文档内容
第 05 讲 三角函数（7 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析
2024年秋考14题 两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，函数的周期的求法
2024年春考17题 正弦函数的图象和性质
2023秋考4、15题 二倍角公式的应用、正弦函数的图象与三角函数的最值
2022秋考3题 三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用
2022春考4题 两角和的正切公式
2021年秋考15题 三角函数的单调性，以及恒成立问题
2021年春考12题 三角函数的最值
2020年秋考18题 三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用
2020年春考3、5、14题 正切函数的周期性和求法、三角函数的倍角公式、正弦函数的图象
2. 命题规律及备考策略
【备考策略】
三角恒等变换的“4大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
一、三角函数的运算
1．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
二、三角恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；(3)tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝.
知识讲解
考点 一．三角函数的周期性
1．（2024•静安区二模）函数y＝2sinx﹣cosx（x R）的最小正周期为（ ）
3π π
A．2 B． C ∈． D．
2 2
【分析π】先利用辅助角公式π进行化简，然后结合正弦函数的周期公式即可求解．
2 1
【解答】解：因为y＝2sinx﹣cosx=√5（ sinx− cosx）
√5 √5
1
=√5sin（x﹣ ），tan = ，
2
根据周期公式φ可得T＝φ 2 ．
故选：A．
π
【点评】本题主要考查了辅助角公式的应用，属于基础题．
2．（2024•奉贤区三模）函数y＝sinx+2cosx的最小正周期为 2 ．
【分析】先利用辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期公式即可求解．
π
【解答】解：y＝sinx+2cosx=√5sin（x+ ），其中tan ＝2，
根据正弦函数的性质可知，函数的最小正周期为2 ．
φ φ
故答案为：2 ．
π
【点评】本题主要考查了辅助角公式及正弦函数的性质的应用，属于基础题．
π
3．（2024•普陀区校级三模）函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0，0＜ ＜ ），设T为f（x）的最小正周
T √2 π
期，若f( )= ，则 ＝ ． ω φ ω φ π
4 2 4
2π φ
【分析】由T= ，代入函数解析式中，结合0＜ ＜ ，可得 的值．
ω
φ π φ 2π
【解答】解：函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0，0＜ ＜ ），最小正周期T= ，
ω
ω φ ω φ πT 2π √2
由f( )=sin(ω× +φ)= ，
4 4ω 2
π √2
∴sin( +φ)=cosφ= ，
2 2
π
又0＜ ＜ ，可得φ= ．
4
φ ππ
故答案为： ．
4
【点评】本题主要考查了正弦函数周期性的应用，属于基础题．
4．（2024•杨浦区校级三模）函数y＝sinxcosx的最小正周期是 ．
【分析】把函数y＝sinxcosx化为一个角的一个三角函数的形式，然后求出它的最小正周期．
π
1
【解答】解：函数y＝sinxcosx= sin2x，
2
2π
它的最小正周期是： = ．
2
故答案为： ． π
【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，二倍角的正弦，考查计算能力，是基础题．
π
考点 二．函数 y ＝ Asin （ x+ ）的图象变换
ω φ
π x
5．（2024•黄浦区校级模拟）要得到函数y=2cos(x− )的图象，只需将函数y=2sin 的图象上所有
12 3
的点（ ）
1 π
A．横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
3 12
π
B．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
12
1 5π
C．横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
3 12
5π
D．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
12
【分析】直接利用三角函数图象的平移变换和伸缩变换求出结果．
π x
【解答】解：要得到函数y=2cos(x− )的图象，只需将函数y=2sin 的图象上所有的点横坐标变
12 3
1 5π
为原来的 倍（纵坐标不变），得到 y＝2sinx 的图象，再向右平行移动 个单位长度得到
3 12
5π π
y=2sin(x+ )=2cos(x− )的图象．
12 12故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生运算能力，属于
基础题．
π π
6．（2024•浦东新区校级四模）将函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0）的图像向左平移 个单位长度后得
3 2
到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ω ） ω
1 1 1 1
A． B． ω C． D．
6 4 3 2
【分析】由题意，利用函数y＝Asin（ x+ ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，求得 的最小
值．
ω φ ω
π π
【解答】解：将函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0）的图像向左平移 个单位长度后得到曲线C，
3 2
ωπ ωπ ω
则C对应函数为y＝sin（ x+ + ），
2 3
ω ωπ π π
∵C的图象关于y轴对称，∴ + =k + ，k Z，
2 3 2
1 π ∈
即 ＝2k+ ，k Z，
3
ω ∈ 1
则令k＝0，可得 的最小值是 ，
3
故选：C． ω
【点评】本题主要考查函数y＝Asin（ x+ ）的图象变换规律，三角函数的图象和性质，属于中档题．
ω φ
π 1
7．（2024•普陀区校级模拟）将函数f(x)=sin(x− )图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，
6 2
再将其图象上的所有点向左平移 个单位，得到函数g（x）的图象关于y轴对称，则 的值可以为
π
（答案不唯一） ．（写出一个φ符合要求的答案即可） φ
3
π
【分析】由正弦型函数的平移与伸缩变换可得变换后的函数为g(x)=sin(2x+2φ− )，再利用正弦型
6
函数的对称性求 的值即可．
