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专题 4.9 导数综合练
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）函数 的单调递
增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求导，求出不等式 的解集即可.
【详解】函数的定义域为 .
，则 .
令 ，解得 .
故选：D
2．（2023春·北京昌平·高三北京市昌平区前锋学校校考期中）函数 的导数
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据导数公式可得.
【详解】由 知
故选：B
3．（2023春·吉林·高三校联考期中）曲线 在点 处的切线垂直于直线 ，
则 （ ）
A．1 B． C． D．【答案】D
【分析】求出函数的导数后可求切线的斜率，从而可得关于 的方程，解出 后可得正确
的选项.
【详解】 ，所以 ，
因为在点 处的切线垂直于直线 ，故切线的斜率为 ，
故 即 ，
故选：D.
4．（2023·全国·高三专题练习）已知 的定义域为 ， 为 的导函数，
且满足 ， 则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】构造函数 ，结合题意可得 ，进而得到 时， 函数
单调递减，转化 为 ，结合单调性即可求解.
【详解】设 ， 则 ，
即当 时， 函数 单调递减，
由 ，
所以 ，
即 ，
所以 ，解得 ，
则不等式的解集为 .
故选：D.
5．（2023春·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）设 有三个不同的零点，
则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由 有三个不同的零点，可得 有三个不同的零点，构造函数 和 ，画出函数图像，利用导数求解切线方程，进而可得切线斜率，
结合图像关系即可求解．
【详解】如图，由 有三个不同的零点，可得 有三个不同的零
点，
画出函数 的图像，直线 过定点 ，
当 时，设过 的直线与 的切点为 ，
由 ，得 ，所以 ，故切线方程为 ，
把定点 代入得： ，即 ，
所以 ，即直线 的斜率为 ，
由图知，当 时， 与 有三个交点，
所以使 有三个不同的零点的 的取值范围是 .
故选：C.
6．（2023春·广东茂名·高三广东高州中学校考期中）设函数 ，若
是函数 的极大值点，则函数 的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可得 ，求出 的值，即可求出 ，再对 求导，得到 单
调性，即可求出答案.
【详解】由 ，得 ，
又 是函数的极大值点， ， ，
则 ， ，
令 ，得 或 ，
令 ，解得 或 ；令 ，解得 ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
则当 时， 的极小值为 .
故选：D.
7．（2023春·云南玉溪·高三云南省玉溪第一中学校考期中）已知函数 ，
分别与直线 交于点 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】依题意，表示出 两点坐标和 ，构造函数，利用导数研究单调区间和最值.
【详解】
由题意， ， ，其中 ，且 ，
所以 ，令 ， ，
则 时，解得 ，
所以 时， ； 时， ；
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，
故选：B．
8．（2023春·广东珠海·高三珠海市斗门区第一中学校考期中）设函数 的导数为 ，
且 ，则 （ ）
A． B． C． D．2【答案】B
【分析】可先求函数的导数，令 求出 即可.
【详解】由 ，
令 得 ，
解得 .
故选：B.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的
得0分
9．（2023春·吉林通化·高二梅河口市第五中学校考阶段练习）已知函数 的定义域为
，导函数为 ，满足 ，（e为自然对数的底数），且
，则（ ）
A． B．
C． 在 处取得极小值 D． 无最大值
【答案】AD
【分析】由题意，构造函数，利用导数可得新函数的单调性，解得函数 的解析式，根
据导数求得该函数的单调性，可得答案.
【详解】解：设 ，则 ，
可设 ，则 ，解得 ，故 ，即 ，
令 ，则 ，故 在 上单调递增，
∴ ，即 ，则 ，A正确；
∵ ，令 ，解得 ，则 在 上单调递减，在 上
单调递增，
∴ ， 在 处取得极小值，无最大值，B、C均错误，D正确．
故选：AD.
10．（2023春·甘肃金昌·高三永昌县第一高级中学校考期中）下列结论中，正确的是（
）
A． B．C． D．
【答案】BD
【分析】利用基本初等函数求导公式，复合函数求导公式以及导数的运算法则的进行求导，
逐项分析即可.
【详解】对于A，常数 的导数等于0，
故A错误；
对于B，令 ， ，则 ， ，
故B正确；
对于C， ，
故C错误；
对于D，利用公式 ，
故D正确.
故选：BD.
11．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知直线 与曲线 相切，则下列直线中
可能与 垂直的是（ ）
A．x+4 y=0 B．
C． D．
【答案】AB
【分析】求导，利用基本不等式可得导数范围，然后可得垂线斜率范围，进而可得答案.
【详解】 的定义域为 ，
，即直线 的斜率 ，
设与 垂直的直线的斜率为 ，则 ，
所以 ， ．
故选：AB．
12．（2023春·湖北·高三宜昌市三峡高级中学校联考期中）已知函数 ，则
（ ）
A．函数 在 上单调递增 B． 有三个零点C． 有两个极值点 D．直线 是曲线 的切线
【答案】CD
【分析】利用导数研究函数单调性和极值，通过极值判断函数零点个数，通过导数的几何
意义求已知斜率的切线方程.
【详解】函数 ，定义域为R， ，
，解得 或 ； ，解得 ，
在 和 上单调递增，在 上单调递减，
极大值为 ，极小值为 ，
， ，函数图像如图所示，
则函数 的图像与 轴只有一个交点，即 只有一个零点，
所以AB选项错误，C选项正确；
曲线 切线的切点坐标为 ，当切线斜率为2时， ，解
得 ，
当 时，切点坐标为 ，切线方程为 ，即 ，D选项正确.
