文档文本内容
第 12 讲 构造函数及不等式放缩判断函数值大小关系
（3 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
构造函数、用导数判断或证 比较指数幂的大小
2022年新I卷，第7题,5分
明函数的单调性 比较对数式的大小
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较大，分值为5-12分
【备考策略】1会结合实际情况构造函数
2能用导数证明函数的单调性
3能求出函数的极值或给定区间的最值
4能结合单调性进行函数值大小比较
【命题预测】比较大小的问题，形式灵活、内涵丰富，学生可以综合运用等价转化、数形结合等数学思想
方法解决实际问题，是考查学生的逻辑推理和数学运算等核心素养的有效题型载体。近几年，这类试题得
到了高考和各类大型考试命题老师的青睐和追捧。需综合复习
知识讲解
1. 构造函数的重要依据2. 常见构造类型
3. 常见的指对放缩
， ， ，
4. 常见的三角函数放缩
5. 其他放缩
， ，
， ，
，，
放缩程度综合
，
方法技巧
1构造相同函数，比较不同函数值
2构造不同函数，比较相同函数值
3.构造不同函数，比较不同函数值
这个时候，不等式放缩就是首选之道了!
4.先同构，再构造，再比较
当题干呈现一个较复杂的等式或者不等式关系，并没有前几类那么明显的数字时，往往可能现需要同构(变形)出一个函数之后再来比较大小.
考点一、 构造函数利用单调性判断函数值大小关系
1．（2022·全国·统考高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ， 导数判断其单调性，由此确定 的大小.
【详解】方法一：构造法
设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，
故 ，
设 ，则 ,
令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，
所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以
故选：C.
方法二：比较法
解： ， ， ，
① ，
令则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
2．（2021·全国·统考高考真题）设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，
将0.01换成x,分别构造函数 , ，利用导数分析其在
0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】[方法一]：
，
所以 ；
下面比较 与 的大小关系.
记 ，则 ， ，
由于
所以当0<x<2时， ，即 ， ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，即 ；
令 ，则 ， ，
由于 ，在x>0时， ，所以 ，即函数 在[0，+∞)上单调递减，所以 ，即 ，即
b<c；
综上， ，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数 在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数 在（1，3)上单调递增
综上， ，
故选：B.
【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，
利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.
1．（2024·吉林长春·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造函数，判断函数单调性，代入数值可比较大小.
【详解】设 ， ，
时， ， 为减函数，
时， ， 为增函数，所以 ，
，即 .
设 ， ，时， ， 为增函数，
时， ， 为减函数，
所以 ， ，即 ，所以 .
设 ， ，
为增函数，所以 ，所以 ，即 .
故选：D
2．（2024·全国·模拟预测）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 及函数 ，结合函数的单调性可比较 与 ，构造函数
，结合函数的单调性可比较 与 ，即可得解.
【详解】令 ， ，
则 在 上恒成立，故 在 上单调递减，
故 ，故 ，
即 ，即 ，、
令 ，则 ，故 在定义域内单调递增，
故 ，即 ；
令 ， ，
则
在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
又 ，故 ，
故 ，即 ，故有 .
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题关键在于构造对应的函数帮助比较大小，对 与 ，可通过构造 ，
从而比较 与 的大小关系，构造 ，从而比较 与 的大小关系，可得 与 的大小
关系，通过构造 可比较 与 的大小关系.
3．（2024·山西·二模）设 ， ，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得 、 ，构造函数
、 ，利用导数讨论两个函数的单调
性可得 、 ，即可求解.
【详解】 ，
，
设函数 ，
则 ，
设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，且 ，即 ，
所以 在 上单调递减，
则 ，即 ，所以 .
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，且 ，
即 ，
得 ，所以 ，即 ，解得 .
综上， .故选：B
【点睛】方法点睛：此类比较大小类题目，要能将所给数进行形式上的变化，进而由此构造函数，利用导
数判断单调性，进而比较大小.
