文档内容
第 02 讲 常用逻辑用语
（6 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析 关联考点
判断命题的真假
2024年新Ⅱ卷，第2题，5 单绝对值不等式
全称量词命题的否定及其真假判断
分 一元三次方程
存在量词命题的否定及其真假判断
2023年新I卷，第7题，5分 充分条件与必要条件 等差数列通项公式及前n项和
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，具体视命题情况而定，新教材体系下只考查充分条件与必
要条件和全称量词命题与存在量词命题及其否定，可直接考查，分值 5分，也可作为知识点载体的形式考
查，例如2023年新Ⅰ卷第7题以数列知识点作为载体，难度随载体知识点而定，分值为5分
【备考策略】1.理解、掌握充分条件、必要条件、充要条件
2.能正确从集合角度理解充分条件与必要条件的判断及逻辑关系
3.能理解全称量词与存在量词的意义
4.能正确对全称量词命题和存在量词命题进行否定
【命题预测】本节内容常作为载体考查充分条件与必要条件，需对考纲内知识点熟练掌握；全称量词命题
和存在量词命题的否定也是高考复习和考查的重点。知识讲解
1．在数学中，把用语言、符号、或式子表达的，我们把可判断 的陈述句叫做命题.
判断为_____的语句叫做真命题，判断为_____的语句叫做假命题.
【答案】真假 真 假
2．在数学中，许多命题可表示为“若 则 ”，其中 叫作命题的 ， 叫作命题的 .
【答案】条件 结论
3．充分条件与必要条件的定义
一般地，“若 ，则 ”为真命题，是指由条件 通过推理可以得出 。
由 可推出 ，记作 ，并且说 是 的__________， 是 的__________。
如果“若 ，则 ”为假命题，是指由条件 不能推出结论 ，记作 ，则 不是 的充分条件，
不是 的必要条件。
【答案】充分条件 必要条件
4．充分性和必要性的关系
在“若 ，则 ”中，
若： ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件若： ，则 是 的充分条件， 是 的必要条件
也就是说：在“若 ，则 ”中，
条件 结论，_________________；
结论 条件，_________________
【答案】充分性成立 必要性成立
5．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的 条件，q是p的 条件
⇒
p是q的 条件 p q且q p
⇒
p是q的 条件 p q且q p
⇒
p是q的 条件 p q
⇔
p是q的 条件 p q且q p
【答案】 充分 必要 充分不必要 必要不充分 充要 既不充分又不必要
6．集合中的包含关系在判断条件关系中的应用
设命题 对应集合 ，命题 对应集合
若 ，即 ， 是 的充分条件（充分性成立）
若 ，即 ， 是 的必要条件（必要性成立）
若 ，即 ， ， 是 的______________________
若 ，即 ， ， 是 的______________________
若 ，即 ， ， 是 的______________________
【答案】充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件
7．全称量词与存在量词
（1）全称量词：短语“ ”、“ ”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“ ”表示.
（2）存在量词：短语“ ”、“ ”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“ ”表示.
【答案】 所有的 任意一个 存在一个 至少有一个
8．全称量词命题、存在量词命题及含量词命题的否定
命题名称 命题结构 命题简记 命题的否定
全称量词命
对M中任意一个x， 成立
题
存在量词命 存在M中的元素x， 成立题
【答案】
考点一、 判断充分条件与必要条件
1．（2024·全国·高考真题）已知向量 ，则（ ）
A．“ ”是“ ”的必要条件 B．“ ”是“ ”的必要条件
C．“ ”是“ ”的充分条件 D．“ ”是“ ”的充分条件
【答案】C
【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.
【详解】对A，当 时，则 ，
所以 ，解得 或 ，即必要性不成立，故A错误；
对C，当 时， ，故 ，
所以 ，即充分性成立，故C正确；
对B，当 时，则 ，解得 ，即必要性不成立，故B错误；
对D，当 时，不满足 ，所以 不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
2．（2023·全国·高考真题）记 为数列 的前 项和，设甲： 为等差数列；乙： 为等差数列，
则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义及等差数列的定义，再结合数列前n项和与第n项的关系推理判
断作答.，
【详解】方法1，甲： 为等差数列，设其首项为 ，公差为 ，
则 ，因此 为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 为常数，设为 ，
即 ，则 ，有 ，
两式相减得： ，即 ，对 也成立，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲： 为等差数列，设数列 的首项 ，公差为 ，即 ，
则 ，因此 为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙： 为等差数列，即 ，
即 ， ，
当 时，上两式相减得： ，当 时，上式成立，
于是 ，又 为常数，
因此 为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
1．（2024·河北秦皇岛·二模）已知向量 ， ，则“ ”是“ 与 共线”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据向量共线的坐标关系运算求出 的值，判断得解.
