第 02 讲 等式与不等式
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析
2019年天津卷，第10题,5分 解不含参数的一元一次不等式
2017年天津卷，第2题,5分 必要条件的判定及性质解不含参数的一元一次不等式
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题稳定，难度为低难度与中档难度，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握不等式的性质，能够运用不等式的性质进行比较大小
2.能掌握一元二次不等式的性质
3.掌握一元二次不等式根与系数的关系
4.会解一元二次不等式、能够解决一元二不等式的恒成立与存在成立等问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般考查不等式的性质，一元二次不等式的性质等。
知识讲解
知识点一.等式与不等式的性质:
1.两个实数比较大小的方法(1)作差法
a-b >0⟺ a>b，
a-b =0⟺ a=b,
a-b <0⟺ a<b.
(2)作商法
a
>1(a∈R,b>0)⟺a>b(a∈R,b>0),
b
a
=1(a,b≠0)⟺a=b(a,b≠0),
b
a
<1(a∈R,b>0)⟺a<b(a∈R,b>0),
b
2.等式的性质
(1)对称性:若a=b，则b=a.
(2)传递性:若a=b，b=c，则a=c.
(3)可加性:若a=b，则a+c =b+c.
(4)可乘性:若a=b，则ac=bc;若a =b，c=d，则ac=bd
3.不等式的性质
(1)对称性: a>b ⟺ b<a ;
(2)传递性: a>b，a>c⟺ a>c;
(3)可加性a>b ⟺a+c>b+c; a>b, c>d ⟺a+c>b+d
(4)可乘性: a>b, c >0⟺ac>bc; a>b, c <0⟺ac<cb; a>b>0，c>d>0⟺ ac>bd;
(5)可乘方: a>b>0⟺an>bn(n∈N，n≥1);
(6)可开方a>b>0⟺ √n a>√n b(n∈N，n≥2).
知识点二.一元二次不等式
1.一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式，叫做一元二次
定义
不等式
ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中
一般形式
a≠0，a，b，c均为常数
2.二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx
＋c(a>0)的图象
一元二次方程ax2＋ 有两个不相等的实 有两个相等的实数
没有实数根
bx＋c＝0(a>0)的根 数根x，x(x<x) 根x＝x＝－
1 2 1 2 1 2
ax2＋bx＋c>0(a>0) {x |x <x 1 ，或 x >x 2 } R的解集
ax2＋bx＋c<0(a>0)
{x |x 1 <x <x 2 } ∅ ∅
的解集
3.一元二次不等式的解法
1.将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a
＞0)．
2.求出相应的一元二次方程的根．
3.利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．
方程的根→函数草图→观察得解，对于 的情况可以化为 的情况解决
注：对于二次型一元二次不等式应首先考虑二次项系数的情况，当二次项系数为 0时，按照一次不等式来
解决，对于二次项系数为负数的情况一般将二次项系数变为正数之后再解。
注：对于含参一元二次不等式内容首先考虑能不能因式分解，然后就二次方程根进行分类讨论，同时注意
判别式韦达定理的应用。
4.三个“二次”间的关系
判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx
＋c (a＞0)的图象
一元二次方程ax2＋bx 有两相异实根x， 有两相等实根x＝x
1 1 2
没有实数根
＋c＝0 (a＞0)的根 x(x＜x) ＝－
2 1 2
ax2＋bx＋c＞0 (a＞
R
0)的解集
ax2＋bx＋c＜0 (a＞
{x|x 1 ＜ x ＜ x 2 } ∅ ∅
0)的解集
考点一、等式与不等式的性质
1．（2024·辽宁·模拟预测）若a>b，则下列说法正确的是（ ）
A．a2>b2 B．lg(a−b)>0 C．a5>b5 D．|a3|>|b3|
2．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若a>b，则ac>bc B．若a>b，则a2>b2
C．若ac2≥bc2，则a≥b D．若a+2b=2，则2a+4b≥41．（22-23高三上·甘肃定西·阶段练习）已知a>b>0,c<0，则下列正确的是（ ）
b a
A．ac>bc B．ac>bc C． > D．ab−bc>0
c2 c2
2．（2024·安徽淮北·二模）已知a,b∈R，下列命题正确的是（ ）
A．若ab=1，则a+b≥2
1 1
B．若 < ，则a>b
a b
C．若a>b，则ln(a−b)>0
1 1
D．若a>b>0，则a+ >b+
b a
3.（2024·天津·一模）已知a,b∈R，则“b>|a|”是“a2<b2”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.（2023·山西临汾·模拟预测）若a，b∈R，则“a<b”是“a3−a2b<0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
考点二、 比较大小
ln26 ln2(2π)
1. （22-23高三上·天津河东·期中）若a= ，b=ln2ln3，c= ，则a，b，c的大小关系是
4 4
（ ）
A．a>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．b>a>c
2.（2024·四川成都·模拟预测）已知a，b为实数，则使得“a>b>0”成立的一个必要不充分条件为
（ ）
1 1
A． > B．ln(a+1)>ln(b+1)
a b
C．a3>b3>0 D．√a−1>√b−1
1．（22-23高三上·天津河西·期末）若a，b，c∈R，a>b，则下列不等式成立的是（ ）
1 1 a b
A． < B．a2<b2 C． > D．a|c|>b|c|
a b c2+1 c2+1
1 1
2．（2023·天津·一模）设a>0，b>0，则“a>b”是“ < ”的（ ）
a b
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件1
3．（23-24高三上·天津和平·开学考试）已知a是实数，则“a>1”是“a+ >2”的（ ）．
a
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1 1
4．（2024·北京西城·一模）设a=t− ,b=t+ ,c=t(2+t)，其中−1<t<0，则（ ）
t t
A．b<a<c B．c<a<b
C．b<c<a D．c<b<a
考点 三 、 最值与取值范围问题
a
1. （2024高三·全国·专题练习）已知12<a<60,15<b<36，则a−b的取值范围是 ， 的取值
b
范围是 .
