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6.2 等差数列
思维导图
知识点总结
1．等差数列的有关概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数
定义
列就叫做等差数列，即a －a ＝d(n∈N*，d为常数)
n＋1 n
通项
设{a }是首项为a，公差为d的等差数列，则通项公式a ＝
n 1 n
公式
等差 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A 叫
中项 做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝
2．等差数列的前n项和公式
已知条件 前n项和公式
a，a ，n
1 n
a，d，n
1典型例题分析
考向一 等差数列基本量的运算
1．已知等差数列{a }的各项均为正数，其前n项和为S ，且满足a＝17，S＝aa，则a ＝( )
n n 6 5 2 3 12
A．28 B．30
C．32 D．35
解析：选D 设公差为d且d>0，由a＝17，S＝aa，得⇒故a ＝a＋11d＝2＋33＝35.
6 5 2 3 12 1
2．(2022·全国乙卷)记S 为等差数列{a }的前n项和．若2S＝3S＋6，则公差d＝__________.
n n 3 2
解析：因为2S＝3S＋6，所以2(a＋a＋a)＝3(a＋a)＋6，化简得3d＝6，得d＝2.
3 2 1 2 3 1 2
答案：2
方法总结
解答等差数列运算问题的通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程
1
(组)求解．
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及a ，a ，d，n，S 五个量，知其中三个就能求另外两个，
1 n n
体现了解方程的思想．
考向二 等差数列的判定或证明
[典例] 在数列{a }中，S ＝4a ＋2，a＝1.
n n＋1 n 1
(1)设c ＝，求证数列{c }是等差数列；
n n
(2)求数列{a }的通项公式．
n
[解] (1)证明：在数列{a }中，∀n∈N*，S ＝4a ＋2，则当n≥2时，有S ＝4a ＋2，
n n＋1 n n n－1
两式相减得a ＝4a －4a ，而c ＝，即a ＝2nc ，则有2n＋1c ＝4×2nc －4×2n－1c ，
n＋1 n n－1 n n n n＋1 n n－1
整理得c ＝2c －c ，即c ＋c ＝2c ，
n＋1 n n－1 n＋1 n－1 n
所以数列{c }是等差数列．
n
(2)由S ＝4a ＋2得a＋a＝4a＋2，而a＝1，则a＝5，c＝＝，c＝＝，
n＋1 n 1 2 1 1 2 1 2
因此，等差数列{c }的公差d＝－＝，即{c }是以为首项，为公差的等差数列，则c ＝＋(n－1)＝n－，
n n n即＝，于是得a ＝(3n－1)·2n－2，
n
所以数列{a }的通项公式a ＝(3n－1)·2n－2.
n n
[方法技巧] 等差数列的判定与证明方法
如果一个数列{a }从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常
n
定义法
数，那么可以判断数列{a }为等差数列
n
等差 如果一个数列{a }对任意的正整数n都满足2a ＝a ＋a ，那么可以
n n＋1 n n＋2
中项法 判断{a }为等差数列
n
通项 如果一个数列{a }的通项公式满足a ＝pn＋q(p，q为常数)的形式，那么
n n
公式法 可以提出{a }是首项为p＋q，公差为p的等差数列，适用选择、填空题
n
如果一个数列{a }的前n项和公式满足S ＝An2＋Bn(A，B为常数)的形
n n
前n项和
式，那么可以得出数列{a }是首项为A＋B，公差为2A的等差数列，适
n
公式法
用选择、填空题
考向三 等差数列的性质
角度1 等差数列的性质
[例1] (1)已知等差数列{a }的前n项和为S ，若S ＝10，S ＝60，则S 等于( )
n n 10 20 40
A．110 B．150 C．210 D．280
(2)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，
重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下 1
尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的
若干段时，其质量从大到小构成等差数列．若将该金杖截成长度相等的 20段，则中间两段的质量和为
________斤．
(3)已知数列{a }，{b }都是等差数列，S ，T 分别是它们的前n项和，并且＝，则＝________.
n n n n
[解析] (1)因为等差数列{a }的前n项和为S ，所以S ，S －S ，S －S ，S －S 也成等差数列．
n n 10 20 10 30 20 40 30
故(S －S )＋S ＝2(S －S )，所以S ＝150.又因为(S －S )＋(S －S )＝2(S －S )，所以S ＝280.
30 20 10 20 10 30 20 10 40 30 30 20 40
(2)设该若干段的质量从大到小构成等差数列{a }，由题意得，每4段为1尺，即a ＋a ＋a ＋a ＝4，
n 1 2 3 4
a ＋a ＋a ＋a ＝2，两式相加得4(a＋a )＝6，则a ＋a ＝a＋a ＝.
20 19 18 17 1 20 10 11 1 20(3)因为{a }，{b }为等差数列，所以＝＝＝＝，又＝，
n n
所以＝＝＝＝2.
