文档内容
第 04 讲 函数的概念及其表示
（7 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析
函数与方程的综合应用 根据函数零点的个数求参数范围
2024年天津卷，第15题,5分
已知方程求双曲线的渐近线
2023年天津卷，第15题,5分 根据函数零点的个数求参数范围
2021年天津卷，第9题,5分 根据函数零点的个数求参数范围
2020年天津卷，第9题,5分 根据函数零点的个数求参数范围函数与方程的综合应用
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是天津高考卷的必考内容，设题灵活，难度有高有低，分值为5分及以上
【备考策略】1.理解、掌握函数的概念，能够判断相同函数
2.能掌握函数解析式的就发以及分段函数的求值与不等式等问题
3.具备数形结合的思想意识，会借助函数图像，分析最值与值域问题
【命题预测】本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出函数的解析式，要求函数值与取值范围等.
知识讲解
知识点一.函数的概念1.定义
函数
两集合A、B 设A，B是两个非空数集
对应关系f： 如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，
A→B 在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应
名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
记法 y＝f(x)，x∈A
2.函数的有关概念
（1）函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；
与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域．
（3）函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
知识点二.分段函数的定义
定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，函数有不同的解析式，这样的函数通常叫做分
段函数．分段函数因其特点可以分成两个或多个区间及其相应的解析式，分段函数是一个函数．
分段函数的定义域是各段x取值集合的并集．
考点一、函数关系的判断
1.（2024高三·全国·专题练习）若函数y=f (x)的定义域为A=¿，值域为B=¿，则函数y=f (x)的图象
可能是（ ）
A． B．
C． D．
2.（23-24高三上·河南新乡·阶段练习）已知点A为某封闭图形边界上一定点，动点P从点A出发，沿其
边界顺时针匀速运动一周．设点P运动的时间为x，线段AP的长度为y，表示y与x的函数关系的图象大致如图所示，则该封闭图形可能是（ ）
A． B． C． D．
1. （ 22-23 高 三 · 全 国 · 对 口 高 考 ） 已 知 函 数 f(x),x∈F， 那 么 集 合
{(x,y)|y=f(x),x∈F}∩{(x,y)|x=1}中所含元素的个数有 .
2.（湖南·高考真题）给定k∈N∗，设函数f :N∗→N∗满足：对于任意大于k的正整数n，f(n)=n−k.
(1)设k=1，则其中一个函数f在n=1处的函数值为 ；
(2)设k=4，且当n≤4时，2≤f(n)≤3，则不同的函数f的个数为 ．
√3
3.（23-24高三上·上海闵行·期中）设曲线C与函数f(x)= x3 (00,a≠1 D．y=log ax ，其中a>0,a≠1
a
2.（23-24高三上·河南濮阳·阶段练习）下列函数中，与函数f (x)=x是同一函数的是（ ）
A．f (x)=(√x) 2 B．f (x)=√x2
t2
C．f (x)=√3 x3 D．f (t)=
t1.（2020·天津·模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
x2+x x2
A．y=x+1与y= B．f (x)= 与g(x)=x
x (√x) 2
C．f (x)=∣x∣与g(x)=√n xn D．f (x)=x与g(t)=log at
a
2．（23-24高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列选项中表示同一函数的是（ ）
A．f (x)=x0与g(x)=1
x2
B．f (x)=x与g(x)=
x
C．f (x)=√(x−2023) 2与g(x)=x−2023
D．f (x)=¿与g(x)=¿
3．（2023高三·全国·专题练习）下列每组中的函数是同一个函数的是（ ）
A．f (x)=|x|，g(x)=(√x) 2 B．f (t)=|t|，g(x)=√x2
x2−9
C．f (x)=√−2x3，g(x)=√−2x D．f (x)= ，g(x)=x+3
x−3
4．（22-23高三·全国·课后作业）以下四个命题：
①当n=0时，函数y=xn的图象是一条直线；
②函数y=x2和y=elnx2为同一个函数；
③若定义域为R的函数y=f (x)是奇函数，则f (0)=0；
④已知函数y=f (x)在区间[a,b]上的图象是一段连续曲线，若f (a)⋅f (b)>0，则函数f (x)在(a,b)上没有
零点．
其中，真命题的个数为（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
考点 三 、 函数解析式的求法
1.（2024高三·全国·专题练习）已知函数f(√x+1)=x−4，则f (x)= .
2.（2024高三·全国·专题练习）已知f (x)满足2f(x)+f(−x)=3x，求f (x)的解析式.
