文档内容
微专题：利用正、余弦定理解决实际问题
【考点梳理】
解三角形中的常用术语
(1)仰角和俯角：在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图
①).
(2)方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).
(3)方向角：相对于某一正方向的水平角. 北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③). 北偏
西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向. 南偏西等其他方向角类似.
(4)坡角与坡度：坡角指坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角). 坡度指坡面的铅直高度与水
平长度之比(如图④，i为坡度，i＝tanθ). 坡度又称为坡比.
【题型归纳】
题型一：距离问题
1．如图，A，B两地相距45km，甲欲驾车从A地去B地，由于山体滑坡造成道路AB堵塞，甲沿着与AB方向成
18°角的方向前行，中途到达C点，再沿与AC方向成153°角的方向继续前行到达终点B，则这样的驾车路程比原
来的路程约多了（ ）（参考数据： ， ， ）
A．45.5km B．51.5km C．56.5km D．60.5km
2．如图， 两点在河的两岸，在 同侧的河岸边选取点 ，测得 的距离 ，则
两点间的距离为（ ）
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3． 年 月 日起，新版《北京市生活垃圾管理条例》实施，根据该条例：小区内需设置可回收垃圾桶和有害
垃圾桶.已知李华要去投放这两类垃圾，他从自家楼下出发，向正东方向走了 米，到达可回收垃圾桶，随后向北
偏西 方向走了 米，到达有害垃圾桶，则他回到自家楼下至少还需走（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
题型二：高度问题
4．如图，一栋建筑物AB的高为 米，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD．在它们之间的地面点M
（B、D、M三点共线）处测得楼顶A和塔顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则
通信塔CD的高（单位：米）为（ ）
A． B．30 C． D．60
5．如图为2022年北京冬奥会首钢滑雪大跳台示意图，为测量大跳台最高点 距地面的距离，小明同学在场馆内的
A点测得 的仰角为 ， ， ， （单位： ），（点 在同一水平地面上），
则大跳台最高高度 （ ）
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C． D．
6．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算
圣·索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M
（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是 和 ，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰
角为 ，则可估算圣·索菲亚教堂的高度CD约为（ ）
A．54m B．47m C．50m D．44m
题型三：角度问题
7．甲船在A处，乙船在甲船北偏东60°方向的B处，甲船沿北偏东 方向匀速行驶，乙船沿正北方向匀速行驶，
且甲船的航速是乙船航速的 倍，为使甲船与乙船能在某时刻相遇，则（ ）
A． B． C． D．
8．一艘船航行到点 处时，测得灯塔 与其相距30海里，如图所示.随后该船以20海里/小时的速度，沿直线向
东南方向航行1小时后到达点 ，测得灯塔 在其北偏东 方向，则 （ ）
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9．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔
A在灯塔B的（ ）
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
【双基达标】
10．2021年1月7日，一个戴着红帽子，扎着红围脖，身材圆滚的大雪人在哈尔滨市友谊西路音乐公园内落成．
这个用雪量2000余立方米的“雪人中的巨人”，寓意着可爱祥和、喜庆丰收，每天约有3000人前来和大雪人合影
打卡，已成为松花江畔冬天的新地标，这满满的冬日仪式感就是冰城独特的浪漫．小明同学为了估算大雪人的高
度，在大雪人的正东方向找到一座建筑物AB，高为 ，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点
共线）处测得楼顶A，雪人头顶C的仰角分别是15°和45°，在楼顶A处测得雪人头顶C的仰角为15°，则小明估算
大雪人的高度为（ ）
A． B．13m C． D．
11．如图，在地面上共线的三点 处测得一个建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且 ，则建
筑物的高度为（ ）
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12．魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其
第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高
度.如图，点D，G，F在水平线DH上，CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测
得以下数据（单位：米）：前表却行DG=1，表高CD=EF=2，后表却行FH=3，表距DF=61.则塔高AB=（ ）
A．60米 B．61米 C．62米 D．63米
13．翠浪塔，位于赣州市章江西岸杨梅渡公园山顶上，与赣州古城的风水塔——玉虹塔相呼应．塔名源于北宋大
文豪苏东坡吟咏赣州的诗句“山为翠浪涌，水作玉虹流”，该塔规划设计为仿宋塔建筑风格，塔体八面．一研学
小组在李老师的带领下到该塔参观，这时李老师（身高约1.7米）站在一个地方（脚底与塔底在同一平面）面朝塔
顶，仰角约为45 ；当他水平后退50米后再次观测塔顶，仰角约为30 ，据此李老师问：同学们，翠浪塔高度大
约为（ ）米？（参考数据： ）
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14．如图，地面四个5G中继站A、B、C、D，已知 ， ， ，
，则A、B两个中继站的距离是（ ）
A． B． C． D．
15．一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有
