培优03一次函数实际应用问题（6大题型）（北师大2024）（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_初中数学北师大8上-2025秋季新版_第二套推荐25_07习题试卷_专项训练_第2套

培优 03 一次函数实际应用问题（六大题型） 题型1 一次函数应用--分段计费 关键在于识别计费转折点，分段建立函数模型；先确定各段的自变量取值范围，再分别写出 每段的一次函数解析式（通常为y=kx+b形式）；最后根据给定的自变量值判断所属区间， 代入对应解析式计算。需注意段与段之间的衔接点通常包含在某一区间内． 1．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）瓦房店市许屯镇拥有百余年的苹果生产历史，镇上的万亩苹果 进入了成熟季．小李想在许屯镇某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购 买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，则y 与x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列函数的关系式，正确理解题意并分类讨论是解题的关键．分 和 两种情况，分别根据付款金额等于单价乘数量列出函数关系式即可． 【详解】解：当 时由题意得： ， 当 时由题意得： ， 综上，y与x之间的函数关系式为 ． 故答案为： ． 2．（2025·陕西商洛·模拟预测）今年雨水稀少，土地干旱，对我国多个地区产生显著影响为了加强居民的 节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准某用户每月应 交水费y（元）与用水量x（吨）的函数图象如图所示． (1)若该用户每月用水量都超过12吨，求该用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数表达式； (2)若该用户5月交水费63元，则该用户5月用了多少吨水？ 【答案】(1) (2)14.5吨 【分析】本题考查了一次函数的实际应用， （1）利用待定系数法求解即可； （2）将 代入 求解即可． 【详解】（1）根据题意，得当 时，设该用户每月应交水费 （元）与用水量 （吨）的函数表达式 为 ． 将点 和点 的坐标代入得 ， 解得 当 时，该用户每月应交水费 （元）与用水量 （吨）的函数表达式为 ． （2）当 时，得 ． 解得 ． 答：该用户5月用了14.5吨水． 3．（24-25九年级下·陕西咸阳·期末）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为 元 ，用水量为 立方米 用水量 立方米 收费 元 不超过10立方米 每立方米2元 超过10立方米 超过的部分每立方米3元 (1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式； (2)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？ 【答案】(1) (2)该户居民用水12立方米 【分析】（1）根据分段收费标准计算即可； （2）判断该户居民用水的范围，再根据对应函数关系式计算即可． 本题考查一次函数的应用，根据分段收费标准写出y与x的函数关系式是解题的关键． 【详解】（1）当 时， ， 当 时， ， 水费与用水量之间的关系式为（2）当 时， ， ， 该户居民用水超过10立方米， 当 时，解得 答：该户居民用水12立方米． 4．（24-25八年级下·山东青岛·期末）小明需要寄送一批包裹，现了解到A、B两个快递公司的收费标准如 下表： 首重费用 续重费用 A公司 包裹重量 ，收费12元 超过 ，每增加 加收3元（不足 按 计算） B公司 统一收费 无论重量，均按5元 计算，最低收费10元（即不足 也按10元计算） 设小明需要寄送包裹的重量为 （ ）． (1)若小明寄送包裹的重量为 ，A公司的收费为_______元，B公司的收费为_______元； (2)若小明寄送包裹的重量超过 ，则他去哪个公司寄送更划算？ 【答案】(1)12，10 (2)当小明寄送包裹重量在 以上 以下，或在 以上 以下，则选择B公司划算；当小明寄送 包裹重量恰好为 或 时，则选择A公司，B公司费用一样；当小明寄送包裹重量在 到 之 间时或超过 时，则选择A公司划算 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，难度较大，解题的关键是正确理解题意，利用数形结合的思想 求解． （1）根据题意即可求解； （2）画出函数图象进行分析即可． 【详解】（1）解：A公司： ，则收费12元；B公司： ，则收费10元， 故答案为：12，10； （2）解：设 公司收费为 元， 公司收费为 元， ， 画出函数图象： 由函数图象可得： 时， 或 或 ； 当 时， 或 当 时， ， ∴当小明寄送包裹重量在 以上 以下，或在 以上 以下，则选择B公司划算；当小明寄送 包裹重量恰好为 或 时，则选择A公司，B公司费用一样；当小明寄送包裹重量在 到 之 间时或超过 时，则选择A公司划算． 5．（22-23八年级下·四川广安·阶段练习）某移动公司有两种电话收费方式：A：30元套餐，包含通话时 间180分钟，超过180分钟的按 元/分钟收费，B：来电显示费6元，所有通话按 元/分钟收取．(1)写出A、B两种收费方式的收费金额 、 ； (2)画出 、 的函数图像； (3)当 为何值时， ， ， ？ 【答案】(1) ， (2)见详解 (3) ， ， 【分析】本题考查了一次函数的应用，首先要根据题意正确表示每一种费用，再进一步代值比较大小．解 决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． （1）收费方式 ：分段函数，当 和 两种收费方式；收费方式B：收费金额 来电显示费 通话费； （2）结合函数解析式画出函数图象； （3）根据函数图象直接回答问题． 【详解】（1）解：依题意得： ， ． （2）解： 的函数图象如图所示：（3）解：由（2）图象得： 当 时， ． 当 时， ． 当 时， ． 6．（24-25八年级下·新疆喀什·期末）我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之 一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯 价的含义：用水量不超过144 ，每立方米收费3.15元，用水量在144~240 ，前144 按 3.15元/ ， 144~240 之间按4.05元/ 收费，以此类推）． 价格 年用水量 供水类型 阶梯分类 （元/ （ ） ） 第一阶梯 0~144（含） 3.15 居民生活 144~240 第二阶梯 4.05 用水 （含） 第三阶梯 240以上 6.75 (1)设某户居民的年用水量为 ，请按阶梯分类求用水年费用 （元）关于年用水量 （ ）的函数解 析式． (2)若小米家2024年全年用水量为120 ，则小米家应缴2024年水费多少元？