【详解】向量 ， ，
若 与 共线，则 .解得 或 ，所以“ ”是“ 与 共线”的充分不必要条件，
故选：A.
2．（2024·山东日照·二模）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为函数 在定义域 上单调递增，
所以由 推得出 ，故充分性成立；
由 推得出 ，故必要性成立，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
3．（2024·山东聊城·三模）“ ，且 ”是“ ，且 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意，利用不等式的基本性质，结合充分、必要条件的判定方法，即可求解.
【详解】若 ，且 ，根据不等式的加法和乘法法则可得 ，且 ，即必要性成立；
当 ，满足 ，且 ，但是 ，故充分性不成立，
所以“ ，且 ”是“ ，且 ”的必要不充分条件.
故选：B
考点二、 根据命题的条件求参数值或范围
1．（2023·江西萍乡·二模）集合 ，若 的充分条件是 ，则实
数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意 是 的子集，从而求解.
【详解】 ，
因为 的充分条件是 ，所以 ，则 ，
故选：B.
2．（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）关于 的一元二次方程 有实数解的一个必要不充分条
件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 可得 ，根据充分、必要条件的定义，结合选项即可求解.
【详解】因为一元二次方程 有实根，
所以 ，解得 .
又 是 的真子集，
所以“ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：A
1．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数 为虚数单位 的共轭复数为 ，则“ 为纯
虚数”的充分必要条件为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据复数的乘法运算化简复数，再由共轭复数和纯虚数的定义即可求解.
【详解】因为 ，
由 为纯虚数，即 且 ，
即 且 .
故选：D.
2．（2024·山东·二模）已知 ， ，若 是 的充分不必要条件，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】首先化简命题 ，依题意可得当 时 恒成立，参变分离可得 在
上恒成立，结合函数的单调性计算可得.
【详解】命题 ，即 ，
因为 是 的充分不必要条件，
显然当 时满足 ，
所以当 时 恒成立，
则 在 上恒成立，
又函数 在 上单调递增，且 ，
所以 .
故选：A
3．（23-24高三上·广东汕头·阶段练习）命题 方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则使命题
成立的充分必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】求出当命题 为真命题时实数 的取值范围，再结合充要条件的定义可得出结论.
【详解】若命题 为真命题，则方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
所以， ，解得 ，
因此，使命题 成立的充分必要条件是 .
故选：B．
考点三、 判断全称量词命题和存在量词命题真假
1．（2023·河北·模拟预测）命题 ： ， ，命题 ： ， ，则（ ）
A． 真 真 B． 假 假 C． 假 真 D． 真 假
【答案】D【分析】对于命题 ：根据特称命题结合二次函数分析判断；对于命题 ：根据存在命题结合二次函数的
判别式分析判断.
【详解】对于命题 ：令 ，则 开口向上，对称轴为 ，
且 ，则 ，
所以 ， ，即命题 为真命题；
对于命题 ：因为 ，
所以方程 无解，即命题 为假命题；
故选：D.
2．（湖南·高考真题）下列命题中的假命题是
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【详解】试题分析：当x=1时，（x-1）2=0,显然选项B中的命题为假命题，故选B．
考点：特称命题与存在命题的真假判断．
1．（22-23高三下·河北·阶段练习）已知命题 （ 为自然对数的底数）
，则下列为真命题的是（ ）
A． 真， 假 B． 真， 真
C． 假， 真 D． 假， 假
【答案】C
【分析】由全称量词，特称量词定义判断命题p，q正误可得答案.
【详解】 命题 为假命题， ，必有 ，所以 ，
命题 为真命题.
故选：C.
2．（2022·安徽蚌埠·模拟预测）下列四个命题中，是假命题的是（ ）
A． ，且
B． ，使得
C．若x＞0，y＞0，则D．若 ，则 的最小值为1
【答案】A
【分析】A举反例，B找一个满足条件的，C基本不等式的应用，D分离常数结合基本不等式.
