文档内容
2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 01 讲 集合（精讲）
①集合的含义及其表示
②集合间的基本关系
③集合的交并补运算
④ 图的应用
⑤集合新定义问题
一、必备知识整合
一、集合的有关概念
1．集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
2．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
3．元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉．
4．五个特定的集合及其关系图：N*或N 表示正整数集，N表示非负整数集(或
＋
自然数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．
二、集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A
为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A B.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
三、集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
若全集为U，则集
符号表示 A∪B A∩B
合A的补集为C A
U
图形表示
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x ∉A}（1）若有限集 中有 个元素，则 的子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非空真
子集有 个．
（2）空集是任何集合 的子集，是任何非空集合 的真子集．
（3） ．
二、考点分类精讲
【题型一 集合的含义及其表示】
解决与集合中的元素有关问题的一般思路
【典例1】（单选题）若集合 中有5个元素，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（单选题）已知集合 下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（单选题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． 或 D．一、单选题
1．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）若集合 ，则 中的元素个数为
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【分析】
计算出集合 后可求其含有的元素的个数.
【详解】
依题意可得 ，则 中的元素个数为5.
故选：B.
2．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合 ， ，则B中元素的最小
值为（ ）
A． B． C． D．32
【答案】A
【分析】根据题意，由集合的概念，代入计算即可得到结果.
【详解】由题意可得， ，
所以B中元素的最小值为 .
故选：A
3．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，则下列表示正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】令 分别为选项中不同值，求出 的值进行判定.
【详解】当 时， ，所以 ，故A正确；
当 时， ，所以 ，故B错误；当 或 时， ，所以 ，故C错误；
当 时， ，所以 ，故D错误.
故选：A
4．（2024·陕西榆林·二模）若集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据集合知识逐项求解，从而可判断求解.
【详解】对A：依题意可得 ，故A错误；
对B： 即为 与 的交点，即 ，解得 或 ，即 ，故B
错误；
对C： ，故C正确.
对D： ，故D错误；
故选：C.
5．（2023·新疆·一模）已知集合 ，则集合 的元素个数为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
【答案】A
【分析】将 的所有可能取值逐个代入计算即可得出集合 ，即可得集合 的元素个数.
【详解】当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，故 ，共三个元素.
故选：A.
二、填空题
6．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合 ，且 ，则 .
【答案】
【分析】根据题意，列出方程，求得 的值，结合集合元素的互异性，即可求解.
【详解】因为 ，所以 或 ，解得 或 ，
当 时， ， ，集合 不满足元素的互异性，所以 舍去；
当 时，经检验，符合题意，所以 ．
故答案为： ．
7．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知集合 ， ，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意可得 ，解之即可得解.
【详解】因为集合 ， ，
所以 ，解得 .
故答案为： .
【题型二 集合间的基本关系】
判断集合关系的三种方法【典例1】（单选题）已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（单选题）集合 的真子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
一、单选题
1．（2024·陕西西安·三模）设集合 ， ，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．1 D．1或2
【答案】C
【分析】依题意可得 ，则 或 ，求出 的值，再检验是否满足集合元素的互异性.
【详解】因为 ， 且 ，
所以 ，则 或 ，
解得 或 ，
当 时 ，不满足集合元素的互异性，故舍去；
当 时 ，符合题意.
综上可得 .故选：C
2．（2024·全国·模拟预测）若集合 ， ，则集合 的真子集的个数为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】先求集合A，确定 即可求解.
【详解】因为 ， ，所以 ，
所以集合 的真子集的个数为 .
故选:D.
3．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ．若 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据对数函数单调性求集合A，由题意可知 ，即可得结果.
【详解】由题意可得 ，
因为 ，则 ，所以 ．
故选：D．
4．（2024·四川·模拟预测）已知集合 ，则集合 的子集有（ ）个
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】D
【分析】
先求解集合 中元素的个数，再求解子集个数即可.【详解】 ，
故集合 的子集有 个.
故选：D
5．（23-24高一下·北京·阶段练习）设集合 ， ，则 、
的关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】用列举法表示出集合 、 ，即可判断 、 的关系.
