文档内容
第 03 讲 函数的概念与性质（10 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析
2024年秋考2、4题 分段函数、函数的奇偶性
2023秋考5、18题 函数的值域，函数奇偶性的判断、函数与方程的应用
2023春考13题 函数的奇偶性
2022秋考12题 抽象函数的性质应用
2022春考13题 函数的定义域及其求法
2021年秋考13、21题 基本初等函数单调性与奇偶性的判断、函数恒成立
2021年春考20题 函数定义域、零点与方程根的关系、函数单调性的判定及其应用
2020年春考6、21题 函数奇偶性及其应用、抽象函数的性质及其应用
2. 命题规律及备考策略
【备考策略】
1. 函数的定义域、值域、解析式是高考中必考内容,具有较强的综合性,贯穿整个高中数学的始终.而在高
考试卷中的形式可谓千变万化,但万变不离其宗,真正实现了常考常新的考试要求所以,我们应该掌握一些
简单的基本方法。
2.函数的单调性、奇偶性是高考命题热点,几乎每年都会考,一般与指数，对数结合起来命题
知识讲解
1.函数的概念
设D是一个非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对集合D中的任意给定的x，都有唯一的实
数y与之对应， 就称这个对应关系f为集合D上的一个 函 数（ｆｕｎｃｔｉｏｎ），记作y＝f(x)，
x∈D.
2.函数的定义域、值域
(1)函数y＝f(x)自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合 {y |y ＝ f (x ) ，
x ∈ A }叫做这个函数的值域.
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应法则完全一致，则这两个函数为相等函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数.
(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集.
5.函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M A，如果取区间M中任意两个值
x，x，改变量Δx＝x－x>0，则当
1 2 2 1 ⊆
定义 Δ y ＝ f (x ) － f (x )>0 时，就称
2 1
Δ y ＝ f (x ) － f (x )<0 时，就称函数y
2 1
函数y＝f(x)在区间M上是增函
＝f(x)在区间M上是减函数
数
图象描
述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M
称为单调区间.
6.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
(1)对于任意x∈I，都有 f ( x )≤ M； (3)对于任意x∈I，都有 f ( x )≥ M；
条件
(2)存在x∈I，使得f(x)＝M (4)存在x∈I，使得 f ( x ) ＝ M
0 0 0 0
结论 M为最大值 M为最小值
7.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都
奇函数 关于原点对称
有－x∈D，且 f ( － x ) ＝－ f ( x )，则这个函数叫做奇函数
设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都
偶函数 关于 y 轴 对称
有－x∈D，且 g ( － x ) ＝ g ( x )，则这个函数叫做偶函数
8.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 f ( x
＋ T ) ＝ f (x )，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 存 在一个最小 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)
的最小正周期.
考点 一．函数的定义域及其求法1．（2024•松江区二模）函数 的定义域为 ．
2．（2024•黄浦区校级三模）函数 的定义域为 ．
3．（2024•松江区校级模拟）若函数 的定义域为 ，且 ，则实数
的值为 ．
4．（2023•浦东新区模拟）函数 的定义域为 ．
考点 二．函数的值域
5．（2024•嘉定区校级模拟）已知函数 ，则对任意实数 ，函数 的值域是
A． B． ， C． ， D． ，