4．（2024·安徽·三模）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，利用导数求取单调性可得 、 之间大小关系，构造函数
，利用导数求取单调性可得 、 之间大小关系，即可得解.
【详解】由 ，
即 ，
令 ，
则 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
则有 ，即 ，
令 ，
则 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，
则有 ，即 ，
故 .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造出函数 、 ，以比较 、 与 、
之间大小关系.
5．（2024·安徽芜湖·三模）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先构造函数 ，利用导数证明 ，则，再构造函数 ，利用
导数求出其单调区间，即可比较 ，构造函数 ，利用导数求出其单调区间，即
可比较 ，即可得解.
【详解】令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ，
而 ，
令 ，
则 ，
当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，
所以 ，
即 ，所以 ，
,
令 ，
则 ，令 ，则 ，
当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，
所以 ，
即当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，
即 ，所以 ，
综上所述， .
故选：A.
【点睛】关键点点睛：构造 和 两个函
数，是解决本题的关键.
6．（2024·湖北武汉·二模）设 ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 、 和 ，其中 ，利用导数得到
它们的单调性即可比较出三者大小关系.
【详解】由已知可得 ，
设 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 ，
设 ， ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，即 ，
综上 ，
设 ， ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 ，
所以
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键首先对 进行合理变形得 ，再通过构造函数
、 和 ，利用它们的单调性即可比较三者大小关系.
考点二、 不等式放缩判断函数值大小关系
1．（2022·全国·统考高考真题）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
放缩法
因为 ，
所以 ，即
因为 ，
所以 ，即
综上所述： ，故选：C
2．（2022·全国·统考高考真题）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】由 结合三角函数的性质可得 ;构造函数 ,利用导数可
得 ,即可得解.
【详解】[方法一]：构造函数
因为当
故 ，故 ，所以 ；
设 ，
，所以 在 单调递增，
故 ，所以 ，
所以 ，所以 ，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当 ，
取 得： ，故
，其中 ，且
当 时， ，及
此时 ，
故 ，故
所以 ，所以 ，故选A
[方法三]：泰勒展开
设 ，则 ， ，
，计算得 ，故选A.
[方法四]：构造函数因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；设
， ，所以 在 单调递增，则 ,
所以 ，所以 ,所以 ，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为 ，因为当 ，所以 ,即 ，所以 ；因为当
，取 得 ，故 ，所以 ．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通
法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式 放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
1．（2024·甘肃陇南·一模）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用 ，结合幂函数的单调性判断得 ，再构造函数 ，推得
，从而推得 ，由此得解.
【详解】因为 ，所以 ；
令 ，则 ，
当 时， ，则 在 上单调递增，
当 时， ，则 在 上单调递减，
所以 ，故 ，
则 ，即 ，当且仅当 时，等号成立，当 ，即 ，有 ，
从而有 ；
综上， .
故选：D.
【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：
（1） ；（2） .
2．（2024·辽宁·一模）设 则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用导数证明不等式 ，可得 ；根据不等式的性质可证得 ，则 ，
即可求解.
【详解】对于函数 ， ，
令 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，则 ，即 .
所以 ， .
由 ，得 ，所以 ，则 ，
所以 ，即 .
所以 .
故选：B
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
3．（2024·山东威海·二模）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【分析】令 ，求导可证明 ，进而可得 ，可判断 ，令
，求导可证 ，令 ，可判得 .
【详解】令 ，可得 ，所以 在 上单调递增，
当 时， ，所以 ，
所以 ，所以 ，
令 ，求导可得 ，
当 ， ，所以 单调递减，所以 ，
即 ，所以 ，
令 ，可得 ，即 ，
所以 .
故选：B.
4．（2024·贵州遵义·三模）设 ， ， ，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，利用导数判断出其单调性，即可比较 ，构造函数
， ，即可比较 ，即可得解.