(3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量． 【答案】(1) (2)小米家应缴2024年水费 元 (3)小乐家2024年全年用水量为 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，列代数式以及有理数的混合运算，关键是根 据图表中的数量关系，列出算式和方程． （1）分 ， 及 三种情况，利用含 的代数式表示出这户居民的水费 即可； （2）由于小米家2024年全年用水量为120 ，则按第一阶梯交费，根据总价=单价×数量列式计算即可； （3）先判断出小乐家2024年的用水量到达第二阶梯，再根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知， 当 时， ， 当 时， ， 当 时， ， ； （2）解： （元）， 小米家应缴2024年水费 元； （3）解：设小乐家2024年全年用水量为 ， ， ， ， ， 解得 ， 小乐家2024年全年用水量为 ．题型2 一次函数应用--行程问题 通过"s-t"图象解决：纵轴表路程(s)，横轴表时间(t)。图象斜率表示速度（k=Δs/Δt）；交点 表示相遇时刻。需仔细分析图象的起点、拐点、交点含义，区分相遇、追及、停留等情景， 结合函数解析式求解． 7．（24-25八年级下·浙江台州·阶段练习）某景区内有A，B，C三个景点（如图1）．小明从A景点出发， 步行去C景点，共用时50分钟；同时，小丽以每分钟70米的速度从B景点出发，步行到达A景点，休息 10分钟后，小丽改成骑电动车去C景点，结果小丽比小明早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动， 设小明步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． (1)求m的值，并说出m的实际意义． (2)求小丽骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（写出t的取值范围）． 【答案】(1) ，m表示小丽从B地步行到A地需要25分钟 (2) 【分析】本题考查一次函数的应用，动点的函数图象． （1）用A，B的距离除以小丽的速度即可； （2）利用待定系数法求解． 【详解】（1）解： （分钟） 因此 ，m表示小丽从B地步行到A地需要25分钟； （2）解：由题意知，小丽从A景点出发时 ，此时距A景点路程 ， 小丽到达C景点时 ，此时距A景点路程 ， 设 ， 把 ， 代入得： ，解得 ， ∴ ． 8．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）周末，小轩和家人们去爬张家山锻炼身体，刚开始小轩精力充沛， 爬山的速度比较快，爬了30分钟后，开始体力不支，于是减速爬到山顶．他距山脚出发地的路程s（米） 与登山时间t（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)小轩减速前的速度为 米/分钟； (2)求小轩减速后s与t之间的函数关系式； (3)当小轩爬了40分钟时，他距离山脚出发地的路程是多少米？ 【答案】(1)20 (2) (3)当小轩爬了40分钟时，他距离山脚出发地的路程是680米 【分析】本题主要考查了函数图象、求一次函数解析式、一次函数的应用等知识点，求得一次函数解析式 成为解题的关键． （1）根据图象以及速度、路程、时间的关系求解即可； （2）运用待定系数法求出函数解析式即可； （3）将 代入（2）所得函数解析式即可解答． 【详解】（1）解：由图象可知：小轩减速前爬山600米，用时30分钟，则小轩减速前的速度为 米/分钟． 故答案为：20． （2）解：设小轩减速后 与 之间的函数表达式为 ， 将 和 代入得： ，解得： ． 小轩减速后 与 之间的函数表达式为 ． （3）解：当 时， ， 答：当小轩爬了40分钟时，他距离山脚出发地的路程是680米． 9．（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知 两地之间距离600千米．甲车从 地出发匀速开往 地， 甲车出发半小时后，乙车从 地出发沿同一路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回 地．两 车之间的距离 （千米）与甲车行驶时间 （小时）之间的函数关系如图所示，请解答下列问题： (1)甲车的速度是_____千米/时，乙车的速度是_____千米/时， _____； (2)求乙车返回过程中， 与 之间的函数关系式； (3)当甲、乙两车相距240千米时，直接写出甲车的行驶时间． 【答案】(1)100，120，5.5 (2) (3) 小时 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息是解题的关键． （1）根据函数图象求得甲的速度，根据题意求得乙的速度，进而求得 的值； （2）根据待定系数法求解析式即可； （3）将 代入（2）中解析式求解即可． 【详解】（1）解：由图象可得， 甲车的速度为： （千米/时），乙车的速度为： （千米/时）， ∴ ， 故答案为∶ 100，120，5.5； （2）解：设乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式是 ， ∵点 ， 在该函数图象上， ∴ ， 解得 ， 即乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式是 ； （3）解：相遇之前两车最大相距的距离为 千米， 相遇后，当 时， ， 解得 ， 答：当甲、乙两车相距240千米时，甲车的行驶时间是 小时． 10．（24-25八年级下·吉林长春·期末）“五·一”长假，小王与小叶相约分别驾车从长春出发，沿同一路 线驶往距长春 的甲地旅游．小王由于有事临时耽搁，比小叶晚出发1.25小时．而小叶的汽车中途发 生故障，等排除故障后，立即加速赶往甲地．若从小叶出发开始计时，图中的折线 、线段 分别表示小叶、小王两人到长春的距离 、 与时间 之间的函数关系．(1)求直线 的函数解析式． (2)求小王和小叶第二次相遇的时间为 小时． (3)为了保证及时联络，小王、小叶在第一次相遇时约定此后两车之间的距离不超过 ，直接写出他们 实际的行驶过程是否符合约定． 【答案】(1) (2) (3)符合约定 【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意，正确求出函数解析式是解此题的关键． （1）设直线 的函数解析式为 ，将 ， 代入解析式计算即可得解； （2）在 中，当 时，则 ，计算即可得解； （3）求出直线 的函数解析式为 ，再分别求出当 时和 时相距的距离，比较即 可得解． 