一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点
间的距离是（ ）
A．6 海里 B．6 海里 C．8 海里 D．8 海里
16．如图，为了测量某湿地A，B两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点C，D，E．从D点测得∠ADC
＝67.5°，从C点测得∠ACD＝45°，∠BCE＝75°，从E点测得∠BEC＝60°．若测得DC＝2 ，CE＝ (单位：
百米)，则A，B两点的距离为（ ）
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C．3 D．2
17．为了在一条河上建一座桥，施工前在河两岸打上两个桥位桩 ， (如图)，要测量 ， 两点的距离，测量人
员在岸边定出基线 ，测得 ， ， ．就可以计算出 ， 两点的距离为
（ ）．
A． m B． m C． m D． m
18．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，
世称“天下第一楼”.其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山.始建于东汉建安二十年
(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局.因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好
友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.自古有"洞庭天下水，岳阳天下楼"之美誉.小李为测量岳阳楼的高度
选取了与底部水平的直线 ，如图，测得 ， ， 米，则岳阳楼的高度 约为(
， )（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
19．彬塔，又称开元寺塔、彬县塔，民间称“雷峰塔”，位于陕西省彬县城内西南紫薇山下.某同学为测量彬塔的
高度 ，选取了与塔底 在同一水平面内的两个测量基点 与 ，现测得 ， ，
，在点 测得塔顶 的仰角为60°，则塔高 （ ）
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20．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小张在D处观测，测得A，B分别在D处的北偏西 、北偏东
方向，再往正东方向行驶10海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西 方向，则A，B两处岛
屿间的距离为（ ）海里.
A． B． C． D．10
21．位于灯塔A处正西方向相距 n mile的B处有一艘甲船需要海上救援，位于灯塔A处北偏东45°相距
n mile的C处的一艘乙船前往营救，则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西
（ ）
A．30° B．60° C．75° D．45°
22．如图所示，为测量某不可到达的竖直建筑物 的高度，在此建筑物的同一侧且与此建筑物底部在同一水平面
上选择相距10米的 ， 两个观测点，并在 ， 两点处分别测得塔顶的仰角分别为 和 ，且 ，
则此建筑物的高度为（ ）
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C．10米 D．5米
23．为测量两塔塔尖之间的距离，某同学建立了如图所示的几何模型.若 平面 ， 平面 ，
， ， ， ， ，则塔尖 之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
24．一辆汽车在一水平的公路上由北向南行驶，在公路右侧有一高山．汽车行驶到A处测得高山在南偏西15°方向
上，山顶处的仰角为60°，继续向南行驶 到B处测得高山在南偏西75°方向上，则山高为（ ）
A． B． C． D．
25．如图，某人在垂直于水平地面 的墙面前的点 处进行射击训练，已知点 到墙面的距离为 ，某目标
点 沿墙面上的射线 移动，此人为了准确瞄准目标点 ，需计算由点 观察点 的仰角 的大小，若
，则 的最大值是（ ）.（仰角 为直线 与平面 所成的角）
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【高分突破】
一、单选题
26．如图为某小区七人足球场的平面示意图， 为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队员甲在中线上距离边线
米的 点处接球，此时 ，假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点 处射门，为获得最
佳的射门角度（即 最大），则射门时甲离上方端线的距离为（ ）
A． B． C． D．
27．今年第6号台风“烟花”于2021年7月25日12时30分前后登陆舟山普陀区.如图， 点，正北方向的 市受
到台风侵袭，一艘船从 点出发前去实施救援，以 的速度向正北航行，在 处看到 岛在船的北偏东
方向，船航行 后到达 处，在 处看到 岛在船的北偏东 方向.此船从 点到 市航行过程中距离 岛的
最近距离为（ ）
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C． D．
28．蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑.蜚英塔坐北
朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地.某学生为测量蜚英塔
的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的 ， 两点，测得 米，在 ， 两点观察塔
顶 点，仰角分别为45°和30°， ，则蜚英塔的高度 是（ ）
A．25米 B． 米 C．30米 D． 米
29．岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼、江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，
世称“天下第一楼”.因范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世.小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的
直线 ，如图，测得 ， ， 米，则岳阳楼的高度 约为（ ）（参考数据：
、 ）
A．18米 B．19米 C．20米 D．21米
30．如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海拔高度为10000 ，速度为50 .
