培优03一次函数实际应用问题（6大题型）（北师大2024）（解析版）_北师大初中数学_8上-北师大版初中数学_初中数学北师大8上-2025秋季新版_第二套推荐25_07习题试卷_专项训练_第2套

培优 03 一次函数实际应用问题（六大题型）
题型1 一次函数应用--分段计费
关键在于识别计费转折点，分段建立函数模型；先确定各段的自变量取值范围，再分别写出
每段的一次函数解析式（通常为y=kx+b形式）；最后根据给定的自变量值判断所属区间，
代入对应解析式计算。需注意段与段之间的衔接点通常包含在某一区间内．
1．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）瓦房店市许屯镇拥有百余年的苹果生产历史，镇上的万亩苹果
进入了成熟季．小李想在许屯镇某果园购买一些苹果，经了解该果园苹果的定价为5元/斤，如果一次性购
买15斤以上，超过15斤部分的苹果的价格打8折．设小李在该果园购买苹果x斤，付款金额为y元，则y
与x之间的函数关系式为 ．
【答案】
【分析】本题考查了列函数的关系式，正确理解题意并分类讨论是解题的关键．分 和 两种情况，分别根据付款金额等于单价乘数量列出函数关系式即可．
【详解】解：当 时由题意得： ，
当 时由题意得： ，
综上，y与x之间的函数关系式为 ．
故答案为： ．
2．（2025·陕西商洛·模拟预测）今年雨水稀少，土地干旱，对我国多个地区产生显著影响为了加强居民的
节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准某用户每月应
交水费y（元）与用水量x（吨）的函数图象如图所示．
(1)若该用户每月用水量都超过12吨，求该用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数表达式；
(2)若该用户5月交水费63元，则该用户5月用了多少吨水？
【答案】(1)
(2)14.5吨
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将 代入 求解即可．
【详解】（1）根据题意，得当 时，设该用户每月应交水费 （元）与用水量 （吨）的函数表达式
为 ．
将点 和点 的坐标代入得 ，
解得
当 时，该用户每月应交水费 （元）与用水量 （吨）的函数表达式为 ．
（2）当 时，得 ．
解得 ．
答：该用户5月用了14.5吨水．
3．（24-25九年级下·陕西咸阳·期末）某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费为
元 ，用水量为 立方米
用水量 立方米 收费 元
不超过10立方米 每立方米2元
超过10立方米 超过的部分每立方米3元
(1)写出每月用水量不超过10立方米和超过10立方米时，水费与用水量之间的关系式；
(2)若某户居民某月交水费26元，则该户居民用水多少立方米？
【答案】(1)
(2)该户居民用水12立方米
【分析】（1）根据分段收费标准计算即可；
（2）判断该户居民用水的范围，再根据对应函数关系式计算即可．
本题考查一次函数的应用，根据分段收费标准写出y与x的函数关系式是解题的关键．
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，
水费与用水量之间的关系式为（2）当 时， ，
，
该户居民用水超过10立方米，
当 时，解得
答：该户居民用水12立方米．
4．（24-25八年级下·山东青岛·期末）小明需要寄送一批包裹，现了解到A、B两个快递公司的收费标准如
下表：
首重费用 续重费用
A公司 包裹重量 ，收费12元 超过 ，每增加 加收3元（不足 按 计算）
B公司 统一收费
无论重量，均按5元 计算，最低收费10元（即不足 也按10元计算）
设小明需要寄送包裹的重量为 （ ）．
(1)若小明寄送包裹的重量为 ，A公司的收费为_______元，B公司的收费为_______元；
(2)若小明寄送包裹的重量超过 ，则他去哪个公司寄送更划算？
【答案】(1)12，10
(2)当小明寄送包裹重量在 以上 以下，或在 以上 以下，则选择B公司划算；当小明寄送
包裹重量恰好为 或 时，则选择A公司，B公司费用一样；当小明寄送包裹重量在 到 之
间时或超过 时，则选择A公司划算
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，难度较大，解题的关键是正确理解题意，利用数形结合的思想
求解．
（1）根据题意即可求解；
（2）画出函数图象进行分析即可．
【详解】（1）解：A公司： ，则收费12元；B公司： ，则收费10元，
故答案为：12，10；
（2）解：设 公司收费为 元， 公司收费为 元，
，
画出函数图象：
由函数图象可得：
时， 或
或 ；
当 时， 或
当 时， ，
∴当小明寄送包裹重量在 以上 以下，或在 以上 以下，则选择B公司划算；当小明寄送
包裹重量恰好为 或 时，则选择A公司，B公司费用一样；当小明寄送包裹重量在 到 之
间时或超过 时，则选择A公司划算．
5．（22-23八年级下·四川广安·阶段练习）某移动公司有两种电话收费方式：A：30元套餐，包含通话时
间180分钟，超过180分钟的按 元/分钟收费，B：来电显示费6元，所有通话按 元/分钟收取．(1)写出A、B两种收费方式的收费金额 、 ；
(2)画出 、 的函数图像；
(3)当 为何值时， ， ， ？
【答案】(1) ，
(2)见详解
(3) ， ，
【分析】本题考查了一次函数的应用，首先要根据题意正确表示每一种费用，再进一步代值比较大小．解
决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．
（1）收费方式 ：分段函数，当 和 两种收费方式；收费方式B：收费金额 来电显示费
通话费；
（2）结合函数解析式画出函数图象；
（3）根据函数图象直接回答问题．
【详解】（1）解：依题意得： ，
．
（2）解： 的函数图象如图所示：（3）解：由（2）图象得：
当 时， ．
当 时， ．
当 时， ．
6．（24-25八年级下·新疆喀什·期末）我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之
一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯
价的含义：用水量不超过144 ，每立方米收费3.15元，用水量在144~240 ，前144 按 3.15元/ ，
144~240 之间按4.05元/ 收费，以此类推）．
价格
年用水量
供水类型 阶梯分类 （元/
