选项D正确.
故选：AD.
10．（2024·安徽合肥·三模）已知实数 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据题意，利用作差比较法，结合不等式的性质，可判定A错误，B正确；令 ，利用
导数求得函数的单调性，得到 ，进而判定C正确；结合 在 上单调递增，
可判定D正确．
【详解】对于A中，由 ，可得 ，所以A错误；
对于B中，由 ，则 ，所以B正确；
对于C中，令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增，
因为 ，则 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以C正确；
对于D中，由函数 在 上单调递增，
因为 ，则 ，即 ，
所以 ，所以D正确．
故选：BCD．一、单选题
1．（四川·高考真题）若 则一定有
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】本题主要考查不等关系．已知 ,所以 ，所以 ，故 ．故
选
2．（浙江·高考真题）设 ， 是实数，则“ ”是“ ”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【详解】本题采用特殊值法：当 时， ，但 ，故是不充分条件；当 时，
，但 ，故是不必要条件.所以“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.故选D.
考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.
3．（广东·高考真题）设 ，若 ，则下列不等式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解析】利用赋值法:令 排除A,B,C,选D.
4．（上海·高考真题）已知 为非零实数，且 ，则下列命题成立的是
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】若ab2，A不成立；若 B不成立；若a=1，b=2，则
,所以D不成立 ,故选C.
5．（北京·高考真题）已知 ， ， ， 均为实数，有下列命题：
（1）若 ， ，则 ；
（2）若 ， ，则 ；（3）若 ， ，则 ，
其中正确命题的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】本题就是 ， ， 三个结论之间轮换，知二推一，利用不等关系证明即可．
【详解】解：对于（1） ，
将不等式两边同时除以
所以（1）正确
对于（2） ，
将不等式两边同时乘以
所以（2）正确
对于（3）
又
所以（3）正确
故选： ．
【点睛】本题考查不等式与不等关系的灵活运用，以及不等式的性质，属于基础题．
6．（北京·高考真题）设 ，且 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】A. 利用不等式的加法性质判断；B. 利用特殊值法判断；C. 利用特殊值法判断；D. 利用特殊值法
判断；
【详解】A. 因为 ，由不等式的加法性质有 ，故正确；
B. 当 时， ，故错误；
C. 当 时， ，故错误；
D. 当 时， ，故错误；
故选：A【点睛】本题主要考查不等式的基本性质，属于基础题.
7．（全国·高考真题）若 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】试题分析：用特殊值法，令 ， ， 得 ，选项A错误， ，选项B
错误， ，选项D错误，
因为
选项C正确，故选C．
【考点】指数函数与对数函数的性质
【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的
单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.
8．（重庆·高考真题）若 ，且 ，则 的最小值是.
A． B．3 C．2 D．
【答案】A
【分析】根据 ，将 代入，即可求解.
【详解】因为 ，
所以 ．
而 ，且
所以 ，当且仅当 时等号成立.
【点睛】本题主要考查了转化的思想及等式的变形，属于中档题.
二、多选题
9．（上海·高考真题）如果 ，那么下列不等式不正确的是( )
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】根据不等式的基本性质，结合特殊值法，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由 ，可得 ，所以 ，所以A正确；
对于B中，例如：若 ，此时 ，所以B不正确；对于C中，例如：若 ，此时 ，所以C不正确；
对于D中，例如：若 ，此时 ，所以D不正确.
故选：BCD.
三、填空题
10．（辽宁·高考真题）已知 且 ，则 的取值范围是 （答案用
区间表示）
【答案】（3,8）
【分析】根据不等式的性质，求得待求量的范围.
【详解】设 ，
则 ，解得 ，即 ，
又 且 ，
且 ，
.
故答案为：（3,8）