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420s后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度大约为（ ，
）（ ）
A．7350 B．2650 C．3650 D．4650
31．如图，地面四个5G中继站A．B．C．D，已知A．B两个中继站的距离为 ， ，
， ，则C，D两个中继站的距离是（ ）
A． B． C． D．
32．圣·索菲亚教堂（英语：SAINT SOPHIA CATHEDRAL）坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风
格的东正教教堂，距今已有114年的历史，为哈尔滨的标志性建筑．1996年经国务院批准，被列为第四批全国重
点文物保护单位，是每一位到哈尔滨旅游的游客拍照打卡的必到景点其中央主体建筑集球，圆柱，棱柱于一体，
极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美．小明同学为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的
正东方向找到一座建筑物 ，高为 ，在它们之间的地面上的点 （ 三点共线）处测得楼顶
，教堂顶 的仰角分别是 和 ，在楼顶 处测得塔顶 的仰角为 ，则小明估算索菲亚教堂的高度为
（ ）
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33．某课外活动小组，为测量山高，如图，他们在山脚A处测得山顶B的仰角为30°，沿倾斜角为15°的斜坡前进
1000 m后到达D处，又测得山顶的仰角为75°，则此山的高度BC约为（ ）
A． B．
C． D．
34．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高．一个数学学习兴趣
小组研究发现，书中提供的测量方法甚是巧妙，可以回避现代测量器械的应用．现该兴趣小组沿用古法测量一山
体高度，如图点E、H、G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，记为 ，EG
为测量标杆问的距离，记为 ，GC、EH分别记为 ，则该山体的高AB=（ ）
A． B． C． D．
第 13 页
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35．甲，乙两楼相距 ，从乙楼底仰望甲楼顶的仰角为 ，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 ，则下列说法正确
的有（ ）
A．甲楼的高度为 B．甲楼的高度为
C．乙楼的高度为 D．乙楼的高度为
36．如图，甲船从 出发以每小时25海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船出发时，
乙船位于甲船的北偏西 方向的 处，此时两船相距 海里．当甲船航行12分钟到达 处时，乙船航行到甲
船的北偏西 方向的 处，此时两船相距5海里，下面正确的是（ ）
A．乙船的行驶速度与甲船相同 B．乙船的行驶速度是 海里/小时
C．甲乙两船相遇时，甲行驶了 小时 D．甲乙两船不可能相遇
37．根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点 沿东偏南 （ 在 上变化）方向行走一段时间
后，再向正南方向行走一段时间，但何时改变方向不定.假定机器人行走速度为10米/分钟，则机器人行走2分钟时
的落点与原点的距离可能为（ ）
A．14米 B．16米 C．18米 D．20米
38．某人在A处向正东方向走 后到达B处,他向右转150°,然后朝新方向走3km到达C处,结果他离出发点恰好
,那么x的值为
A． B． C． D．3
三、填空题
第 14 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司39．《后汉书·张衡传》：“阳嘉元年，复造候风地动仪.以精铜铸成，员径八尺，合盖隆起，形似酒尊，饰以篆文
山龟鸟兽之形.中有都柱，傍行八道，施关发机.外有八龙，首衔铜丸，下有蟾蜍，张口承之.其牙机巧制，皆隐在尊
中，覆盖周密无际.如有地动，尊则振龙，机发吐丸，而蟾蜍衔之.振声激扬，伺者因此觉知.虽一龙发机，而七首不
动，寻其方面，乃知震之所在.验之以事，合契若神.”如图，为张衡地动仪的结构图，现要在相距200km的A，B两
地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向，若A地动仪正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则
地震的位置在A地正东________________km.
40．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上
最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径 ， 两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点 ， ，测得
m， ， ， ，则 两点的距离为______m．
41．如图所示，位于 处的信息中心获悉：在其正东方向相距 海里的 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．
信息中心立即把消息告知在其南偏西45°、相距20海里的 处的乙船，现乙船朝北偏东 的方向沿直线 前往
处救援，则 的值为_________．
42．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”
第 15 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司而名传千古，如图，在滕王阁旁水平地面上共线的三点A，B，C处测得其顶点P的仰角分别为30°，60°，45°，且
米，则滕王阁的高度 _______米．
43．为了测量河对岸两点C，D间的距离，现在沿岸相距 的两点A，B处分别测得 ，
，则 间的距离为________.