（ ）
）
第一阶梯 0~144（含） 3.15
居民生活 144~240
第二阶梯 4.05
用水 （含）
第三阶梯 240以上 6.75
(1)设某户居民的年用水量为 ，请按阶梯分类求用水年费用 （元）关于年用水量 （ ）的函数解
析式．
(2)若小米家2024年全年用水量为120 ，则小米家应缴2024年水费多少元？(3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量．
【答案】(1)
(2)小米家应缴2024年水费 元
(3)小乐家2024年全年用水量为
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，列代数式以及有理数的混合运算，关键是根
据图表中的数量关系，列出算式和方程．
（1）分 ， 及 三种情况，利用含 的代数式表示出这户居民的水费 即可；
（2）由于小米家2024年全年用水量为120 ，则按第一阶梯交费，根据总价=单价×数量列式计算即可；
（3）先判断出小乐家2024年的用水量到达第二阶梯，再根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
；
（2）解： （元），
小米家应缴2024年水费 元；
（3）解：设小乐家2024年全年用水量为 ，
， ，
，
，
解得 ，
小乐家2024年全年用水量为 ．题型2 一次函数应用--行程问题
通过"s-t"图象解决：纵轴表路程(s)，横轴表时间(t)。图象斜率表示速度（k=Δs/Δt）；交点
表示相遇时刻。需仔细分析图象的起点、拐点、交点含义，区分相遇、追及、停留等情景，
结合函数解析式求解．
7．（24-25八年级下·浙江台州·阶段练习）某景区内有A，B，C三个景点（如图1）．小明从A景点出发，
步行去C景点，共用时50分钟；同时，小丽以每分钟70米的速度从B景点出发，步行到达A景点，休息
10分钟后，小丽改成骑电动车去C景点，结果小丽比小明早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，
设小明步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示．
(1)求m的值，并说出m的实际意义．
(2)求小丽骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（写出t的取值范围）．
【答案】(1) ，m表示小丽从B地步行到A地需要25分钟
(2)
【分析】本题考查一次函数的应用，动点的函数图象．
（1）用A，B的距离除以小丽的速度即可；
（2）利用待定系数法求解．
【详解】（1）解： （分钟）
因此 ，m表示小丽从B地步行到A地需要25分钟；
（2）解：由题意知，小丽从A景点出发时 ，此时距A景点路程 ，
小丽到达C景点时 ，此时距A景点路程 ，
设 ，
把 ， 代入得： ，解得 ，
∴ ．
8．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）周末，小轩和家人们去爬张家山锻炼身体，刚开始小轩精力充沛，
爬山的速度比较快，爬了30分钟后，开始体力不支，于是减速爬到山顶．他距山脚出发地的路程s（米）
与登山时间t（分钟）之间的函数关系如图所示．
(1)小轩减速前的速度为 米/分钟；
(2)求小轩减速后s与t之间的函数关系式；
(3)当小轩爬了40分钟时，他距离山脚出发地的路程是多少米？
【答案】(1)20
(2)
(3)当小轩爬了40分钟时，他距离山脚出发地的路程是680米
【分析】本题主要考查了函数图象、求一次函数解析式、一次函数的应用等知识点，求得一次函数解析式
成为解题的关键．
（1）根据图象以及速度、路程、时间的关系求解即可；
（2）运用待定系数法求出函数解析式即可；
（3）将 代入（2）所得函数解析式即可解答．
【详解】（1）解：由图象可知：小轩减速前爬山600米，用时30分钟，则小轩减速前的速度为
米/分钟．
故答案为：20．
（2）解：设小轩减速后 与 之间的函数表达式为 ，
将 和 代入得：
，解得： ．
小轩减速后 与 之间的函数表达式为 ．
（3）解：当 时， ，
答：当小轩爬了40分钟时，他距离山脚出发地的路程是680米．
9．（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知 两地之间距离600千米．甲车从 地出发匀速开往 地，
甲车出发半小时后，乙车从 地出发沿同一路线匀速追赶甲车，两车相遇后，乙车原路原速返回 地．两
车之间的距离 （千米）与甲车行驶时间 （小时）之间的函数关系如图所示，请解答下列问题：
(1)甲车的速度是_____千米/时，乙车的速度是_____千米/时， _____；
(2)求乙车返回过程中， 与 之间的函数关系式；
(3)当甲、乙两车相距240千米时，直接写出甲车的行驶时间．
【答案】(1)100，120，5.5
(2)
(3) 小时
【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息是解题的关键．
（1）根据函数图象求得甲的速度，根据题意求得乙的速度，进而求得 的值；
（2）根据待定系数法求解析式即可；
（3）将 代入（2）中解析式求解即可．
【详解】（1）解：由图象可得，
甲车的速度为： （千米/时），乙车的速度为： （千米/时），
∴ ，
故答案为∶ 100，120，5.5；
（2）解：设乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式是 ，
∵点 ， 在该函数图象上，
∴ ，
解得 ，
即乙车返回过程中，y与x之间的函数关系式是 ；
（3）解：相遇之前两车最大相距的距离为 千米，
相遇后，当 时， ，
解得 ，
答：当甲、乙两车相距240千米时，甲车的行驶时间是 小时．
10．（24-25八年级下·吉林长春·期末）“五·一”长假，小王与小叶相约分别驾车从长春出发，沿同一路
线驶往距长春 的甲地旅游．小王由于有事临时耽搁，比小叶晚出发1.25小时．而小叶的汽车中途发
生故障，等排除故障后，立即加速赶往甲地．若从小叶出发开始计时，图中的折线 、线段
分别表示小叶、小王两人到长春的距离 、 与时间 之间的函数关系．(1)求直线 的函数解析式．
(2)求小王和小叶第二次相遇的时间为 小时．
(3)为了保证及时联络，小王、小叶在第一次相遇时约定此后两车之间的距离不超过 ，直接写出他们
实际的行驶过程是否符合约定．
【答案】(1)
(2)
(3)符合约定