1.（2024高三·全国·专题练习）已知f (x)为二次函数且f (0)=3，f (x+2)−f (x)=4x+2，则f (x)=
．
( (1))
2.（23-24 高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）若函数 f (cosx)=cosx+cos2x，则 f f =
2
（ ）A．−2 B．−1 C．1 D．2
3.（安徽·高考真题）若f(sinx)=2−cos2x，则f(cosx)=（ ）
A．2−sin2x B．2+sin2x C．2−cos2x D．2+cos2x
1−x 1−x2
4.（湖北·高考真题）已知f( )= ，则f(x)的解析式为（ ）
1+x 1+x2
x 2x
A．f(x)= B．f(x)=−
1+x2 1+x2
2x x
C．f(x)= D．f(x)=−
1+x2 1+x2
5.（2024·四川·模拟预测）已知f (x)为定义在R上的单调函数，且对∀x∈R,f (f (x)−ex)=2+ln2，
则f (ln3)=（ ）
A．3ln2 B．3+ln2
C．3−ln2 D．ln3
6.（23-24高三下·重庆·阶段练习）设f (x)是定义在R上的单调增函数，且满足f (−1−x)+f (x)=−7，
[ 1 1 ]
若对于任意非零实数x都有f f (x)+ −x− +2 =−4，则f (2024)= .
f (x)+3 x
考点 四 、 分段函数求值
1.（山东·高考真题）设f (x)=¿ ，则f (f (2))的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2.（2024·上海·高考真题）已知f (x)=¿则f (3)= ．
( (1))
1.（2022·浙江·高考真题）已知函数f(x)=¿则f f = ；若当x∈[a,b]时，1≤f(x)≤3，
2
则b−a的最大值是 ．
2.（2021·浙江·高考真题）已知a∈R，函数f(x)=¿若f [f (√6)]=3，则a= .
3.（23-24高三下·辽宁丹东·开学考试）已知函数f (x)=¿，则f (2020)= .
π
4.（2024·江苏南通·模拟预测）已知函数f(x)=¿，则f [f( )]= .
2
5.（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知函数f (x)=¿，则f (√2)+f (−1)= ．
6.（22-23高三上·上海浦东新·阶段练习）已知函数f (x)=¿，则f(−2)+f (log 12)= .
3
7.（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设f (x)=¿，且f (2)=4，则a= ，f (−2)= .考点 五 、 分段函数的应用
1.（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=¿，则f (2024)=（ ）
1
A．−1 B．0 C． D．1
2
2.（2022·北京·高考真题）设函数f(x)=¿若f(x)存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大
值为 ．
1.（2018·浙江·高考真题）已知λ∈R，函数f(x)=¿，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是 ．
若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是 ．
2.（2024·天津·二模）设a∈R，函数f (x)=¿. 若f (x)在区间[0,+∞)内恰有2个零点，则a的取值范围
是 .
3.（2024·北京西城·二模）已知函数f (x)=¿，g(x)=f(x)−a，其中a∈R．
①若函数g(x)无零点，则a的一个取值为 ；
②若函数g(x)有4个零点x ( i=1 ,2 ,3 ,4 )，则x +x +x +x = ．
i 1 2 3 4
4.（2024·全国·模拟预测）已知函数f (x)=¿，若x f (5a)，则实数a的取值范围是 .
1
5.（22-23高三上·北京海淀·期末）已知函数f (x)=¿，若f (a)> ，则实数a的取值范围是 .
2
6.（22-23高三上·天津和平·阶段练习）已知函数f (x)=¿，则不等式f (3x-1)>3的解集为 .
7.（23-24高三上·天津河北·期中）已知函数f (x)=¿则满足f (x)≤2的x的取值范围是 .
考点 七 、 分段函数的值域与最值
1.（23-24 高三下·江西吉安·期中）已知函数f (x)=¿，若f (x)的值域是[−2,1]，则c的值为
（ ）
1 1
A． B．e C．e2 D．
e e2
2.（2024·北京西城·一模）已知函数f (x)=¿，若f (x)存在最小值，则c的最大值为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
16 8 4 2
1.（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数f (x)=¿的最小值为-1，则a= .
2.（23-24高三下·北京西城·开学考试）设定义在[−1,3]函数f (x)=¿当a=0时，f (x)的值域为 ；
若f (x)的最大值为1，则实数a的所有取值组成的集合为 .
3.（23-24高三上·北京朝阳·期末）设函数f (x)=¿，当a=0时，f(x)的最大值为 ；若f(x)无最
大值，则实数a的一个取值为 .