44．游客从某旅游景区的景点A处至景点C处有两条线路．线路1是从A沿直线步行到C，线路2是先从A沿直线
步行到景点B处，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处同时出发匀速步行，甲的速度是乙的速
度的 倍，甲走线路2，乙走线路1，最后他们同时到达C处．经测量，AB＝1 040 m，BC＝500 m，则sin∠BAC
等于________．
四、解答题
45．（1）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ，且 ，则
内切圆半径的最大值为_________
（2）随着节假日外出旅游人数增多，倡导文明旅游的同时，生活垃圾处理也面临新的挑战，某海滨城市沿海有
三个旅游景点，在岸边 两地的中点处设有一个垃圾回收站点 （如图）， 两地相距10 ，从
回收站 观望 地和 地所成的视角为 ，且 ，设 ；
第 16 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（i）用 分别表示 和 ，并求出 的取值范围；
（ii）若 地到直线 的距离为 ，求 的最大值．
46．三角测量法是在地面上选定一系列的点，并构成相互连接的三角形，由已知的点观察各方向的水平角，再测
定起始边长，以此边长为基线，即可推算各点坐标的一种测量方法．在实际测量中遇到障碍，无法得到平距的测
量都需要用到三角测量法．如图，为测量横截面为直角三角形的某模型的平面图 ，其中角ACB为直角，由
于实际情况，它的边和角无法测量，以下为可测量数据：① ；② ；③ ．请根据以上数
据求出 的面积．
47．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡角为 的观礼台的某一列的正前方，从这一列的第一排
和最后一排测得旗杆顶部B的仰角分别为 和 ，第一排和最后一排的距离为 米（即图中线段 ），旗
杆底部与第一排在同一水平面上．
(1)求旗杆长度；
(2)若国歌播放的时间约为50秒，升旗手应以约多大的速度匀速升旗？
48．小明在东方明珠广播电视塔底端的正东方向上的 处，沿着与电视塔( )垂直的水平马路 驾驶机动车行
驶，以南偏西60°的方向每小时60千米的速度开了15分钟以后，在点 处望见电视塔的底端 在东北方向上，设
沿途 处观察电视塔的仰角 ， 的最大值为60°.
第 17 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司（1）小明开车从 处出发到 处，几小时后其所在位置观察电视塔的仰角达到最大值60°，约为多少分钟？(分钟
保留两位小数)
（2）求东方明珠塔 的高度约为多少米.(保留两位小数)
49．高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，B、E、F为山脚两侧共线的三
点，在山顶A处测得这三点的俯角分别为 、 、 ，计划沿直线BF开通穿山隧道，现已测得BC、DE、EF
三段线段的长度分别为3、1、2.
（1）求出线段AE的长度；
（2）求出隧道CD的长度.
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【解析】
【分析】
利用正弦定理求出 、 ，即可得解.
【详解】
解：在 中，由 ， ，所以 ，
由正弦定理 ，即 ，
所以 ， ，所以 ．
故选：C
2．D
【解析】
【分析】
根据正弦定理求解即可
【详解】
因为 ，故 ，由正弦定理， ，故
m
故选：D
3．A
【解析】
【分析】
由三角形中余弦定理即可求解.
【详解】
如图：在 中， ,由余弦定理得：
.
故选：A
第 19 页4．C
【解析】
【分析】
根据给定的几何图形，利用直角三角形的边角关系、正弦定理求解作答.
【详解】
依题意， ，
在 中， ，在 中， ，
，由正弦定理得： ，
在 中， （米），
所以通信塔CD的高为 米.
故选：C
5．C
【解析】
【分析】
在 中由正弦定理算出 ，在 中，得到 .
【详解】
在 中, ， ，所以 ，又 ，由正弦定理可得,
,
,
在 中， ,
所以， （m）
故选：C.
6．A
【解析】
【分析】
根据题意求得 ，在 中由正弦定理求出 ，即可在直角 中求出 .
【详解】
由题可得在直角 中， ， ，所以 ，
第 20 页在 中， ， ，
所以 ，
所以由正弦定理可得 ，所以 ，
则在直角 中， ，即圣·索菲亚教堂的高度约为54m.
故选：A.
7．B
【解析】
【分析】
首先设在点 处相遇，设 ，则 ，再利用正弦定理求解即可.
【详解】
如图所示：设在点 处相遇，设 ，则 ，
由题知： ，
由正弦定理得： ，解得 .
因为 ，所以 ，即 .
故选：B
8．A
【解析】
【分析】
由题意可知 的值，利用正弦定理即可求解.