2. （2024·全国·模拟预测）已知实数x，y满足−1<x<y<1，则x+ y的取值范围是 ．
1. （2024高三·全国·专题练习）若实数x，y满足1≤xy2≤4，3≤x2y≤5，则xy5的取值范围是
．
2. （2024·河北石家庄·二模）若实数x,y,z≥0，且x+ y+z=4,2x−y+z=5，则M=4x+3 y+5z的
取值范围是 .
3.（23-24高三下·重庆渝北·阶段练习）已知三个实数a、b、c，其中c>0,b≤2a+3c且bc=a2，则
a−2c
的最大值为 ．
b
4.（2024·浙江·模拟预测）已知正数a，b，c满足a2+c2=16，b2+c2=25，则k=a2+b2的取值范围
为 ．
x z
5.（2024·广东·三模）设实数x、y、z、t满足不等式1≤x≤ y≤z≤t≤100，则 + 的最小值为 .
y t
考点 四 、 一元二次不等式
1.（2024·上海·高考真题）已知x∈R,则不等式x2−2x−3<0的解集为 ．
3x−2
2.（23-24高三上·河北石家庄·阶段练习）不等式 <0的解集是（ ）
2x+3
A．¿ B．¿2 3 3 2
C．{x|x<− 或x> } D．{x|x<− 或x> }
3 2 2 3
1.（23-24 高三下·陕西安康·阶段练习）在区间[0，5]内随机取一个实数a，则关于x的不等式
x2+(2−a)x−2a<0仅有2个整数解的概率为（ ）
2 3 1 1
A． B． C． D．
5 10 5 10
2.（2024高三·全国·专题练习）已知a , b∈R且ab≠0，若(x−a)(x−b)(x−2a−b)≥0在x≥0上恒成
立，则（ ）
A．a<0 B．a>0 C．b<0 D．b>0
3.（23-24高三下·上海·阶段练习）设a>0，若关于x的不等式x2−ax<0的解集是区间(0,1)的真子集，
则a的取值范围是 ．
4.（2023·全国·模拟预测）定义：若集合A,B满足A∩B≠∅，存在a∈A且a∉B，且存在b∈B且
b∉A，则称集合A,B为嵌套集合．已知集合A=¿且x∈R+}，B=¿，若集合A,B为嵌套集合，则实数a
的取值范围为（ ）
A．(2,3) B．(−∞,1) C．(1,3) D．(1,2)
考点 五 、 一元二次方程跟的分布
1.（23-24高三上·四川·阶段练习）若关于x的方程x2−2ax+a+2=0在区间(−2,1)上有两个不相等的
实数解，则a的取值范围是（ ）
( 6 ) ( 6 )
A． − ,−1 B． − ,1
5 5
( 6) ( 6)
C． −∞,− ∪(−1,+∞) D． −∞,− ∪(1,+∞)
5 5
( 4)
2.（21-22高三上·江苏南通·期中）已知关于x的不等式ax2+2bx+4<0的解集为 m, ，其中m<0，
m
b 4
则 + 的最小值为（ ）
4a b
A．－2 B．1 C．2 D．8
1.（2024高三·全国·专题练习）关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x ,x ，且
1 2x <1<x ，那么a的取值范围是（ ）
1 2
2 2 2
A．− <a< B．a>
7 5 5
2 2
C．a<− D．− <a<0
7 11
2.（2023·北京海淀·模拟预测）已知关于x的不等式x2+ax+b>0(a>0)的解集是{x|x≠d},，则下列
四个结论中错误的是（ ）
A．a2=4b
1
B．a2+ ≥4
b
C．若关于x的不等式x2+ax−b<0的解集为（x ，x ），则x x >0
1 2 1 2
D．若关于x的不等式x2+ax+b<c的解集为（x ，x ），且|x −x |=4，则c=4
1 2 1 2
3.（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）如果二次方程x2−px−q=0(p,q∈N∗)的正根小于3，那
么这样的二次方程有 个.