4.（2024·全国·模拟预测）若函数f (x)=¿的值域为R，则a的一个值为 ．
5.（2023·上海青浦·一模）已知函数y=¿的值域为R，则实数a的取值范围为 ．6.（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数f (x)=¿，若∃x ∈R，使得f (x )≤10m+4m2 成立，则实数
0 0
m的取值范围为（ ）
[ 9 1] [ 5 ]
A． − ,− B． − ,0
4 4 2
( 9] [ 1 ) ( 5]
C． −∞,− ∪ − ,+∞ D． −∞,− ∪[0,+∞)
4 4 2
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数f (x)=¿则f (−1)=（ ）
7
A．1 B．−1 C．− D．5
2
2．（20-21高三上·天津红桥·期末）设函数f (x)=¿，则f (f (0))（ ）
A．0 B．3
C．1 D．2
( (1))
3．（22-23高三上·天津红桥·期中）已知函数f (x)=¿，则f f =（ ）
3
1 1 1
A．2 B． C． D．
2 4 9
1−x2
4．（2023·重庆·模拟预测）已知函数f (1−x)= (x≠0)，则f (x)=（ ）
x2
1 1
A． −1(x≠0) B． −1(x≠1)
(x−1) 2 (x−1) 2
4 4
C． −1(x≠0) D． −1(x≠1)
(x−1) 2 (x−1) 2
5．（2024·山东泰安·二模）已知函数f (x)=¿且f (m)=−12，则f (6−m)=（ ）
A．−1 B．−3 C．−5 D．−7
6．（22-23高三·全国·对口高考）给出下列四组函数：
（1）f (x)=x， g(x)= ( x 1 2 ) 2 ；
（2）f (x)=x−2，g(x)=√x2−4x+4；
1
（3）f (x)= ，g(x)=f−1(x)；
x
| (1) x|
（4）f (x)= lg ，g(x)=|x|lg2．
2其中相同的函数有 （请在横线内填序号）．
7．（20-21高三上·天津滨海新·阶段练习）已知函数f (x)=¿，求使得f (x)≥2的自变量x的取值范围．
1．（23-24高二下·福建三明·阶段练习）下列各组函数相等的是（ ）
x2
A．f (x)=x2，g(x)=(√x) 4 B．f (x)=x−1，g(x)= −1
x
C．f (x)=1，g(x)=x0 D．f (x)=|x|，g(x)=¿
2．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数f (x)=¿，若f (x )+f (x )<0，则x +x 的取值（ ）
1 2 1 2
A．一定为正 B．一定为负 C．一定为零 D．正、负、零都可能
3．（2024高三·全国·专题练习）设x∈R，定义符号函数sgnx=¿，则（ ）
A．|x|= x|sgnx| B．|x|= xsgn|x| C．|x|=|x|sgnx D．|x|=xsgnx
4．（2024高三·全国·专题练习）求下列函数的解析式
（1）已知f (√x+1)=x+2√x，则f (x)= ．
（2）已知f (x)是三次函数，且在x=0处的极值为0，在x=1处的极值为1，则f (x)= ．
(1) 3
（3）已知f(x)的定义域为{x|x≠0}，满足3f (x)+5f = +1，则函数f (x)= ．
x x
（4）已知函数f (x+1)是偶函数，且x<1时f (x)=x2−4x，则x>1时，f (x)= ．
5．（2024·江苏徐州·模拟预测）若函数f (x)=¿有两个零点，则实数a的取值范围为 .
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数f(x)=¿则函数y=f(f(x))+1有 个零点．
1.（2020·山东·高考真题）已知函数f (x)=¿.
（1）求f [f (1)]的值；
（2）求f (|a−1|)<3，求实数a的取值范围.
2．（2024·全国·高考真题）已知函数f(x)的定义域为 R，f(x)>f(x−1)+f(x−2)，且当x<3时
f(x)=x，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．f(10)>100 B．f(20)>1000
C．f(10)<1000 D．f(20)<10000
3．（2024·全国·高考真题）已知函数f(x)=¿在R上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A．(−∞,0] B．[−1,0] C．[−1,1] D．[0,+∞)
1
4．（2019·天津·高考真题）已知函数f(x)=¿若关于x的方程f(x)=− x+a (a∈R)恰有两个互异的
4
实数解，则a的取值范围为[5 9] (5 9] (5 9] [5 9]
A． , B． , C． , ∪{1} D． , ∪{1}
4 4 4 4 4 4 4 4
5 ． （ 四 川 · 高 考 真 题 ） 设 f(x)是 定 义 在 R 上 的 周 期 为 2 的 函 数 ， 当 x∈[−1,1)时 ，
−4x2+2, −1≤x<0, 3
f(x)={ ，则f( )=
x, 0≤x<1, 2
1
6．（2017·全国·高考真题）设函数f(x)=¿则满足f(x)+f(x− )>1的x的取值范围是 .
2