【详解】
解：由题意可知， ， 海里，
由正弦定理可得 = ，代入数据得 .
故选：C.
9．B
【解析】
【分析】
第 21 页画图，根据三角形的几何性质求解即可
【详解】
灯塔A，B的相对位置如图所示，
由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.
故选：B.
10．A
【解析】
【分析】
先根据题设画出示意图，利用三角变换公式可求雪人的高度.
【详解】
根据题意可得如图所示的示意图：
其中 ， ，
故 ，所以 ，故 ，
又 ，
故 ，故 ，
故选：A.
11．D
【解析】
设建筑物的高度为 ，根据已知将 用 表示，在 和 中，用余弦定理结合
，得到关于 的方程，即可求出结论.
【详解】
设建筑物的高度为 ，由题图知，
第 22 页， ， ，
在 和 中，分别由余弦定理的推论，得
①，
②，
因为 ，
所以 ③，
由①②③，解得 或 （舍去），
即建筑物的高度为 .
故选:D.
【点睛】
本题考查解三角形的实际应用，考查余弦定理，考查计算求解能力，属于中档题.
12．D
【解析】
【分析】
根据已知条件，利用 与 、 与 相似即可求出 的值．
【详解】
解：根据题意， ， ，
所以 ，解得 ．
故选：D.
13．B
【解析】
【分析】
利用直角三角形中的边角关系，即可求得.
【详解】
如图所示，OP为塔体，AC,BD为李老师观察塔顶时的站位， Q为A,B在OP上的射影，
由已知得 为直角三角形， ， ， (米)， (米),设
PQ=x，则 , .
∴ ，
∴ ,
∴塔高 (米),
故选：B
第 23 页14．C
【解析】
由正弦定理得求得AC、BC长，再由余弦定理得AB长可得答案.
【详解】
由题意可得 ， ，
在 中，由正弦定理得 ，
在 中，由正弦定理得 ，
在 中，由余弦定理得
，所以 .
故选：C.
【点睛】
本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形的应用.
15．A
【解析】
【分析】
先根据给的条件求出三角形ABC的三个内角，再结合AB可求，应用正弦定理即可求解.
【详解】
由题意可知：∠BAC＝70°﹣40°＝30°.∠ACD＝110°，∴∠ACB＝110°﹣65°＝45°，
∴∠ABC＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB＝24×0.5＝12.
在△ABC中，由正弦定理得 ，
第 24 页即 ，∴ .
故选：A.
【点睛】
本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属
于中档题.
16．C
【解析】
【分析】
在 中，求得 ；在 中，利用正弦定理求得 ；再在 中，利用余弦定理即可求得结
果.
【详解】
根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2 ，
则∠DAC＝180°－45°－67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2 ，
在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE＝ ，
则∠EBC＝180°－75°－60°＝45°，
则有 ＝ ，变形可得BC＝ ＝ ＝ ，
在 中，AC＝2 ，BC＝ ，∠ACB＝180°－∠ACD－∠BCE＝60°，
则AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝9，
则AB＝3．
故选： .
【点睛】
本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及距离的求解，属基础题.
17．D
【解析】
【分析】
由三角形内角和定理求出 ，再利用正弦定理即可求解
【详解】
由三角形内角和定理可知： ，
由正弦定理得: ，
故选：D
18．B
【解析】
第 25 页【分析】
在Rt△ADC中用CD表示AC，Rt△BDC中用CD表示BC，建立CD的方程求解即得.
【详解】
Rt△ADC中， ，则 ，Rt△BDC中， ，则 ，
由AC-BC=AB得 ， 约为 米.
故选：B
19．D
【解析】
【分析】
在△ 中有 ，再应用正弦定理求 ，再在 中 ，即可求塔高.
△
【详解】
由题设知： ，
又 ，
△ 中 ，可得 ，
在 中， ，则 .
△
故选：D
20．C
【解析】
【分析】
分别在 和 中，求得 的长度，再在 中，利用余弦定理，即可求解.
【详解】
如图所示，可得 ，
所以 ，
在 中，可得 ，
在直角 中，因为 ，所以 ，
在 中，由余弦定理可得
第 26 页，
所以 .
故选：C.
21．B
【解析】
【分析】
根据已知条件作出图形，找出要求的角为 ，运用解三角形的知识进行求解.
【详解】
依题意，过点 作 的延长线交于点 ，如图，
则 ， ， ，
在 中， ，
在 中， ， ，
又
，
则乙船的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是南偏西60°.
故选：B.
22．B
【解析】
【分析】
结合图形由余弦定理可得答案.