π 1 π
【解答】解：将正 φ 弦函数f(x)=sin(x− )图象上所有点的横坐标变为原来的 得到y=sin(2x− )，
6 2 6
π π
再将其图象上的所有点向左平移 个单位得到函数g(x)=sin[2(x+φ)− ]=sin(2x+2φ− )的图
6 6
象， φ
又函数g（x）的图象关于y轴对称，π π kπ π
则2φ− =kπ+ ，k Z，即φ= + ，k Z，
6 2 2 3
π ∈ ∈
故 的值可以为 （答案不唯一）．
3
φ π
故答案为： （答案不唯一）．
3
【点评】本题考查三角函数的图象变化的应用，属于中档题．
π π π
8．（2024•浦东新区校级模拟）设函数f（x）＝sin（ x− ）+sin（ x− ），其中0＜ ＜3，已知f（
6 2 6
）＝0． ω ω ω
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向
ω
π π 3π
左平移 个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[− ， ]上的最小值．
4 4 4
π
【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化函数f（x）为正弦型函数，根据f（ ）＝0求出 的值；
6
π 3π ω
（Ⅱ）写出f（x）解析式，利用平移法则写出g（x）的解析式，求出x [− ， ]时g（x）的最小值．
4 4
π π ∈
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝sin（ x− ）+sin（ x− ）
6 2
π π π ω ω
＝sin xcos −cos xsin −sin（ − x）
6 6 2
ω ω ω
√3 3
= sin x− cos x
2 2
ω ω
π
=√3sin（ x− ），
3
π ω π π
又f（ ）=√3sin（ − ）＝0，
6 6 3
π π ω
∴ − = k ，k Z，
6 3
解得ω＝6k+2 π， ∈
又0＜ ＜3，
ω
∴ ＝2；
ω
π
（ωⅡ）由（Ⅰ）知，f（x）=√3sin（2x− ），
3
π
将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2倍（纵坐标不变），得到函数y=√3sin（x−
3
）的图象；π π π
再将得到的图象向左平移 个单位，得到y=√3sin（x + − ）的图象，
4 4 3
π
∴函数y＝g（x）=√3sin（x− ）；
12
π 3π π π 2π
当x [− ， ]时，x− [− ， ]，
4 4 12 3 3
∈ ∈
π √3
∴sin（x− ） [− ，1]，
12 2
∈
π √3 3
∴当x=− 时，g（x）取得最小值是− ×√3=− ．
4 2 2
【点评】本题考查了三角恒等变换与正弦型函数在闭区间上的最值问题，是中档题．
考点 三．由 y ＝ Asin （ x+ ）的部分图象确定其解析式
ω φ
π
9．（2024•嘉定区校级模拟）将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜ )的图像向左平移 个单位长
2
π π θ
度得到函数g（x）的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为 ，则 ＝ ．
2 6
φ
【分析】结合正弦型函数图象的对称性与割补法，可知阴影部分是一个长为2，宽为 的矩形，从而可
π 2π π
得 = ，根据T= 求得 的值，再代入点（ ，1），即可得解． θ
4 ω 6
【解θ答】解：根据正弦型函ω数图象的对称性可知，阴影部分是一个长为2，宽为 的矩形，
π π
所以2 = ，即 = ， θ
2 4
1θ π θ
所以 T＝ = ，即T＝ ，
4 4
2θπ 2π π
所以 = = =2，f（x）＝sin（2x+ ），
T π
ωπ φ π π π
将点（ ，1）代入f（x）的解析中，有1＝sin（2• + ），则 + = + 2k ，k Z，
6 6 3 2
φ φ π ∈π
所以 = +2k ，k Z，
6
φ π π ∈ π
因为| |＜ ，所以 = ．
2 6
φ π φ
故答案为： ．
6
【点评】本题考查三角函数的图形与性质，熟练掌握正弦函数的对称性，理解 ， 的几何意义是解题
的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
ω φ
10．（2024•长宁区二模）某同学用“五点法”画函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0）在某一个周期内的图
像时，列表并填入了部分数据，如下表：
ω φ ω
x+ 0 π 3π 2
2 2
ω φ π π
x Δ π 5π 2π 11π
6 12 3 12
sin（ x+ ） 0 1 Δ ﹣1 0
（1）请
ω
在
φ
答题卷上将上表Δ处的数据补充完整，并直接写出函数y＝f（x）的解析式；
π π
（2）设ω=1，φ=0，g(x)=f2 (x)+f(x)f( −x)(x∈[0， ])，求函数y＝g（x）的值域．
2 2
【分析】（1）先求出 ， ，即可得函数解析式，再由五点作图法可将表格补充完整；
（2）求出g（x）解析式，再由正弦函数的性质可得函数值域．
ω φ
2π π 2π
【解答】解：（1）根据表中的数据，得T＝2（ − ）＝ = ，
3 6 ω
∴ ＝2， π
π π
又ω 2× + = ，
6 2
π φ
∴ = ，
6
φ π
∴函数的解析式为f（x）＝sin（2x+ ），
6
π π
令2x+ =0，解得x=− ，
6 12
5π
可得f（ ）＝sin ＝0，
12
数据补全如下表： π
x+ 0 π 3π 2
2 2
ω φ π π
x π π 5π 2π 11π
−
12 6 12 3 12sin（ x+ ） 0 1 0 ﹣1 0
（2）若
ω φ
＝1， ＝0，则f（x）＝sinx，
π
g（x）＝ω f2（x）φ +f（x）f（ −x）
2
π
＝sin2x+sinxsin（ −x）
2
＝sin2x+sinxcosx
1−cos2x 1
= + sin2x
2 2
√2 π 1 π
= sin（2x− ）+ ，x [0， ]，
2 4 2 2
∈
π π 3π π √2
∴2x− [− ， ]，sin（2x− ） [− ，1]，
4 4 4 4 2
∈ ∈
√2+1
∴g（x） [0， ]．
2
∈
【点评】本题主要考查五点作图法，三角函数的图像和性质，考查运算求解能力，属于中档题．
π
11．（2024•浦东新区三模）已知f（x）＝2sin（ x+ ），其中 ＞0，| |＜ ．
2
π ω φ ω φ
（1）若 = ，函数y＝f（x）的最小正周期T为4 ，求函数y＝f（x）的单调减区间；
4
φ π→ →
（2）设函数y＝f（x）的部分图像如图所示，其中 AB⋅AC=12，D(0，−√3)，求函数的最小正周期
T，并求y＝f（x）的解析式．
【分析】（1）由周期公式求出 ，可得f（x）解析式，再由正弦函数的单调性求解即可；
→ → T2
（2）由题意可得AB⋅AC=− ω +16，结合已知条件求出周期T，从而求出 ，将D(0，−√3)代入f
4
ω
（x）解析式中，结合 的取值范围可得 的值，从而可得f（x）的解析式．
π
【解答】解：（1）若φ= ，函数y＝f（φ x）的最小正周期T为4 ，
4