【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意，正确求出函数解析式是解此题的关键．
（1）设直线 的函数解析式为 ，将 ， 代入解析式计算即可得解；
（2）在 中，当 时，则 ，计算即可得解；
（3）求出直线 的函数解析式为 ，再分别求出当 时和 时相距的距离，比较即
可得解．
【详解】（1）解：设直线 的函数解析式为 ，
将 ， 代入解析式可得 ，
解得： ，
∴直线 的函数解析式为 ；
（2）解：在 中，当 时， ，
解得 ，
故小王和小叶第二次相遇的时间为 小时；
（3）解：设直线 的函数解析式为： ，
将 ， 代入解析式可得 ，解得 ，
∴直线 的函数解析式为： ，
由图象可得，在 中，当 时， ，
在 中，当 时， ，此时相距 ；
在 中，当 时， ，
在 中，当 时， ，此时相距 ；
故他们实际的行驶过程符合约定．
11．（24-25八年级下·陕西安康·期末）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现、图1是机器
人警官安安和麦克，他们从街头A处出发，准备前往相距450米的B处（A，B在同一直线上）巡逻，安安
警官比麦克警官先出发，且速度保持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．已知安安
警官、麦克警官行走的路程 （米）， （米）与安安警官行走的时间x（秒）之间的函数关系图象如图
2所示．
(1)如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“麦克”）；
(2)求麦克警官提速后的速度，并求m，n的值；
(3)求折线①中线段 所在直线的函数解析式；
(4)请直接写出安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长．
【答案】(1)麦克
(2) 米/秒， ；(3)
(4) 秒
【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识
点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据题意结合图象分析即可得解；
（2）先求出麦克提速前速度，从而即可得出提速后速度，计算得出 段经过的时间，即可得解；
（3）利用待定系数法计算即可得解；
（4）由题意得线段 所在直线的函数解析式为 ，再分情况列出一元一次方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得：折线①表示麦克警官行走的路程与时间的函数图象；
（2）解：由题意可得：麦克提速前速度为 （米／秒），
提速后速度为 （米／秒）．
段经过的时间为 （秒），
；
安安警官的速度为 （米／秒），
；
（3）解：由题意得点 ，点 ．
设线段 所在直线的函数解析式为 ，
将点E，F的坐标分别代入函数解析式中可得： ，
解得 ，
即线段 所在直线的函数解析式为 ；
（4）解：安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为36秒．
由题意得线段 所在直线的函数解析式为 ，
当 时， ，当 时， ．
当安安警官出发，而麦克警官未出发，安安在麦克前方120米时， ，解得 ；
当安安警官在麦克警官前方120米时， ，
解得 ；
当安安警官在麦克警官后方120米时， ，
解得 ；
当麦克警官到达 处，安安警官距 处120米时， ，
解得 ．
安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为 （秒）．
12．（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点 出发沿同一路线匀速步行前往 处参加活动．
甲比乙早出发 ，两人途中均未休息，先到达 处的人在原地休息等待，直到另一人到达 处．两人
之间的路程 与甲行走的时间 的函数图像如图所示．
(1)乙步行的速度为___________ 之间的路程为___________ ；
(2)当 时，求 关于 的函数表达式；
(3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为 ．
【答案】(1)90，3960
(2)
(3)当甲出发 或 时，两人之间的路程为
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的
关键：
（1）观察图像可知，甲 走了 ，甲行走 时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走
时，乙到达 点，求出乙的总路程即为 之间的路程；
（2）求出 点坐标，待定系数法求出 段的函数关系式即可；（3）分 和 两种情况，求出 的值即可．
【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为： ，
设乙的速度为 ，由题意，得： ，解得： ，
故乙的速度为 ；
之间的路程为： ；
故答案为：90，3960；
（2）由图像可知： 点的纵坐标为 ，
∴ ，
当 时，设 ，把 ， 代入，得：
，解得： ，
∴ ；
（3）当 时，令 ，解得： ；
当 时， ，解得： ；
综上：当甲出发 或 时，两人之间的路程为 ．
13．（24-25八年级下·河北邢台·期末）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现．图1是机器
人警官安安和麦克，他们从街头A处出发，准备前往相距450米的B处（A，B在同一直线上）巡逻，安安
警官比麦克警官先出发，且速度保持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍、已知安安
警官、麦克警官行走的路程 （米）， （米）与安安警官行走的时间 （秒）之间的函数关系图象如图
2所示．
(1)如图2，折线①表示___________警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“表克”）；(2)求麦克警官提速后的速度，并求m，n的值；
(3)求折线①中线段 所在直线的函数解析式；
(4)请直接写出安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长．
【答案】(1)麦克
(2)30； ；
(3)
(4) （秒）
【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识