【详解】解析：选A.对于A， ，且 对x＜0时不成立；
对于B，当x＝1时，x2＋1＝2，2x＝2， 成立，正确；
对于C，若x＞0，y＞0，则 ，化为 ，当且仅当
时取等号，C正确；
对于D， ，因为 ，所以 ，所以
，当且仅当 ，即 时取等号.故y的最小值为1，D
正确.
故选：A
考点 四 、 全称量词命题和存在量词命题的否定
1．（2024·全国·高考真题）已知命题p： ， ；命题q： ， ，则（ ）
A．p和q都是真命题 B． 和q都是真命题
C．p和 都是真命题 D． 和 都是真命题
【答案】B
【分析】对于两个命题而言，可分别取 、 ，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解.
【详解】对于 而言，取 ，则有 ，故 是假命题， 是真命题，
对于 而言，取 ，则有 ，故 是真命题， 是假命题，
综上， 和 都是真命题.
故选：B.
2．（2024·广东梅州·一模）命题“ ”的否定是（ ）
A．
B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解.
【详解】存在量词命题的否定为全称量词命题，
所以命题“ ”的否定是“ ”.
故选：C
1．（2024·山东潍坊·二模）已知命题 ： ， ，则 为 ．
【答案】
【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断即可.
【详解】由特称命题的否定为全称命题可得 为 .
故答案为：
2．（2024·河北邯郸·模拟预测）命题“ ， ”的否定是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题即可得解.
【详解】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，
所以命题“ ， ”的否定是 ， .
故选：D.
考点 五 、 根据全称量词命题和存在量词命题的真假，求参数值或范围
1．（2024·辽宁·三模）若“ ，使 ”是假命题，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】将问题转化为“ 在 上恒成立”，再利用对勾函数的单调性求得最值，从而得解.
【详解】因为“ ，使 ”是假命题，所以“ ， ”为真命题，
其等价于 在 上恒成立，
又因为对勾函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： .
2．（2024·全国·模拟预测）已知命题“对于 ， ”为真命题，写出符合条件的 的一
个值： ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】当 时， ，当 时，可得 可取任意负数，即可求解.
【详解】对于 ， ，
当 时，对于 ， ，则 可取任意负数，如 ；
故答案为： .
1．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题 ，若 为假命题，则 的取值范围是
【答案】
【分析】根据全称命题的真假可知 为真命题，由此构造函数
，结合单调性求得最值，即可求得答案.
【详解】由题意知命题 为假命题，
则 为真命题，
设 ，则 ，
由于 在R上单调递增，故 在 上单调递减，
则 ，故 ，故答案为：
2．（2024·辽宁·模拟预测）命题 ：存在 ，使得函数 在区间 内单调，若
的否定为真命题，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】先给出命题p的否定，由函数 的单调性进行求解.
【详解】命题p的否定为：任意 ，使得函数 在区间 内不单调，
由函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，而 ，
得 ，
故答案为：
考点 六 、 常用逻辑用语多选题综合
1．（2024·重庆·三模）命题“存在 ，使得 ”为真命题的一个充分不必要条件是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】根据题意，转化为存在 ，设定 ，利用二次函数的性质，求得 的最小值为 ，
求得 的取值范围，结合充分不必要条件的定义和选项，即可求解.
【详解】由题意，存在 ，使得 ，即 ，
当 时，即 时， 的最小值为 ，故 ；
所以命题“存在 ，使得 ”为真命题的充分不必要条件是 的真子集，
结合选项可得，C和D项符合条件.
故选：CD.
2．（2023·湖南常德·一模）已知平面α，β，直线l，m，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ，则“ ”是“ ”的充分不必要条件
D．若 ， ，则“ ”是“ ”的必要不充分条件【答案】ACD
【分析】根据面面垂直的性质定理可判断A,根据线面平行的判断以及性质可判断BD,根据线面垂直的性质
可判断C.