2π φ 1 π
则T= =4π，解得ω= ，
ω 21 π
故f(x)=2sin( x+ )．
2 4
π 1 π 3π
令2kπ+ ≤ x+ ≤2kπ+ (k∈Z)，
2 2 4 2
π 5π
解得4k + ≤x≤4k + （k Z），
2 2
π π π ∈ 5π
解得单调减区间为[4kπ+ ，4kπ+ ](k∈Z)．
2 2
T T
（2）由题可得x −x = ，x −x = ，y ﹣y ＝4，y ﹣y ＝4，
A B 2 C A 2 A B C A
→ T → T
则AB=(− ，−4)，AC=( ，−4)，
2 2
→ → T2
因此AB⋅AC=− +16，
4
→ →
又 AB⋅AC=12 ，得T＝4．
2π π
由T= =4，得ω= ．
ω 2
再将D(0，−√3)代入y＝f（x），即2sinφ=−√3．
π π
由|φ|＜ ，解得φ=− ．
2 3
π π
因此y＝f（x）的解析式为f(x)=2sin( x− )．
2 3
【点评】本题主要考查由y＝Asin（ x+ ）的部分图象确定其解析式，考查正弦函数的性质，考查运算
求解能力，属于中档题．
ω φ
ω ω ω
12．（2024•松江区二模）设f(x)=sin2 x+√3cos xsin x(ω＞0)，函数y＝f（x）图像的两条相
2 2 2
邻对称轴之间的距离为 ．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
π
3
（2）在△ABC中，设角A、B及C所对边的边长分别为a、b及c，若a=√3，b=√2，f(A)= ，求角
2
C．
【分析】（1）先对函数化简，然后由函数y＝f（x）图像相邻两条对称轴之间的距离为 ，可求周期，
进而可求 ，即可求解函数解析式；
π
（2）先由已知求出A，结合正弦定理求出B，然后结合三角形内角和即可求解C．
ω
ωx ωx ωx
【解答】解：f（x）＝sin2 +√3sin cos
2 2 2
√3 1 1
= sinωx− cosωx+
2 2 2π 1
=sin(ωx− )+ ，
6 2
因为函数y＝f（x）的图像相邻两条对称轴之间的距离为 ，
所以T＝2 ，
π
2π
所以
=π2π，得
＝1，
ω
ωπ 1
所以f(x)=sin(x− )+ ；
6 2
3 π 1 3
（2）由f(A)= ，得f(A)=sin(A− )+ = ，
2 6 2 2
π
所以sin(A− )=1，
6
π π 5π
因为A （0， ），则A− [− ， ]，
6 6 6
∈ π ππ 2∈π
所以A− = ，解得A= ，
6 2 3
因为a=√3，b=√2，
√3 √2
a b = √2
由正弦定理得 = π sinB，得sinB= ，
sinA sinB sin 2
3
π
因为a＞b，所以B∈(0， )，
2
π
所以B= ，
4
π
C=π−A−B= ．
12
【点评】本题主要考查了二倍角公式，辅助角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦定理在求解三角
形中的应用，属于中档题．
考点 四．三角函数的最值
π 5π π
13．（2024•崇明区二模）设函数f(x)=sin(x− )，若对于任意α∈[− ，− ]，在区间[0，m]上总
6 6 2
存在唯一确定的 ，使得f（ ）+f（ ）＝0，则m的最小值为（ ）
π π 7π
A． β B． α β C． D．
6 2 6
ππ 5π π
【分析】由三角函数图象的单调性得：因为 f(x)=sin(x− )，x [− ，− ]，所以 x
6 6 2
∈π 2π √3 √3
− ∈[−π，− ]，所以f（x） [− ，0]，即f（ ） [− ，0]，
6 3 2 2
∈ α ∈
由三角函数的最值得：在区间[0，m]上总存在唯一确定的 ，使得f（ ）+f（ ）＝0，则在区间[0，m]
√3 2π 1
上总存在唯一确定的 ，使得f（ ） [0， ]，由函数f（β x）在[0，α ]为增β函数，值域为：[− ，
2 3 2
β β ∈
π π √3 π π
1]，又f（ ）＝sin = ，即m≥ ，故m的最小值为： ，得解．
2 3 2 2 2
π 5π π
【解答】解：因为f(x)=sin(x− )，x [− ，− ]，
6 6 2
π 2π ∈
所以x− ∈[−π，− ]，
6 3
√3 √3
所以f（x） [− ，0]，即f（ ） [− ，0]，
2 2
∈ α ∈
由在区间[0，m]上总存在唯一确定的 ，使得f（ ）+f（ ）＝0，
√3
β α β
则在区间[0，m]上总存在唯一确定的 ，使得f（ ） [0， ]，
2
β β ∈
2π 1 π π √3
由函数f（x）在[0， ]为增函数，值域为：[− ，1]，又f（ ）＝sin = ，
3 2 2 3 2
π π
即m≥ ，故m的最小值为： ，
2 2
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数图象的单调性，三角函数的最值，属中档题．
2 2 π
14．（2024•嘉定区二模）已知f(x)= + ，x∈(0， )，则函数y＝f（x）的最小值为 4√2
sinx cosx 2
．
π
【分析】t＝sinx+cosx=√2sin（x+ ），可求t的范围，然后结合同角基本关系对已知函数进行化简，
4
然后结合函数的单调性即可求解．
2 2 2(sinx+cosx)
【解答】解：因为f（x）= + = ，
sinx cosx sinxcosx
π
令t＝sinx+cosx=√2sin（x+ ），
4
π
因为0＜x＜ ，
2
π π 3π
所以 ＜x+ ＜ ，
4 4 4
√2 π
所以 ＜sin(x+ )≤1，
2 4
故1＜t≤√2，由t＝sinx+cosx可得，t2＝1+2sinxcosx，
t2−1
则sinxcosx= ，
2
2t 4t 4
= = =
原函数可化为g（t） t2−1 t2−1 1，
t−
2 t
1
因为y＝t− 在（1，√2]上单调递增，
t
1 √2
故t=√2时，y＝t− 取得最大值 ，此时g（t）取得最小值4√2．
t 2
故答案为：4√2．
【点评】本题主要考查了同角基本关系，辅助角公式的应用，还考查了函数单调性在函数最值求解中的
应用，属于中档题．
15．（2024•浦东新区校级模拟）已知a＞0，若函数f（x）＝sinx﹣acosx的最大值为2，则a＝ √3 ．
【分析】由辅助角公式得函数最大值，进而列方程即可求解．
1 a
【解答】解：由题意f(x)=sinx−acosx=√a2+1sin(x−φ)，其中cosφ= ，sinφ=
，
√a2+1 √a2+1
所以f(x) =√a2+1=2，
max
因为a＞0，所以a=√3．
故答案为：√3．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能
力，属于中档题．
π π
16．（2024•浦东新区校级模拟）记函数y=4sin(2x+ )在[t，t+ ]上的最大值为M，最小值为m，
3 6 t t
则当t R时，M﹣m 的最小值为 4−2√3 ．
t t
π π 1 π
【分析 ∈ 】求出函数的最小正周期，得到t+ −t= 为最小正周期的 ，数形结合得到当[t，t+ ]关于
6 6 6 6
π
y=4sin(2x+ )的某条对称轴对称时M﹣m 取得最小值，不妨令M＝4，得到t＝k ，k Z，m =2√3
3 t t t t
，得到答案． π ∈
π 2π
【解答】解：y=4sin(2x+ )的最小正周期T= =π，