点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据题意结合图象分析即可得解；
（2）先求出麦克提速前速度，从而即可得出提速后速度，计算得出 段经过的时间，即可得解；
（3）利用待定系数法计算即可得解；
（4）由题意得线段 所在直线的函数解析式为 ，再分情况列出一元一次方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得：折线①表示麦克警官行走的路程与时间的函数图象；
（2）解：由题意可得：麦克提速前速度为 （米／秒），
提速后速度为 （米／秒）．
段经过的时间为 （秒），
；
安安警官的速度为 （米／秒），
；
（3）解：由题意得点 ，点 ．
设线段 所在直线的函数解析式为 ，
将点E，F的坐标分别代入函数解析式中可得： ，
解得 ，即线段 所在直线的函数解析式为 ；
（4）解：安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为36秒．
由题意得线段 所在直线的函数解析式为 ，
当 时， ，当 时， ．
当安安警官出发，而麦克警官未出发，安安在麦克前方120米时， ，
解得 ；
当安安警官在麦克警官前方120米时， ，
解得 ；
当安安警官在麦克警官后方120米时， ，
解得 ；
当麦克警官到达 处，安安警官距 处120米时， ，
解得 ．
安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为 （秒）．
14．（24-25八年级上·江苏淮安·期末）物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示桌面 长
为 ，小球 与木块 （大小、厚度忽略不计）同时从 出发向 沿直线路径做匀速运动，速度较快
的小球 到达 处的挡板 后被弹回（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块 后又被反弹向
挡板 ，如此反复，直到木块 到达 ，同时停止．设小球的运动时间为 ，木块 与小球之间的距离为
，图②是 与 的部分函数关系图像，结合图像回答下列问题．
(1)小球 第一次到达挡板 的时间是______s，小球 的速度为______ ，木块 的速度为______ ；
(2)小球 第一次返回时，求 与 的函数关系式；(3)当小球 从出发至第一次 、 相遇时，小球 与木块 距离为 时，直接写出 的值为______ ．
【答案】(1)16； ；
(2)
(3)当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为 时， 或 ．
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
（1）依据题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是 ，进而可得小球P的速度为
，求出速度和，然后计算出 点的速度，故可判断得解；
（2）先求解 ，再利用待定系数法计算可以得解；
（3）依据题意，先求出小球P运动 前的函数关系式，然后把 代入解析式和（2）中解析式计算
即可．
【详解】（1）解：由题意，观察函数图象，可得，
小球P第一次到达挡板l的时间是 ，
∴小球P的速度为 ，
由题意， ，
又 ，
∴ ，
∴木块Q的运动速度 ．
故答案为：16； ；
（2）解：由（1）得： ，
设小球P第一次返回时， ，
将 ， 代入得，
解得 ，∴ ．
（3）解：由题意，设小球P运动 前的函数关系式为 ，
函数过 ，
∴ ，
∴ ，
∴此时函数为 ，
，又令 ，
∴ ，
又当小球运动到 后，结合（3）函数关系式为 ，
∴令 ，
解得 ，
综上，当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为 时， 或 ．
15．（24-25八年级下·吉林·期末）江南公园，位于吉林省吉林市丰满区世纪广场西侧，是集游乐场、动物
园、植物园于一体的综合性公园．琦琦和然然在江南公园游玩，两人同时从吉林市陶瓷博物馆出发，沿相
同的路线游览到游乐场游玩，路线如图所示．
记录得到以下信息：
a． 琦琦和然然从吉林市陶瓷博物馆出发行走的路程 和 （单位： ）与游览时间 （单位： ）
的对应关系如下图：b． 在琦琦和然然的这条游览路线上，依次有4个景点，从
吉林市陶瓷博物馆到这4个景点的路程如下表：
园中 白鸽广 海豹 猴
景点
园 场 池 山
路程（
1 2 2.5 3
）
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在这条游览路线上，吉林市陶瓷博物馆到游乐场的路程为___________ ；
(2)琦琦和然然在游览过程中，除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在___________相遇（填写景点名称），
此时距出发经过了___________ ；
(3)下面有三个推断：
①然然从园中园到游乐场游览的过程中，平均速度是 ；
②然然比琦琦晚到达游乐场 ；
③ 时，琦琦比然然多走了 ．
所有合理推断的序号是___________．
(4)求然然离开白鸽广场到游乐场时 对应的函数解析式，标出自变量 的取值范围；
(5)当琦琦和然然相距 时，直接写出游览时间 的值：___________．
【答案】(1)4
(2)白鸽广场，45
(3)②③
(4)
(5)72或96
【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意，能从图象中获取信息是解答的关键．
（1）观察图象即可；（2）根据两图象交点的纵坐标判断除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在哪个景点相遇；写出 与x的函数
关系式，当 时，求出对应x的值即可；
（3）①求出当 时， 与x的函数关系式，当 时，求出对应x的值，从而根据平均速度 总
路程 总时间求出然然从园中园到游乐场游览的过程中的平均速度即可；
②观察图象即可；
③当 时，求出对应 的值，从而求出琦琦比然然多走的路程即可；
（4）根据速度 路程 时间求出这个过程中然然的速度，再由路程 速度 时间写出 与x的函数解析式
即可；
（5）按照x的取值范围，利用 和 关于x的函数关系式，当琦琦和然然相距 时，分别列关于x的
方程并求解即可．
【详解】（1）解：在这条游览路线上，吉林市陶瓷博物馆到游乐场的路程为 ，
故答案为：4；
（2）解：琦琦和然然在游览过程中，除吉林市陶瓷博物馆和游乐场外，在白鸽广场相遇，