【详解】
设 ，则 ， ，
在 中，由余弦定理可得 ，
第 27 页即 ，
整理得 ，解得 或 （舍），
故选：B.
23．C
【解析】
【分析】
先在 中求得 ， 中求得 ，再在 中利用余弦定理求 即可.
【详解】
依题意，在 中， ， ，
，可得 ，
则 ，
在 中， ， ，则 ，
又 中， ，由余弦定理可得：
则 .
故塔尖 之间的距离为 .
故选：C.
24．C
【解析】
首先根据题意画出图形，设A处到山顶处下方的地面C距离为 ，则山高 ，再利用正弦定理即可得到答案.
【详解】
如图所示：
设A处到山顶处下方的地面C距离为 ，则山高 ，
在 中， ， ， ，
由正弦定理，得 ，
，
第 28 页所以 ， .
故选：C
25．D
【解析】
【分析】
由题可得， ，过 作 ，交 于 ，连接 ，则 ，设 ，分类讨论，若
在线段 上，则 ，可求出 和 ，从而可得出 ，利用函数的单调性，可得出
时，取得最大值；若 在 的延长线上，同理求出 和 ，可得出 ，可得当
时，函数取得最大值；结合两种情况的结果，即可得出结论．
【详解】
解： ， ，
由勾股定理知， ，
过点 作 交 于 ，连结 ，则 ，
设 ，
若 在线段 上，则 ，
由 ，得 ，
在直角 中， ，
，
令 ，则函数在 ， 单调递减，
时，取得最大值为 ；
若 在 的延长线上， ，
在直角 中， ，
，
令 ，则 可得 时，函数取得最大值 .
故答案为： ．
第 29 页26．B
【解析】
【分析】
先根据题意解出 长度，设 ，得到 ，再分析求值域，判断取等条件即可
求解.
【详解】
设 ，并根据题意作如下示意图，由图和题意得： ， ，
所以 ，且 ，
所以 ，
又 ，所以 ，解得 ，即 ，
设 ， ，则 ，
，所以在 中，
有 ，
令 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，则要使 最大，
即 要取得最小值，即 取得最大值，
即 在 取得最大值，
令 ， ，
第 30 页所以 的对称轴为： ，所以 在 单调递增，在 单调递减，
所以当 时， 取得最大值，即 最大，此时 ，即 ，
所以 ，所以 ，即为获得最佳的射门角度（即 最大），
则射门时甲离上方端线的距离为： .
故选：B.
27．C
【解析】
【分析】
构造三角形运用正弦定理求解三角形即可得出结果.
【详解】
如图， 中， ， ， ， ，
由正弦定理得 ，
所以船与 岛的最近距离：
故选：C.
28．C
【解析】
第 31 页【分析】
设塔高x，用x表示出AD、BD，然后在 中由余弦定理求解可得.
【详解】
设 ，在 中， ，则 ，
在 中， ，则 ，
因为 ，所以由余弦定理得：
整理得： ，解得 .
故选：C
29．B
【解析】
【分析】
在 中用CD表示AC， 中用CD表示BC，建立CD的方程求解即得.
【详解】
中， ，则 ， 中， ，则 ，
由AC-BC=AB得 ， 约为 米.
故选：B
30．B
【解析】
【分析】
如图，设飞机的初始位置为点 ，经过420s后的位置为点 ，山顶为点 ，作 于点 ，在 中，利
用正弦定理求得 ，在 中，解直角三角形即可的解.
【详解】
解：如图，设飞机的初始位置为点 ，经过420s后的位置为点 ，山顶为点 ，作 于点 ，
则 ，所以 ，
在 中， ，
由正弦定理得 ，
则 ，
因为 ，
所以 ，
所以山顶的海拔高度大约为 .
故选：B.
第 32 页31．C
【解析】
由正弦定理得求得AC、BC长，再由余弦定理得AB长可得答案.
【详解】
解：在 中， ，
在 中， ，
设 ，则 ， ，
在 中，由余弦定理， ，
解得 ，
故选：C
【点睛】
思路点睛：把待求量放到三角形中，然后利用正余弦定理解三角形是解决这类问题的一般思路，基础题.
32．D
【解析】
【分析】
由正弦得出 ，再结合正弦定理得到 ，进而能求 .