【详解】（1）解：设直线 的函数解析式为 ， 将 ， 代入解析式可得 ， 解得： ， ∴直线 的函数解析式为 ； （2）解：在 中，当 时， ， 解得 ， 故小王和小叶第二次相遇的时间为 小时； （3）解：设直线 的函数解析式为： ， 将 ， 代入解析式可得 ，解得 ， ∴直线 的函数解析式为： ， 由图象可得，在 中，当 时， ， 在 中，当 时， ，此时相距 ； 在 中，当 时， ， 在 中，当 时， ，此时相距 ； 故他们实际的行驶过程符合约定． 11．（24-25八年级下·陕西安康·期末）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现、图1是机器 人警官安安和麦克，他们从街头A处出发，准备前往相距450米的B处（A，B在同一直线上）巡逻，安安 警官比麦克警官先出发，且速度保持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．已知安安 警官、麦克警官行走的路程 （米）， （米）与安安警官行走的时间x（秒）之间的函数关系图象如图 2所示． (1)如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“麦克”）； (2)求麦克警官提速后的速度，并求m，n的值； (3)求折线①中线段 所在直线的函数解析式； (4)请直接写出安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长． 【答案】(1)麦克 (2) 米/秒， ；(3) (4) 秒 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识 点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意结合图象分析即可得解； （2）先求出麦克提速前速度，从而即可得出提速后速度，计算得出 段经过的时间，即可得解； （3）利用待定系数法计算即可得解； （4）由题意得线段 所在直线的函数解析式为 ，再分情况列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：折线①表示麦克警官行走的路程与时间的函数图象； （2）解：由题意可得：麦克提速前速度为 （米／秒）， 提速后速度为 （米／秒）． 段经过的时间为 （秒）， ； 安安警官的速度为 （米／秒）， ； （3）解：由题意得点 ，点 ． 设线段 所在直线的函数解析式为 ， 将点E，F的坐标分别代入函数解析式中可得： ， 解得 ， 即线段 所在直线的函数解析式为 ； （4）解：安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为36秒． 由题意得线段 所在直线的函数解析式为 ， 当 时， ，当 时， ． 当安安警官出发，而麦克警官未出发，安安在麦克前方120米时， ，解得 ； 当安安警官在麦克警官前方120米时， ， 解得 ； 当安安警官在麦克警官后方120米时， ， 解得 ； 当麦克警官到达 处，安安警官距 处120米时， ， 解得 ． 安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为 （秒）． 12．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点 出发沿同一路线匀速步行前往 处参加活动． 甲比乙早出发 ，两人途中均未休息，先到达 处的人在原地休息等待，直到另一人到达 处．两人 之间的路程 与甲行走的时间 的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________ 之间的路程为___________ ； (2)当 时，求 关于 的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为 ． 【答案】(1)90，3960 (2) (3)当甲出发 或 时，两人之间的路程为 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的 关键： （1）观察图像可知，甲 走了 ，甲行走 时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走 时，乙到达 点，求出乙的总路程即为 之间的路程； （2）求出 点坐标，待定系数法求出 段的函数关系式即可；（3）分 和 两种情况，求出 的值即可． 【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为： ， 设乙的速度为 ，由题意，得： ，解得： ， 故乙的速度为 ； 之间的路程为： ； 故答案为：90，3960； （2）由图像可知： 点的纵坐标为 ， ∴ ， 当 时，设 ，把 ， 代入，得： ，解得： ， ∴ ； （3）当 时，令 ，解得： ； 当 时， ，解得： ； 综上：当甲出发 或 时，两人之间的路程为 ． 13．（24-25八年级下·河北邢台·期末）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现．图1是机器 人警官安安和麦克，他们从街头A处出发，准备前往相距450米的B处（A，B在同一直线上）巡逻，安安 警官比麦克警官先出发，且速度保持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍、已知安安 警官、麦克警官行走的路程 （米）， （米）与安安警官行走的时间 （秒）之间的函数关系图象如图 2所示． (1)如图2，折线①表示___________警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“表克”）；(2)求麦克警官提速后的速度，并求m，n的值； (3)求折线①中线段 所在直线的函数解析式； (4)请直接写出安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长． 【答案】(1)麦克 (2)30； ； (3) (4) （秒） 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识 点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意结合图象分析即可得解； （2）先求出麦克提速前速度，从而即可得出提速后速度，计算得出 段经过的时间，即可得解； （3）利用待定系数法计算即可得解； （4）由题意得线段 所在直线的函数解析式为 ，再分情况列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：折线①表示麦克警官行走的路程与时间的函数图象； （2）解：由题意可得：麦克提速前速度为 （米／秒）， 提速后速度为 （米／秒）． 