【详解】 ， ，
令 ，
则 ，
所以函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ，所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
令 ，则 ，
所以函数 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
综上所述， .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：构造函数 ， ，
，是解决本题的关键.
5．（2023·河南·模拟预测）实数x，y，z分别满足 ， ， ，则x，y，z的
大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据已知即 ， ， ， 构选函数 确定其在 上单
调递减，可得 ，又设 ，其在 上单调递增，所以得 ．
【详解】解：由已知得 ， ， ，
设 ， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，因此 ，
即 所以 ， ；
又设 ， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，因此 ，所以 ，则 ；
综上得 .
故选：B．
【点睛】方法点睛：构造函数比较大小主要方法有：
1.通过找中间值比较大小，要比较的两个或者三个数之间没有明显的联系，这个时候我们就可以通过引入
一个常数作为过渡变量，把要比较的数和中间变量比较大小，从而找到他们之间的大小关系.
2.通过构造函数比较大小，要比较大小的几个数之间可以看成某个函数对应的函数值，我们只要构造出函
数，然后找到这个函数的单调性就可以通过自变量的大小关系，进而找到要比较的数的大小关系.有些时候
构造的函数还需要通过放缩法进一步缩小范围.
考点三、 构造函数解决其他综合问题
1．（23-24高二下·广东东莞·阶段练习）已知 为函数 的导函数，当 时，有
恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，求导确定其单调性，根据单调性确定建立 的不等关系，
以及 的不等关系，整理化简得答案.
【详解】令 ，则 ，
因为当 时，有 恒成立，
所以当 时， ，
即 在 上单调递减，
所以 ，即 ，即 ，A 错误，B正确，，即 ，即 ，CD错误.
故选：B.
2．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知 ， 为正数，且 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由 ，构造函数 ，求导，判断单调区间，根据已知条件 ，判断选项.
【详解】由 ，可知 ，设 ，则 ，
令 ，则
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，且 ，
故当 时，则 ， ，
故 ， ，且当 时， ，故 ，只有C满足要求.
故选：C
3．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 ，若 恒成立，则正实数 的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】不等式整理为 ，构造函数 ，利用单调性得到
，再构造 ，进而得到 ，从而 .
【详解】 ， ，且 ，
两边加上 得， ，
设 ，则 ，所以 单调递增，
，即 ，
令 ，则 ，
的定义域是 ，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
当 时， 取得极大值即为最大值， ，
， .
故选：C．
【点睛】方法点睛：将等式两边整理为结构相同的形式，由此构造新函数，本题中将
整理为 ，从而构造函数 求解.
4．（23-24高三上·河北·阶段练习）已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，且
恒成立， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，由导数求得函数单调性，利用单调性解不等式.
【详解】由 ，有 ，
令 ，则 ，所以 在区间 上单调递增．
又 ，得 ，所以 ，
所以 ，解得 ．
故选：A
【点睛】关键点点睛：
本题关键点在于利用导数运算法则构造函数，令 ，由导数证明单调递增，不等式
变形为 ，利用单调性解即可.
1．（23-24高二下·天津·期中）已知定义在 上的奇函数 满足， ，当 时，
，则 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，根据已知条件判断 的单调性，奇偶性，结合 的模拟草图，数形结合即可求得结果.
【详解】令 ，则 ，由题可知，当 时， ，故 在
单调递减；
又 为奇函数， 也为奇函数，故 为偶函数，则 在 单调递增；
又 ，则 ，画出 的模拟草图如下所示：
当 时， ，则 ，数形结合可知，此时 ；
当 ，因为 为 上的奇函数，故 ，不满足题意；
当 ， ，则 ，数形结合可知，此时 ；
综上所述： 的解集为 .
故选：A.
2．（2024·辽宁·模拟预测）已知a， ，若 ， ，则b的可能值为（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．6
【答案】B
【分析】构造函数 ，求导确定其单调性，结合 可得答案.