琦琦的速度为 ，则 ，
当 时，得 ，
解得 ，
∴此时距出发经过了 ，
故答案为：白鸽广场，45；
（3）解：当 时，然然的速度为 ，
∴ ，
当 时，得 ，
解得 ，
则然然从园中园到游乐场游览的过程中，平均速度是，
∴①不合理，不符合题意；
然然比琦琦晚到达游乐场 ，
∴②合理，符合题意；
当 时， ，
，
∴ 时，琦琦比然然多走了 ，
∴③合理，符合题意．
故答案为：②③；
（4）解：然然离开白鸽广场到游乐场时的速度为 ，
则 ，
∴然然离开白鸽广场到游乐场时 对应的函数解析式及自变量x的取值范围为 ；
（5）解：综上， 与x的函数关系式为 ， 与x的函数关系式为
，
当 时，当琦琦和然然相距 时，得
，
解得 （舍去）；
当 时，当琦琦和然然相距 时，得
，解得 （舍去）或 （舍去）；
当 时，当琦琦和然然相距 时，得
，
解得 ；
当 ，当琦琦和然然相距 时，得
，
解得 ．
综上，当琦琦和然然相距 时，x的值为72或96．
故答案为：72或96．
题型3 一次函数应用--分配方案问题
建立目标函数（如总费用y）与决策变量x间的函数关系y=kx+b；结合限制条件确定x的取
值范围。根据k的符号判断函数的增减性：k>0时y随x增大而增大，取x最小值时y最
小；k<0时取x最大值时y最小。最终在取值范围内确定最优解．
16．（24-25八年级上·四川成都·期末）A、B两种品牌的共享电动车收费（元）与骑行时间（ ）的函
数关系如图所示，其中A品牌收费方式为 ，B品牌的收费方式为 ．
(1)分别求出 与x的函数关系式；
(2)已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为 ．小明可骑A品牌或B品牌电动车去上班，若小
明家到单位的距离为 ，那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱？【答案】(1) ，
(2)小明选择B品牌的共享电动车更省钱
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式和速度、时间、路程的关系是解
题的关键．
（1）利用待定系数法求解答即可；
（2）根据时间 路程 速度求出小明骑共享电动车的时间并换算成以分钟为单位，结合图象即可得出结论．
k k 0
【详解】（1）解：设 （ 1为常数，且 1 ），
20,4 y k x
将坐标 代入 1 1 ，
20k 4
得 1 ，
1
解得k  ，
1 5
1
∴ 与x的函数关系式为y  x．
y 1 5
1
0 x10 y 3
当 时， 2 ；
x10 y k xb k ,b k 0
当 时，设 2 2 （ 2 为常数，且 2 ），
10,3 20,4
y k xb
将坐标 和 分别代入 2 2 ，
10k b3
2

得 20k b4，
2
 1
k 
 2 10
解得
b2
，
1
∴y  x2．
2 10
3,0x10

y  1
综上， 2  x2,x10．
108
（2）解：
6024min
，
20
x24 y  y
由图象可知，当 时， 1 2，
∴小明选择B品牌的共享电动车更省钱．
17．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）“工欲善其事，必先利其器”．某校为开好劳动教育课准备购
置一批劳动工具，学校与店主商量后，店主给出了以下两种购买方案（二选一）：
方案一劳动工具13元/件，运费30 方案二劳动工具18元/件，免费送货上
元； 门．
x y y
若学校购买 件劳动工具，按方案一购买的付款总金额为 1元，按方案二购买的付款总金额为 2元．
y ,y x
(1)请分别写出 1 2与 之间的函数解析式；
(2)请你为该学校选择合适的购买方案．
y 13x30 y 18x
【答案】(1) 1 ， 2 ；
(2)当购买劳动工具少于6件时，选择方案二；当购买劳动工具等于6件时，两种方案均可；当购买劳动工
具超过6件时，选择方案一．
【分析】本题考查了一次函数的应用，读懂题意，列出函数关系式是解题的关键．
（1）根据题意列出函数关系式即可；
（ 2 ）令 y 1  y 2，即 13x3018x ，解得 x6 ，再分 y 1  y 2和 y 1  y 2进行分析即可．
y 13x30 y 18x
【详解】（1）解：由题意得 1 ， 2 ；
y  y 13x3018x
（2）解：令 1 2，即 ，
解得：x6；
y  y 13x3018x x6
令 1 2，即 ，解得： ；
y  y 13x3018x x6
令 1 2，即 ，解得： ；
∴当购买劳动工具少于6件时，选择方案二；
当购买劳动工具等于6件时，两种方案均可；
当购买劳动工具超过6件时，选择方案一．
18．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）随着端午节的临近，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同购物优惠方案，如表：
A超市 B超市
优惠方
所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元
案
(1)当购物金额为90元时，选择______超市（填“A”或“B”）更省钱；当购物金额为120元时，选择
______超市（填“A”或“B”）更省钱；
x0x200
y x
(2)当购物金额为 元时，请分别写出它们的实付金额 （元）与购物金额 （元）之间的函数
表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？
A;B
【答案】(1)
(2)当0x100或160x200时，选择A超市更省钱；当x160时，两家超市实付金额相同；，当
100x160时，选择B超市更省钱
【分析】本题考查了一次函数的实际应用及方案选择问题，解题的关键是根据两家超市的优惠方案列出实
付金额的函数表达式，通过比较函数值的大小确定最省钱的购物方案．
（1）分别计算购物金额为90元和120元时在A、B超市的实付金额，比较后得出更省钱的超市；
（2）分情况列出A、B超市实付金额与购物金额的函数表达式(A超市为一次函数，B超市分0x100和
100x200两段）；通过解方程和不等式比较函数值大小，确定不同购物金额范围内的最优选择．
【详解】（1）解：当购物金额为90元时，
A超市实付金额：900.7567.5元；
B超市实付金额：90元（不满100元不返现）．
∵67.590，∴选择A超市更省钱．
当购物金额为120元时，
A超市实付金额：1200.7590元；