[答案] (1)D (2) (3)2
[方法技巧]
(1)运用等差数列的有关性质和结论可以提升解题效率．
(2)应用性质解题时，注意性质成立的前提条件．
(3)要注意等差数列通项公式及前 n项和公式的灵活应用，如 a ＝a ＋(n－m)d，d＝，S ＝(2n－
n m 2n－1
1)a ，S ＝＝(n，m∈N*)等．
n n
角度2 等差数列前n项和的最值
[例2] (多选)记等差数列{a }的前n项和为S .若a＝10，S＝S，则( )
n n 2 5 2
A．S＝S B．a＝10
3 4 6
C．S 的最大值为30 D．a 的最大值为15
n n
[解析] 设等差数列的公差为d，则由题可得解得∴a ＝15＋(n－1)×(－5)＝20－5n，S ＝＝，∴a ＝
n n 4
0，S ＝S ，故A正确；a ＝－10，故B错误；当n＝3或n＝4时，S 取得最大值为30，故C正确；由于
3 4 6 n
d<0，∴a 的最大值为a＝15，故D正确．
n 1
[答案] ACD
[方法技巧]
求等差数列前n项和S 最值的方法
n
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式S ＝an2＋bn(a≠0)，通过配方或借助图象求二次函数
n
最值的方法求解．
(2)邻项变号法：①若a＞0，d＜0，则满足的项数m使得S 取得最大值S ；
1 n m
②若a＜0，d＞0，则满足的项数m使得S 取得最小值S .
1 n m
基础题型训练
一、单选题
1．观察下面的数表：若第n行的各数之和为231，则 （ ）A．15 B．18 C．20 D．21
2．两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比 ，则 的值是
A． B． C． D．
3．设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则当 取最小值时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
4．在等差数列 中，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．已知 是各项均为正数的等差数列，且 ，则 的最大值为（ ）
A．10 B．20 C．25 D．50
6．数列 的前 项和为 ，若点 在函数 的图象上，则 （ ）
A．2021 B．4041 C．4042 D．4043
二、多选题
7．若 为等差数列， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 是数列 中的项
C．数列 单调递减
D．数列 前7项和最大8．已知关于x的方程 的四个根是公差为2的等差数列 的前四项， 为数列
的前n项和，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 节
的容积共 升，下面 节的容积共 升，则第 节的容积为__________升．
10．已知等差数列 的前 项和 有最小值，且 ，则使得 成立的 的最小值是
________．
11．已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 __________．
12．已知数列 中， ，则 ___________．
四、解答题
13．已知等差数列 中， =1， ，求数列 的通项公式
14．已知数列 满足 ﹒
(1)求证数列 是等差数列；
(2)求 的通项公式；
(3)试判断 是否为数列 中的项，并说明理由﹒15．在等差数列 中， ， .
（1）求 的通项公式；
（2）求 的表达式.
16．已知在公比为2的等比数列 中， 成等差数列．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 求数列 的前 项和 ．
提升题型训练
一、单选题
1．在等差数列 中，若 ， ，则 （ ）
A．38 B．39 C．40 D．41
2．已知直线y＝25－3x，点(n，an)在该直线上，则a＋a＝（ ）
3 5
A．24 B．25 C．26 D．27
3．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是扇环形的石板，从内
到外各圈的石板数组成等差数列 ，它的前n项和为 ，且 ， ，则 （ ）A．2079 B．2059 C．2022 D．1890
4．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，下列为真
命题的序号为（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
5．孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期
的数学著作《孙子算经》， 年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲， 年英国数学家
马西森指出此法符合 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定
理”．这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 至 这 个整数中能被
除余 且被 除余 的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是（ ）
A． B． C． D．
6．在 中插入 个数，使它们和 组成等差数列 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
7．关于等差数列，有下列四个命题，正确的是（ ）
A．若数列中有两项是有理数，则其余各项都是有理数
B．等差数列的通项公式 是关于项数n的一次函数
C．若数列 是等差数列，则数列 （k为常数）也是等差数列
D．若数列 是等差数列，则数列 也是等差数列
8．已知数列 满足： ， ， ，则下列说法正确的有（ ）
A．数列 是等差数列 B．C． D．
三、填空题
9．在等差数列 中， ， ，则 ________.
10．已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 __________．
11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且 ，则a +a ＝______
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12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a ＝4，S ＝30，则数列{ }的前n项和为_____．
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四、解答题
13．已知数列 的前n项和为 ， ， ，且 .求证：数列 是等差数列；
14．已知数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求证：数列 是等差数列.
15．已知等差数列 ， ，公差 ， 是数列 的前 项和，数列 满足
， ， ， 是数列 的前n项和.
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)求证： .
16．设等差数列 的前n项和为 ，已知 ，且 是 与 的等差中项．(1)求 的值；
(2)若集合 中最小的元素为6，求实数t的取值范围．
