文档内容
第 05 讲 三角函数（7 类核心考点精讲精练）
1. 5年真题考点分布
5年考情
考题示例 考点分析
2024年秋考14题 两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，函数的周期的求法
2024年春考17题 正弦函数的图象和性质
2023秋考4、15题 二倍角公式的应用、正弦函数的图象与三角函数的最值
2022秋考3题 三角函数的恒等变换，三角函数的周期性及其求法，倍角公式的应用
2022春考4题 两角和的正切公式
2021年秋考15题 三角函数的单调性，以及恒成立问题
2021年春考12题 三角函数的最值
2020年秋考18题 三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用
2020年春考3、5、14题 正切函数的周期性和求法、三角函数的倍角公式、正弦函数的图象
2. 命题规律及备考策略
【备考策略】
三角恒等变换的“4大策略”
(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等．
(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．
(3)降幂与升幂：正用二倍角公式升幂，逆用二倍角公式降幂．
(4)弦、切互化：一般是切化弦．
一、三角函数的运算
1．同角关系：sin2α＋cos2α＝1，＝tan α.
2．诱导公式：在＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
二、三角恒等变换
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；
(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；(3)tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝.
知识讲解
考点 一．三角函数的周期性
1．（2024•静安区二模）函数y＝2sinx﹣cosx（x R）的最小正周期为（ ）
3π π
A．2 B． C ∈． D．
2 2
2．（202 π 4•奉贤区三模）函数π y＝sinx+2cosx的最小正周期为 ．
3．（2024•普陀区校级三模）函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0，0＜ ＜ ），设T为f（x）的最小正周
T √2
期，若f( )= ，则 ＝ ． ω φ ω φ π
4 2
4．（2024•杨浦区校级三模φ）函数y＝sinxcosx的最小正周期是 ．
考点 二．函数 y ＝ Asin （ x+ ）的图象变换
ω φ
π x
5．（2024•黄浦区校级模拟）要得到函数y=2cos(x− )的图象，只需将函数y=2sin 的图象上所有
12 3
的点（ ）
1 π
A．横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
3 12
π
B．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向右平行移动 个单位长度
12
1 5π
C．横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
3 12
5π
D．横坐标变为原来的3倍（纵坐标不变），再向左平行移动 个单位长度
12
π π
6．（2024•浦东新区校级四模）将函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0）的图像向左平移 个单位长度后得
3 2
ω ω到曲线C，若C关于y轴对称，则 的最小值是（ ）
1 1 1 1
A． B． ω C． D．
6 4 3 2
π 1
7．（2024•普陀区校级模拟）将函数f(x)=sin(x− )图象上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，
6 2
再将其图象上的所有点向左平移 个单位，得到函数g（x）的图象关于y轴对称，则 的值可以为
．（写出一个符合要求的答案即可）
φ φ
π π π
8．（2024•浦东新区校级模拟）设函数f（x）＝sin（ x− ）+sin（ x− ），其中0＜ ＜3，已知f（
6 2 6
）＝0． ω ω ω
（Ⅰ）求 ；
（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向
ω
π π 3π
左平移 个单位，得到函数y＝g（x）的图象，求g（x）在[− ， ]上的最小值．
4 4 4
考点 三．由 y ＝ Asin （ x+ ）的部分图象确定其解析式
ω φ
π
9．（2024•嘉定区校级模拟）将函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜ )的图像向左平移 个单位长
2
π θ
度得到函数g（x）的图象，如图所示，图中阴影部分的面积为 ，则 ＝ ．
2
φ
10．（2024•长宁区二模）某同学用“五点法”画函数f（x）＝sin（ x+ ）（ ＞0）在某一个周期内的图
ω φ ω像时，列表并填入了部分数据，如下表：
x+ 0 π 3π 2
2 2
ω φ π π