3 2
π π 1
由于t+ −t= ，为最小正周期的 ，
6 6 6π π
要想M﹣m 取得最小值，则y=4sin(2x+ )在[t，t+ ]上不单调，
t t 3 6
π π
由对称性可知，当[t，t+ ]关于y=4sin(2x+ )的某条对称轴对称时，
6 3
π
t+t+
M﹣m 取得最小值，其对称轴为 6 π ，
t t =t+
2 12
π π
所以当x=t+ 时，y=4sin(2x+ )取得最值±4，
12 3
π π
不妨令M＝4，则4sin(2t+ + )=4，解得t＝k ，k Z，
t 6 3
π π π ∈
故m =4sin(2t+ )=4sin(2kπ+ )=2√3，
t 3 3
故M﹣m 的最小值为4−2√3．
t t
故答案为：4−2√3．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，属中档题．
考点 五．两角和与差的三角函数
π
17．（2024•长宁区校级三模）若函数f(x)=asinx−√3cosx的一个零点是 ，则函数y＝f（x）的最大值
3
为 2 ．
【分析】由两角和与差的三角函数，结合三角函数的性质求解．
π
【解答】解：函数f(x)=asinx−√3cosx的一个零点是 ，
3
√3 √3
则 a− =0，
2 2
即a＝1，
π
即f(x)=sinx−√3cosx=2sin(x− )，
3
则f（x） [﹣2，2]，
则函数y＝f（x）的最大值为2．
∈
故答案为：2．
【点评】本题考查了两角和与差的三角函数，重点考查了三角函数的性质，属中档题．
π 1 π 2√2
18．（2024•黄浦区校级三模）若θ∈(0， )，cosθ= ，则cos(θ+ )= − ．
2 3 2 3
2√2
【分析】利用同角三角函数关系得sinθ= ，再结合诱导公式即可得到答案．
3π 1 √ 1 2 2√2 π 2√2
【解答】解：∵θ∈(0， )，cosθ= ，∴sinθ= 1−( ) = ，∴cos(θ+ )=−sinθ=− ．
2 3 3 3 2 3
2√2
故答案为：− ．
3
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
π 1
19．（2024•宝山区二模）已知tan ＝3，则tan(α− )= ．
4 2
【分析】由已知结合两角差的正α切公式进行化简即可求解．
【解答】解：因为tan ＝3，
π tanα−1 3−1 1
所以tan(α− )= α = = ．
4 1+tanα 1+3 2
1
故答案为： ．
2
【点评】本题主要考查了两角差的正切公式的应用，属于基础题．
5π 2
20．（2024•杨浦区校级三模）已知tan(θ+ )=− ，则tan ＝ ﹣ 5 ．
4 3
【分析】根据两角和的正切公式可求出结果． θ
5π
tanθ+tan
5π 4 tanθ+1 2
【解答】解：因为tan(θ+ )= = =− ，
4 5π 1−tanθ 3
1−tanθ⋅tan
4
所以tan ＝﹣5．
故答案为：﹣5．
θ
【点评】本题主要考查了两角和的正切公式的应用，属于基础题．
考点 六．二倍角的三角函数
1 7
21．（2024•杨浦区二模）已知sin = ，则cos2 ＝ ．
3 9
【分析】把所求的式子利用二倍α角的余弦函数α公式化为关于sin 的式子，将sin 的值代入即可求出值．
1
【解答】解：因为sin = ， α α
3
α 1 2 7
所以cos2 ＝1﹣2sin2 ＝1﹣2×( ) = ．
3 9
α α
7
故答案为： ．
9【点评】通常，在高考题中，三角函数多会以解答题的形式出现在第一个解答题的位置，是基础分值的
题目，学生在解答三角函数问题时，往往会出现，会而不对的状况．所以，在平时练习时，既要熟练掌
握相关知识点，又要在解答时考虑更为全面．这样才能熟练驾驭三角函数题．
2 1
22．（2024•浦东新区校级模拟）若sinx=− ，则cos2x＝ ．
3 9
【分析】由已知利用二倍角公式化简所求即可计算得解．
2
【解答】解：∵sinx=− ，
3
2 1
∴cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2×（− ）2= ．
3 9
1
故答案为： ．
9
【点评】本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
3 7
23．（2024•虹口区二模）若sinx=− ，则cos2x＝ ．
5 25
【分析】根据二倍角公式求解即可．
3
【解答】解：因为sinx=− ，
5
3 2 7
所以cos2x＝1﹣2sin2x＝1﹣2×(− ) = ．
5 25
7
故选： ．
25
【点评】本题考查了二倍角公式应用问题，是基础题．
4
24．（2024•虹口区模拟）若tan ＝2，则tan2 ＝ − ．
3
【分析】由题意利用二倍角的θ正切公式即可θ求解．
【解答】解：因为tan ＝2，
2tanθ 4
所以tan2θ= θ =−
．
1−tan2θ 3
4
故答案为：− ．
3
【点评】本题主要考查了二倍角的正切公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
考点七 ．三角函数中的恒等变换应用1
25．（2024•闵行区三模）对于函数f(x)=√3sinxcosx+sin2x−
，给出下列结论：
2
5π
（1）函数y＝f（x）的图像关于点( ，0)对称；
12
π 2π 1
（2）函数y＝f（x）在区间[ ， ]上的值域为[− ，1]；
6 3 2
π
（3）将函数y＝f（x）的图像向左平移 个单位长度得到函数y＝﹣cos2x的图像；
3
π
（4）曲线y＝f（x）在x= 处的切线的斜率为1．
4
则所有正确的结论是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3）
π
【分析】由三角恒等变化得f（x）＝sin（2x− ），
6
5π
对于（1），验证f（ ）＝0是否成立即可；
12
对于（2），由三角函数的性质，求出函数的值域即可；
对于（3），由函数的平移及诱导公式即可判断；
π
对于（4），验证f'（ ）＝1即可．
4
1 √3 1 π
【解答】解：因为f(x)=√3sinxcosx+sin2x− = sin2x− cos2x＝sin（2x− ），
2 2 2 6
5π 5π π 2π √3 5π
（1）因为f（ ）＝sin（ − ）＝sin = ≠0，所以函数y＝f（x）的图像不关于点( ，0)
12 6 6 3 2 12
对称，故错误；
π 2π π π 7π π 1
（2）当x [ ， ]时，2x− [ ， ]，所以sin（2x− ） [− ，1]，故正确；
6 3 6 6 6 6 2
∈ ∈ π ∈ π π π
（3）将函数y＝f（x）的图像向左平移 个单位长度得y＝sin[2（x+ ）− ]＝sin（2x+ ）＝cos2x，
3 3 6 2
故错误；
π π π π π
（4）因为f（x）＝sin（2x− ），所以f′（x）＝2cos（2x− ），所以f'（ ）＝2cos（ − ）＝
6 6 4 2 6
π
2sin =1，
6
π
即曲线y＝f（x）在x= 处的切线的斜率为1，故正确．
4
故说法正确的有（2）、（4）．
故选：C．
【点评】本题考查了三角恒等变化、三角函数的性质及导数的几何意义，属于中档题．1
26．（2024•浦东新区校级四模）已知函数f(x)= (sin2x−cos2x)−√3sinxcos(π−x)．
