文档内容
2025-2026 学年八年级上学期期中模拟卷
数学·全解全析
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版2024八年级数学上册第1~4章（勾股定理+实数+位置与坐标+一次函数）。
第一部分（选择题 共30分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合
题目要求的）
1．点 关于x轴对称的点的坐标是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的坐标的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行
求解即可．
【详解】解：点 关于x轴对称的点的坐标是 ；
故选B．
2．表示变量之间关系的函数解析式有① ，② ，③ ，④ ，其中一次函数
是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的一般形式 （k，b为常数且 ），逐一判断即可解答．
【详解】解：表示变量之间关系的函数解析式有① ，② ，③ ，④ ，其中
一次函数是①④，
故选：D．
3．下列各数： ， ， ， （相邻两个1之间0的个数逐次加1）， ， ，
， 是无理数的有（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】本题考查了无理数的定义．无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：① 类；
②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数，根据无理数的特征即可解答．
【详解】解： ， ， 都是有理数，
， ， 开方开不尽的数，是无限不循环小数，是无理数，
，是无限不循环小数，是无理数，
（两个1之间的0的个数逐次增加1），是无限不循环小数，是无理数，
综上所述：共有5个无理数，
故选：D．
4．关于函数 ，下列结论正确的是（ ）
A．直线 在 轴上的截距为2 B．图像必经过第一、二、三象限
C．当 时， D． 随 的增大而增大
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数 的图象和性质，解决本题的关键是掌握相关的性质并熟练运
用．
根据一次函数的性质：当 时，图象经过第一、三象限，y随x增大而增大；当 时，图象经过第二、
四象限，y随x增大而减小；当 时，图象与y轴的交点在x轴的上方，当 时，图象与y轴的交点
在x轴的下方，并对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A．直线 在 轴上的截距为1，该选项错误，不符合题意；
B．函数 中， ， ，此函数图像经过第一、二、四象限，该选项错误，不符合题
意；
C．当 时， ，解得 ，该选项正确，符合题意；
D．函数 中， ， 随 增大而减小，该选项错误，不符合题意；
故选C．
5．如图，在 的正方形网格中，点A，B，C，D均在格点上，若从中任取三点构成三角形，则其中是
直角三角形的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握两个定理．
利用勾股定理求出每条边的平方，再根据勾股定理的逆定理进行判断即可．
【详解】解：如图，连接 ，
借助网格和勾股定理得，
，，
，
，
，
，
∵ ，
∴ 为直角三角形；
∵ ，
∴ 为直角三角形；
∵ ，
∴ 为直角三角形；
∴直角三角形有3个，
故选：B．
6．如图，一农户要建一个矩形牛舍．牛舍的一边利用住房得的墙，另外三边用25 长的建筑材料围成，
为方便进出，在边 上留一个1 宽的门．若设 的长为y ， 的长为x ，则y与x之间的函数解
析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查列函数关系式，根据几何关系可得 ，从而得到答案．
【详解】解：根据题意得 ，
∴ ，即 ，故选：C．
7．在平面直角坐标系中，对于点 ，我们把 叫做点 的伴随点，已知点 的伴随点
为 的伴随点为 这样依次得到点 ，若点 ，则点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点坐标规律问题，正确找出规律是解题关键．根据伴随点的定义
求出点 的坐标，发现规律即可得出答案．
【详解】解： 点 ，
∴点 坐标为 ，即 ，
∴点 坐标为 ，即 ，
∴点 坐标为 ，即 ，
∴点 坐标为 ，即 ，
由此可知，每4个点为一个循环，
∵ ，
∴点 的坐标与点 的坐标相同，即为 ，
∴点 的坐标为 ．
故选：B．
8．设 ，则
的值为（ ）
A． B． C．10 D．11【答案】C
【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的性质，总结归纳出规律是解题的关键．通过计算总结归纳
出规律 ，再根据规律计算求解即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