【详解】因为 ，
，
所以 ， .
故选：D
二、填空题
6．（2024高三·全国·专题练习）满足 的集合 的个数是 ．
【答案】3
【分析】
借助真子集与集合包含关系的性质计算即可得.
【详解】
由题知 ，则 ，
故集合 的个数为 .
故答案为： .
7．（2024·广西·二模）已知集合 ， ，若 ，则实数 ．
【答案】
【分析】根据子集关系求出可能解，再利用集合中元素的互异性求出不能取的值即可得出m的值.【详解】因为 ，所以 或 ， 或 ，
又由集合中元素的互异性可知 且 且 ， 且 ，
综上 .
故答案为： .
8．（23-24高三下·上海·阶段练习）设 ，若关于 的不等式 的解集是区间 的真子集，
则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】
解一元二次不等式结合真子集的概念即可得解.
【详解】
因为 ，所以 ，
又不等式 的解集是区间 的真子集，则 .
故答案为： .
9．（2024·山东济宁·一模）设集合 ， ，若 ，则实数 的取值
范围是 ．
【答案】
【分析】求解一元二次不等式解得集合 ，再根据集合的包含关系，列出不等式求解即可.
【详解】集合 ，
又 ，且 ，
故可得 ，即 ，解得 .
故答案为： .
【题型三 集合的交并补运算】集合运算三步骤
【典例1】（单选题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例2】（单选题）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例3】（单选题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024高三下·北京·专题练习）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】根据并集的运算可得答案．
【详解】因为 ， ，
所以 .
故选：D
2．（23-24高三下·云南·阶段练习）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据补集和交集求出答案.
【详解】 或 ，故 .
故选：B.
3．（2024·陕西西安·模拟预测）设全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分别求出集合A和B，利用交集的定义求出 .
【详解】因为 ，故 .
故选：C.
4．（2024·四川成都·模拟预测）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次不等式化简 或 ，即可由交集求解.【详解】由 可得 或 ，
又 ，所以 ，
故选：A
5．（2024·四川德阳·二模）已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】将集合 化简，再由集合的运算即可得到结果.
【详解】因为 或 ，
则 ，又 ，
所以 .
故选：B
6．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则满足 的实数a的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】根据集合运算得集合关系，结合集合元素的性质分类讨论求解即可.
【详解】依题意， ，若 ，解得 （ 时不满足集合的互异性，舍去），
若 ，解得 （ 时不满足集合的互异性，舍去），
综上所述， 或 .
故选：B
7．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，则（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求解不等式和求函数的值域得到集合 的范围，再根据交并补和集合间的关系的定义分别
判断各选项即得.
【详解】 ， ，
因 故A项错误；
由 ，知B项错误；
由 知C项错误；
因 ，故D项正确.
故选：D.
8．（2024·全国·模拟预测）若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解一元二次不等式求解集合A，解指数函数不等式求解集合B，再利用交集运算求解即可.
【详解】因为 ，
，
所以 .
故选：A
9．（2024·辽宁·三模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】B
【分析】根据对数式有意义、对数函数的单调性以及指数函数值域的解法，结合并集的定义即可求解.
【详解】要使函数 有意义，则 ，解得 ，
显然函数 在区间上 上单调递增，且 ，
所以 ，只需 ，解得
另函数 在区间 上单调递增，
则 ，
所以 ，
所以 .
故选：B.
10．（2024·广东佛山·二模）已知集合 ， ，且 ，则实数a的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先计算出集合 后，借助并集定义计算即可得.
【详解】由 ，可得 或 ，即 或 ，
由 ， ，则 .
故选：D.
11．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，集合 ，则 的子
集个数为（ ）
A．8 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】集合 都是点集，根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆相切，所以有一个交
点，有 个子集.
【详解】集合A表示直线 上的所有点的集合，集合B表示圆 上所有点的集合，因为圆心 到直线 的距离为 ，等于圆的半径，故直线与圆相切，
故 中只有一个元素，故 的子集个数为 ．
故选：C.