段经过的时间为 （秒）， ； 安安警官的速度为 （米／秒）， ； （3）解：由题意得点 ，点 ． 设线段 所在直线的函数解析式为 ， 将点E，F的坐标分别代入函数解析式中可得： ， 解得 ，即线段 所在直线的函数解析式为 ； （4）解：安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为36秒． 由题意得线段 所在直线的函数解析式为 ， 当 时， ，当 时， ． 当安安警官出发，而麦克警官未出发，安安在麦克前方120米时， ， 解得 ； 当安安警官在麦克警官前方120米时， ， 解得 ； 当安安警官在麦克警官后方120米时， ， 解得 ； 当麦克警官到达 处，安安警官距 处120米时， ， 解得 ． 安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为 （秒）． 14．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示桌面 长 为 ，小球 与木块 （大小、厚度忽略不计）同时从 出发向 沿直线路径做匀速运动，速度较快 的小球 到达 处的挡板 后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块 后又被反弹向 挡板 ，如此反复，直到木块 到达 ，同时停止．设小球的运动时间为 ，木块 与小球之间的距离为 ，图②是 与 的部分函数关系图像，结合图像回答下列问题． (1)小球 第一次到达挡板 的时间是______s，小球 的速度为______ ，木块 的速度为______ ； (2)小球 第一次返回时，求 与 的函数关系式；(3)当小球 从出发至第一次 、 相遇时，小球 与木块 距离为 时，直接写出 的值为______ ． 【答案】(1)16； ； (2) (3)当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为 时， 或 ． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是 ，进而可得小球P的速度为 ，求出速度和，然后计算出 点的速度，故可判断得解； （2）先求解 ，再利用待定系数法计算可以得解； （3）依据题意，先求出小球P运动 前的函数关系式，然后把 代入解析式和（2）中解析式计算 即可． 【详解】（1）解：由题意，观察函数图象，可得， 小球P第一次到达挡板l的时间是 ， ∴小球P的速度为 ， 由题意， ， 又 ， ∴ ， ∴木块Q的运动速度 ． 故答案为：16； ； （2）解：由（1）得： ， 设小球P第一次返回时， ， 将 ， 代入得， 解得 ，∴ ． （3）解：由题意，设小球P运动 前的函数关系式为 ， 函数过 ， ∴ ， ∴ ， ∴此时函数为 ， ，又令 ， ∴ ， 又当小球运动到 后，结合（3）函数关系式为 ， ∴令 ， 解得 ， 综上，当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为 时， 或 ． 15．（24-25八年级下·吉林·期末）江南公园，位于吉林省吉林市丰满区世纪广场西侧，是集游乐场、动物 园、植物园于一体的综合性公园．琦琦和然然在江南公园游玩，两人同时从吉林市陶瓷博物馆出发，沿相 同的路线游览到游乐场游玩，路线如图所示． 记录得到以下信息： a． 琦琦和然然从吉林市陶瓷博物馆出发行走的路程 和 （单位： ）与游览时间 （单位： ） 的对应关系如下图：b． 在琦琦和然然的这条游览路线上，依次有4个景点，从 吉林市陶瓷博物馆到这4个景点的路程如下表： 园中 白鸽广 海豹 猴 景点 园 场 池 山 路程（ 1 2 2.5 3 ） 根据以上信息，回答下列问题： (1)在这条游览路线上，吉林市陶瓷博物馆到游乐场的路程为___________ ； (2)琦琦和然然在游览过程中，除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在___________相遇（填写景点名称）， 此时距出发经过了___________ ； (3)下面有三个推断： ①然然从园中园到游乐场游览的过程中，平均速度是 ； ②然然比琦琦晚到达游乐场 ； ③ 时，琦琦比然然多走了 ． 所有合理推断的序号是___________． (4)求然然离开白鸽广场到游乐场时 对应的函数解析式，标出自变量 的取值范围； (5)当琦琦和然然相距 时，直接写出游览时间 的值：___________． 【答案】(1)4 (2)白鸽广场，45 (3)②③ (4) (5)72或96 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，能从图象中获取信息是解答的关键． （1）观察图象即可；（2）根据两图象交点的纵坐标判断除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在哪个景点相遇；写出 与x的函数 关系式，当 时，求出对应x的值即可； （3）①求出当 时， 与x的函数关系式，当 时，求出对应x的值，从而根据平均速度 总 路程 总时间求出然然从园中园到游乐场游览的过程中的平均速度即可； ②观察图象即可； ③当 时，求出对应 的值，从而求出琦琦比然然多走的路程即可； （4）根据速度 路程 时间求出这个过程中然然的速度，再由路程 速度 时间写出 与x的函数解析式 即可； （5）按照x的取值范围，利用 和 关于x的函数关系式，当琦琦和然然相距 时，分别列关于x的 方程并求解即可． 【详解】（1）解：在这条游览路线上，吉林市陶瓷博物馆到游乐场的路程为 ， 故答案为：4； （2）解：琦琦和然然在游览过程中，除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在白鸽广场相遇， 琦琦的速度为 ，则 ， 当 时，得 ， 解得 ， ∴此时距出发经过了 ， 故答案为：白鸽广场，45； （3）解：当 时，然然的速度为 ， ∴ ， 当 时，得 ， 解得 ， 则然然从园中园到游乐场游览的过程中，平均速度是， ∴①不合理，不符合题意； 然然比琦琦晚到达游乐场 ， ∴②合理，符合题意； 当 时， ， ， ∴ 时，琦琦比然然多走了 ， ∴③合理，符合题意． 故答案为：②③； （4）解：然然离开白鸽广场到游乐场时的速度为 ， 则 ， ∴然然离开白鸽广场到游乐场时 对应的函数解析式及自变量x的取值范围为 ； （5）解：综上， 与x的函数关系式为 ， 与x的函数关系式为 ， 当 时，当琦琦和然然相距 时，得 ， 解得 （舍去）； 当 时，当琦琦和然然相距 时，得 ，解得 （舍去）或 （舍去）； 当 时，当琦琦和然然相距 时，得 ， 解得 ； 当 ，当琦琦和然然相距 时，得 ， 解得 ． 综上，当琦琦和然然相距 时，x的值为72或96． 故答案为：72或96． 题型3 一次函数应用--分配方案问题 建立目标函数（如总费用y）与决策变量x间的函数关系y=kx+b；结合限制条件确定x的取 值范围。