【详解】
由题意知： ， 所以
在 中， ，
在 中，由正弦定理得 所以 ，
在 中，
故选：D
33．B
【解析】
【分析】
过点D作 ，交BC于E，计算出 、 ，在 中，由正弦定理计算出 ，在 中
即可计算出山高 ．
【详解】
第 33 页过点D作 ，交BC于E，
因为 ，所以 ，则 ．
又因为 ，所以 ．
在 中，由正弦定理，得 ，
在 中， ，故山高度约为 ．
故选：B.
34．A
【解析】
【分析】
根据所给数据，利用解直角三角形先求出BM，即可得解.
【详解】
连接FD，并延长交AB于M点，如图，
因为在 中 ，
所以 ；又因为在 中 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，即 ，
故选：A．
35．AC
【解析】
【分析】
根据题意画出示意图，把有关条件正确表示，解三角形求出甲、乙两楼的高度.
【详解】
第 34 页如图示，
在 中，∠ABD=60°，BD=20m，
∴
在 中，设 ，
由余弦定理得： ，即
解得：
则乙楼的高度分别为 .
故选：AC
【点睛】
数学建模是高中数学六大核心素养之一，在高中数学中，应用题是常见考查形式：
(1)求解应用性问题时，首先要弄清题意，分清条件和结论，抓住关键词和量，理顺数量关系，然后将文字语言转
化成数学语言，建立相应的数学模型；
(2)三角函数型应用题根据题意正确画图，把有关条件在图形中反映，利用三角知识是关键．
36．AD
【解析】
【分析】
连接 ，求出 ，再用余弦定理求出 ，计算乙船速度判断A，B；延长 与 延长线交于O，计算
甲乙到达点O的时间判断C，D作答.
【详解】
如图，连接 ，依题意， （海里），而 海里， ，
第 35 页则 是正三角形， ， 海里，在 中， ， 海里，
由余弦定理得： ，且有 ，
所以乙船的行驶速度是 海里/小时，A正确，B不正确；
延长 与 延长线交于O，显然有 ，即 ， 海里， 海里，
海里，
甲船从出发到点O用时 （小时），乙船从出发到点O用时 （小时）， ，即甲
船先到达点O，
所以，甲乙两船不可能相遇，C不正确，D正确.
故选：AD
【点睛】
关键点睛：解三角形应用问题，根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型是解题的关键．
37．BCD
【解析】
【分析】
利用余弦定理求得所求距离的表达式，结合二次函数、三角函数的知识求得距离的取值范围，从而确定正确选项.
【详解】
设改变方向的地点为 ，终点为 ，
由于 ，所以 ， ，
， ，
由余弦定理得
.
当 时， 米.
当 时， ，
结合二次函数的性质可知当 时，
取得最小值 ，
第 36 页， ， .
结合二次函数的性质可知当 或 时，
取得最大值 .
综上所述， ，
所以BCD选项符合. ，A选项不符合.
故选：BCD
38．AB
【解析】
由余弦定理得 ，化简即得解.
【详解】
由题意得 ,由余弦定理得 ,
解得 或 .
故选：AB.
【点睛】
本题主要考查余弦定理的实际应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
39．
【解析】
【分析】
依题意画出图象，即可得到 ， ，再利用正弦定理计算可得；
【详解】
解：如图，设震源在C处，则 ，则由题意可得 ，根据正弦定理可得
，又 所以
第 37 页，
所以震源在A地正东 处.
故答案为：
40．
【解析】
【分析】
先将实际问题转化为解三角形的问题，再利用正、余弦定理求解。
【详解】
解：易知在 中， ，
为等腰三角形，则 ，
在 中， ， ，
所以由正弦定理得 ，即 ，得 ，
在 中，由余弦定理得
，
第 38 页所以 ，即 ， 两点的距离为 ，
故答案为： ．
41．
【解析】
在 中，利用余弦定理计算出 ， ， ，再利用两角和的余弦公式计算即可
得到答案.
【详解】
由已知， ，在 中，由余弦定理可得
，
所以 ，
所以
.
故答案为：
【点睛】
本题考查余弦定理在解三角形中的应用，涉及到两角和的余弦公式，是一道中档题.
42．
【解析】
【分析】
设 ，由边角关系可得 ， ， ， ，在 和 中，利用余弦定理列方
程，结合 可解得 的值，进而可得 长.
【详解】
设 ，因为 ， ，则
又 ，， ，
所以 ， ，.
在 中， ，
即 ①.，
在 中， ，
即 ②，
因为 ，
第 39 页所以由①②两式相加可得： ，解得： ，
则 ，
故答案为： .