，
故选： ．
9．匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示
（图中 为一折线）．这个容器的形状是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】本题考查函数图象，首先，比较 三段的变化快慢；进而得到容器三部分容积的大小，
即可解决问题．
【详解】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡、稍平、陡，
故水面高度相应的变化，跟所给容器的粗细有关，
容器从下到上依次是稍粗、粗、细；
故选A．
10．如图，图 是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理时的青朱出入图，图中
的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等 朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形
探究学习中，标上字母绘成图 所示，若记朱方对应正方形 的边长为 ，青方对应正方形 的
边长为 ，已知 ， ，则图 中的阴影部分面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题．
根据题意所求阴影部分面积为 ，再根据所给条件求面积即可．
【详解】解：如图 ，
， ，
阴影部分面积 ，
朱方对应正方形 的边长为 ，青方对应正方形 的边长为 ，
， ，
青出与青入的三角形全等，
，
，
，，
， ，
，
阴影部分面积
，
故选：B．
第二部分（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）
11．在平面直角坐标系中，点 位于第 象限．
【答案】四
【分析】本题考查了判断点所在的象限，根据不同象限内点的坐标的特征，得到点所在的象限，熟练掌握
各象限内点的特征是解题的关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
即可得到点P的横坐标恒为正数，纵坐标为负数，
∴该点在第四象限，
故答案为：四．
12．如图，直角三角形 在数轴上， ， ， ，点 在数轴上的 处，以点 为
圆心，以 为半径画弧，交数轴于点 ，则点 对应的数是 ．
【答案】【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，根据勾股定理求出 的长，进而得到 的长，然后根据两点
间的距离求出点 对应的数即可．
【详解】解：∵ ， ， ，
∴ ，
由作图可知： ，
∴点 表示的数为 ；
故答案为：
13．如图所示是小明和小红在教室所在座位的相对位置，若用 表示小明的位置，则小红的位置可表示
为 ．
【答案】
【分析】本题考查坐标位置的确定，根据已知小明的位置确定出坐标原点的位置是解题的关键．
根据小明的位置向左3个单位、向下3个单位确定出坐标原点的位置，然后建立平面直角坐标系，再写出
小红的位置即可．
【详解】解：如图所示，
根据小明的位置和坐标，可以确定平面直角坐标系，
∴小红的位置可表示为 ，
故答案为： ．14．一次函数 无论k取任何非0值，它的图像总是过一个定点，此点坐标为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数图像与系数的关系及一次函数图像上点的坐标特征，熟知一次函数图像
与性质是解题的关键．
根据题意，将一次函数改写为关于k的关系式，再令k的系数为零即可解决问题．
【详解】解：由
则：
当 ，解得：
∴此点坐标为
故答案为： ．
15．如图，在直角三角形 中， ， ， ． 为 边上一点，连接 ．将
沿 折叠，若点 恰好落在线段 的延长线上的点 处，连接 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握折叠的性质和勾股定理．先由
折叠的性质得到 ，再由勾股定理求出 ，从而得到 ，设 ，
则 ，再利用勾股定理求解即可．
【详解】解：由折叠的性质可知， ，
∵在 中， ，
∴ ， ，
∴ ，
设 ，则 ，在 中， ，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故答案为： ．
16．如图直线 分别交x轴、y轴于点A、B，点O为坐标原点，若以点P，O，B为顶点的三角形
与 全等，（点P不与点A重合）则点P的坐标为 ．
【答案】 或 或
【分析】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的性质，先求解 ， ，结合
以点P，O，B为顶点的三角形与 全等，分三种情况讨论即可．
【详解】解：∵以点P，O，B为顶点的三角形与 全等，（点P不与点A重合），分情况如下：
①如图所示：
∵直线 分别交x轴、y轴于点A、B，
∴当 时 ，当 时，则 ，解得： ，
∴ ， ，
；
②如图，
此时 ，
∴ ；
③如图，当 时，
此时 ，
∴ ，
故点 的坐标为 或 或 ．