根据k的符号判断函数的增减性：k>0时y随x增大而增大，取x最小值时y最 小；k<0时取x最大值时y最小。最终在取值范围内确定最优解． 16．（24-25八年级上·四川成都·期末）A、B两种品牌的共享电动车收费（元）与骑行时间（ ）的函 数关系如图所示，其中A品牌收费方式为 ，B品牌的收费方式为 ． (1)分别求出 与x的函数关系式； (2)已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为 ．小明可骑A品牌或B品牌电动车去上班，若小 明家到单位的距离为 ，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？【答案】(1) ， (2)小明选择B品牌的共享电动车更省钱 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式和速度、时间、路程的关系是解 题的关键． （1）利用待定系数法求解答即可； （2）根据时间 路程 速度求出小明骑共享电动车的时间并换算成以分钟为单位，结合图象即可得出结论． k k 0 【详解】（1）解：设 （ 1为常数，且 1 ）， 20,4 y k x 将坐标 代入 1 1 ， 20k 4 得 1 ， 1 解得k  ， 1 5 1 ∴ 与x的函数关系式为y  x． y 1 5 1 0 x10 y 3 当 时， 2 ； x10 y k xb k ,b k 0 当 时，设 2 2 （ 2 为常数，且 2 ）， 10,3 20,4 y k xb 将坐标 和 分别代入 2 2 ， 10k b3 2  得 20k b4， 2  1 k   2 10 解得 b2 ， 1 ∴y  x2． 2 10 3,0x10  y  1 综上， 2  x2,x10． 108 （2）解： 6024min ， 20 x24 y  y 由图象可知，当 时， 1 2， ∴小明选择B品牌的共享电动车更省钱． 17．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）“工欲善其事，必先利其器”．某校为开好劳动教育课准备购 置一批劳动工具，学校与店主商量后，店主给出了以下两种购买方案（二选一）： 方案一劳动工具13元/件，运费30 方案二劳动工具18元/件，免费送货上 元； 门． x y y 若学校购买 件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为 1元，按方案二购买的付款总金额为 2元． y ,y x (1)请分别写出 1 2与 之间的函数解析式； (2)请你为该学校选择合适的购买方案． y 13x30 y 18x 【答案】(1) 1 ， 2 ； (2)当购买劳动工具少于6件时，选择方案二；当购买劳动工具等于6件时，两种方案均可；当购买劳动工 具超过6件时，选择方案一． 【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂题意，列出函数关系式是解题的关键． （1）根据题意列出函数关系式即可； （ 2 ）令 y 1  y 2，即 13x3018x ，解得 x6 ，再分 y 1  y 2和 y 1  y 2进行分析即可． y 13x30 y 18x 【详解】（1）解：由题意得 1 ， 2 ； y  y 13x3018x （2）解：令 1 2，即 ， 解得：x6； y  y 13x3018x x6 令 1 2，即 ，解得： ； y  y 13x3018x x6 令 1 2，即 ，解得： ； ∴当购买劳动工具少于6件时，选择方案二； 当购买劳动工具等于6件时，两种方案均可； 当购买劳动工具超过6件时，选择方案一． 18．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同购物优惠方案，如表： A超市 B超市 优惠方 所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元 案 (1)当购物金额为90元时，选择______超市（填“A”或“B”）更省钱；当购物金额为120元时，选择 ______超市（填“A”或“B”）更省钱； x0x200 y x (2)当购物金额为 元时，请分别写出它们的实付金额 （元）与购物金额 （元）之间的函数 表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？ A;B 【答案】(1) (2)当0x100或160x200时，选择A超市更省钱；当x160时，两家超市实付金额相同；，当 100x160时，选择B超市更省钱 【分析】本题考查了一次函数的实际应用及方案选择问题，解题的关键是根据两家超市的优惠方案列出实 付金额的函数表达式，通过比较函数值的大小确定最省钱的购物方案． （1）分别计算购物金额为90元和120元时在A、B超市的实付金额，比较后得出更省钱的超市； （2）分情况列出A、B超市实付金额与购物金额的函数表达式(A超市为一次函数，B超市分0x100和 100x200两段）；通过解方程和不等式比较函数值大小，确定不同购物金额范围内的最优选择． 【详解】（1）解：当购物金额为90元时， A超市实付金额：900.7567.5元； B超市实付金额：90元（不满100元不返现）． ∵67.590，∴选择A超市更省钱． 当购物金额为120元时， A超市实付金额：1200.7590元； B超市实付金额：1204080元（满100元返40元）． ∵8090， ∴选择B超市更省钱． y 0.75x0x200 （2）解：A超市实付金额函数表达式： A ． B超市实付金额函数表达式： 0x100 y x 当 时，不返现， B ；当 100x200 时，满 100 元返 40 元， y B x40 ． 比较省钱方案： 0x100 y 0.75x y x 当 时， A B ，选择A超市更省钱； 当100x200时，令0.75xx40，解得x160． 100x160 y x40 y 0.75x 当 时， B A ，选择B超市更省钱； x160 y  y 120 当 时， A B ，两家超市实付金额相同； 160x200 y 0.75x y x40 当 时， A B ，选择A超市更省钱． 答：当0x100或160x200时，选择A超市更省钱；当x160时，两家超市实付金额相同；，当 100x160时，选择B超市更省钱． 19．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）为了贯彻落实市政府提出的“精准扶贫”精神，某县特制定 了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划．现决定从某地运送256箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大、小 货车共18辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗．已知这两种大、小货车的载货量分别为16箱/辆和12箱/辆， 其运往A，B两村的运费如下表： A村/（元/辆） B村/（元/辆） 大货车 600 700 小货车 400 600 (1)这18辆车中大、小货车各多少辆？ (2)现安排其中9辆货车前往A村，其余前往B村，设前往A村的大货车为m辆，前往A，B两村的总费用 为元，试求出与m的函数解析式； (3)在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于130箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出 最少费用． 【答案】(1)大货车10辆，小货车8辆 (2)100m10000（1m9，且m为整数） (3)6辆大货车和3辆小货车前往A村，4辆大货车和5辆小货车前往B村；10600元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解 题的关键．18x （1）设这18辆车中大货车x辆，则小货车 辆，根据题意列出一元一次方程求解即可； 9m 10m （2）前往A村的大货车为m辆，则前往A村的小货车为 辆， 前往B村的大货车为 辆，前 89m   往B村的小货车为 辆，即可根据题意列出函数解析式； 16m12(9m)130 （3）根据题意列出不等式 ，求出m的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得 答案． 18x 【详解】（1）解：设这18辆车中大货车x辆，则小货车 辆， 16x1218x256 根据题意，得 ， 解得x10， 18x8， 答：设这18辆车中大货车10辆，则小货车8辆． 600m400(9m)700(10m)6008(9m) （2）解： 100m10000， m0  9m0  10m0 ，  89m0  1m9，且m为整数； 16m12(9m)130 （3）解：由题意得， ， 解得m5.5，  1m9， 5.5m9，且m为整数， 当m6时，最小， 此时最少费用为10061000010600（元）， 货车调配方案：6辆大货车和3辆小货车前往A村，4辆大货车和5辆小货车前往B村． 20．（25-26八年级上·全国·随堂练习）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内 的杨梅单价是每千克40元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案：甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费； 乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费，超过10千克后，超过部 分按原价的五折收费． x y y 设采摘量为 千克，按甲方案所需总费用为 1元，按乙方案所需总费用为 2元． y y x (1)当采摘量超过10千克时，分别求出 1， 2与 之间的函数关系式； (2)当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？ (3)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由． y 24x30 y 20x200 【答案】(1) 1 ， 2 ． (2)1.875千克或42.5千克 (3)甲方案更划算，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键． （1）根据两种方案分别求函数关系式即可； 0 x10 x10 y  y （2）分当 时和当 时两种情况，令 1 2，分别解一元一次方程即可求解； y y （3）分别求出 x30 时的 1， 2，比较大小即可得出结论． 【详解】（1）解：当采摘量超过10千克时，x10， y 30400.6x24x30 根据题意，得 1 ； y 4010400.5x1020x200 2 ； 0 x10 y 40x （2）解：当 时， 2 ， y  y 24x3040x x1.875 令 1 2，则 ，解得 ； x10 y  y 24x3020x200 x42.5 当 时，令 1 2，则 ，解得 ， 答：当采摘1.875千克或42.5千克时，两种方案的价格相同． （3）解：选择甲方案更划算．理由如下： y 243030750,y 2030200800 当 x30 时， 1 2 ． 因为750800，所以选择甲方案更划算．21．（24-25九年级下·河南信阳·阶段练习）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定 价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案． 方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶； 方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的80%付款． x x80 y y 某厨具店计划购进80个电饭煲和 个电热水壶 ．设选择方案一需付款 1元，选择方案二需付款 2 元． y y x (1)分别写出 1， 2关于 的函数解析式． (2)当x200时． ①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱． ②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的 商品不能再使用方案一优惠），是否有更省钱的购买方案？若有，请说明理由，并计算出该方案所需费用． y 60x11200 y 48x12800 【答案】(1) 1 ， 2 (2)①该厨具店选择方案二更省钱；②先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶．该 方案所需费用为21760元 【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列 出函数表达式． （1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可； （2）①将x200分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答；②先按方案一购买80个电饭煲， 再按方案二购买120个电热水壶最省钱，计算即可． 【详解】（1）解：根据题意可得： y 2008060x8060x11200 1 ， y 20080%806080%x48x12800 2 ． x200 y 602001120023200 y 482001280022400 （2）解：①当 时， 1 ， 2 ． ∵2320022400， ∴该厨具店选择方案二更省钱． ②更省钱的购买方案： 先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶．