文档内容
2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 01 讲 集 合（精讲）
①集合的含义及其表示
②集合间的基本关系
③集合的交并补运算
④ 图的应用
⑤集合新定义问题
一、必备知识整合
一、集合的有关概念
1．集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．
2．集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．
3．元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉．
4．五个特定的集合及其关系图：N*或N 表示正整数集，N表示非负整数集(或
＋
自然数集)，Z表示整数集，Q表示有理数集，R表示实数集．
二、集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素，都是集合B中的元素，就称集合A
为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的真子集，记作A B.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
∅
(4)空集的性质： 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
三、集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
若全集为U，则集
符号表示 A∪B A∩B
合A的补集为C A
U
图形表示
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} {x|x∈A，且x∈B} {x|x∈U，且x ∉A}（1）若有限集 中有 个元素，则 的子集有 个，真子集有 个，非空子集有 个，非空真
子集有 个．
（2）空集是任何集合 的子集，是任何非空集合 的真子集．
（3） ．
二、考点分类精讲
【题型一 集合的含义及其表示】
解决与集合中的元素有关问题的一般思路
【典例1】（单选题）若集合 中有5个元素，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例2】（单选题）已知集合 下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】（单选题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． 或 D．一、单选题
1．（23-24高三下·江西抚州·阶段练习）若集合 ，则 中的元素个数为
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．（23-24高三下·四川雅安·阶段练习）若集合 ， ，则B中元素的最小
值为（ ）
A． B． C． D．32
3．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，则下列表示正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
4．（2024·陕西榆林·二模）若集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·新疆·一模）已知集合 ，则集合 的元素个数为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
二、填空题
6．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合 ，且 ，则 .
7．（23-24高三上·北京海淀·阶段练习）已知集合 ， ，则 的取值范围是 ．
【题型二 集合间的基本关系】判断集合关系的三种方法
【典例1】（单选题）已知集合 ， ，若 ，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【典例2】（单选题）集合 的真子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
一、单选题
1．（2024·陕西西安·三模）设集合 ， ，若 ，则 （ ）
A．2 B．3 C．1 D．1或2
2．（2024·全国·模拟预测）若集合 ， ，则集合 的真子集的个数为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ．若 ，则 的取值范围是
（ ）A． B．
C． D．
4．（2024·四川·模拟预测）已知集合 ，则集合 的子集有（ ）个
A．3 B．4 C．7 D．8
5．（23-24高一下·北京·阶段练习）设集合 ， ，则 、
的关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（2024高三·全国·专题练习）满足 的集合 的个数是 ．
7．（2024·广西·二模）已知集合 ， ，若 ，则实数 ．
8．（23-24高三下·上海·阶段练习）设 ，若关于 的不等式 的解集是区间 的真子集，
则 的取值范围是 ．
9．（2024·山东济宁·一模）设集合 ， ，若 ，则实数 的取值
范围是 ．
【题型三 集合的交并补运算】
集合运算三步骤【典例1】（单选题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例2】（单选题）设集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【典例3】（单选题）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024高三下·北京·专题练习）已知集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三下·云南·阶段练习）设集合 ， ，则 （ ）A． B． C． D．
3．（2024·陕西西安·模拟预测）设全集 ，集合 ，则
（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川成都·模拟预测）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2024·四川德阳·二模）已知集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ，则满足 的实数a的个数为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·全国·模拟预测）若集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
9．（2024·辽宁·三模）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
10．（2024·广东佛山·二模）已知集合 ， ，且 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，集合 ，则 的子
集个数为（ ）
A．8 B．3 C．2 D．1
二、多选题
12．（2024·河南新乡·二模）已知集合 则（ ）
A． B． C． D．
13．（2023·山东潍坊·一模）若非空集合 满足： ，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
14．（2024·全国·模拟预测）已知集合 ， ，若 中有2个元素，则
实数a的取值范围是 ．
15．（2024·辽宁·二模）已知集合 ， ，若 ．则m的取值范围是
．
16．（2024·吉林白山·二模）已知集合 ，若 ，则实数 的
取值范围为 .