故答案为： 或 或
三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；
共9小题，共72分）
17．（1）解方程： ； （2）计算：【答案】（1） ；（2）0
【分析】本题主要考查了利用平方根解方程、二次根式的混合运算等知识点，掌握相关运算法则和方法成
为解题的关键．
（1）直接利用平方根解方程即可；
（2）直接按照二次根式的运算法则求解即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
．
（2）解：
．
18．已知一次函数 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．
(1)求点 ，点 的坐标；
(2)点 在 轴上， 是以 为腰的等腰三角形，直接写出符合题意的点 的坐标．
【答案】(1)
(2) 或 或
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形性质和勾股定理等知识，熟练掌握这些知
识点并灵活运用是解决问题的关键．
（1）按照求一次函数与坐标轴的交点解法解答即可得到答案；
（2）画出图形，由等腰三角形性质及勾股定理求解即可写出点 的坐标．
【详解】（1）解： 一次函数 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
令 ，得 ，则 ；令 ，得 ，则 ；∴ ；
（2）解：根据题意，作出等腰 ，如图所示：
当 时，点 与点 关于 轴对称，即 ；
在 中，由勾股定理可知 ，
当 时，分两种情况：
当点 在 轴负半轴上时，则 ，即 ；
当点 在 轴正半轴上时，则 ，即 ；
综上所述，点 的坐标为 或 或 ．
19．如图，在 中， 是 的中点，作 ，交 于点 ，且 ．
(1)试说明： ；
(2)若 ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键，注意方程
思想在这类问题中的应用．
（1）连接 ，由线段垂直平分线的性质可求得 ，再结合 可求得，可证得结论；
（2）设 ，则 ，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】（1）解：连接 ，
∵D是 的中点， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵在 中， ，
∴ ，
∴ ．
∵ 是 的中点，
∴ ．
设 ，则 ．
在 中，由勾股定理，得 ，
即 ，解得 ，
所以 的长为 ．
20．如图，在平面直角坐标系中， 各顶点的坐标分别为 ．(1)作出 关于y轴对称的图形 ，并写出顶点 的坐标．
(2)求 的面积．
(3)在x轴上找一点P，使得 最小．
【答案】(1)见解析；
(2)7
(3)见解析
【分析】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．
（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点 ， ， 即可；
（2）把三角形面积看成矩形面积减去周围的三个三角形面积即可；
（3）作点C关于x轴的对称点 ，连接 交x轴于点P，点P即为所求．
【详解】（1）解：如图， 即为所求，点 的坐标 ；（2）解： 的面积 ；
（3）解：如图，点P即为所求．
21．某商店销售A，B两种商品， 种商品的进价为每件20元，售价为每件30元； 种商品的进价为每件
35元，售价为每件50元．该商店计划购进A，B两种商品共100件，且购进的 种商品不少于60件．设
购进 种商品 件，销售完这100件商品的总利润为 元．
(1)求 与 的函数关系式，并写出自变量 的取值范围；
(2)该商店如何进货才能使销售完这100件商品所获利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1) ；
(2)购进 种商品60件， 种商品40件，利润最大，最大利润为1200元
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，求出函数关系式是解题的关键；
（1）根据总利润等于两种商品利润和即可列出函数关系式；
（2）根据函数式及一次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解： ，
整理得： ，
由于购进A，B两种商品共100件，且购进的 种商品不少于60件，则 ；
∴ 与 的函数关系式为 ，自变量 的取值范围为 ；
（2）解： ，且 ，
∵ ，
∴y随x的增大而减小，∴当 时，函数取得最大利润，且最大利润为 （元），
此时购进B种商品为 （件）；
答：购进 种商品60件， 种商品40件，利润最大，最大利润为1200元．
22．在平面直角坐标系中，已知点 ， ，给出如下定义：对于实数 ，我们称点
为 两点的“k”系和点．例如，已知点 ， ，则点 的“ ”系和
点的坐标为 ．已知点 ， ．
(1)直接写出点 的“2”系和点的坐标：_______；
(2)若点A为点 的“ ”系和点，求点C的坐标；
