文档内容
第 03 讲 复数
（9 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
2024年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算 无
2024年新Ⅱ卷，第1题，5
复数的模 无
分
2023年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算、共轭复数 无
2023年新Ⅱ卷，第1题，5
复数的四则运算、复数的几何意义 无
分
2022年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算、共轭复数 无
2022年新Ⅱ卷，第2题，5
复数的四则运算 无
分
2021年新I卷，第2题，5分 复数的四则运算、共轭复数 无
2021年新Ⅱ卷，第1题，5
复数的四则运算、复数的几何意义 无
分
2020年新I卷，第1题，5分 复数的四则运算 无
2020年新Ⅱ卷，第2题，5
复数的四则运算 无
分
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握复数的代数形式，能够掌握数集分类及复数分类，需要关注复数的实部、虚部、
及纯虚数
2.能正确计算复数的四则运算及模长等问题，理解并掌握共轭复数
3.熟练掌握复数的几何意义即复数与复平面上点的对应关系
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般考查复数的四则运算、共轭复数、模长运算、几何意
义，题型较为简单。知识讲解
1．复数的定义
我们把形如 的数叫做复数，其中i叫做 ，满足 ， 虚数单位的周期为
．
2．复数通常用字母z表示，即 ，其中的a与b分别叫做复数z的 与 ．
3．对于复数 ， 复数 ， 为实数 ； 为虚数
； 为纯虚数 ； 为非纯虚数 .即复数
4．在复数集 中任取两个数 ， ，规定 与 相等当且仅
当 ，即复数相等： ⇔ .
5．共轭复数
（1）定义：当两个复数的实部 ，虚部 时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不
等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
（2）表示方法：复数z的共轭复数用 表示，即如果 ，那么 ．
6．复数的几何意义
为方便起见，我们常把复数 说成点 或说成向量 ，并且规定， 的向量表示同一个复数.
7．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x轴叫做 ，y轴叫做 ．实轴上的点都
表示 ；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
8．复数的模
向量 的模称为复数 的模或绝对值，记作 或 ．即 ，其中
．如果 ，那么 是一个实数a，它的模就等于 ．
9．复数的加、减法运算法则
设 ，则 ， ．
10．复数加法的运算律
对任意 ，有
（1）交换律： ．（2）结合律： ．
11．复数的乘法
（1）复数的乘法法则设 是任意两个复数，那么它们的积
．
（2）复数乘法的运算律
对于任意 ，有
交换律
结合律
乘法对加法的分配律
12．设 的三角形式分别是 ，
那么， = .
这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.简记为：模相乘，
辐角相加.
13．设 的三角形式分别是 ，且 ，那么，
.
这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减
去除数的辐角所得的差.简记为：模相除，辐角相减.
考点一、 复数的四则运算
1．（2024·全国·高考真题）设 ，则 （ ）
A． B．1 C．-1 D．2
2．（2023·全国·高考真题） （ ）
A． B．1 C． D．
1．（2024·天津·高考真题）已知 是虚数单位，复数 ．
2．（2023·全国·高考真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．3．（2024·河南·三模）已知 为虚数单位， （ ）
A． B． C． D．
考点二、 求复数的实部与虚部
1．（2024·全国·模拟预测）已知 ，则 的实部是（ ）
A． B．i C．0 D．1
2．（2024·黑龙江·三模）若 ，则 的虚部为（ ）
A． B．1 C．3 D．
1．（2024·重庆·三模）设复数z满足 ，则z的虚部为（ ）
A． B． C．3 D．
2．（2024·陕西·二模）复数 的实部为（ ）
A．1 B．3 C． D．
3．（2024·江西鹰潭·二模）已知 ，则 的虚部为（ ）
A． B． C． D．2
考点三、 复数相等
1．（2023·全国·高考真题）设 ，则 （ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
2．（2022·浙江·高考真题）已知 （ 为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．1．（2024·河南·模拟预测）已知 为虚数单位， ，满足 ，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（2024·安徽合肥·三模）已知 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·河北保定·三模）若复数 满足 ，则实数 （ ）
A． B． C． D．
考点 四 、 复数的分类及纯虚数概念考查
1．（2024·河北·二模）已知复数 是实数，则 （ ）
A． B． C． D．2
2．（2024·河南·三模）已知复数 为纯虚数，则 的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
1．（2024·辽宁大连·二模）设 ，则“ ”是“复数 为纯虚数”的（ ）
A．充分必要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·辽宁·模拟预测）若复数 为实数，则实数 等于（ ）
A． B． C． D．2考点 五 、 复数的几何意义
1．（2023·全国·高考真题）在复平面内， 对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2021·全国·高考真题）复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·山西·三模）已知复数 在复平面内对应的点位于第四象限，则实数m的取值范围
是 ．
1．（2024·山东·二模）已知复数 满足 ，则 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·江西·模拟预测）在复平面内，复数 对应的点的坐标为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2024·江西·模拟预测）若复数 的共轭复数 满足 ，则 在复平面内对应的点的坐标为
（ ）
A． B．
C． D．
考点 六 、 复数的模长及与模相关的轨迹问题
1．（2024·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A．0 B．1 C． D．2
2．（2023·全国·高考真题） （ ）
A．1 B．2 C． D．5
3．（2024·广东揭阳·二模）已知复数 在复平面内对应的点为 ，且 ，则（ ）A． B．
C． D．
1．（2024·福建南平·二模）若复数 满足 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2024·贵州毕节·三模）若复数z满足 ，则 （ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
3．（2024·辽宁·二模）已知i是虚数单位，复数z满足 ，则 的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．3
考点 七 、 复数的三角形式
1．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）复数 是虚数单位 在复平面内对应点为 ，设
是以 轴的非负半轴为始边，以 所在的射线为终边的角，则 ，把