故选：CD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．（2023春·广东江门·高三新会陈经纶中学校考期中）已知函数 ，
在区间 内任取两个实数 ，且 ，若不等式 恒成立，则实数a
的取值范围为_______．
【答案】
【分析】根据题意得函数 在区间 内单调递增，利用导函数与单调性的关系即可得 恒成立，即可求解.
【详解】不妨设 ，则由 ，
可得 ，即 ，
设 ，
则 在区间 内单调递增，
，
则 在区间 内恒成立，
即 ，也即 ，
因为二次函数 在 单调递减，
所以 ，
所以 ，
故答案为: .
14．（2023春·上海杨浦·高三同济大学第一附属中学校考期中）函数 的导函数
的图像如图所示，以下结论正确的序号是______．
（1） 是函数 的极值点；
（2） 是函数 的极小值点
（3） 在区间 上严格增；
（4） 在 处切线的斜率大于零；
【答案】（1）（3）（4）；
【分析】利用导函数与原函数的关系一一判定即可.
【详解】由图象可得 时， ，且 时 ， 时 ，即
是函数 的极小值点，（1）正确；
而 时， ，但 与 时， ，∴ 不是函数 的极值
点，（2）不正确；由图象可知 上 ，∴ 在区间 上严格增，（3）正确；
处 ，所以该处切线的斜率大于零，（4）正确；
故答案为：（1）（3）（4）；
15．（2023春·上海普陀·高三上海市晋元高级中学校考期中）函数 ，其中
，函数 在区间 上的平均变化率为 ，在 上的平均变
化率为 ，则 与 的大小关系是_________
【答案】
【分析】根据平均变化率公式求出 与 ，再比较大小即可；
【详解】依题意 ，
，
所以 ，而 ，所以 .
故答案为：
16．（2023·全国·高三专题练习）曲线 上的点到直线 的距离
的最小值为______
【答案】
【分析】求出曲线 的斜率为 的切线与曲线相切的切点坐标，再根据点到直线的距离
公式可求出结果.
【详解】 的定义域为 ，
求导得 ，令 ，解得 ，则 ，故切点坐标为 ，
故曲线 上的点到直线 的距离的最小值即为切点 到直线 的距离，
即为 .
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
17．（2023春·高二课时练习）求下列函数的导函数.
(1)
(2)(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【分析】根据函数的求导公式和四则运算即可求解.
【详解】（1） ，所以 .
（2） ，所以 .
（3） ，所以 ， .
（4） ，所以 .
（5） ，所以 .
（6） ，所以 .
18．（2022·天津·高三专题练习）设函数 （其中无理数 ，
）．
(1)若函数 在 上不是单调函数，求实数 的取值范围；
(2)证明：设函数 的图象在 处的切线为 ，证明： 的图象上不存在位于直线
上方的点．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由单调性可知 在 上必存在变号零点；分别在仅有一个变号零点和两个变号零点的情况下，结合二次函数性质构造不等式组求得结果；
（2）利用导数的几何意义可求得切线斜率，可得 ： ；令
，利用导数可求得 单调性，得到
，由此可得结论.
(1)
由题意得： ，
在 上不是单调函数， 在 上必存在变号零点；
令 ，
当 在 有且仅有一个变号零点时， ，
解得： ；
当 在 有两个变号零点时， ，不等式组无解；
综上所述：实数 的取值范围为 .
(2)
， ，又 ，
切线 方程为： ，
即 ；
令 ，，
令 ，解得： 或 （舍）；
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ，
即 ，
的图象上不存在位于直线 上方的点
【点睛】关键点点睛：本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围、利用导数证明
函数图象之间的关系；本题证明的关键是能够通过构造函数的方式，将问题转化为所构造
函数 最值的求解问题，通过说明 得到所求的函数与直线的位置关系.
19．（2023·全国·高三专题练习） ．
(1)当 时，求 的单调区间与极值；
(2)当 时，设 ，若 既有极大值又有极小值，求a的取值范围．
【答案】(1) 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；极大值为 ，无极小
值；
(2) .
【分析】（1）由题可得导函数，然后根据导数与函数单调性及极值关系即得；
（2）由题可得 有两个不等正根，进而可得 有两个不等正根，然后构造
函数，利用导数研究函数的性质作出函数的大致图象利用数形结合即得.
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，
所以 ，
由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 的单调增区间为 ，单调减区间为 ；
所以 在 处有极大值，极大值为 ，无极小值；
（2）因为 ，所以 ，则 有两个变号零点，
由 ，可得 ，
所以 有两个不等正根，
设 ，则 ，
由 ，可得 ，函数 单调递增，由 ，可得 ，函数 单调
递减，
所以 在 处有极大值， ，
又 ， 时 ； 时， ，
作出函数 的大致图象，
由图象可知要使 有两个不等正根，则 ，
即a的取值范围为 .
【点睛】函数由极值、极值点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范围，通
常解法为从 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据
题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数极值或极值点个数的参数范
围，通常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个
数是否符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
20．（2023春·高三课时练习）已知 ，函数 .求 在区间 上
的最小值．
【答案】答案见解析.
【分析】先求导，再对 分三种情况讨论，结合函数的单调性求出函数的最小值.【详解】因为 ，所以 ，x∈ ．
令 得x=a.
①若a≤0，则 ， 在区间 上单调递增，此时函数 无最小值．
②若0