(3)若点D为点 的“k”系和点，三角形 的面积为6，求符合条件的k的值．
【答案】(1)
(2)
(3) 或
【分析】（1）利用两点的“ ”系和点的定义，代入公式求解即可；
（2）利用两点的“ ”系和点的定义，代入公式求解即可；
（3）利用三角形的面积公式求得点 到 的距离为2，推得点 的纵坐标，代入公式求解，即可．
【详解】（1）解：由题意可知：点 ， ；
根据“ ”系和点的定义得： ， ，
故答案为： ；
（2）解：设 ，
则 ， ；
∴ ， ，∴ ；
（3）解：∵ ， ，
∴ ，
∵三角形 的面积为6，
∴点 到 的距离为2，
∵点 为 ， 的“ ”系和点，
或 ，
或 ．
【点睛】本题考查了新定义，坐标与图形，三角形的面积公式，理解掌握两点的“ ”系和点的定义是解
题的关键．
23．定义：直线 与直线 互为“友好直线”．如：直线 与直线 互为
“友好直线”．
(1)点 在直线 的“友好直线”上，则 ；
(2)直线 上的一点 又是它的“友好直线”上的点，求点M的坐标：
(3)对于直线 上的任意一点 ，都有点 在它的“友好直线”上，求a、b的值．
【答案】(1)
(2)点 的坐标为
(3)
【分析】本题考查了新定义“友好直线”的应用及一次函数上点的坐标特征，解题的关键是根据“友好直
线”定义（直线 的友好直线为 ），结合“点在直线上则点的坐标满足直线解析式”这
一性质，逐一求解各问题．（1）先根据定义求出 的友好直线，再将点 代入友好直线解析式，求解 ；
（2）先求出 的友好直线，再根据点 同时在两条直线上，列方程组求解坐标；
（3）先写出 的友好直线，再根据 在原直线、 在友好直线上，分别列出等
式，结合任意 均成立的条件，求出 、 ．
【详解】（1）解： 直线 的友好直线为
∵
（根据定义，交换 、 得友好直线 ），
又 点 在 上，
∵
，解得 ．
∴
故答案为： ．
（2）解： 直线 的友好直线为
∵
（交换 、 得），
点 在 和 上，
∵
，
∴
解得 ，
点 的坐标为 ．
∴
（3） 直线 的友好直线为 ，
∵
点 在 上，
∵
；
∴ ①
点 在 上，
∵
，
∴ ②将 代入 ： ，
① ②
整理得： ，
对任意 该等式均成立，
∵系数需为0，
∴
即 ，解得 ．
24．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直
角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于 ，另一种是等
于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 ，从而得到等式 ，
化简便得结论 ．
【方法运用】（1）千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱
好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的 ， ， 用两种方法表示出
梯形 的面积，说明勾股定理 ；
【方法迁移】（2）如图3，每个小方格的边长为1，点 ， ， 分别在格点上，连接点 ， ， 可得
，求边 上的高；
【方法拓展】（3）如图4，在 中， 是 边上的高， ， ， ，设 ，求
的值．
【答案】（1）见解析；（2） ；（3）
【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，掌握利用面积证明勾股定理是解本题的
关键．
（1）利用直角梯形 的面积的两种表示，列式化简即可得证；
（2）设 中边 上的高为 ，计算出 的面积，再根据三角形的面积公式即可求得 边上的
高；（3）运用勾股定理在 和 中求出 ，列出方程求解即可．
【详解】解：（1）∵
；
又 ，
，
∴ ，
；
（2） ， ，
设 中边 上的高为 ，
，
∴ ，即 边上的高是 ；
（3）在 中，
由勾股定理得： ，
∵ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得， ，
∴ ，
∴ ．
25．已知：直线 与 轴、 轴分别相交于点 和点 ，点 在线段 上．将 沿 折叠后，点 恰好落在 边上点 处．
(1)求出 、 两点的坐标；
(2)求出 的长；
(3)点 是坐标轴上一点，若 是直角三角形，求点 坐标．
【答案】(1)点 坐标为 ，点 坐标为
(2)3
(3) 或 或
【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是解题
的关键．
（1）令 和令 ，可求 、 两点的坐标；
（2）由勾股定理求出 的长，再由轴对称的性质，用含 的式子分别表示 、 的长，在
中根据勾股定理列方程求出 的长；
（3）分三组情况讨论，由勾股定理即可求解．
【详解】（1）解： 直线 与 轴、 轴分别相交于点 和点
时 ； 时
点 坐标为 ，点 坐标为 ．
（2）解：由折叠得， ， ， ，
， ，
，
，
，，
解得： ；
故 长为 ．
（3）解：当 时，则点 ；
当 时， ，
如图，设 ，
∴
解得：
∴点 ；
当 时，
如图，设 ，
∴
解得：∴点 ，
综上所述：点E的坐标为 或 或 ．