x Δ π 5π 2π 11π
6 12 3 12
sin（ x+ ） 0 1 Δ ﹣1 0
（1）请
ω
在
φ
答题卷上将上表Δ处的数据补充完整，并直接写出函数y＝f（x）的解析式；
π π
（2）设ω=1，φ=0，g(x)=f2 (x)+f(x)f( −x)(x∈[0， ])，求函数y＝g（x）的值域．
2 2
π
11．（2024•浦东新区三模）已知f（x）＝2sin（ x+ ），其中 ＞0，| |＜ ．
2
π ω φ ω φ
（1）若 = ，函数y＝f（x）的最小正周期T为4 ，求函数y＝f（x）的单调减区间；
4
φ π→ →
（2）设函数y＝f（x）的部分图像如图所示，其中 AB⋅AC=12，D(0，−√3)，求函数的最小正周期
T，并求y＝f（x）的解析式．ω ω ω
12．（2024•松江区二模）设f(x)=sin2 x+√3cos xsin x(ω＞0)，函数y＝f（x）图像的两条相
2 2 2
邻对称轴之间的距离为 ．
（1）求函数y＝f（x）的解析式；
π
3
（2）在△ABC中，设角A、B及C所对边的边长分别为a、b及c，若a=√3，b=√2，f(A)= ，求角
2
C．
考点 四．三角函数的最值
π 5π π
13．（2024•崇明区二模）设函数f(x)=sin(x− )，若对于任意α∈[− ，− ]，在区间[0，m]上总
6 6 2
存在唯一确定的 ，使得f（ ）+f（ ）＝0，则m的最小值为（ ）
π π 7π
A． β B． α β C． D．
6 2 6
2 2 π π
14．（2024•嘉定区二模）已知f(x)= + ，x∈(0， )，则函数y＝f（x）的最小值为 ．
sinx cosx 2
15．（2024•浦东新区校级模拟）已知a＞0，若函数f（x）＝sinx﹣acosx的最大值为2，则a＝ ．
π π
16．（2024•浦东新区校级模拟）记函数y=4sin(2x+ )在[t，t+ ]上的最大值为M，最小值为m，
3 6 t t
则当t R时，M﹣m 的最小值为 ．
t t
考点 五．两角和与差的三角函数
∈
π
17．（2024•长宁区校级三模）若函数f(x)=asinx−√3cosx的一个零点是 ，则函数y＝f（x）的最大值
3
为 ．π 1 π
18．（2024•黄浦区校级三模）若θ∈(0， )，cosθ= ，则cos(θ+ )= ．
2 3 2
π
19．（2024•宝山区二模）已知tan ＝3，则tan(α− )= ．
4
α 5π 2
20．（2024•杨浦区校级三模）已知tan(θ+ )=− ，则tan ＝ ．
4 3
考点 六．二倍角的三角函数 θ
1
21．（2024•杨浦区二模）已知sin = ，则cos2 ＝ ．
3
α 2 α
22．（2024•浦东新区校级模拟）若sinx=− ，则cos2x＝ ．
3
3
23．（2024•虹口区二模）若sinx=− ，则cos2x＝ ．
5
24．（2024•虹口区模拟）若tan ＝2，则tan2 ＝ ．
考点七 ．三角函数中的恒等变换应用
θ θ
1
25．（2024•闵行区三模）对于函数f(x)=√3sinxcosx+sin2x−
，给出下列结论：
2
5π
（1）函数y＝f（x）的图像关于点( ，0)对称；
12
π 2π 1
（2）函数y＝f（x）在区间[ ， ]上的值域为[− ，1]；
6 3 2
π
（3）将函数y＝f（x）的图像向左平移 个单位长度得到函数y＝﹣cos2x的图像；
3
π
（4）曲线y＝f（x）在x= 处的切线的斜率为1．
4
则所有正确的结论是（ ）
A．（1）（2） B．（2）（3） C．（2）（4） D．（1）（3）1
26．（2024•浦东新区校级四模）已知函数f(x)= (sin2x−cos2x)−√3sinxcos(π−x)．
2
（1）求f（x）的单调递增区间；
A π √3
（2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f( + )= ，b=2c−√2a，求角B
2 4 2
的大小．
1
27．（2024•嘉定区校级模拟）已知函数f(x)=sinxcosx−sin2x+
．
2
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
π
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c为角A，B，C的对边，且满足bcos2A＝bcosA﹣asinB，且0＜A＜ ，
2
求角A的值，进而再求f（B）的取值范围．
28．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数f（x）＝cos2x﹣2sin2x﹣1．
（1）当x [0， ]时，求f（x）的增区间；
（2）在△ABC中，角A所对边a=√13，角B所对边b＝5，若f（A）＝﹣1，求△ABC的面积．
∈ π
一．选择题（共3小题）
1．（2024•黄浦区二模）函数 是
A．最小正周期为 的奇函数 B．最小正周期为 的偶函数C．最小正周期为 的奇函数 D．最小正周期为 的偶函数
2．（2024•闵行区二模）已知 ，集合 ， ， ， ， ，
， ， ， ．
关于下列两个命题的判断，说法正确的是
命题①：集合 表示的平面图形是中心对称图形
命题②：集合 表示的平面图形的面积不大于
A．①真命题；②假命题 B．①假命题；②真命题
