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专题16 平行线加中点模型及雨伞模型（原卷版）
模型一 平行线加中点模型
模型讲解：如图AB∥CD，E为AD的中点，延长CE交AB于点F，则△AEF≌△DEC
（一）模型识别及应用：当图形中有中点，有平行线时，可用此模型，即有中点有平行线时，图中就
有全等三角形。
典例1 （2023秋•甘井子区月考）如图，AB∥CF，E为DF的中点，AB＝10，CF＝6，则BD＝ ．
针对训练
1．（2023•灞桥区校级三模）如图，在 ABCD中，延长CD至点E，使DE＝DC，连接BE交AD于点
▱
F，交AC于点G，则S 的值是（ ）
△ABF
S
△CEF
4 1 9 1
A． B． C． D．
9 4 4 2
2．（2021秋•泌阳县期末）如图，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝10，AB∥CD，E是CD上一
点，BE交AD于点F，若AB＝DE，则图中阴影部分的面积为 ．（二）模型构建及应用（图中有中点及平行线时，可以构建 8字全等。仅有中点时，可以作
平行线，构建全等三角形）
典例2 如图，四边形ABDC中，∠D＝∠ABD＝90°，点O为BD的中点，AB+CD＝AC．
（1）求证：CO平分∠ACD；（2）求证：AO平分∠BAC，OA⊥OC．
针对训练
1．（2021•椒江区校级开学）如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝
5，BC＝10，点E是CD的中点，求AE的长．
2．阅读理解
（1）如图①，△ABC中，D是BC中点，连接AD，直接回答S△ABD 与S△ADC 相等吗？ （S表示面
积）；
应用拓展
（2）如图②，已知梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，连接DE、EC，试利用上题得到的结论
说明S△DEC ＝S△ADE +S△EBC ；
解决问题
（3）现有一块如图③所示的梯形试验田，想种两种农作物做对比实验，用一条过 D点的直线，将这块
试验田分割成面积相等的两块，画出这条直线，并简单说明另一点的位置．模型二 雨伞模型（角平分线加垂直模型）
模型讲解：如图，OP平分∠MON,AC⊥于C，延长AC交ON于点B，
则△OAC≌△OBC，OA=OB，AC=BC
（一）模型识别及应用：当图形中有角平分线且有垂直于这条角平分线的线时，可用此模型。
典例1 （2023•开州区校级开学）如图，AD是△ABC的角平分线，过点C作CE⊥AD，垂足为点E，延
长CE与AB相交于点F，连接DF，若∠BAC＝60°，∠B＝40°，则∠BDF的度数为 °．
针对训练
1．（2023秋•镇海区期末）如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点
E，∠A＝∠ABE．若AC＝10，BC＝6，则BD的长为（ ）
A．2.5 B．2 C．4 D．1
3．（2020秋•市中区校级月考）如图，△ABC中，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足
3
为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，MN= ，则△ABC的周长为（ ）
2A．19 B．18 C．17 D．16
（二）模型的构建及应用：通过延长垂直于角平分线的垂线段角的另一边或延长线相交构建雨伞模型
典例2 （2021秋•昭阳区期末）如图，AD为△ABC的角平分线．
（1）如图1，若CE⊥AD于点F，交AB于点E，AB＝8，AC＝5．则BE＝ ．
（2）如图2，若∠C＝2∠B，点E在AB上，且AE＝AC，AB＝a，AC＝b，求CD的长；（用含a、b的
式子表示）
（3）如图3，BG⊥AD，点G在AD的延长线上，连接CG，若△ACG的面积是7，求△ABC的面积．
针对训练
1．如图，BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP于P，连接PC，若△ABC的面积为5cm2，则△PBC的面积为（
）
A．2cm2 B．2.5cm2 C．3cm2 D．不能确定
2．（2022•青秀区校级三模）如图：D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD
＝1，BC＝3，则AC的长为（ ）A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2021•越秀区模拟）如图所示，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，且AB
＝8，MN＝3，则AC的长是（ ）
A．12 B．14 C．16 D．18
5．（2022秋•安溪县期中）[问题情境]
利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图 1，OP平分∠MON．点A为OM上一点，过点A作
AC⊥OP，垂足为C，延长AC交ON于点B，易证△AOC≌△BOC，则AC＝BC．其分析过程如下：
在△AOC和△BOC中，
OP平分∠MON ∠AOC＝∠BOC
OC＝OC ⇒
AC⊥OP ∠OCA＝∠OCB＝90°
△AOC⇒≌△BOC（ ）
⇒在括号内填写全等判定方法字母简称
AC＝BC （ ）
⇒在括号内填写理由依据
[问题探究]
如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足E在CD的延长线上．证
明：CD＝2BE；
[拓展延伸]
1
如图 3，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D在线段 BC 上，向 BC 左侧作∠BDE= ∠ACB，
2
BE⊥DE于E，DE交AB于F，试探究BE和DF之间的数量关系，并证明你的结论．