二、多选题
12．（2024·河南新乡·二模）已知集合 则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】先求解不等式 得集合 ，利用集合的交集、并集、补集定义运算和集合间的包含关系
即可一一判断正误.
【详解】由 可得 或 ，即 或 .
对于A项， 或 ，故A项错误；
对于B项， 或 ,故B项正确；
对于C项，因 或 ，故 ，故C项正确；
对于D项， ，故D项正确.
故选：BCD.
13．（2023·山东潍坊·一模）若非空集合 满足： ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据题意可得： ，然后根据集合的包含关系即可求解.
【详解】由 可得： ，由 ，可得 ，则推不出 ，故选项 错误；
由 可得 ，故选项 正确；因为 且 ，所以 ，则 ，故选项 正确；
由 可得： 不一定为空集，故选项 错误；
故选： .
三、填空题
14．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ，若 中有2个元素，则
实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据交集的运算及集合中的元素的个数，列不等式求解即可.
【详解】因为 ， ，若 中有2个元素，
所以 ，所以 ，解得 ，
则实数a的取值范围是 .
故答案为： .
15．（2024·辽宁·二模）已知集合 ， ，若 ．则m的取值范围是
．
【答案】
【分析】由题意可得 ，再列出不等式组，解之即可得解.
【详解】因为 ，所以 ，故 ，
所以 且 ，
所以 ，解得 .
故答案为： .
16．（2024·吉林白山·二模）已知集合 ，若 ，则实数 的取值范围为 .
【答案】
【分析】
根据题意求集合 ，根据 分析求解.
【详解】由题意可知： ，
因为 ，则 ，
所以实数 的取值范围为 .
故答案为： .
【题型四 图的应用】
【典例1】（单选题）如图，已知集合 ，则阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知全集 ，集合 ， ，则图中
阴影部分表示的集合为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题图可知图中阴影部分表示的集合为 ，再根据补集和交集的定义即可得解.
【详解】由题图可知图中阴影部分表示的集合为 ，
因为 ， ， ，
所以 ，则 .
故选：A．
2．（2023·广东·模拟预测）已知全集 ，集合 或 ， 或 ，则图中阴
影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
利用集合的交并补的定义，结合 图即可求解.
【详解】因为 或 ， 或 ，
所以 或 或 或 ，或 或 或 .
由题意可知阴影部分对于的集合为 ，
所以 ，
或 .
故选：D.
3．（2024·广西柳州·三模）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的
学生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
（ ）
A．70% B．60% C．50% D．40%
【答案】C
【分析】根据韦恩图中集合的关系运算即可．
【详解】由题意可得如下所示韦恩图：
所求比例为： ．
故选：C．
4．（2024·山东烟台·一模）已知集合 ，集合 ，则图中阴影部
分表示的集合为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】解不等式化简集合A，再结合韦恩图，利用交集的定义求解即得.
【详解】解不等式 ，得 ，即 ，
由 ，得 ，
所以图中阴影部分表示的集合为 .
故选：A
5．（23-24高三上·山东聊城·期末）已知全集 ，集合 ， ，则
图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出集合A和B，然后根据图中阴影部分是由在B中不在A中的元素构成的集合即可得出答
案.
【详解】 ，所以 ，
，所以 ，所以 ，
图中阴影部分是由在B中不在A中的元素构成的集合，即 ，
故选：D.
6．（2023·湖南邵阳·模拟预测）如图，集合 均为 的子集， 表示的区域为（ ）A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
【答案】B
【分析】根据集合间的运算分析判断.
【详解】因为 表示除集合B以外的所有部分，即为Ⅰ和Ⅱ，
所以 表示 与集合A的公共部分，即为Ⅱ.
故选：B.