考点 六 、 一元二次不等式恒成立
1.（2024高三·全国·专题练习）若不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的
取值范围是（ ）
A．(−∞,2] B．[−2,2]
C．(−2,2] D．(−∞,−2)
2.（2024·陕西西安·模拟预测）当1≤x≤2时，不等式x2−ax+1≤0恒成立，则实数a的取值范围是
．
1.（2024高三·全国·专题练习）已知b>0，若对任意的x∈(0,+∞)，不等式4ax3+8x2−abx−2b≤0
恒成立，则a2+2a+4b+ab的最小值为 .
x
2.（22-23高三上·河北衡水·阶段练习）已知对任意实数x>0,不等式(2x2−ax−10)ln ≥0恒成立,则
a
实数a的值为 ．
3. （ 2024· 陕 西 榆 林 · 三 模 ） 已 知 α∈(0,2π)， 若 当 x∈[0,1]时 ， 关 于 x的 不 等 式
(sinα+cosα+1)x2−(2sinα+1)x+sinα>0恒成立，则α的取值范围为（ ）
(π 5π ) (π 5π ) ( π π ) (π 5π )
A． , B． , C． , D． ,
12 12 6 6 6 3 3 64.（2024·湖北·二模）已知等差数列{a }的前 n 项和为S ，且S =n2+m，n∈N*，若对于任意的
n n n
a
a∈[0,1]，不等式 n<x2−(1+a)x−2a2−a+2恒成立，则实数x可能为（ ）
n
A．−2 B．0 C．1 D．2
1．（2021·天津和平·一模）设a∈R，则“2<a<3”是“(a+1)(a−6)<0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·河北唐山·一模）已知x∈R，p：“x2−x>0”，q：“x>1”，则p是q的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
1
3．（23-24高三上·天津北辰·期中）设x∈R，则“x2>1”是“ <1”成立的（ ）
x
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2022·天津·二模）设x∈R，则“x≤3”是“x2≤3x”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024·天津·一模）设x∈R，则“x<0”是“x2−x>0”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024高三下·全国·专题练习）已知2<a<3，−2<b<−1，则a+2b的取值范围为 ．
7．（2024高三下·全国·专题练习）若关于x的不等式(m−3)x2−2mx−8>0的解集是一个开区间，且
区间的长度L满足L∈[1,2]，求实数m的取值范围（注：开区间(a,b)的长度L=b−a）.
x
1．（2024·福建宁德·三模）函数f(x)= ，若关于x的不等式[f(x)] 2−af(x)≤0(a∈R)有且仅有
lnx
三个整数解，则a的取值范围是（ ）
[ 2 5 ) ( 2 5 ]
A． , B． ,
ln2 ln5 ln2 ln5
[ 3 5 ) ( 5 ]
C． , D． e,
ln3 ln5 ln52．（2022·河南南阳·模拟预测）已知命题 p：∀x∈R，x2+4x−m≥0恒成立；命题q：
f (x)=−x2+(m−1)x在[−3,+∞)上单调递减.若p∧q为假命题，p∨q为真命题，则实数m的取值范围
是（ ）
A．[−4,−3] B．(−5,−4]
C．(−∞,−5)∪(−4,+∞) D．(−∞,−6)∪(−4,+∞)
3．（2024·甘肃张掖·模拟预测）不等式|x2−3x|<2−2x的解集是（ ）
( 1) ( 1 1) ( 5−√17) (5−√17 1)
A． −1, B． − , C． −1, D． ,
2 2 2 2 2 2
4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f (x)=x2+ax+b(a,b∈R)的最小值为0，若关于x的不等式
f (x)<c的解集为(m,m+4)，则实数c的值为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．4
5．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知条件q：“不等式(a2−4)x2+(a+2)x−1≥0的解集是空
集”，则条件p： “−2≤a<1”是条件q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024·广东·一模）已知a,b,c∈R且a≠0，则“ax2+bx+c>0的解集为¿”是“a+b+c=0”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2025高三·全国·专题练习）已知x2+x+5≤ax2+2ax+c≤2x2+5x+9对任意x∈R恒成立，则
a+c= ．
1
1．（江西·高考真题）当a>0,b>0时，不等式−b< <a的解是（ ）
x
1 1 1 1
A．x<− 或x> B．− <x<
b a a b
1 1 1 1
C．x<− 或x> D．− <x<0或0<x<
a b b a
2．（安徽·高考真题）函数f (x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）
A．a>0，b<0，c>0，d>0 B．a>0，b<0，c<0，d>0C．a<0，b<0，c>0，d>0 D．a>0，b>0，c>0，d<0
3．（2023·全国·高考真题）已知集合M={−2,−1,0,1,2}，N=¿，则M∩N=（ ）
A．{−2,−1,0,1} B．{0,1,2} C．{−2} D．{2}
4．（2017·天津·高考真题）设x∈R，则2−x≥0是−1≤x−1≤1 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（天津·高考真题）设集合A=¿，则A∩B=（ ）
[ 5] [5 )
A．(−3,−2] B．(−3,−2]∪ 0, C．(−∞,−3]∪ ,+∞ D ．
2 2
[5 )
(−∞,−3)∪ ,+∞
2
6．（天津·高考真题）设x∈R，则“|x−2|<1”是“x2+x−2>0”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