2
（1）求f（x）的单调递增区间；
A π √3
（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f( + )= ，b=2c−√2a，求角B
2 4 2
的大小．
【分析】（1）利用二倍角公式，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解；
（2）由已知先求出A，然后结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解B．
1 √3 1 π
【解答】解：（1）由题意得，f(x)=− cos2x+√3sinxcosx= sin2x− cos2x=sin(2x− )，
2 2 2 6
π π π π π
令− +2kπ≤2x− ≤ +2kπ，k∈Z，得− +kπ≤x≤ +kπ k z，
2 6 2 6 3
π π ∈
所以f（x）的单调递增区间为[− +kπ， +kπ](k∈Z)；
6 3
A π π √3
（2）由（1）知f( + )=sin(A+ )= ，又A （0， ），
2 4 3 2
∈ π
π π 4π
所以A+ ∈( ， )，
3 3 3
π
所以A= ，
3
由正弦定理及b=2c−√2a，得sinB＝2sinC−√2sinA，
2π √6 √6
则sinB=2sin( −B)− =√3cosB+sinB− ，
3 2 2
√2
整理得cosB= ，
2
2π
又B∈(0， )，
3
π
所以B= ．
4
【点评】本题主要考查了二倍角公式，和差角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦函数性质的应用，
正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
1
27．（2024•嘉定区校级模拟）已知函数f(x)=sinxcosx−sin2x+
．
2
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；π
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足bcos2A＝bcosA﹣asinB，且0＜A＜ ，
2
求角A的值，进而再求f（B）的取值范围．
【分析】（Ⅰ）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用
整体思想求出函数的单调区间．
（Ⅱ）首先利用正弦定理求出相应的角，进一步利用三角函数的关系式求出结果．
1 1 1
【解答】解：（Ⅰ）由题知f(x)= sin2x− (1−cos2x)+ ，
2 2 2
1 1 √2 π π
= sin2x+ cos2x= (sin2xcos +cos2xsin )
2 2 2 4 4
√2 π
= sin(2x+ )，
2 4
π π π
由2kπ− ≤2x+ ≤2kπ+ （k Z），
2 4 2
3π π ∈
解得kπ− ≤x≤kπ+ ，
8 8
3π π
所以f（x）单调递增区间为[kπ− ，kπ+ ]（k Z）．
8 8
（Ⅱ）由正弦定理得sinBcos2A＝sinBcosA﹣sinAsinB ∈，
因为在三角形中0＜B＜ ，所以sinB≠0，
所以cos2A＝cosA﹣sinA，即cos2A﹣sin2A＝cosA﹣sinA，
π
所以（cosA﹣sinA）（cosA+sinA﹣1）＝0，
当cosA＝sinA时，
π
A= ；
4
当cosA+sinA＝1时，
π
A= ．
2
π
由于0＜A＜ ，
2
π
所以A= ．
4
3
则B+C= π．
4
3
则0＜B＜ π．
4
π π 7π
又 ＜2B+ ＜ ，
4 4 4π
所以−1≤sin(2B+ )≤1．
4
√2 π
由f(B)= sin(2B+ )，
2 4
√2 √2
则f（B）的取值范围是[− ， ]．
2 2
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理的应
用．
28．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数f（x）＝cos2x﹣2sin2x﹣1．
（1）当x [0， ]时，求f（x）的增区间；
（2）在△ABC中，角A所对边a=√13，角B所对边b＝5，若f（A）＝﹣1，求△ABC的面积．
∈ π
【分析】（1）利用二倍角公式得到f（x）＝2cos2x﹣2，利用换元法求出单增区间；
π
（2）先求出A= ，利用余弦定理求出c，即可求出三角形的面积．
6
【解答】解：（1）f（x）＝cos2x﹣2sin2x﹣1＝2cos2x﹣2，
令t＝2x，则由x [0， ]，可得t [0，2 ]，
因为y＝cost在t [ ，2 ]单调递增，
∈ π ∈ π
π
所以f（x）＝2co ∈ s2 π x﹣2 π在x∈[ ，π]上单调递增，
2
π
即f（x）的单调递增区间为[ ，π]；
2
1
（2）由f（A）＝﹣1，可得cos2A= ，
2
π 5π
因为A （0， ），所以2A （0，2 ），故2A= 或2A= ，
3 3
∈5π π 5π ∈ π
当2A= 时，A= ，
3 6
因为a=√13，b=5，则a＜b，所以A＜B，
5π
即B＞ ，不符合三角形内角和定理，舍去，
6
π π
所以在△ABC中，2A= ，即A= ，
3 6
π
由余弦定理及A= ，a=√13，b=5可得：
6
√3
a2＝b2+c2﹣2bccosA，即13=25+c2−2×5×c× ，
2
解得c=√3或c=4√3，1 1 1 5√3
当c=√3时，S = bcsinA= ×5×√3× = ，
△ABC 2 2 2 4
1 1 1
当c=4√3时，S = bcsinA= ×5×4√3× =5√3，
△ABC 2 2 2
5√3
所以△ABC的面积为 或5√3．
4
【点评】本题考查三角恒等变换及三角函数的图象与性质，考查解三角形，属中档题．
一．选择题（共3小题）
1．（2024•黄浦区二模）函数 是
A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为 的偶函数
C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数
【分析】利用二倍角公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的奇偶性和周期性，得出结论．
【解答】解： 函数 ，
故该函数的为奇函数，且最小正周期为 ，
故选： ．
【点评】本题主要考查二倍角公式、诱导公式的应用，正弦函数的奇偶性和周期性，属于基础题．
2．（2024•闵行区二模）已知 ，集合 ， ， ， ， ，
， ， ， ．
关于下列两个命题的判断，说法正确的是
命题①：集合 表示的平面图形是中心对称图形
命题②：集合 表示的平面图形的面积不大于
A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题
C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题
【分析】根据函数的奇偶性、判断命题①，再结合对称性计算阴影部分的面积判断命题②．
【解答】解：对于①， ，集合 ，显然该函数为奇函数，所以 ， 都是奇函
数，则曲线 必关于 对称，即集合 表示的平面图形是中心对称图形，①正确；