6．（2024•嘉定区二模）函数 的值域为 ．
7．（2024•松江区校级模拟）函数 在 ， 上的值域为 ，则 的值为 ．
8．（2024•浦东新区校级模拟）设函数 的定义域为 ，若函数 满足条件：存在 ， ，使
在 ， 上的值域为 ， ，则称 为“倍缩函数”，若函数 为“倍缩函
数”，则 的范围为 ．
考点 三．函数的图象与图象的变换
9．（2023•闵行区校级三模）函数 的部分图象如图所示，则 的解析式可能为
A． B．C． D．
10．（2023•徐汇区校级三模）函数 沿着向量 平移后得到函数 ，则向量 的坐
标是 ．
11．（2023•黄浦区模拟）设 ， ， ， ，若函数 的部分图像如图所示，则下
列结论正确的是
A． ， B． ， C． ， D． ，
12．（2024•杨浦区校级三模）设 ，已知函数 的两个不同的零点 、 ，满足
，若将该函数图像向右平移 个单位后得到一个偶函数的图像，则 ．
考点 四．函数单调性的性质与判断
13．（2024•崇明区二模）已知函数 的定义域为 ， ， ．
命题 ：若当 时，都有 ，则函数 是 上的奇函数．
命题 ：若当 时，都有 ，则函数 是 上的增函数．
下列说法正确的是
A． 、 都是真命题 B． 是真命题， 是假命题
C． 是假命题， 是真命题 D． 、 都是假命题
14．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数 ，则 的解集是 ．
15．（2023•杨浦区校级三模）已知函数 ，设 、2、 为实数，且 ，给出下列结论：①若 ，则 ；②若 ，则 ．
则
A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误
16．（2024•闵行区校级三模）设 ，函数 的定义域为 ．若对满足 的任意 、 ，
均有 ，则称函数 具有“ 性质”．
（1）在下述条件下，分别判断函数 是否具有 （2）性质，并说明理由；
① ；
② ；
（2）已知 ，且函数 具有 （1）性质，求实数 的取值范围；
（3）证明：“函数 为增函数”是“对任意 ，函数 均具有 性质”的充要条件．
17．（2024•宝山区校级四模）已知 、 为实数集 的非空子集，若存在函数 且满足如下条件：
① 定义域为 时，值域为 ；②对任意 、 ， ，均有 ．则称
是集合 到集合 的一个“完美对应”．
（1）用初等函数构造区间 ， 到区间 ， 的一个完美对应 ；
（2）求证：整数集 到有理数集 之间不存在完美对应；
（3）若 ， ，且 是某区间 到区间 ， 的一个完美对应，求 的取值范围．
考点 五．函数的最值及其几何意义18．（2024•静安区二模）已知实数 ，记 ．若函数 在区间 ， 上的最
小值为 ，则 的值为 ．
19．（2024•青浦区校级模拟）已知 ， 是实数，满足 ，当 取得最大值时，
．
20．（2024•松江区二模）已知函数 ，若 ，则 的最小值为 ．
21．（2024•松江区二模）已知 ，函数 若该函数存在最小值，则实数
的取值范围是 ．
22．（2024•金山区二模）已知函数 与 有相同的定义域 ．若存在常数 ，使得对
于任意的 ，都存在 ，满足 ，则称函数 是函数 关于 的“
函数”．
（1）若 ， ，试判断函数 是否是 关于0的“ 函数”，并说明理由；
（2）若函数 与 均存在最大值与最小值，且函数 是 关于 的“ 函数”，
又是 关于 的“ 函数”，证明： ；
（3）已知 ， ，其定义域均为 ， ．给定正实数 ，若存在唯一的 ，使得
是 关于 的“ 函数”，求 的所有可能值．
考点 六．函数奇偶性的性质与判断23．（2024•青浦区校级模拟）已知函数 为偶函数，若 ，则 不可能为
A．2024 B． C． D．
24．（2024•闵行区二模）已知 ， 为奇函数，当 时， ，则集合
可表示为
A． B．
C． ， ， D． ， ，
25．（2024•崇明区二模）已知函数 为奇函数，则 （2） ．
26．（2024•浦东新区二模）已知 是奇函数，当 时， ，则 的值是
27．（2024•浦东新区三模）已知 为偶函数，若 （a） ，则 ．
28．（2024•长宁区二模）已知函数 是定义域为 的奇函数，当 时， ，若
（a） ，则实数 的取值范围为 ．
考点 七．奇偶性与单调性的综合
29．（2024•宝山区三模）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为
A． B． C． D．
30．（2024•嘉定区校级模拟）已知偶函数 在区间 ， 上是严格减函数．若
（1），则 的取值范围是 ．
