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高 三 数 学
本试卷共6页。时量120分钟。满分150分。
一、选择题(本犬题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项；目要求的.).
1.若复数 z 满足 则 的虚部为
A.1 B. i C.-1 D.-i
2.已知集合 A={(x,y)|y=2ax},B={(x,y)|y= ax-b},A∩B={(1,3)},则 b=
A.-2 B.
C. D.1
3.直线 l₁:(a+2)x+2ay-1=0 和直线 l₂: ax-2y+3=0,则“a=2”是“l₁ l₂”的
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
⊥
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知某放射性物质的质量 N 随时间 t(单位：年)的衰变规律满足
表示原有的某种物质的质量).经过测定，学堂梁子遗址
中某件石制品化石样本中的该种物质的质量是原来的 倍，据此推测该石
制品生产的时间距今约(参考数据：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6)
A.800 年 B.810 年 C.900 年 D.920 年
5.已知 则 的最小值为
A. B. C. D.
6.设 a (0, ),β (0, ),且 则
∈ ∈
7.定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+3)=-f(x),且 x (-3,0)时, 则
=
∈
A. B. C. D.
8.已知数列{a }的前 n 项和为 S ，且满足 若对
n n
任意 n∈ 恒成立，则实数λ的取值范围是
A.(-∞,-14] B.(-∞,-12] C.(-∞,-10] D.(-∞,-8]
学科网（北京）股份有限公司二、选择题(本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.)
9.下列说法正确的有
A.数据 2,3,5,7,11,13 的第 75 百分位数为 7,中位数为 6
B.一组数据的标准差为 0，则这组数据中的数值均相等
C.若随机变量ξ,η满足η=2ξ-3,则 E(η)=2E(ξ)-3,D(η)=4D(ξ)-3
D.一个医疗队有男医生 36 人，女医生 24 人，分层抽样抽取了一个 5 人小分队，
现将这 5 人分配去三个医院指导工作，每个医生去一个医院且每个医院至少
有一名医生，女医生去同一个医院，共有 36 种分配方式
10.如图,正方体 ABCD-A B C D 的棱长为 2,E 是 的中点，则
1 1 1 1
A.三棱锥 的体积为
B. C E⊥平面 BCE
1
C.三棱锥 的外接球的表面积为
D.由 B ，C，E 三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为
1
11.双曲线 的左、右焦点分别为 F₁，F₂，具有公共焦点的
椭圆与双曲线在第一象限的交点为 P，双曲线和椭圆的离心率分别为 e₁，e₂，
△PF F₂的内切圆的圆心为 I，过 作直线 PI 的垂线，垂足为 D，则
1
A.若 PI 的延长线交 x 轴于点 N，则
B.点 D 的轨迹在圆上
C.若 则
D.若|OP|=|OF |,则
1
选择题答题卡
题
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 得分
号
答
案
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，)
12.已知向量 , 满足| |=4, =(2,2),若向量 在向量 方向上的投影向
量的坐标为(1,1),则| |= .
13.若曲线. 在点(0，1)处的切线也是曲线 的切线，
学科网（北京）股份有限公司则
14.已知△ABC 的面积为 6,D,E 分别是 AB,AC 的中点,若 2CD=3BE,则 BC 长度的最
小值为
四、解答题(本大题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
15.(13分)某高校拟与某网络平台合作组织学生参加与AI知识有关的网络答题活动，为了解男女学
生参与答题意愿的差异，男生、女生各取100人.设事件A=“学生愿意报名参加答题活动”，B=
“学生为男生”，据统计
(1)根据已知条件，完成下列 2×2列联表，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，能
否推断该校学生报名参加答题活动的意愿与性别有关?
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动
愿意报名参加答题活动
合计 200
(2)网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为 若答题活动
设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则继续答题，直到
4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用X 表示在本次答题的题目数量，求X的分布列
和期望.
参考公式与数据： 其中n=a+b+c+d.
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
a
学科网（北京）股份有限公司16.(15分)如图,四棱锥(S-ABCD中，底面ABCD是矩形，SA=AD=1,AB=
M是SB的中点，
(1)证明:
(2)若点 P 是棱 SC 上的动点，直线 AP 与平面 AMC 所成角的正
弦值为 求 的值.
17.(15分)已知椭圆 M; 的左、右焦点为 点 P 是椭圆上任意一点，
的最小值是-2.
(1)求椭圆M的方程.
(2)直线l:y=tx+n(n>0)与椭圆M交于D，E两点，O为坐标原点.试求当t为何值时，
恒为定值?并求此时 面积的最大值.
学科网（北京）股份有限公司18.(17 分)设数列 的前n项和为 已知
(1)求 的通项公式.
(2)在 与 之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是
否存在3项 (其中m，k，p成公差不为零的等差数列)成等比数列?若存在，求出这样的
3项；若不存在，请说明理由.
(3)已知函数f(x)=[x],，其中[x]表示不超过x 的最大整数，设 数列 的前n项和
为 求 除以16的余数.
学科网（北京）股份有限公司19.(17分)已知函数
(1)当 k=1时，若对任意 不等式 f(x)≥g(1)恒成立，求实数 a的取值范围.
(2)当 f(x)=0在 有解，求实数 k的取值范围.
(3)当函数 g(x)有两个极值点 且 时，是否存在实数 m， 总有
成立?若存在，求出实数 m的取值范围；若不存在，请说明理由.
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