B超市实付金额：1204080元（满100元返40元）．
∵8090，
∴选择B超市更省钱．
y 0.75x0x200
（2）解：A超市实付金额函数表达式： A ．
B超市实付金额函数表达式：
0x100 y x
当 时，不返现， B ；当 100x200 时，满 100 元返 40 元， y B x40 ．
比较省钱方案：
0x100 y 0.75x y x
当 时， A B ，选择A超市更省钱；
当100x200时，令0.75xx40，解得x160．
100x160 y x40 y 0.75x
当 时， B A ，选择B超市更省钱；
x160 y  y 120
当 时， A B ，两家超市实付金额相同；
160x200 y 0.75x y x40
当 时， A B ，选择A超市更省钱．
答：当0x100或160x200时，选择A超市更省钱；当x160时，两家超市实付金额相同；，当
100x160时，选择B超市更省钱．
19．（24-25八年级下·黑龙江绥化·阶段练习）为了贯彻落实市政府提出的“精准扶贫”精神，某县特制定
了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划．现决定从某地运送256箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大、小
货车共18辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗．已知这两种大、小货车的载货量分别为16箱/辆和12箱/辆，
其运往A，B两村的运费如下表：
A村/（元/辆） B村/（元/辆）
大货车 600 700
小货车 400 600
(1)这18辆车中大、小货车各多少辆？
(2)现安排其中9辆货车前往A村，其余前往B村，设前往A村的大货车为m辆，前往A，B两村的总费用
为元，试求出与m的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于130箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出
最少费用．
【答案】(1)大货车10辆，小货车8辆
(2)100m10000（1m9，且m为整数）
(3)6辆大货车和3辆小货车前往A村，4辆大货车和5辆小货车前往B村；10600元
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解
题的关键．18x
（1）设这18辆车中大货车x辆，则小货车 辆，根据题意列出一元一次方程求解即可；
9m 10m
（2）前往A村的大货车为m辆，则前往A村的小货车为 辆， 前往B村的大货车为 辆，前
89m
 
往B村的小货车为 辆，即可根据题意列出函数解析式；
16m12(9m)130
（3）根据题意列出不等式 ，求出m的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得
答案．
18x
【详解】（1）解：设这18辆车中大货车x辆，则小货车 辆，
16x1218x256
根据题意，得 ，
解得x10，
18x8，
答：设这18辆车中大货车10辆，则小货车8辆．
600m400(9m)700(10m)6008(9m)
（2）解：
100m10000，
m0

9m0

10m0 ，

89m0

1m9，且m为整数；
16m12(9m)130
（3）解：由题意得， ，
解得m5.5，

1m9，
5.5m9，且m为整数，
当m6时，最小，
此时最少费用为10061000010600（元），
货车调配方案：6辆大货车和3辆小货车前往A村，4辆大货车和5辆小货车前往B村．
20．（25-26八年级上·全国·随堂练习）周末，小丽和爸爸、妈妈一家三口去杨梅园游玩．已知该杨梅园内
的杨梅单价是每千克40元．为满足游客需求，该杨梅园现推出两种不同的销售方案：甲方案：游客进园需购买30元的门票，采摘的杨梅按原价的六折收费；
乙方案：游客进园不需要购买门票，采摘的杨梅质量在10千克以内按原价收费，超过10千克后，超过部
分按原价的五折收费．
x y y
设采摘量为 千克，按甲方案所需总费用为 1元，按乙方案所需总费用为 2元．
y y x
(1)当采摘量超过10千克时，分别求出 1， 2与 之间的函数关系式；
(2)当采摘多少千克时，两种方案的价格相同？
(3)若采摘量为30千克，选择哪种方案更划算？请说明理由．
y 24x30 y 20x200
【答案】(1) 1 ， 2 ．
(2)1.875千克或42.5千克
(3)甲方案更划算，理由见解析
【分析】本题考查一次函数的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出函数关系式是解答的关键．
（1）根据两种方案分别求函数关系式即可；
0 x10 x10 y  y
（2）分当 时和当 时两种情况，令 1 2，分别解一元一次方程即可求解；
y y
（3）分别求出 x30 时的 1， 2，比较大小即可得出结论．
【详解】（1）解：当采摘量超过10千克时，x10，
y 30400.6x24x30
根据题意，得 1 ；
y 4010400.5x1020x200
2 ；
0 x10 y 40x
（2）解：当 时， 2 ，
y  y 24x3040x x1.875
令 1 2，则 ，解得 ；
x10 y  y 24x3020x200 x42.5
当 时，令 1 2，则 ，解得 ，
答：当采摘1.875千克或42.5千克时，两种方案的价格相同．
（3）解：选择甲方案更划算．理由如下：
y 243030750,y 2030200800
当 x30 时， 1 2 ．
因为750800，所以选择甲方案更划算．21．（24-25九年级下·河南信阳·阶段练习）某家用电器厂生产一种电饭煲和一种电热水壶，电饭煲每个定
价200元，电热水壶每个定价60元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供以下两种优惠方案．
方案一：每买一个电饭煲就赠送一个电热水壶；
方案二：电饭煲和电热水壶都按定价的80%付款．
x
x80
y y
某厨具店计划购进80个电饭煲和 个电热水壶 ．设选择方案一需付款 1元，选择方案二需付款 2
元．
y y x
(1)分别写出 1， 2关于 的函数解析式．
(2)当x200时．
①请通过计算说明该厨具店选择上面哪种方案更省钱．
②若两种优惠方案可以同时使用（使用方案一优惠过的商品不能再使用方案二优惠，使用方案二优惠过的
商品不能再使用方案一优惠），是否有更省钱的购买方案？若有，请说明理由，并计算出该方案所需费用．