对于②，如图：
阴影部分是由 与 围成的正方形的一半，故面积为 ，②错误．
故选： ．
【点评】本题考查三角函数的奇偶性与对称性，属于中档题．
3．（2024•虹口区二模）设 ，将函数 的图像沿 轴向右平移 个单位，得
到函数 的图像，则
A．函数 是偶函数
B．函数 的图像关于直线 对称
C．函数 在 上是严格增函数
D．函数 在 上的值域为
【分析】先确定 的解析式，再根据正弦函数的性质逐项判断即可．
【解答】解： ，把函数 的图象沿 轴向右平移 个单位，
得到函数 的图象，则 ，是奇函数， 项错误；
当 ，即 ， 其图象关于直线 对称， 项错误；
当 ，即 ， 是减函数，故
在 为减函数， 项错误，时， ，函数 的值域为 ， ，故选项 正确．
故选： ．
【点评】本题考查了三角函数图象的平移、三角函数图象的性质及三角函数的值域，属于中档题．
二．填空题（共11小题）
4．（2024•嘉定区校级模拟）若 ，则 的值是 ．
【分析】由已知直接利用诱导公式求解．
【解答】解：由 ，
得 ，则 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．
5．（2024•闵行区校级三模）函数 的最小正周期为 ．
【分析】由已知结合正切函数的周期公式即可求解．
【解答】解：根据正切函数的周期公式可知， ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了正切函数周期公式的应用，属于基础题．
6．（2024•闵行区二模）始边与 轴的正半轴重合的角 的终边过点 ，则 ．
【分析】结合三角函数的诱导公式，以及任意角的三角函数的定义，即可求解．
【解答】解：始边与 轴的正半轴重合的角 的终边过点 ，
则 ，
故 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查三角函数的诱导公式，以及任意角的三角函数的定义，属于基础题．
7．（2024•松江区二模）已知点 的坐标为 ，将 绕坐标原点 逆时针旋转 至 ，则点 的
坐标为 ， ．
【分析】由题意可求 ， ，利用任意角的三角函数的定义即可求解．【解答】解：因为点 的坐标为 ，即 ，
所以 ，
可得 ， ，
所以点 的坐标为 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题考查诱导公式的应用，考查三角函数的定义，比较基础．
8．（2024•青浦区校级模拟）函数 的最小正周期为 ．
【分析】利用正弦型函数的周期公式以及绝对值函数的性质可求得函数 的最小正周期．
【解答】解：因为 的最小正周期为 ，
所以 的最小正周期为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了三角函数图象的变换及周期的求解，属于基础题．
9．（2024•黄浦区校级三模）函数 的部分图象如图，下列结论正确的序
号是 ②③ ．
① 的最小正周期为6；
② ；
③ 的图象的对称中心为 ；
④ 的一个单调递减区间为 ．
【分析】首先根据图象信息，找出周期，从而得出 ，进而求出 ，再根据三角函数的图象和性质进行判
断即可．【解答】解：由图可得 ，所以①错误；
因为 ，所以 ．因为点 在 的图象上，
所以 即 ．
因为 ，所以 ，所以 ，所以②正确；
令 得 ，
所以 的图象的对称中心为 ，所以③正确；
令 得 ，
令 得 ，令 得 ，
所以 ， ，所以④错误．
综上，正确的序号是②③．
故答案为：②③．
【点评】本题以三角函数为背景，考查正弦型函数的图象与性质，属基础题．
10．（2024•浦东新区校级四模）已知 ， ，则 ．
【分析】由已知结合半角公式进行化简即可求解．
【解答】解：因为 ， ，
所以 ， ，
则 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了半角公式的应用，属于基础题．
11．（2024•松江区校级模拟）已知点 的坐标为 ，将 绕坐标原点 逆时针旋转 至 ，则点
的坐标为 ， ．
【分析】结合三角函数的定义可先求出经过点的角的三角函数值，然后结合两角和的正弦及余弦公式及三
角函数定义可求．【解答】解；设点 的坐标 ，则 ，
设 为 终边上的一点，则 ， ，
则 ， ，
即 ， ，
故点 的坐标为 ， ．
故答案为： ， ．
【点评】本题主要考查了三角函数的定义及两角和的正弦及余弦公式，属于基础题．
12．（2024•黄浦区校级三模）函数 ， 的零点是 ．
【分析】直接利用余弦函数的图象和性质求出结果．
【解答】解：由于 ，当 时， ，
故函数的零点为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的知识点：余弦函数的性质，函数的零点和方程的根的关系，主要考查学生的运算能力，
属于基础题．
13．（2024•黄浦区二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段 ， 与分别
以 ， 为直径的半圆弧组成）表示一条步道．其中的点 ， 是线段 上的动点，点 为线段 ，
的中点，点 ， 在以 为直径的半圆弧上，且 ， 均为直角．若 百米，则此步
道的最大长度为 百米．
【分析】因为步道的长度是两个半圆周长 两条线段长，设半圆直径为 ，求出两条线段的长，即可计算
步道的长，再求最大值即可．
【解答】解：根据题意知，步道的长度为两个半圆周长 两条线段长，设半圆直径为 ， ，连接 ，因为 ，所以 ，
所以步道长为 ， ．
设 ， ，则 ，
所以 ， ，
因为 ， ，所以当 时， 取得最大值 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了直线与圆的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．
14．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数 在 上恰有两个零点，则实数
的取值范围为 ．
【分析】令 ，对应正弦函数的零点问题即可得．
【解答】解：令 ， ，
， ，
在 上恰有两个零点，
故 ， ，
即实数 的取值范围为 ．
故答案为： ．
【点评】本题考查三角函数的图象和性质，属于中档题．
三．解答题（共1小题）15．（2024•浦东新区校级四模）已知函数 ．
（1）求函数 的在 ， 上单调递减区间；
（2）若函数 在区间 ， 上有且只有两个零点，求 的取值范围．
【分析】（1）结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解；
（2）由已知结合函数零点存在条件即可求解．
【解答】解：（1）
，
令 ， ，
则 ， ，
故函数 的在 ， 上单调递减区间为 ；
（2）令 ， ，则 ， ，
若函数 在区间 ， 上有且只有两个零点，则 ，
故 的范围为 ．
【点评】本题主要考查了二倍角公式及辅助角公式的应用，还考查了正弦函数的单调性及零点存在条件的
应用，属于基础题．
一．选择题（共3小题）
π
1．（2024•徐汇区模拟）已知函数y＝f（x），其中f（x）＝2sin（ x+ ），实数 ＞0，下列选项中正确
6
的是（ ） ω ω
5
A．若 ＝2，函数y＝f（x）关于直线x= π对称
12
ω 1
B．若ω= ，函数y＝f（x）在[0， ]上是增函数
2
π 4
C．若函数y＝f（x）在[﹣ ，0]上最大值为1，则0＜ω≤
3