【详解】由 得 ，设 ，则 ，
又 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减．
因为 ，所以 ．
结合选项可知B正确，ACD错误.
故选：B.
3．（2024·湖南邵阳·二模）已知函数 的定义域为 为 的导函数.若 ，且在 上恒成立，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】设 ，利用导数求得 在 上单调递减，把不等式转化为 ，即可求
解.
【详解】设函数 ，可得 ，
所以函数 在 上单调递减，
由 ，可得 ，即 ，
可得 ，所以 ，即不等式 的解集为 .
故选：D.
4．（2024·广东广州·模拟预测）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且 .对于
任意的实数 ，均有 成立，若 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，然后由已知可得 的单调性，最后将不等式转化为
，即可得到答案.
【详解】 ，令 ，
则 ，则 在 上单调递增.
由 ， 为奇函数，得 ，则 ，
从而原不等式 可化为 ，即 ，此即为 .
由于 在 上单调递增，故这等价于 ，所以不等式的解集为 .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于构造新的函数并利用已知条件.1．（22-23高三下·全国·阶段练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，由导数求解函数的单调性，即可比较 ，利用对数函数的单调性结合
中间值法可得出 ， 的大小关系.
【详解】设函数 ，则 ，当 时， ， 为增函数，
得 ，即 ，即 ，得 ，
因为 ，因此， .
故选：B.
2．（2024·云南贵州·二模）已知 ，则 的大关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据 的特点，构造函数 ，判断其单调性，得到 ，故有
，再运用作差法比较 即得.
【详解】设 ，则 ，
当 时， ， 在 上递增；
当 时， ， 在 上递减,
故 .
则 ，即 ；由 可知 ，故 .
故选：B.
3．（2024·四川·模拟预测）已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用当 时， 判断 ，通过函数 在是减函数判断 .
【详解】当 时，设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 ，
也就是说当 时， ，
用 代替 ，可得 ，即 ，
所以 ，即 ．
又知 ，所以 ，所以 ．
故选：A
4．（2023·山西·模拟预测）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 研究其单调性，运用函数单调性比较大小即可.
【详解】易知 ， ， ，
令 ，
则 ，
，
所以 在 上单调递减，
又因为 ，所以 ，即 ．
故选：D.
5．（2023高三·全国·专题练习）若函数 在R上可导，且满足 恒成立，常数
则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造 并求导，判断单调性，即可得结果.
【详解】令 ，则 恒成立，故 在 上单调递增．
，
，即 ．
故选：A
6．（2024高二下·全国·专题练习）定义在 上的函数 ，已知 是它的导函数，且恒有
成立，则有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据不等式结构特征构造函数 ，研究该函数的单调性即可求解.
【详解】令 ，则 ，
因为 ，
所以 ，则 在 上单调递减，
所以 ，即 ，
故 ， ，
故选：C.7．（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知函数 的定义域是 ，其导函数为 ，且
，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，通过求导及已知条件得出单调性并化简不等式，即可求出不等式的
解集.
【详解】由题意，
在函数 中， ，导函数为 ， ，
设 ，则 .
∵ ，
∴ ，则 是 上的增函数.
不等式 等价于
，
即 ，
则
解得： ，
故选：D.
8．（23-24高二上·重庆·期末）已知定义在 上的函数 的导数为 ，若 ，且
，则下列式子中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设 ，得到 ，得到 在 上单调递增，再由 ，得到
，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】因为当 时， ，可得 ，
令 ，可得 ，所以 在 上单调递增，因为 ，可得 ，
对于A中，由 ，即 ，所以 ，所以A不正确；
对于B中，由 ，即 ，所以 ，所以B不正确；
对于C中，由 ，即 ，所以 ，所以C正确；
对于D中，由 ，即 ，所以 ，所以D不正确.
故选：C.
9．（2024·广东·二模）函数 的定义域为 ，若 ，则 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，解不等式即可得出答案.