该方案所需费用为2008012080%6021760（元）． 22．（24-25八年级下·北京大兴·期末）某公司拟采购一批车辆，现面临传统燃油（汽油）车与氢能源车两 种选型方案．该公司对两种车型在购置及整个生命周期使用过程中的费用进行了系统性分析：若总费用只 受购车费用和行驶过程中燃料使用费用影响，其他因素忽略不计（即总费用=购车费用+行驶过程中燃料使 用费用），调研信息如下： 设车辆行驶路程为x（单位：万公里），总费用为 y （单位：万元） ①下表是调研中的两组数据： 车辆类型 传统燃油车 氢能源车 行驶路程x（万公里） 10 10 总费用y万元 23 28 ②两类车型各自的总费用 y 与行驶路程x的函数关系的图象如图所示，两函数图象交于点P，且与 y 轴分 A0,15 B0,25 别交于点 ，点 ． 结合上述调研信息，回答问题： (1)传统燃油车购车费用是___________万元； (2)根据车辆行驶路程的变化，怎样选择车型使总费用较低． 【答案】(1)15 (2)当x20时，选传统燃油车总费用较低；当x20时，两种车总费用一样；当x20时，选氢能源车总 费用较低 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法，一次函数图象的性质是关键． （1）根据两类车型各自的总费用 y 与行驶路程x的函数关系的图象， y 0.8x15 y 0.3x25 （2）运用待定系数法算出各自总费用与行驶路程的函数解析式 1 ， 2 ，当两种车总费用相等时，即0.8x150.3x25，得到行驶路程，结合图形判定即可求解． A0,15,B0,25 x0 15 【详解】（1）解： ，即当 时，传统燃油车的总费用为 万元，氢能源车的总费用 为25万元， ∴传统燃油车购车费用是15万元； y k x15k 0 （2）解：设传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为 1 1 1 ， 10,23 10k 1523 把 代入得， 1 ， k 0.8 解得， 1 ， y 0.8x15 ∴传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为 1 ， y k x25k 0 同理，设氢能源车总费用与行驶路程的解析式为 2 2 2 ， 10,28 10k 2528 把 代入得， 2 ， k 0.3 解得， 2 ， y 0.3x25 ∴氢能源车总费用与行驶路程的解析式为 2 ， y  y 0.8x150.3x25 当 1 2时， ， 解得，x20， ∴当x20时，选传统燃油车总费用较低； 当x20时，两种车总费用一样； 当x20时，选氢能源车总费用较低． 23．（10-11七年级下·河南周口·单元测试）某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急 需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜 300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾民安置点，从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25 元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨． (1)请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值： C D 总计/t A 200B x 300 总计/t 240 260 500 (2)设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案； (3)经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m0），其 余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案． 【答案】(1)填表见解析，两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值为200； (2)w2x9200，调运方案见解析； (3)调运方案见解析． 240x 【分析】（ 1 ）根据题意，用 240 减 x 可得需要从A处调运的数量，用 200 减去 可得从A调研往 D 处的数量，用300减去x即为从B调运往D处的数量； （2）根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得w与x的函数关系，列不等式组可解； （3）本题根据x的取值范围不同而有不同的解，分0m2、m2和2m15三情况解答即可； 本题考查了一次函数在实际问题中的应用，根据题意，正确得出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：（1）填表如下： D 总计/t C A 240x x40 200 B x 300x 300 总计/t 240 260 500 20240x25x4015x18300x 依题意得： ， 解得x200， ∴两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时，x的值为200； w20240x25x4015x18300x2x9200 w x （2）解： 与 之间的函数关系为： 240x0  x400  由题意得： x0 ，   300x0 ∴40x240，∵在w2x9200中，20， ∴w随x的增大而增大， ∴当x40时，总运费最小， 此时调运方案为： C D 总计/t A 200 0 200 B 40 260 300 总计/t 240 260 500 w2mx9200 （3）解：由题意得 ， ∴当0m2时，（2）中调运方案总费用最小； 当m2时，在40x240的前提下调运方案的总费用不变； 当2m15时，x240总费用最小，其调运方案如下： C D 总计/t A 0 200 200 B 240 60 300 总计/t 240 260 500 24．（22-23六年级下·山东淄博·期末）甲、乙两家蓝莓采摘园的蓝莓品质相同，销售价格都是每千克30 元，“五一”假期，两家均推出了优惠方案．甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘 的蓝莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘的蓝莓超过10千克后，超过部分 y 五折优惠．优惠期间，设某游客的蓝莓采摘量为x （千克），在甲采摘园所需总费用为 1（元），在乙采 y 摘园所需总费用为 2（元）．