【详解】由面面垂直的性质定理可知A正确,
对于B,若 ， ，则 ,或者 异面，故B错误,
对于C,若 , 则 ,故充分性成立,但是 ， ，不能得到 ，故C正确，
对于D,若 ， ， ,不能得到 ,因为 有可能异面，但是 ， ， ，则
，故D正确，
故选：ACD
1．（2023·湖南·模拟预测）以下说法正确的是（ ）
A．命题 的否定是：
B．若 ，则实数
C．已知 ，“ ”是 的充要条件
D．“函数 的图象关于 中心对称”是“ ”的必要不充分条件
【答案】ACD
【分析】根据命题的否定可判断A，根据恒成立以及基本不等式可判断B，根据不等式的性质可判断C，根
据正切函数以及正弦函数的性质可判断D.
【详解】对于A,命题 的否定是： ,故A正确，
对于B, ，则 对 恒成立，故 ，由于
，故 ，因此B错误，
对于C， ，若 ，则 ，若 ，此时 ，若
，则 ，因此对任意的 ，都有 ，充分性成立，若 ，
如果 ，则由 ，如果 ，则由
，若 ，显然满足 ，此时 ，如果
，不满足 ，综合可知： ，所以必要性成立，故“ ”是 的充要条件，
故C正确，
对于D， 的对称中心为 ,所以 不一定为0， ，则 ,此时，故 是 的对称中心，故函数 的图象关于 中心对称”是“
”的必要不充分条件，故D正确，
故选：ACD
2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知 ，则使得“ ”成立的一个充分条件可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】由不等式的性质可判断AD；取特值可判断B； 可化为 结合
的单调性可判断C.
【详解】对于A，因为 ， ，故 故A选项正确；
对于B，取 ，此时满足 ，但 ，B选项错误；
对于C， 可得： ，
则 ，因为 ，即
所以 ，因为函数 在 不单调，所以C选项错误；
对于D，由 可知， ，因为 ，
所以 ，故D选项正确，
故选：AD．
1．（2024·河南·三模）命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据存在量词命题的否定形式，即可求解.
【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题，即命题“ ”的否定为“ ”.
故选：B.
2．（2024·四川成都·模拟预测）命题 的否定是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由特称命题的否定是全称命题，即可得到结果.
【详解】因为命题 ，
则其否定为 .
故选:B
3．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）命题“ ”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定是存在命题，将原命题改写量词否定结论即可.
【详解】命题“ ” 的否定是“ ”.
故选：A
4．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题 ，则 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得解.
【详解】根据全称命题的否定，得 为： .
故选：A.
5．（2024·新疆·二模）使“ ”成立的一个充分不必要条件是（ ）A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
先解分式不等式 ，求得解集，依题意，只需使选项的范围是该解集的真子集即得.
【详解】
由 ，得 ，解得 ，则选项中的 的范围组成的集合是 的真子集，
由选项知，选项 均不满足，选项B满足.故使“ ”成立的一个充分不必要条件可以是“
”.
故选：B.
6．（2024·河北唐山·一模）已知 ， ：“ ”， ：“ ”，则 是 的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】
首先解一元二次方程，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由 ，即 ，解得 或 ，
所以 ：“ 或 ”，
故由 推不出 ，即充分性不成立，
由 推得出 ，即必要性成立，
所以 是 的必要但不充分条件.
故选：B
7．（2024·天津·二模）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意可直接判断充分性，举例说明必要性不成立即可.
【详解】若 ，则 ，即充分性成立；
若 ，例如 ，满足条件，但 不成立，即必要性不成立；
综上所述：“ ”是“ ”的充分不必要条件.故选：A.
8．（2024·福建漳州·三模）已知数列 是公比不为1的正项等比数列，则 是 成立的
（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用下标和性质判断充分性，根据通项公式化简可判断必要性.
【详解】由下标和性质可知，若 ，则 ；
记数列 是公比为 ，若 ，则 ，即 ，
因为数列 是公比不为1的正项等比数列，所以 ，得 .
综上，则 是 成立的充要条件.
故选：A
9．（2024·北京朝阳·二模）已知 是两个互相垂直的平面， 是两条直线， ，则“ ”
是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据面面垂直的性质与线面垂直的性质，结合充分、必要条件的定义即可求解.
【详解】由题意知， ，
若 ，当 时，有 ；当 时， 与 可能相交、平行、垂直.
若 ，由 ，得 .
故“ ”是“ ”是必要不充分条件.
故选：B
10．（2024·河北邢台·二模）若点P是双曲线C： 上一点， ， 分别为C的左、右焦点，则“
”是“ ”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
【答案】D
【分析】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解.