43．2
【解析】
【分析】
在 和 中应用正弦定理求得 ，然后在 中应用余弦定理可求得结果
【详解】
解：在 中，由正弦定理得 ，即 ，得
，
在 中，由 ，所以 为等边三角形， ,
在 中， ，由余弦定理得
，
所以 ，
故答案为：2
44．
【解析】
【分析】
设乙的速度为x m/s，根据正弦定理列式 ＝ ，可得AC＝1 260 m，再由余弦定理求解即可.
【详解】
依题意，设乙的速度为x m/s，
则甲的速度为 x m/s，
因为AB＝1 040 m，BC＝500 m，
所以 ＝ ，解得AC＝1 260 m．
在△ABC中，由余弦定理得，
cos∠BAC＝ ＝ ＝ ，
所以sin∠BAC＝ ＝ ＝ ．
第 40 页故答案为： .
45．（1） ；（2）（i） ， ， ；（2） 的最大值为10．
【解析】
【分析】
（1）由正弦定理得 ，再由恒等变换求得 ，根据角的范围
得 ，由余弦定理得 ，根据基本不等式得 ，令 内切圆的半径为R，由三角形
的面积公式求得 ，由此求得 内切圆半径的最大值；
（2）（i）在 中，由余弦定理得 ， ①，在 中，由余弦定理得，
， ②，两式进行加减运算可求得 ， ，由已知不等式可求得
的范围．
（ii）由 和 ，设 ，得 ， ，根据函数
的单调性可求得 的最大值．
【详解】
解：（1）因为 ，且 ，所以 ，
由正弦定理得 ，
又 ，所以 ，
由于 ，得 ，即 ，又 ，可得 ，得 ，即
，
由余弦定理得 ，可得 ，由 ，得 ，所以有
，
令 内切圆的半径为R，故 ，，得 ，代入 ，
得
，故 ，故 内切圆半径的最大值为 ；
第 41 页故答案为： .
（2）（i）在 中， ， ，
由余弦定理得， ，
又 ，所以 ， ①，
在 中， ， ，
由余弦定理得， ， ②，
①+②得 即
①-②得 ，所以
又 ，所以 ，即 ，
又 ，即 ，所以 ．
（ii） ，故 ，
又 ，设 ，
所以 ， ，
又 ， ， 在 上都是增函数；
所以， 在 上是增函数，所以 的最大值为 ，即 的最大值为10．
【点睛】
方法点睛：（1）在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件；
（2）如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件；
（3）如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.
（4）与三角形有关的最值问题，我们可以利用基本不等式来求最值或利用正弦定理把边转化为关于角的三角函数
式，再利用三角变换和正弦函数、余弦函数的性质求最值或范围.
46．
【解析】
【分析】
根据正弦定理可得 ，再根据两角和的正切公式求解 ，进而得到 求出 面积即可
【详解】
在 中，由正弦定理得： ，
第 42 页所以 ，故 ，
因为 ， ，
所以 ，
故
47．(1)30（米）
(2)0.6（米/秒）
【解析】
【分析】
（1）根据题意在△BCD中利用正弦定理 ，可求 ，再在Rt△ABC中根据
求解；（2）直接利用速度公式计算．
(1)
在△BCD中， ，
， ，
由正弦定理，得 ；
在Rt△ABC中， （米）．
(2)
升旗速度 （米/秒）．
48．（1） 分钟；（2） 米.
【解析】
（1）由题知，在 中， 千米，由正弦定理求出 ，且当
时， 最大，算出 长，即可得时间；
（2）由（1）知当 时， 最大为 ， ，计算即得结果.
【详解】
（1）由题知，在 中， 千米，
所以由正弦定理得， ，所以 ，
在直角 中， ，因为 不变，所以当 时， 最小，此时 最大，故
第 43 页，所以 分钟；
（2）由（1）知当 时， 最大为 ，此时 ，
所以 千米，
故东方明珠塔 的高度约为 米.
【点睛】
关键点睛：本题的关键是能够推得当 时，仰角 最大.
49．（1）
（2）
【解析】
（1）由已知在△AEF中，由正弦定理即可解得AE的值；（2）由已知可得∠BAE＝90°，在Rt△ABE中，可求BE
的值，进而可求CD＝BE﹣BC﹣DE的值．
【详解】
（1）由已知可得EF＝2，∠F＝45°，∠EAF＝60°－45°＝15°，
在△AEF中，由正弦定理得： ，
即 ，
解得 ；
（2）由已知可得∠BAE＝180°﹣30°﹣60°＝90°，
在Rt△ABE中， ，
所以隧道长度 ．
【点睛】
本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
第 44 页第 45 页