πD．若 ＝1，则函数y＝|f（x）|的最小正周期是2
5
【分析ω】求出f（ π）即可判断选项A；由正弦π函数的单调性即可判断B；由正弦函数的性质可得关
12
于 的不等式，从而可求出 的取值范围，即可判断C；判断|f（x+ ）|＝|f（x）|，即可判断D．
π
【解ω答】解：对于A，若 ＝ω 2，则f（x）＝2sin（2x+ ）， π
6
5 5 ω π
f（ π）＝2sin（2× π+ ）＝2sin ＝0，不是最值，
12 12 6
5 π
所以f（x）不关于直线x= π对称，故A错误；
12
1 x π
对于B，若ω= ，则f（x）＝2sin（ + ），
2 2 6
x π π 2π π 2π
当x [0， ]时， + [ ， ]，因为正弦函数y＝sinx在[ ， ]上不单调，
2 6 6 3 6 3
所以∈函数π y＝f（x）在[ ∈ 0， ]上不是增函数，故B错误；
π π π
对于C，x [﹣ ，0]，则 π x+ [﹣ + ， ]，
6 6 6
因为函数y ∈＝f（π x）在[﹣ω，0]上∈最大π值ω为1，
π 7π 4
所以﹣ + ≥− ，解π得0＜ ≤ ，故C正确；
6 6 3
πω ω π
对于D，若 ＝1，函数y＝|f（x）|＝|2sin（x+ ）|，
6
ω π π π
因为|f（x+ ）|＝|2sin（x+ + ）|＝|﹣2sin（x+ ）|＝|2sin（x+ ）|＝|f（x）|，
6 6 6
所以函数y π＝|f（x）|的最小π正周期不是2 ，故D错误．
故选：C．
π
【点评】本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
2．（2024•嘉定区校级模拟）已知函数f（x）＝Asin（ x+ ）+B（A＞0， ＞0，0＜ ＜ ）的部分图像
π
如图所示，且f（x）的图像关于点( ，2)中心对称ω，则φ f（ ）＝（ ω） φ π
12
φ
A．4 B．3 C．2 D．0
【分析】根据函数图像的最低点及对称中心的位置得到 A，B的值，根据点（0，3）得出 的值，由五
点作图法可得 ＝2，即可得出答案．
φ
ω【解答】解：由图可知，A＝B＝2，
又因为f（x）过点（0，3），
1
所以f（0）＝2sin（0+ ）+2＝3，解得sinφ= ，
2
又因为0＜ ＜ ，且（φ 0，3）在f（x）的一个减区间上，
5π
所以φ= φ ， π
6
π 5π
根据五点作图法可知， ×ω+ =π，解得 ＝2，
12 6
5π ω5π 5π 5π
∴f(x)=2sin(2x+ )+2，f(φ)=2sin(2× + )+2=2sin +2=4．
6 6 6 2
故选：A．
【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
3．（2024•闵行区校级二模）已知实数a，b （0，1），且满足cosa ＜cosb ，则下列关系式成立的是（
）
∈ π π
1 1
A．lna＜lnb B．sina＜sinb C． ＜ D．a3＜b3
a b
【分析】根据余弦函数的性质得到0＜b＜a＜1，在根据对数函数的性质判断A，正弦函数的性质判断
B，不等式的性质判断C，幂函数的性质判断D．
【解答】解：∵y＝cosx在（0， ）上单调递减，
又a，b （0，1），∴a ，b （0， ），又cosa ＜cosb ，
π
∴a ＞b ，∴0＜b＜a＜1，
∈ π π∈ π π π
对于A：因为y＝lnx在定义域上单调递增，所以lnb＜lna，故A错误；
π π
π
对于B：因为y＝sinx在(0， )上单调递增，所以sinb＜sina，故B错误；
2
1 1
对于C：因为0＜b＜a＜1，所以 ＜ ，故C正确；
a b
对于D：因为y＝x3在定义域上单调递增，所以b3＜a3，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的性质，对数函数的性质，幂函数的性质，化归转化思想，属中档题．
二．填空题（共2小题）
π
4．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数f(x)=cos2x⋅tan(x− )．则函数f（x）的值域为 （﹣ 2 ，
4
0] ．
【分析】首先利用三角函数的关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的值
域．
【 解 答 】 解 ：π sinx−cosx
f(x)=cos2x⋅tan(x− )=(cosx−sinx)(cosx+sinx)⋅ =−(cosx−sinx) 2= 2sinxcosx﹣
4 cosx+sinx
1＝sin2x﹣1
3 3
因为x≠kπ+ π，k∈Z，所以2x≠2kπ+ π，k∈Z，所以sin2x≠﹣1，
4 2
所以，函数f（x）的值域为（﹣2，0]．
故答案为：（﹣2，0]．
【点评】本题考查的知识点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，
属于中档题．
5．（2023•嘉定区校级三模）下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬
在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的^AB，^AC，^BD，C^D都是以O为圆心的圆弧，CMNK
是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，MN⊥OB，KN⊥OB．记 ＝
∠AOB， ＝∠AOC， ＝∠BOD，δ＝∠COD，给出四个关系式，其中成立的等式的序号有 ①③④
α
．
β γ
①sin ＝sin cosδ
②cos ＝cos cosδ；
β γ
sinδ
③sin
β= γ；
cosβ
α cosγcosδ
④cos = ．
cosβ
α
【分析】根据直角三角形的边角关系分别计算 ， ， ，δ的正弦值和余弦值，然后根据等量关系进行
判断即可．
α β γ
【解答】解：∵四边形CMNK是矩形，∴MN⊥KN，
∵MN⊥OB，KN∩OB＝N，KN，OB 平面AOB，
∴MN⊥平面AOB，
⊂
∵四边形CMNK是矩形，∴KC∥MN，
∴KC⊥KN，而KC⊥OB，∵KN∩OB＝N，KN，OB 平面AOB，
∴KC⊥平面AOB，
⊂
∵KN⊥OB，MN⊥KN，KN∥CM，
故CM⊥OB，MN⊥CM，
∵MN∩OB＝N，MN，OB 平面MON，
∴CM⊥平面MON，
⊂
∵OD 平面MON，
∴CM⊥OD，同理MN⊥OB，KC⊥OA．
⊂
KC MN KO
在Rt△COK中，有sin ＝sin∠AOC= = ，cos ＝cos∠AOC= ，
OC OC OC
β MN β ON
在RtΔOMN中，有sin ＝sin∠DOB= ，cos ＝cos∠DOB= ，
OM OM
γ OM γ
在Rt△OMC中，有cosδ＝sin∠DOC= ，
OC
MN OM MN
则sin cosδ= ⋅ = =sin ，即sin ＝sin cosδ，故①正确，
OM OC OC
γ ON OM ON KO β β γ
cos cosδ= • = ≠ ，即cos ＝cos cosδ不一定成立，②错误．
OM OC OC OC
γ KN β MCγ
在Rt△KON中，有sin ＝sin∠AOB= = ，
OK OK
α KO
在Rt△COK中，有cos ＝cos∠AOC= ，
OC
MC β sinδ