叫做复数 的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，
，例如：
， ，
复数 满足： ，则 可能取值为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·内蒙古赤峰·一模）棣莫弗公式 （其中i为虚数单位）是由法
国数学家棣莫弗（1667-1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数 在复平面内所对应的
点位于（ ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）法国数学家棣莫弗（1667-1754年）发现了棣莫弗定理：设两个复数
， ，则 .设
，则 的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．0
2．（2023·全国·模拟预测）已知复数 ，则 （ ）
A．2022 B．2023 C． D．
考点 八 、 欧拉公式
1．（2024·四川绵阳·模拟预测）欧拉公式 把自然对数的底数 ，虚数单位 ， 和
联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学中的天桥”.则 （ ）
A． B．0 C．1 D．
2．（2022·重庆北碚·模拟预测）欧拉是 世纪最伟大的数学家之一，在很多领域中都有杰出的贡献．由
《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“ ”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟
大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式： 的一种特殊情况．根据欧拉公式，
（ ）
A． B． C． D．
1．（2023·云南昆明·一模）欧拉公式： 将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数
中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024·浙江绍兴·模拟预测）已知 ，则在下列表达式中表示 的是（ ）A． B．
C． D．
考点 九 、 复数多选题
1．（2024·福建福州·三模）已知复数 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．
C．若 ，则 或 D．若 且 ，则
2．（2024·福建莆田·三模）若z是非零复数，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
3．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知复数 满足： 为纯虚数， ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B．
C． 的最小值为3 D． 的最小值为3
1．（2024·江苏南通·模拟预测）已知 ， 都是复数，下列正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
2．（2024·山东济宁·三模）已知复数 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．“ ”是“ ”的必要不充分条件 D．“ ”是“ ”的充分不必要条件
3．（2024·重庆渝中·模拟预测）已知方程 的两个复数根分别为 ，则（ ）
A． B．C． D．
一、单选题
1．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知i是虚数单位，若 为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
2．（2024·河北·三模）已知复数 满足 ，则 的共轭复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·河南洛阳·模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2024·河北沧州·模拟预测）设 ， 是复数，则下列命题中是假命题的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
5．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知复数 满足 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·山东泰安·二模）若复数 满足 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．1
二、多选题
7．（2024·安徽蚌埠·模拟预测）已知复数 （ 为实数），若 ，则 的值可能为（ ）A． B． C．1 D．3
8．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）设 为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（ ）
A． B．若 互为共轭复数，则
C．若 ，则 D．若复数 为纯虚数，则
三、填空题
9．（2024·上海·三模）设 （ 为虚数单位），若z为纯虚数，则实数m的值为 ．
10．（2024·广东·二模）设 ， 为虚数单位，定义 ，则复数 的模为 ．
一、单选题
1．（2024·河北保定·二模）复数 （ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·浙江杭州·三模）已知复数 满足 ，则 的共轭复数 在复平面上对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2024·江苏南通·三模）已知 为复数，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
4．（2024·四川成都·模拟预测）复数 在复平面上对应的点位于虚轴上，则实数 的值为
（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·广东广州·三模）当 时，复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2024·安徽·模拟预测）若 为虚数单位， ，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
7．（2024·河南商丘·模拟预测）已知复数 和 满足 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．2二、多选题
8．（2024·福建宁德·三模）已知 是两个复数，下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 为实数，则
C．若 均为纯虚数，则 为实数 D．若 为实数，则 均为纯虚数
三、填空题
9．（2024·湖南衡阳·三模）已知 是关于 的方程 （其中p、q为实数）的一个根，则
的值为 .
10．（2024·江西南昌·三模）已知复数 ， ，那么 .
一、单选题
1．（2024·全国·高考真题）设 ，则 （ ）
A． B． C．10 D．
2．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数 对应的点的坐标是 ，则 的共轭复数 （ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C．0 D．1
4．（2022·全国·高考真题）若 ．则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高考真题）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高考真题）已知 ，且 ，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2021·全国·高考真题）设 ，则 （ ）
A． B． C． D．8．（2021·全国·高考真题）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