31．（2023•虹口区校级模拟）已知定义在 上的偶函数 满足 ．若 ，且
在 ， 单调递增，则满足 的 的取值范围是 ．32．（2024•黄浦区校级模拟）已知 是定义在 上的偶函数，若 、 ， 且 时，
恒成立，且 （2） ，则满足 的实数 的取值范围为
A． ， B． ， C． ， D． ，
考点 八．抽象函数及其应用
33．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数 ， 定义域为 ，且 ，
， ，则下列结论正确的是
①若 （1） （1） ，则 ；
②若 （1） （1） ，则 ．
A．② B．① C．①② D．都不正确
34．（2024•宝山区校级四模）已知函数 具有以下的性质：对于任意实数 和 ，都有
（a） （b），则以下选项中，不可能是 （1）值的是
A． B． C．0 D．1
35．（2024•黄浦区校级模拟）已知函数 的定义域为 ， ，则下列说法正确的
有 ．
① ；
② （1） ；
③ 是偶函数；
④ 为 的极小值点
36．（2023•嘉定区校级三模）函数 ， 满足 ，当 ， ，
则 ．
考点 九．函数恒成立问题
37．（2024•黄浦区二模）设函数 若 恒成立，则实数 的取值范围是
A． B． C． D．
38．（2024•杨浦区校级三模）设 ，若在区间 上，关于 的不等式 有意义且能恒成立，
则 的取值范围为 ．
39．（2024•浦东新区校级模拟）若存在实数 ，对任意的 ， ，不等式 恒成
立．则正数 的取值范围是 ．
40．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数 若对 ， ， 恒成
立，则实数 的取值范围为 ．
41．（2024•虹口区模拟）若不等式 对任意的 恒成立，则 的最小值为
．
42．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数 ， ，如果存在常数 ，对任意满足
的实数 ， ， ， ， ，其中 ， ， ， ， ，都有不等式
恒成立，则称函数 ， 是“绝对差有界函数”
（1）函数 是“绝对差有界函数”，求常数 的取值范围；
（ 2 ） 对 于 函 数 ， ， ， 存 在 常 数 ， 对 任 意 的 ， ， ， 有
恒成立，求证：函数 ， ， 为“绝对差有界函数”；
（3）判断函数 是不是“绝对差有界函数”？说明理由．考点 十．函数的值
43．（2024•闵行区校级三模）已知函数 则 的值为 ．
44．（2024•徐汇区校级模拟）设函数 的定义域为 ，满足 ，当 ， 时，
，则 ．
45．（2022•宝山区校级模拟）设实数 且 ，已知函数 ，则
．
46．（2023•松江区校级模拟）设函数 的图象与 的图象关于直线 对称，且
，则实数 ．
一．选择题（共3小题）
1．（2024•浦东新区校级三模）下列函数中，在区间 上为严格增函数的是
A． B． C． D．
2．（2024•普陀区校级三模）已知函数 是定义域为 的偶函数，且 为奇函数，若
（3） ，则
A． B．
C．函数 的周期为2 D．
3．（2024•虹口区二模）已知定义在 上的函数 ， 的导数满足 ，给出两个命题：
①对任意 ， ，都有 ；
②若 的值域为 ， ， ， （1） ，则对任意 都有 ．
则下列判断正确的是A．①②都是假命题 B．①②都是真命题
C．①是假命题，②是真命题 D．①是真命题，②是假命题
二．填空题（共5小题）
4．（2024•普陀区校级三模）已知函数 是偶函数，则实数 ．
5．（2024•宝山区三模）已知 ， ，且 ，若不等式 恒成立，则实数
的取值范围 ．
6．（2024•闵行区二模）对于任意的 、 ，且 ，不等式 恒成立，则实
数 的取值范围为 ．
7．（2024•嘉定区校级模拟）若正数 ， 满足 ，则 的最小值是 ．
8．（2024•崇明区二模）已知实数 ， ， ， 满足： ， ， ，则
的最大值是 ．
三．解答题（共1小题）
9．（2024•闵行区校级二模）已知函数 是定义域为 的偶函数．
（1）求实数 的值；
（2）若对任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围．一．选择题（共1小题）
1．（2024•宝山区三模）如果y＝f（x）（x [0，1]）同时满足以下三个条件：
①f（1）＝1；
∈
②对任意x [0，1]，f（x）≥0成立；
③当x
1
≥0，
∈
x
2
≥0，x
1
+x
2
≤1时，总有f（x
1
）+f（x
2
）≤f（x
1
+x
2
）成立，则称y＝f（x）为“理想函
数”．
有下列两个命题：