根据题意列出下表： 采摘量：x（千克） 5 10 15 20 … 在甲采摘园所需总费用：y 15 33 1 240 m … （元） 0 0在乙采摘园所需总费用：y 15 37 2 300 450 … （元） 0 5 y (1)变化过程中采摘量x（千克）和在甲采摘园所需总费用 1（元），这两个变量中，自变量是_____，因变 量是_____，表格中m的值为_____； y (2)当蓝莓采摘量超过10千克时，求表示在乙采摘园所需总费用 2和采摘量x这两个变量之间关系的表达 式； y y (3)如图，是小刚画出的表示在甲采摘园所需总费用 1（元）和在乙采摘园所需总费用 2（元）分别与采摘 量x（千克）之间关系的图象． ①图中两图象的交点A表示的意义是：______________________________； ②若要采摘50千克蓝莓，去哪家比较合算？结合图象，你认为小刚应选择去哪家蓝莓采摘园采摘比较合算． y 【答案】(1)采摘量x（千克）；在甲采摘园所需总费用 1（元）；420 y y 15x150 (2)表示在乙采摘园所需总费用 2和采摘量x这两个变量之间关系的表达式为： 2 y y (3)①当采摘量为30千克时，在甲采摘园所需总费用为 1（元）和在乙采摘园所需总费用为 2（元）相等， 都是600元；②到乙采摘园比较合算，理由见解析 【分析】（1）根据常量与变量的定义即可得出答案，根据甲采摘园的优惠方案计算m即可； y （2）根据乙采摘园的优惠方案可得 2关于x的表达式； （3）①根据横坐标和纵坐标的意义回答即可；②结合图象，即可得到答案． y x 【详解】（1）解：总费用 1（元）随采摘量 （千克）的变化而变化， 这两个变量中，自变量是采摘量 x （千克），因变量是总费用 y 1（元）， 表格中m的值为60300.620=420； x y 故答案为：采摘量 （千克），总费用 1（元），420； y =3010300.5x10=15x150 （2）根据题意得：当 x>10 千克时， 2 ， y x y 15x150 所以总费用 2和采摘量 这两个变量之间关系的表达式为 2 ； （3）①图中两图象的交点A表示的意义是：当采摘量为30千克时，甲、乙采摘园所需总费用都是600元； 故答案为：当采摘量为30千克时，甲、乙采摘园所需总费用都是600元； x>30 y 100,p=2t+80 2t+80>100 ②当 时， ， \ t>10(s) ， 又 t�45，  从起跑到速度达到最大这段时间内，小南的心率保持在100次/分钟以上的时长为： 7 t =45-10=35s= min， 12 1 当v=8.8� 2.2， 4 v2.2 p=10v+82 p=104>100 将 代入 得 ， p100 即停下时， ， 由休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态可知，休息时段心率p与休息时间t是一次函数关 pk tb 系，设休息时段 3 3， (0,104)，(15,80) 把 代入， 104b 3  8015k b ， 3 3 b 104  3  8 解得：  k 3  5 ， 8 \ p=- t+104， 58 8 当p>100,p=- t+104时，- t+104>100， 5 5 5 \ t< ， 2 由于休息时心率匀速降低， 5 因此在休息这段时间小南的心率保持在100次/分钟以上的时长为 min， 2 设最大速度跑步的时间为amin， 7 5 则p100的时段：t = 12 +a+1+ 2 �15， 131 \ a� min， 12 131 min 则他以最大速度跑步的时间至少是 ． 12 Pm,n Qx,y 59．（24-25八年级下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，对于点 和点 若满足 x2m1   y2n ，则称点 P 为点Q的友谊点．例如点 2,1 的友谊点为 5,2 ． P2,2 7,2 (1)点 的友谊点坐标是_____；若点P的友谊点为 ，则点P的坐标是_____． Pa,5 y2x3 a (2)若点 的友谊点在直线 上，则 的值为_____． (3)点 P 在直线 y2x1 上，其横坐标为 x 0，点 Q 为点 P 的友谊点．若点 Q 到 y 轴的距离等于它到 x 轴的距x 离的2倍，求 0的值． ABCD A(0,5) B3,5,C3,2,D0,2 Pm,n yx1 Q (4)正方形 各顶点的坐标分别为 ， ．点 在直线 上，点 P PQ PQ ABCD m 为点 的友谊点，连接 ，当线段 与正方形 的边有且只有一个公共点时，直接写出 的取值范 围． 3,4 3,1 【答案】(1) ， 11 (2) 4 5 3 (3) 或 6 10 (4)0m3 【分析】本题是一次函数的综合问题，解题的关键是掌握“友谊点”的定义，并熟练加以运用，及一次函 数图象上点的坐标和分类讨论思想的运用． （1）根据“友谊点”的定义进行求解即可； Pa,5 2a1,25 2a1,10 2a1,10 y2x3 （2）若点 的友谊点为 ，即 ，由点 在直线 上，可得 22a1310 ，解之可得； （3）先根据点Q为点P的友谊点．求得 Q2x 0 1,4x 0 2 ，再由点 Q 到 y 轴的距离等于它到 x 轴的距离的 2x 1 2 4x 2 2倍，列出方程 0 0 ，求解即可； Q2m1,2m2 y2x1 （4）先根据题意画出图形，再求得 也在直线 上，然后根据题意分类讨论求解即 可． P2,2 221,22 3,4 【详解】（1）解∶根据题意可得：点 的友谊点坐标是 ，即 ； 2m17 m3 若点P的友谊点为 7,2 ，则  2n2 ，解得  n1， 3,1 点P的坐标是 ，3,4 3,1 故答案为： ， ； Pa,5 2a1,25 2a1,10 （2）解∶若点 的友谊点为 ，即 ， 2a1,10 y2x3 点 在直线 上， 22a1310 ， 11 解得：a 4 11 所以 的值为 ， a 4 11 故答案为： ； 4 y2x1 x （3）解∶ 点P在直线 上，其横坐标为 0， Px ,2x 1 0 0 ， 点Q为点P的友谊点． Q2x 1,4x 2 0 0 ， Q y x  点 到 轴的距离等于它到 轴的距离的2倍， 2x 1 2 4x 2 0 0 ， 5 3 解得：x  或 ； 0 6 10 （4）解∶ 如图，y2 yx1 x12 x1 将 代入 中，得 ，解得 F1,2 则 ， 将x3代入yx1中，得y314， E3,4 则 ， Pm,n  yx1 在直线 上， Pm,m1 ， 点Q为点P的友谊点， Q2m1,2m2 ， x2m1,y2m11 yx1 令 ，得 ， Q2m1,2m2 yx1 也在直线 上， PQ ABCD 当线段 与正方形 的边有且只有一个公共点时，分两种情况讨论： 当点P在点F在下方（含点F），点Q在线段EF上时，符合题意， m1  12m13，解得0m1， 当点P在线段EF上，点Q在点E右上方（含点E）时，符合题意， 1m3  2m13，解得1m3， 综上m的取值范围是0m3．