【详解】构造函数 ，满足 ， ，
则由 可得 ，解得： .
故选：B.
10．（23-24高二下·安徽亳州·期中）已知函数 及其导函数 的定义域均为R， 且
，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，构造函数 ，判断 的单调性，将所求不等式进行同解变形，利用单调
性得到一元二次不等式，解之即得.
【详解】设 ，则 ，故 单调递增.
又 ，故 可转化为 ，即
，
由 单调递增可得 ，解得 或 ，
即不等式 的解集为 .
故选： .1．（2024高三下·全国·专题练习）已知 ， ， ，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，通过导数判断单调性，进而利用单调性判断函数值的大小.
【详解】由题， .令 （ ），则 ，
因为 ，所以 ，所 在 上单调递增，
又 ， ， ， ，故 .
故选：C.
2．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造 ，利用导数证明 ，代入 可比较 的大小，
根据对数函数的性质可判断 的大小，从而可求解.
【详解】设 ，则 ，
所以 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，
所以 ，即 ，
所以 ，即 .
由 ，可得 ，即 ，即 ，
所以 ，即 .
综上所述， .故选:B.
3．（2023·辽宁鞍山·二模）已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，
为 的导函数，当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，利用 的奇偶性和单调性求得正确答案.
【详解】设 ，
，
所以 是奇函数.
当 时， ，
则 ，
所以 在 上单调递增，则 在 上单调递增，
不等式 即 ，
所以 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：D
【点睛】关键点睛：本题的关键点有两点，一个是函数的奇偶性，奇偶性可以转化为 来
进行判断；一个是构造函数法，有关 和 的不等关系式，在解题过程中可以考虑利用构造函数法，
然后结合导数来进行求解.
4．（23-24高二下·江苏常州·期中）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将 两边分别同时取对数，构造函数 ，利用导数求出函数的单调区间，再根据函
数的单调性即可得解.
【详解】由 ， ， ，得 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，所以 .
故选：C.
【点睛】关键点点睛：将 两边分别同时取对数，构造函数 是解决本题的关键.
5．（2024·湖北黄冈·二模）已知 分别满足下列关系： ，则
的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将指数式化成对数式，利用换底公式，基本不等式可推得 ，利用指对数函数的单调性，通过
构造函数判断单调性可推得 ，最后利用正切函数的单调性可得 .
【详解】由 可得
因 ，
又 ，故 ,即 ；
因 ，则 由 ，
由函数 ， ，因 时， ，
即函数 在 上单调递减，则有 ，故得 ；
由 ，而 ，即 ，
综上，则有 .故选：B.
【点睛】方法点睛：解决此类题的常见方法，
（1）指、对数函数的值比较：一般需要指对互化、换底公式，以及运用函数的单调性判断；
（2）作差、作商比较：对于结构相似的一般进行作差或作商比较，有时还需基本不等式放缩比较；
（3）构造函数法：对于相同结构的式子，常构造函数，利用函数单调性判断.
6．（23-24高二下·江苏常州·期末）已知函数 及其导数 的定义域均为 ，对任意实数 ，
，且当 时， .不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数 ，从而结合导数与所给条件得到函数 的单调性与对称性，在
将所给不等式中 化为 即可得解.
【详解】令 ，则 ，
由题意可得，当 时， ，即 在 上单调递增，
由 ，则 ，
即 ，故 为偶函数，故 在 上单调递减，
则不等式 可化为： ，
即 ，则有 ，即 ，
即 ，即 ，
解得 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数 ，从而结合导数与所给条件得到函
数 的单调性与对称性.
7．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数 的图象是一条连续不断的曲线， 是 的
导函数，当 时， ，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据 构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知
在 时是单调递增函数，再结合已知条件又可知 是偶函数，利用单调性和
奇偶性解不等式即可.
【详解】令 ，则 ，
因为当 时， ，所以 在 上单调递增，
又 为奇函数，且图象连续不断，所以 为偶函数，
由 ，得 ，解得 或
故选：D.