C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题
3．（2024•虹口区二模）设 ，将函数 的图像沿 轴向右平移 个单位，得
到函数 的图像，则
A．函数 是偶函数
B．函数 的图像关于直线 对称
C．函数 在 上是严格增函数
D．函数 在 上的值域为
二．填空题（共11小题）
4．（2024•嘉定区校级模拟）若 ，则 的值是 ．
5．（2024•闵行区校级三模）函数 的最小正周期为 ．
6．（2024•闵行区二模）始边与 轴的正半轴重合的角 的终边过点 ，则 ．
7．（2024•松江区二模）已知点 的坐标为 ，将 绕坐标原点 逆时针旋转 至 ，则点 的
坐标为 ．
8．（2024•青浦区校级模拟）函数 的最小正周期为 ．
9．（2024•黄浦区校级三模）函数 的部分图象如图，下列结论正确的序
号是 ．
① 的最小正周期为6；② ；
③ 的图象的对称中心为 ；
④ 的一个单调递减区间为 ．
10．（2024•浦东新区校级四模）已知 ， ，则 ．
11．（2024•松江区校级模拟）已知点 的坐标为 ，将 绕坐标原点 逆时针旋转 至 ，则点
的坐标为 ．
12．（2024•黄浦区校级三模）函数 ， 的零点是 ．
13．（2024•黄浦区二模）如图是某公园局部的平面示意图，图中的实线部分（它由线段 ， 与分别
以 ， 为直径的半圆弧组成）表示一条步道．其中的点 ， 是线段 上的动点，点 为线段 ，
的中点，点 ， 在以 为直径的半圆弧上，且 ， 均为直角．若 百米，则此步
道的最大长度为 百米．
14．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数 在 上恰有两个零点，则实数
的取值范围为 ．
三．解答题（共1小题）
15．（2024•浦东新区校级四模）已知函数 ．
（1）求函数 的在 ， 上单调递减区间；
（2）若函数 在区间 ， 上有且只有两个零点，求 的取值范围．一．选择题（共3小题）
π
1．（2024•徐汇区模拟）已知函数y＝f（x），其中f（x）＝2sin（ x+ ），实数 ＞0，下列选项中正确
6
的是（ ） ω ω
5
A．若 ＝2，函数y＝f（x）关于直线x= π对称
12
ω 1
B．若ω= ，函数y＝f（x）在[0， ]上是增函数
2
π 4
C．若函数y＝f（x）在[﹣ ，0]上最大值为1，则0＜ω≤
3
D．若 ＝1，则函数y＝|f（π x）|的最小正周期是2
2．（2024•嘉定区校级模拟）已知函数f（x）＝Asin（ x+ ）+B（A＞0， ＞0，0＜ ＜ ）的部分图像
ω π
π
如图所示，且f（x）的图像关于点( ，2)中心对称ω，则φ f（ ）＝（ ω） φ π
12
φ
A．4 B．3 C．2 D．0
3．（2024•闵行区校级二模）已知实数a，b （0，1），且满足cosa ＜cosb ，则下列关系式成立的是（
）
∈ π π
1 1
A．lna＜lnb B．sina＜sinb C． ＜ D．a3＜b3
a b
二．填空题（共2小题）
π
4．（2024•浦东新区校级模拟）已知函数f(x)=cos2x⋅tan(x− )．则函数f（x）的值域为 ．
4
5．（2023•嘉定区校级三模）下图改编自李约瑟所著的《中国科学技术史》，用于说明元代数学家郭守敬
在编制《授时历》时所做的天文计算．图中的^AB，^AC，^BD，C^D都是以O为圆心的圆弧，CMNK
是为计算所做的矩形，其中M，N，K分别在线段OD，OB，OA上，MN⊥OB，KN⊥OB．记 ＝
∠AOB， ＝∠AOC， ＝∠BOD，δ＝∠COD，给出四个关系式，其中成立的等式的序号有 ．
α
①sin ＝sin cosδ
β γ
②cos ＝cos cosδ；
β γ
β γsinδ
③sin = ；
cosβ
α cosγcosδ
④cos = ．
cosβ
α
一．选择题（共4小题）
1．（2020•上海）“ ”是“ ”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
2．（2024•上海）下列函数f（x）的最小正周期是2 的是（ ）
A．sinx+cosx B．sinxcosx
π
C．sin2x+cos2x D．sin2x﹣cos2x
3．（2023•上海）已知 ，记 在 ， 的最小值为 ，在 ， 的最小值为 ，则下列
情况不可能的是
A． ， B． ， C． ， D． ，
4 ． （ 2021• 上 海 ） 已 知 ， 对 任 意 的 ， ， 都 存 在 ， ， 使 得
成立，则下列选项中， 可能的值是
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题）
5．（2020•上海）函数 的最小正周期为 ．
6．（2022•上海）若 ，则 ．7．（2020•上海）已知 ， ，则 ．
8．（2022•上海）函数 的周期为 ．
9．（2023•上海）已知 ，则 ．
10．（2021•上海）已知 ，存在实数 ，使得对任意 ， ，则 的最小值是 ．
三．解答题（共2小题）
11．（2020•上海）已知函数 ， ．
（1） 的周期是 ，求 ，并求 的解集；
（2）已知 ， ， ， ，求 的值域．
12．（2024•上海）已知 ， ．
（1）设 ，求解： ， ， 的值域；
（2） ， 的最小正周期为 ，若在 ， 上恰有3个零点，求 的取值范围．