【题型四 图的应用】【典例1】（单选题）如图，已知集合 ，则阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知全集 ，集合 ， ，则图中
阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·广东·模拟预测）已知全集 ，集合 或 ， 或 ，则图中阴
影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·广西柳州·三模）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有90%的学生喜欢足球或游泳，60%的
学生喜欢足球，80%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是
（ ）
A．70% B．60% C．50% D．40%4．（2024·山东烟台·一模）已知集合 ，集合 ，则图中阴影部
分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
5．（23-24高三上·山东聊城·期末）已知全集 ，集合 ， ，则
图中阴影部分所表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·湖南邵阳·模拟预测）如图，集合 均为 的子集， 表示的区域为（ ）
A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
7．（23-24高三上·湖北·期末）某校高一年级有1200人，现有两种课外实践活动供学生选择，要求每个同
学至少选择一种参加.统计调查得知，选择其中一项活动的人数占总数的60%到65%，选择另一项活动的人
数占50%到55%，则下列说法正确的是（ ）
A．同时选择两项参加的人数可能有100人
B．同时选择两项参加的人数可能有180人
C．同时选择两项参加的人数可能有260人
D．同时选择两项参加的人数可能有320人8．（2023高三·全国·专题练习）“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四
书”指《大学》《中庸》《论语》《孟子》．某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查了
200位学生，其中阅读过《大学》的有60位，阅读过《论语》的有160位，阅读过《大学》或《论语》的
有180位，阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有20位．则该校阅读过《大学》及《论语》但
未阅读过《中庸》的学生人数与该校学生总数比值的估计值是（ ）
A．0.1 B．0.2
C．0.3 D．0.4
【题型五 集合新定义问题】
解决与集合的新定义有关问题的一般思路
解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：
(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用
到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；
(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处
用好集合的运算与性质．
【典例1】对于正整数集合 （ ），如果任意去掉其中一个元素
之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元
素之和相等，就称集合A为“可分集合”；
(1)判断集合 和 是否是“可分集合”（不必写过程）；
(2)求证：四个元素的集合 一定不是“可分集合”；
(3)若集合 是“可分集合”，证明： 为奇数.
一、单选题
1．（2024·陕西咸阳·模拟预测）如图所示的Venn图中， 、 是非空集合，定义集合 为阴影部分表示的集合．若 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三下·湖南长沙·开学考试）若集合 满足： ，若 ，则 ，则称集合 是
一个“偶集合”.已知集合 ， ，那么下列集合中为“偶集合”的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高三下·甘肃·阶段练习）如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）
的非空子集 ，且满足 ，那么称子集组 构成集合U
的一个k划分．若集合I中含有4个元素，则集合I的所有划分的个数为（ ）
A．7个 B．9个 C．10个 D．14个
4．（2024·上海静安·二模）如果一个非空集合 上定义了一个运算 ，满足如下性质，则称 关于运算
构成一个群.
（1） 封闭性，即对于任意的 ，有 ；
（2） 结合律，即对于任意的 ，有 ；
（3） 对于任意的 ，方程 与 在 中都有解．
例如，整数集 关于整数的加法（ ）构成群，因为任意两个整数的和还是整数，且满足加法结合律，对
于任意的 ，方程 与 都有整数解；而实数集 关于实数的乘法（ ）不构成群，因
为方程 没有实数解.
以下关于“群”的真命题有（ ）①自然数集 关于自然数的加法（ ）构成群；
②有理数集 关于有理数的乘法（ ）构成群；
③平面向量集关于向量的数量积（ ）构成群；
④复数集 关于复数的加法（ ）构成群.
A．0个； B．1个； C．2个； D．3个.
5．（23-24高一上·上海·期末）已知集合 是由某些正整数组成的集合，且满足：若 ，则当且仅当
（其中正整数 、 且 ）或 （其中正整数 、 且 ）．现有如下两个
命题：① ；②集合 ．则下列判断正确的是（ ）
A．①对②对 B．①对②错 C．①错②对 D．①错②错
二、解答题
6．（23-24高三下·北京·阶段练习）设k是正整数，A是 的非空子集（至少有两个元素），如果对于A
中的任意两个元素x，y，都有 ，则称A具有性质 ．
(1)试判断集合 和 是否具有性质 ？并说明理由．
(2)若 ．证明：A不可能具有性质 ．
(3)若 且A具有性质 和 ．求A中元素个数的最大值．
7．（2024·北京·模拟预测）已知集合 ，其中 都是 的子集且互不相同，
记 的元素个数， 的元素个数 .
(1)若 ，直接写出所有满足条件的集合 ；
(2)若 ，且对任意 ，都有 ，求 的最大值；
(3)若 且对任意 ，都有 ，求 的最大值.8．（2024·云南昆明·一模）若非空集合A与B，存在对应关系f，使A中的每一个元素a，B中总有唯一的
元素b与它对应，则称这种对应为从A到B的映射，记作f：A→B．
设集合 ， （ ， ），且 ．设有序四元数集合
且 ， ．对于给定的集合B，定义映射
f：P→Q，记为 ，按映射f，若 （ ），则 ；若 （ ），则
．记 ．
(1)若 ， ，写出Y，并求 ；
(2)若 ， ，求所有 的总和；
(3)对于给定的 ，记 ，求所有 的总和（用含m的式子表示）．