故sin cos = =sinδ，故sin = ；故③正确，
OC cosβ
α β α ON
在Rt△KON中，有cos ＝cos∠AOB= ，
OK
α ON
在Rt△OMN中，有cos ＝cos∠DOB= ，
OM
ON OγM
×
cosγcosδ OM OC ON
故 = = = cos ，故④正确，
cosβ KO KO
OC α
若cos ＝cos cosδ不成立，否则由④的结论可得cos ＝1，这样 为锐角矛盾．
故答案为：①③④．
β γ α α
【点评】本题主要考查空间立体几何中的边角关系的判断，利用直角三角形的边角关系进行计算是解决
本题的关键，是中档题．
一．选择题（共4小题）1．（2020•上海）“ ”是“ ”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【分析】容易看出，由 可得出 ，而反之显然不成立，从而可得出“ ”是“
”的充分不必要条件．
【解答】解：（1）若 ，则 ，
“ “是“ “的充分条件；
（2）若 ，则 ，得不出 ，
“ ”不是“ ”的必要条件，
“ ”是“ ”的充分非必要条件．
故选： ．
【点评】本题考查了充分条件、必要条件和充分不必要条件的定义， ，正弦函数的图象，
考查了推理能力，属于基础题．
2．（2024•上海）下列函数f（x）的最小正周期是2 的是（ ）
A．sinx+cosx B．sinxcosx
π
C．sin2x+cos2x D．sin2x﹣cos2x
【分析】利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，化简选项表达式，求解函数的周期即可．
【解答】解：对于A，sinx+cosx＝ sin（x+ ），则T＝2 ，满足条件，所以A正确．
π
对于B，sinxcosx＝ sin2x，则T＝ ，不满足条件，所以B不正确．
对于C，sin2x+cos2x＝1，函数是常函数，不存在最小正周期，不满足条件，所以C不正确．
π
对于D，sin2x﹣cos2x＝﹣cos2x，则T＝ ，不满足条件，所以D不正确．
故选：A．
π
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，函数的周期的求法，是基础题．
3．（2023•上海）已知 ，记 在 ， 的最小值为 ，在 ， 的最小值为 ，则下列
情况不可能的是
A． ， B． ， C． ， D． ，
【分析】由题意可知 ，对 分别求值，排除 ，即可得答案．
【解答】解：由给定区间可知， ．
区间 ， 与区间 ， 相邻，且区间长度相同．取 ，则 ， ，区间 ， ，可知 ， ，故 可能；
取 ，则 ， ， ，区间 ， ， ，可知 ， ，故 可能；
取 ，则 ， ， ，区间 ， ， ，可知 ， ，故 可能．
结合选项可得，不可能的是 ， ．
故选： ．
【点评】本题考查正弦函数的图象与三角函数的最值，训练了排除法的应用，取特值是关键，是中档题．
4 ． （ 2021• 上 海 ） 已 知 ， 对 任 意 的 ， ， 都 存 在 ， ， 使 得
成立，则下列选项中， 可能的值是
A． B． C． D．
【分析】由题意可知， ， ，即 ， ，可得 ， ，将存在任意的 ， ，
都存在 ， ，使得 成立，转化为 ， ，又由
，可得 ， ，再将选项中的值，依次代入验证，即可求
解．
【解答】解： ， ，
， ，
， ，
都存在 ， ，使得 成立，
， ，
，
， ，在 上单调递减，
当 时， ，
，故 选项错误，
当 时， ，
，
，故 选项正确，
当 时， ，
，故 选项错误，
当 时， ，
，故 选项错误．
故选： ．
【点评】本题考查了三角函数的单调性，以及恒成立问题，需要学生有较综合的知识，属于中档题．
二．填空题（共6小题）
5．（2020•上海）函数 的最小正周期为 ．
【分析】根据函数 的周期为 ，求出函数 的最小正周期．
【解答】解：函数 的最小正周期为 ，
故答案为： ．
【点评】本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题．
6．（2022•上海）若 ，则 ．
【分析】由两角和的正切公式直接求解即可．
【解答】解：若 ，则 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于基础题．
7．（2020•上海）已知 ， ，则 ．
【分析】根据三角函数的倍角公式，结合反三角公式即可得到结论．
【解答】解： ，
，
，
，
，
故 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用三角函数的倍角公式是解决本题的关键．
8．（2022•上海）函数 的周期为 ．
【分析】由三角函数的恒等变换化简函数可得 ，从而根据周期公式即可求值．
【解答】解：
，
．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查了三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用，属于基础
题．
9．（2023•上海）已知 ，则 ．
【分析】直接利用正切函数的二倍角公式求解．
【解答】解： ，
．故答案为： ．
【点评】本题主要考查了二倍角公式的应用，属于基础题．
10．（2021•上海）已知 ，存在实数 ，使得对任意 ， ，则 的最小值是
．
【分析】在单位圆中分析可得 ，由 ，即 ， ，即可求得 的最小值．
【解答】解：在单位圆中分析，由题意可得 的终边要落在图中阴影部分区域（其中
，
所以 ，
因为对任意 都成立，
所以 ，即 ， ，
同时 ，所以 的最小值为 ．
故答案为： ．
【点评】本题主要考查三角函数的最值，考查数形结合思想，属于中档题．
三．解答题（共2小题）
11．（2020•上海）已知函数 ， ．（1） 的周期是 ，求 ，并求 的解集；
（2）已知 ， ， ， ，求 的值域．
【分析】（1）直接利用正弦型函数的性质的应用求出结果．
（2）利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出函数的值域．
【解答】解：（1）由于 的周期是 ，所以 ，所以 ．
令 ，故 或 ，整理得 或 ．
故解集为 或 ， ．
（2）由于 ，
所以 ．
所以 ．
由于 ， ，
所以 ．
，
故 ，
故 ．
所以函数 的值域为 ．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的
运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
12．（2024•上海）已知 ， ．
（1）设 ，求解： ， ， 的值域；
（2） ， 的最小正周期为 ，若在 ， 上恰有3个零点，求 的取值范围．
【分析】（1）由题意，根据正弦函数的单调性，求出函数的最值，可得结论．
（2）由题意，根据正弦函数的周期性和零点，求出 的取值范围．
【解答】解：（1）当 时， ．因为 ， ，所以令 ，
根据 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以函数的最大值为 ，最小值为 ．
因此函数的值域为 ， ．
（2）由题知 ，所以 ， ．
当 时， ，即 ．
当 时， ，所以 ，即 ．
因此， 的取值范围为 ， ．
【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