【详解】 ，
当点 在左支时， 的最小值为 ，当点 在右支时， 的最小值为 ，
因为 ，则点 在双曲线的左支上，
由双曲线的定义 ，解得 ；
当 ，点 在左支时， ；在右支时， ；推不出 ；
故为充分不必要条件，
故选：D.
1．（2024·全国·模拟预测）已知命题 ，则 为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.
【详解】由题意，全称命题的否定是特称命题，可得：
命题 的否定为： 为 ．
故选：C．
2．（2024·天津·二模）已知 ： ， ： ，则 是 的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】依次判断充分性、必要性，即可求解.
【详解】由 ，解得 ，由 ，解得 ，
所以 能推出 ， 不能推出 ，则 是 的充分不必要条件.
故选：A
3．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）已知 是三个不同的平面， ，则“ ”是“
”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要
【答案】B
【分析】根据面面平行的判定定理和性质，结合充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】由 ，若 ，由面面平行的性质知： ，必要性成立；
由 ，若 ，则 或 相交，充分性不成立．相交情况如下：
故选：B.
4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知数列 ，则“ ”是“数列 是等差
数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先判断充分性：由已知可得 ，数列 的偶数项成等差数列，奇数项成等差数
列，举例可知数列 不一定是等差数列，再判断必要性：数列 是等差数列，可得 ，
可得结论.
【详解】先判断充分性： ，
令 ，则 数列 的偶数项成等差数列，
令 ，则 数列 的奇数项成等差数列，
但数列 不一定是等差数列，如：1，1，2，2，3，3，
∴“ ”不是“数列 是等差数列”的充分条件；
再判断必要性：若数列 是等差数列，则 ，
，∴“ ”是“数列 是等差数列”的必要条件；
综上，“ ”是“数列 是等差数列”的必要不充分条件.
故选：B.
5．（2024·江西·模拟预测）已知数列 满足 ，则“ ”是 是递增数列的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】当 时 ，则 ，所以 ，即 ，所以 是递增数列，故充分性成立；
当 时 ，则 ，所以 是递增数列，
所以当数列 是递增数列， 可以大于 ，所以必要性不成立，
所以“ ”是 是递增数列的充分不必要条件.
故选：B
6．（2024·北京·三模）在 中，角 所对的边分别为 .则“ 成等比数列”是
的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】先将 代入余弦定理，利用基本不等式得到 ，从而得到 ，接着根据
得到 可能为钝角，不满足 成等比数列，从而得答案.
【详解】当 成等比数列时， ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，
又 ，所以 ，所以 ，充分性满足；
当 时， ，
而当 时， 为最长的边，不满足 成等比数列，必要性不满足.
则“ 成等比数列”是 的充分不必要条件.
故选：A.
7．（2024·山东泰安·二模）已知双曲线 ，则“ ”是“双曲线 的离心率为 ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A
【分析】分类讨论双曲线焦点所在位置，结合离心率可得 的取值范围为 ，再根据包含关系分析充
分、必要条件.
【详解】若双曲线 的离心率为 ，则有：
当双曲线 的焦点在x轴上，则 ，解得 ，
可得 ，解得 ；
当双曲线 的焦点在y轴上，则 ，解得 ，
可得 ，解得 ；
综上所述： 的取值范围为 .
显然 是 的真子集，
所以“ ”是“双曲线 的离心率为 ” 充分不必要条件.
故选：A.
8．（2024·河南新乡·三模）已知直线 ，则“ ”是“ ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要
条件
【答案】C
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合两直线平行判断即得.
【详解】当 时，直线 ，则 ，
当 时， ，解得 ，
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
9．（2024·全国·三模）已知 ， 是两个不同的平面，m，l是两条不同的直线，若 ， ，则
“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由直线与平面平行的判定定理和性质定理，结合充分条件、必要条件的概念判断即可.【详解】若 ， ， ，且 ，所以直线与平面平行的判定定理知 ；
若 ， ， ，所以直线与平面平行的性质定理知 ；
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C.
10．（2024·四川凉山·二模）已知命题“ ， ”是假命题，则m的取值范围
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】写出原命题的否定，即为真命题，然后将有解问题转化为最值问题求解即可.