7．（23-24高三上·湖北·期末）某校高一年级有1200人，现有两种课外实践活动供学生选择，要求每个同
学至少选择一种参加.统计调查得知，选择其中一项活动的人数占总数的60%到65%，选择另一项活动的人
数占50%到55%，则下列说法正确的是（ ）
A．同时选择两项参加的人数可能有100人
B．同时选择两项参加的人数可能有180人
C．同时选择两项参加的人数可能有260人
D．同时选择两项参加的人数可能有320人
【答案】B
【分析】根据换算关系可得同时选两项的人数的范围，故可得正确的选项.
【详解】根据题意， ， ，
则同时选A，B的人数在 到 之间，换算成人数为 ，即120到240
之间，
因此符合题意的选项只有B．
故选：B.
8．（2023高三·全国·专题练习）“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四
书”指《大学》《中庸》《论语》《孟子》．某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查了
200位学生，其中阅读过《大学》的有60位，阅读过《论语》的有160位，阅读过《大学》或《论语》的
有180位，阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有20位．则该校阅读过《大学》及《论语》但
未阅读过《中庸》的学生人数与该校学生总数比值的估计值是（ ）A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
【答案】A
【分析】根据描述，应用容斥原理画韦恩图，求出该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的
学生人数，即可得结果.
【详解】如下图，阅读过《大学》且阅读过《论语》的人数是160＋60－180＝40，
阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数是40－20＝20，
由样本估计总体，得所求比值为 .
故选：A
【题型五 集合新定义问题】
解决与集合的新定义有关问题的一般思路
解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：
(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用
到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；
(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处
用好集合的运算与性质．
【典例1】对于正整数集合 （ ），如果任意去掉其中一个元素
之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合A为“可分集合”；
(1)判断集合 和 是否是“可分集合”（不必写过程）；
(2)求证：四个元素的集合 一定不是“可分集合”；
(3)若集合 是“可分集合”，证明： 为奇数.
一、单选题
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图所示的Venn图中， 、 是非空集合，定义集合 为阴影部分表
示的集合．若 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由集合的运算结合 的定义，代入计算，即可得到结果.
【详解】因为 ，
，
则 , ，
由集合 的运算可知， 表示 中去掉 的部分，
所以 .故选：D
2．（23-24高三下·湖南长沙·开学考试）若集合 满足： ，若 ，则 ，则称集合 是
一个“偶集合”.已知集合 ， ，那么下列集合中为“偶集合”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】分别求出 ， ， ， ，再利用“偶集合”的定义判断即得.
【详解】集合 ， ，则 ，
显然 ，而 ，A不是；
，显然 ，而 ，B不是；
，则 ，不符合题意，C不是；
，则 ，
对 ，有 ，即 是一个“偶集合”，D是.
故选：D
3．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）
的非空子集 ，且满足 ，那么称子集组 构成集合U
的一个k划分．若集合I中含有4个元素，则集合I的所有划分的个数为（ ）
A．7个 B．9个 C．10个 D．14个
【答案】D
【分析】分别计算2划分，3划分和4划分的个数，再相加即可.
【详解】不妨设 ，则：
的2划分有 ， ， ， ， ， ，；
的3划分有 ， ， ， ， ，
；
的4划分只有 .
综上， 的划分共有 个，D正确.
故选：D.
4．（2024·上海静安·二模）如果一个非空集合 上定义了一个运算 ，满足如下性质，则称 关于运算
构成一个群.
（1） 封闭性，即对于任意的 ，有 ；
（2） 结合律，即对于任意的 ，有 ；
（3） 对于任意的 ，方程 与 在 中都有解．
例如，整数集 关于整数的加法（ ）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对
于任意的 ，方程 与 都有整数解；而实数集 关于实数的乘法（ ）不构成群，因
为方程 没有实数解.
以下关于“群”的真命题有（ ）
①自然数集 关于自然数的加法（ ）构成群；
②有理数集 关于有理数的乘法（ ）构成群；
③平面向量集关于向量的数量积（ ）构成群；
④复数集 关于复数的加法（ ）构成群.
A．0个； B．1个； C．2个； D．3个.
【答案】B
【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可.