命题 ：若y＝f（x）为“理想函数”，则存在x ，x [0，1]且x ＜x ，使f（x ）＞f（x ）成立；
1 2 1 2 1 2
命题 ：若y＝f（x）为“理想函数”，则对任意x [0，1]，都有f（x）≤2x成立．
α ∈
则下列说法正确的是（ ）
β ∈
A．命题 为假命题，命题 为真命题
B．命题 为真命题，命题 为假命题
α β
C．命题 、命题 都是真命题
α β
D．命题 、命题 都是假命题
α β
二．解答题（共3小题）
α β
2．（2024•杨浦区二模）函数y＝f（x）、y＝g（x）的定义域均为R，若对任意两个不同的实数a，b，均
有f（a）+g（b）＞0或f（b）+g（a）＞0成立，则称y＝f（x）与y＝g（x）为相关函数对．
（1）判断函数f（x）＝x+1与g（x）＝﹣x+1是否为相关函数对，并说明理由；
（2）已知f（x）＝ex与g（x）＝﹣x+k为相关函数对，求实数k的取值范围；
（3）已知函数y＝f（x）与y＝g（x）为相关函数对，且存在正实数M，对任意实数x R，均有|f（x）|
1
≤M．求证：存在实数m，n（m＜n），使得对任意x （m，n），均有f(x)+g(x)≥−∈ ．
2024
∈3．（2024•长宁区二模）设函数y＝f（x）的定义域为D，若存在实数k，使得对于任意x D，都有f（x）
≤k，则称函数y＝f（x）有上界，实数k的最小值为函数y＝f（x）的上确界．
∈
f(x)
记集合M ＝{f（x）|y= 在区间（0，+∞）上是严格增函数}；
n xn
2
（1）求函数y= （2＜x＜6）的上确界；
x−1
（2）若f（x）＝x3﹣hx2+2xlnx M ，求h的最大值；
1
（3）设函数y＝f（x）的定义 ∈ 域为（0，+∞）；若f（x） M 2 ，且y＝f（x）有上界，求证：f（x）＜
0，且存在函数y＝f（x），它的上确界为0．
∈
4．（2024•浦东新区校级四模）对于函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x），若在其定义域内存在实数x 和
0
t，使得f（tx ）＝tf′（x ）成立，则称y＝f（x）是“卓然”函数，并称t是y＝f（x）的“卓然值”．
0 0
1
（1）试分别判断函数y＝x2+1，x R和y= ，x （0，+∞）是不是“卓然”函数？并说明理由；
x
∈ ∈
（2）若f（x）＝sinx﹣m是“卓然”函数，且“卓然值”为2，求实数m的取值范围；
（3）证明：g（x）＝ex+x（x R）是“卓然”函数，并求出该函数“卓然值”的取值范围．
∈
一．选择题（共4小题）
1．（2022•上海）下列函数定义域为 的是
A． B． C． D．
2．（2023•上海）下列函数是偶函数的是
A． B． C． D．
3．（2021•上海）以下哪个函数既是奇函数，又是减函数A． B． C． D．
4．（2024•上海）已知函数 的定义域为 ，定义集合 ， ， ，
在使得 ， 的所有 中，下列成立的是
A．存在 是偶函数
B．存在 在 处取最大值
C．存在 为严格增函数
D．存在 在 处取到极小值
二．填空题（共5小题）
5．（2024•上海）已知 ，则 （3） ．
6．（2020•上海）若函数 为偶函数，则 ．
7．（2023•上海）已知函数 ，则函数 的值域为 ．
8．（2024•上海）已知 ， ，且 是奇函数，则 ．
9．（2022•上海）设函数 满足 对任意 ， 都成立，其值域是 ，已知对任何
满足上述条件的 都有 ， ，则 的取值范围为 ．
三．解答题（共4小题）
10．（2020•上海）已知非空集合 ，函数 的定义域为 ，若对任意 且 ，不等式
恒成立，则称函数 具有 性质．
（1）当 ，判断 、 是否具有 性质；
（2）当 ， ， ， ，若 具有 性质，求 的取值范围；
（3）当 ， ， ，若 为整数集且具有 性质的函数均为常值函数，求所有符合条件的
的值．11．（2023•上海）已知 ， ，函数 ．
（1）若 ，求函数的定义域，并判断是否存在 使得 是奇函数，说明理由；
（2）若函数过点 ，且函数 与 轴负半轴有两个不同交点，求此时 的值和 的取值范围．
12．（2021•上海）已知函数 ．
（1）若 ，求函数的定义域；
（2）若 ，若 有2个不同实数根，求 的取值范围；
（3）是否存在实数 ，使得函数 在定义域内具有单调性？若存在，求出 的取值范围．
13．（2021•上海）已知 ， ，若对任意的 ， ，则有定义： 是在
关联的．
（1）判断和证明 是否在 ， 关联？是否有 ， 关联？
（2）若 是在 关联的， 在 ， 时， ，求解不等式： ．
（3）证明： 是 关联的，且是在 ， 关联的，当且仅当“ 在 ， 是关联的”．