【详解】命题“ ， ”是假命题，
则“ ， ”是真命题，
所以 有解，
所以 ，
又 ，
因为 ，所以 ，
即 .
故选：B.
1．（2024·北京·高考真题）已知向量 ， ，则“ ”是“ 或 ”的（ ）条件．
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据向量数量积分析可知 等价于 ，结合充分、必要条件分析判断.
【详解】因为 ，可得 ，即 ，
可知 等价于 ，
若 或 ，可得 ，即 ，可知必要性成立；
若 ，即 ，无法得出 或 ，例如 ，满足 ，但 且 ，可知充分性不成立；
综上所述，“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件.
故选：A.
2．（2024·天津·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】说明二者与同一个命题等价，再得到二者等价，即是充分必要条件.
【详解】根据立方的性质和指数函数的性质， 和 都当且仅当 ，所以二者互为充要条件.
故选：C.
3．（2023·北京·高考真题）若 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】解法一：由 化简得到 即可判断；解法二：证明充分性可由 得到 ，
代入 化简即可，证明必要性可由 去分母，再用完全平方公式即可；解法三：证明充分性可
由 通分后用配凑法得到完全平方公式，再把 代入即可，证明必要性可由 通分后用配凑
法得到完全平方公式，再把 代入，解方程即可.
【详解】解法一：
因为 ，且 ，
所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法二：
充分性：因为 ，且 ，所以 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，所以 ，即 ，即 ，所以 .
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
解法三：
充分性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以充分性成立；
必要性：因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
所以必要性成立.
所以“ ”是“ ”的充要条件.
故选：C
4．（2023·全国·高考真题）设甲： ，乙： ，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】根据充分条件、必要条件的概念及同角三角函数的基本关系得解.
【详解】当 时，例如 但 ，
即 推不出 ；
当 时， ，
即 能推出 .
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
5．（2023·天津·高考真题）已知 ，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B【分析】根据充分、必要性定义判断条件的推出关系，即可得答案.
【详解】由 ，则 ，当 时 不成立，充分性不成立；
由 ，则 ，即 ，显然 成立，必要性成立；
所以 是 的必要不充分条件.
故选：B
6．（2022·天津·高考真题）“ 为整数”是“ 为整数”的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】用充分条件、必要条件的定义判断.
【详解】由 为整数能推出 为整数，故“ 为整数”是“ 为整数”的充分条件，
由 , 为整数不能推出 为整数，故“ 为整数”是“ 为整数”的不必要条件，
综上所述，“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件，
故选：A.
7．（2022·浙江·高考真题）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不
必要条件
【答案】A
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为 可得：
当 时， ，充分性成立；
当 时， ，必要性不成立；
所以当 ， 是 的充分不必要条件.
故选：A.
8．（2022·北京·高考真题）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数
，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】设等差数列 的公差为 ，则 ，利用等差数列的通项公式结合充分条件、必要条件的定义
判断可得出结论.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则 ，记 为不超过 的最大整数.
若 为单调递增数列，则 ，若 ，则当 时， ；若 ，则 ，
由 可得 ，取 ，则当 时， ，
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”；
若存在正整数 ，当 时， ，取 且 ， ，
假设 ，令 可得 ，且 ，
当 时， ，与题设矛盾，假设不成立，则 ，即数列 是递增数列.
所以，“ 是递增数列” “存在正整数 ，当 时， ”.
所以，“ 是递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的充分必要条件.
故选：C.
9．（2021·天津·高考真题）已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.
【详解】由题意，若 ，则 ，故充分性成立；
若 ，则 或 ，推不出 ，故必要性不成立；
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选：A.
10．（2021·浙江·高考真题）已知非零向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【分析】考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】
如图所示， ,当 时， 与 垂直， ，所以
成立，此时 ，
∴ 不是 的充分条件，
当 时， ，∴ ,∴ 成立，
∴ 是 的必要条件，综上，“ ”是“ ”的必要不充分条件
故选：B.
11．（2021·全国·高考真题）等比数列 的公比为q，前n项和为 ，设甲： ，乙： 是递增数
列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【分析】当 时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当 是递增数列时，必有 成立即可说
明 成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
【详解】由题，当数列为 时，满足 ，
但是 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若 是递增数列，则必有 成立，若 不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则
成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【点睛】在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过
程．