【详解】对于①， ，在自然数集中无解，错误；
对于②， ，在有理数集中无解，错误；对于③， 是一个数量，不属于平面向量集，错误；
对于④，因为任意两个复数的和还是复数，且满足加法结合律，
且对任意的 ，方程 与 有复数解，正确.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是理解新定义，用新定义解题.解题方法是根据新定义的
3个条件进行验证，注意实数或复数运算的运算律与新定义中运算的联系可以很快得出结论.
5．（23-24高一上·上海·期末）已知集合 是由某些正整数组成的集合，且满足：若 ，则当且仅当
（其中正整数 、 且 ）或 （其中正整数 、 且 ）．现有如下两个
命题：① ；②集合 ．则下列判断正确的是（ ）
A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错
【答案】A
【分析】根据集合 的定义即可判断①是假命题，根据集合 的定义先判断 ， ，再由 ，
有 ， ， 且 ，所以 ，可判断 ②是真命题.
【详解】因为若 ，则当且仅当 其中 且 ，或 其中 且
，
且集合 是由某些正整数组成的集合，
所以 ， ，
因为 ，满足 其中 且 ，所以 ，
因为 ，且 ， ，所以 ，
因为 ， ， ，所以 ，故①对；
下面讨论元素 与集合 的关系，
当 时， ；
当 时， ， ， ，所以 ；
当 时， ， ， ，所以 ；
当 时， ， ， ，所以 ；依次类推，
当 时， ， ， ，所以 ，则 ，故②对.
故选：A.
【点睛】关键点睛：本题解题的关键在于判断 ， ， ， ，再根据集合 的定义求解.
二、解答题
6．（23-24高三下·北京·阶段练习）设k是正整数，A是 的非空子集（至少有两个元素），如果对于A
中的任意两个元素x，y，都有 ，则称A具有性质 ．
(1)试判断集合 和 是否具有性质 ？并说明理由．
(2)若 ．证明：A不可能具有性质 ．
(3)若 且A具有性质 和 ．求A中元素个数的最大值．
【答案】(1) 不具有性质 ， 具有性质 ，理由见解析
(2)证明见解析
(3)920
【分析】（1）根据定义判断 是否具有性质 即可；
（2）将 分为 个子集，结合抽屉原理证明结论；
（3）先证明连续 个自然数中至多有 个元素属于 ，由此可得集合A中元素个数不超过 个，再举例
说明存在含有 个元素的满足要求的集合 .
【详解】（1）因为 ，又 ，
但 ，所以集合 不具有性质 ，
因为 ，又 ，
但 ，所以集合 具有性质 .
（2）将集合 中的元素分为如下 个集合，
，
所以从集合 中取 个元素，则前 个集合至少要选10个元素，
所以必有 个元素取自前 个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为 ，
所以A不可能具有性质 .
（3）先说明连续11项中集合 中最多选取5项，
以 为例.
构造抽屉 ， ， ， ， ， ， .
① 同时选，因为具有性质 和 ，
所以选5则不选 ；选6则不选 ；选7则不选 ；
则只剩 . 故 中属于集合 的元素个数不超过5个.
② 选2个，
若只选 ，则 不可选，又 只能选一个元素，
可以选，故 中属于集合 的元素个数不超过5个.
若选 ，则只能从 中选，但 不能同时选，
故 中属于集合 的元素个数不超过5个.
若选 ，则 不可选，又 只能选一个元素，
可以选，故 中属于集合 的元素个数不超过5个.
③ 中只选1个，
又四个集合 ， ， ， 每个集合至多选1个元素，故 中属于集合 的元素个数不超过5个.
由上述①②③可知，连续11项自然数中属于集合 的元素至多只有5个，
如取 .
因为2023=183×11+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；
从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合 的元素最多有 个.
给出如下选取方法：从 中选取 ；
然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次.
此时集合 的元素为： ； ； ； ；
，共 个元素.
经检验可得该集合符合要求，故集合 的元素最多有 个.
【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然
后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.
7．（2024·北京·模拟预测）已知集合 ，其中 都是 的子集且互不相同，
记 的元素个数， 的元素个数 .