y 60x11200 y 48x12800
【答案】(1) 1 ， 2
(2)①该厨具店选择方案二更省钱；②先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶．该
方案所需费用为21760元
【分析】本题考查了用代数式表示和一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意正确列
出函数表达式．
（1）根据题目所给的两个方案，分别列出代数表达式即可；
（2）①将x200分别代入（1）中得出的两个函数表达式，即可解答；②先按方案一购买80个电饭煲，
再按方案二购买120个电热水壶最省钱，计算即可．
【详解】（1）解：根据题意可得：
y 2008060x8060x11200
1 ，
y 20080%806080%x48x12800
2 ．
x200 y 602001120023200 y 482001280022400
（2）解：①当 时， 1 ， 2 ．
∵2320022400，
∴该厨具店选择方案二更省钱．
②更省钱的购买方案：
先按方案一购买80个电饭煲，再按方案二购买120个电热水壶．该方案所需费用为2008012080%6021760（元）．
22．（24-25八年级下·北京大兴·期末）某公司拟采购一批车辆，现面临传统燃油（汽油）车与氢能源车两
种选型方案．该公司对两种车型在购置及整个生命周期使用过程中的费用进行了系统性分析：若总费用只
受购车费用和行驶过程中燃料使用费用影响，其他因素忽略不计（即总费用=购车费用+行驶过程中燃料使
用费用），调研信息如下：
设车辆行驶路程为x（单位：万公里），总费用为 y （单位：万元）
①下表是调研中的两组数据：
车辆类型 传统燃油车 氢能源车
行驶路程x（万公里） 10 10
总费用y万元
23 28
②两类车型各自的总费用 y 与行驶路程x的函数关系的图象如图所示，两函数图象交于点P，且与 y 轴分
A0,15 B0,25
别交于点 ，点 ．
结合上述调研信息，回答问题：
(1)传统燃油车购车费用是___________万元；
(2)根据车辆行驶路程的变化，怎样选择车型使总费用较低．
【答案】(1)15
(2)当x20时，选传统燃油车总费用较低；当x20时，两种车总费用一样；当x20时，选氢能源车总
费用较低
【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法，一次函数图象的性质是关键．
（1）根据两类车型各自的总费用 y 与行驶路程x的函数关系的图象，
y 0.8x15 y 0.3x25
（2）运用待定系数法算出各自总费用与行驶路程的函数解析式 1 ， 2 ，当两种车总费用相等时，即0.8x150.3x25，得到行驶路程，结合图形判定即可求解．
A0,15,B0,25
x0 15
【详解】（1）解： ，即当 时，传统燃油车的总费用为 万元，氢能源车的总费用
为25万元，
∴传统燃油车购车费用是15万元；
y k x15k 0
（2）解：设传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为 1 1 1 ，
10,23
10k 1523
把 代入得， 1 ，
k 0.8
解得， 1 ，
y 0.8x15
∴传统燃油车总费用与行驶路程的解析式为 1 ，
y k x25k 0
同理，设氢能源车总费用与行驶路程的解析式为 2 2 2 ，
10,28
10k 2528
把 代入得， 2 ，
k 0.3
解得， 2 ，
y 0.3x25
∴氢能源车总费用与行驶路程的解析式为 2 ，
y  y 0.8x150.3x25
当 1 2时， ，
解得，x20，
∴当x20时，选传统燃油车总费用较低；
当x20时，两种车总费用一样；
当x20时，选氢能源车总费用较低．
23．（10-11七年级下·河南周口·单元测试）某市A，B两个蔬菜基地得知四川C，D两个灾民安置点分别急
需蔬菜240t和260t的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜200t，B蔬菜基地有蔬菜
300t，现将这些蔬菜全部调运C，D两个灾民安置点，从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25
元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元．设从B地运往C处的蔬菜为x吨．
(1)请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值：
C D 总计/t
A 200B x 300
总计/t 240 260 500
(2)设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
(3)经过抢修，从B地到C处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少m元（m0），其
余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
【答案】(1)填表见解析，两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值为200；
(2)w2x9200，调运方案见解析；
(3)调运方案见解析．
240x
【分析】（ 1 ）根据题意，用 240 减 x 可得需要从A处调运的数量，用 200 减去 可得从A调研往 D
处的数量，用300减去x即为从B调运往D处的数量；
（2）根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得w与x的函数关系，列不等式组可解；
（3）本题根据x的取值范围不同而有不同的解，分0m2、m2和2m15三情况解答即可；
本题考查了一次函数在实际问题中的应用，根据题意，正确得出一次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：（1）填表如下：
D 总计/t
C
A
240x x40
200
B x 300x 300
总计/t 240 260 500
20240x25x4015x18300x
依题意得： ，
解得x200，
∴两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时，x的值为200；
w20240x25x4015x18300x2x9200
w x
（2）解： 与 之间的函数关系为：
240x0

x400