【点睛】关键点点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及函数与导数
之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.
8．（2024·陕西·模拟预测）已知函数 ，若 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用导数判断 的单调性，再构造函数 ，利用导数判断得 ，
从而得解.
【详解】因为 ，
所以 ，
令 ，则 恒成立，
所以当 时， ，即 ，
又 在 上单调递增，所以 ，
所以 在 上恒成立，则 在 上单调递增，
构造函数 ，则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，即 ，可得 ， ，
所以 ， ，
所以 ， ，
即
所以， ，
即 .
故选：D.
【点睛】思路点睛：先利用导数判断 的单调性，再构造函数 ，利用导数判断得
，是解决本题的关键.
9．（2024·新疆喀什·三模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由正弦函数、对数函数性质易得 ，构造 ，利用导数判断单调
性，再判断大小关系即可得 ，即可得结果.
【详解】因为 在 内单调递增，
则 ，即 ，
又因为 在 内单调递增，
则 ， ，可得 ；
令 ，则 ， ，
构建 ，
则 ，
可知 在 上递减，则 ，即 ；
综上所述： .
故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据 构建 ，利用导数判断其单
调性，进而可得 .
10．（2023·湖北武汉·三模）已知 ， ， ，则
a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设 ，对 求导，得到 的单调性的最值，结合对数函数和三角
函数的性质，即可证明 ，再证明 ，令 ，通过指数和对数函数的运算性质可证明
，即可得出答案.
【详解】设 ， ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，所以 ，
，
又 ，则 ，
，所以 ，
对于 ，令 ，则 ，
此时 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于比较实数大小方法：
（1）利用基本函数的单调性，根据函数的单调性判断，
（2）利用中间值“1”或“0”进行比较，
（3）构造函数利用函数导数及函数单调性进行判断.
1．（陕西·高考真题） 是定义在 上的非负可导函数，且满足 ．对任意正数a，b，若 ，则必有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造函数 ，再分类讨论即可求解.
【详解】解：令 ， ，
所以 在 上为常函数或递减,
若 在 上为单调递减，所以 ，
即 ①， ②
①②两式相乘得：
所以 ，
若 在 上为常函数，且 ，则 ，
即 ③， ④，
③④两式相乘得：
所以 ，
综上所述，
故选：A
2．（江西·高考真题）对于R上可导的任意函数 ，若满足 则必有
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先由题意得到函数的单调性,然后跟根据单调性进行判断可得结论.
【详解】
若 ，则 为常数函数, ;
若 不恒成立,
当 时, , 递增，当 时, , 递减.
.
故选:C.【点睛】本题考查函数最值和单调性的关系,考查对基本概念的理解,解题时可根据导函数的符号得到函数
的单调性,进而得到函数的最值情况,属于中档题.
3．（湖南·高考真题）设 分别是定义在 上的奇函数和偶函数，当 时，
．且 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
构造函数 ，利用已知可判断出其奇偶性和单调性，进而即可得出不等式的解集．
【详解】
令 ，则 ，因此函数 在 上是奇函数．
① 当 时， ， 在 时单调递增，
故函数 在 上单调递增．
，
，
．
②当 时，函数 在 上是奇函数，可知： 在 上单调递增，且 （3） ，
，的解集为 ．
③当 时， ，不符合要求
不等式 的解集是 ， ， ．
故选：D
4．（全国·高考真题）设函数 是奇函数 （ ）的导函数， ，当 时，
，则使得 成立的 的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】构造新函数 , ，当 时 .
所以在 上 单减，又 ，即 .
所以 可得 ,此时 ，
又 为奇函数，所以 在 上的解集为： .故选A.
点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如 ，想到构造
.一般：（1）条件含有 ，就构造 ,（2）若 ，就构造
，（3） ，就构造 ，（4） 就构造 ，等
便于给出导数时联想构造函数.