(1)若 ，直接写出所有满足条件的集合 ；
(2)若 ，且对任意 ，都有 ，求 的最大值；
(3)若 且对任意 ，都有 ，求 的最大值.
【答案】(1) 或 或 或
(2)
(3)
【分析】（1）根据新定义对交集情况分类讨论即可；（2）将集合 的子集进行两两配对得到16组，写出选择 的16个含有元素1的子集即可得
到 ；
（3）分 中有一元集合和没有一元集合但有二元集合，以及 均为三元集合讨论即可.
【详解】（1）因为 ，则 和 的元素个数均为1，
又因为 ，则 ，
若 ， ，则 或 ；
若 ， ，则 或 ；
综上 或 或 或 .
（2）集合 共有32个不同的子集，
将其两两配对成16组 ，
使得 ，则 不能同时被选中为子集 ，故 .
选择 的16个含有元素1的子集: ，符合题意.
综上， .
（3）结论: ，令 ，集合 符合题意.
证明如下：
①若 中有一元集合，不妨设 ，则其它子集中都有元素1，且元素 都至多属于1个子集，
所以除 外的子集至多有 个，故 .
②若 中没有一元集合，但有二元集合，不妨设 .其它子集分两类:或 ，和 或 ，
其中 互不相同， 互不相同且均不为1，2.
若 ，则 ，有
若 ，则由 得每个集合 中都恰包含 中的1个元素（不是2)，且互不相同，
因为 中除2外至多还有2个元素，所以 .
所以 .
③若 均为三元集合，不妨设 .将其它子集分为三类：
，其中 .
若 ，则 (除1，2，3外，其它元素两个一组与1构成集合 )，
所以 .
若 ，不妨设 ，则由 得每个集合 中都或者有4、或者有5，
又 中除1外无其它公共元素，所以 .
所以 .
综上， .
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是充分理解集合新定义，然后对 中集合元素个数进行分类
讨论；当 均为三元集合时，不妨设 ，再将其它子集分为三类讨论.
8．（2024·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的
元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．
设集合 ， （ ， ），且 ．设有序四元数集合
且 ， ．对于给定的集合B，定义映射f：P→Q，记为 ，按映射f，若 （ ），则 ；若 （ ），则
．记 ．
(1)若 ， ，写出Y，并求 ；
(2)若 ， ，求所有 的总和；
(3)对于给定的 ，记 ，求所有 的总和（用含m的式子表示）．
【答案】(1) ，
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意中的新定义，直接计算即可求解；
（2）对1， ，5是否属于B进行分类讨论，求出对应所有Y中的总个数，进而求解；
（3）由题意，先求出在映射f下得到的所有 的和，同理求出在映射f下得到的所有 （ ）的和，
即可求解.
【详解】（1）由题意知， ，
所以 ．
（2）对1， ，5是否属于B进行讨论：
①含1的B的个数为 ，此时在映射f下， ；
不含1的B的个数为 ，此时在映射f下， ；
所以所有Y中2的总个数和1的总个数均为10；
②含5的B的个数为 ，此时在映射f下， ；
不含5的B的个数为 ，此时在映射f下， ；所以所有Y中6的总个数和5的总个数均为10；
②含 的B的个数为 ，此时在映射f下， ， ；
不含 的B的个数为 ，此时在映射f下， ， ；
所以所有y中 的总个数和 的总个数均为20．
综上，所有 的总和为 ．
（3）对于给定的 ，考虑 在映射f下的变化．
由于在A的所有非空子集中，含有 的子集B共 个，
所以在映射f下 变为 ；
不含 的子集B共 个，在映射f下 变为 ；
所以在映射f下得到的所有 的和为 ．
同理，在映射f下得到的所有 （ ）的和 ．
所以所有 的总和为 ．
【点睛】方法点睛：
学生在理解相关新概念、新法则(公式)之后，运用学过的知识，结合已掌握的技能，通过推理、运算等解
决问题.在新环境下研究“旧”性质.主要是将新性质应用在“旧”性质上，创造性地证明更新的性质，落
脚点仍然是集合的有关知识点.