由题意得： x0 ，

 300x0
∴40x240，∵在w2x9200中，20，
∴w随x的增大而增大，
∴当x40时，总运费最小，
此时调运方案为：
C D 总计/t
A 200 0 200
B 40 260 300
总计/t 240 260 500
w2mx9200
（3）解：由题意得 ，
∴当0m2时，（2）中调运方案总费用最小；
当m2时，在40x240的前提下调运方案的总费用不变；
当2m15时，x240总费用最小，其调运方案如下：
C D 总计/t
A 0 200 200
B 240 60 300
总计/t 240 260 500
24．（22-23六年级下·山东淄博·期末）甲、乙两家蓝莓采摘园的蓝莓品质相同，销售价格都是每千克30
元，“五一”假期，两家均推出了优惠方案．甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买60元的门票，采摘
的蓝莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘的蓝莓超过10千克后，超过部分
y
五折优惠．优惠期间，设某游客的蓝莓采摘量为x （千克），在甲采摘园所需总费用为 1（元），在乙采
y
摘园所需总费用为 2（元）．根据题意列出下表：
采摘量：x（千克） 5 10 15 20 …
在甲采摘园所需总费用：y 15 33
1 240 m …
（元） 0 0在乙采摘园所需总费用：y 15 37
2 300 450 …
（元） 0 5
y
(1)变化过程中采摘量x（千克）和在甲采摘园所需总费用 1（元），这两个变量中，自变量是_____，因变
量是_____，表格中m的值为_____；
y
(2)当蓝莓采摘量超过10千克时，求表示在乙采摘园所需总费用 2和采摘量x这两个变量之间关系的表达
式；
y y
(3)如图，是小刚画出的表示在甲采摘园所需总费用 1（元）和在乙采摘园所需总费用 2（元）分别与采摘
量x（千克）之间关系的图象．
①图中两图象的交点A表示的意义是：______________________________；
②若要采摘50千克蓝莓，去哪家比较合算？结合图象，你认为小刚应选择去哪家蓝莓采摘园采摘比较合算．
y
【答案】(1)采摘量x（千克）；在甲采摘园所需总费用 1（元）；420
y y 15x150
(2)表示在乙采摘园所需总费用 2和采摘量x这两个变量之间关系的表达式为： 2
y y
(3)①当采摘量为30千克时，在甲采摘园所需总费用为 1（元）和在乙采摘园所需总费用为 2（元）相等，
都是600元；②到乙采摘园比较合算，理由见解析
【分析】（1）根据常量与变量的定义即可得出答案，根据甲采摘园的优惠方案计算m即可；
y
（2）根据乙采摘园的优惠方案可得 2关于x的表达式；
（3）①根据横坐标和纵坐标的意义回答即可；②结合图象，即可得到答案．
y x
【详解】（1）解：总费用 1（元）随采摘量 （千克）的变化而变化， 这两个变量中，自变量是采摘量 x （千克），因变量是总费用 y 1（元），
表格中m的值为60300.620=420；
x y
故答案为：采摘量 （千克），总费用 1（元），420；
y =3010300.5x10=15x150
（2）根据题意得：当 x>10 千克时， 2 ，
y x y 15x150
所以总费用 2和采摘量 这两个变量之间关系的表达式为 2 ；
（3）①图中两图象的交点A表示的意义是：当采摘量为30千克时，甲、乙采摘园所需总费用都是600元；
故答案为：当采摘量为30千克时，甲、乙采摘园所需总费用都是600元；
x>30 y <y
②根据图象可知：当 千克时， 2 1，
所以要采摘50千克蓝莓，小刚应选择去乙采摘园采摘比较合算．
【点睛】本题考查函数的图象，常量与变量，函数关系式，解题的关键是理解题意和数形结合思想的应用．
题型4 一次函数应用--最大利润问题
利润=(售价-进价)×销量-成本。其中售价与销量通常存在一次函数关系：销量=a×售价+b
（a<0）。建立总利润关于售价的一次函数表达式，求出自变量的取值范围，根据函数增减
性确定使利润最大的售价或销量．
25．（24-25八年级下·广东广州·阶段练习）汽车租赁公司共有50台客车，其中大客车20台，小客车30台，
现要将这50台客车派往A、B两学校，其中30台派往A校，20台派往B校．两校与该汽车租赁公司商定
的每天的租赁价格见表：
每台大客车的租金 每台小客车的租金
A校 1800 1600
B校 1600 1200
(1)设派往A校x台小客车，租赁公司这50台客车一天获得的租金为y（元），求y与x间的函数关系式，
写出x的取值范围；
(2)如果要使这50台客车每天获得的租金最高，请你为汽车租赁公司提一条合理化建议．
y200x7400010x30
【答案】(1)(2)要使这50台客车每天获得的租金最高，汽车租赁公司应将30台小客车全部派往A校，将20台大客车全
部派往B校
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确列出一次函数的解析式是解此题的关键．
30x 30x x10
（1）由题意可得，派往A校 台大客车，派往B校 台小客车，派往B校 台大客车，
再结合题意列出y与x间的函数关系式即可，列出一元一次不等式组，即可得出x的取值范围；
（2）根据一次函数的性质即可得解．
30x 30x
【详解】（1）解：由题意可得，派往A校 台大客车，派往B校 台小客车，派往B校
2030xx10
台大客车，
y180030x1600x1600x10120030x200x74000
则 ，
30x0

∵x100，
解得：10x30，
y200x7400010x30
∴y与x间的函数关系式为 ；
（2）解：∵2000，
∴ y 随着x的增大而增大，
y
∴当x30时， 的值最大，
此时30x0（台），x1020（台），
∴要使这50台客车每天获得的租金最高，汽车租赁公司应将30台小客车全部派往A校，将20台大客车全
部派往B校．
26．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）某厂计划生产A、B两种产品共90件，已知A产品每件可获利
600元，B产品每件可获利1000元．设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件．
(1)写出y与x之间的函数表达式；
(2)）若生产A产品的件数不少于B产品的件数的2倍，求获利总额的最大值，写出此时的生产方案．
y400x54000 0x90 x
【答案】(1) ， ，且 为整数；
(2)66000元，生产A产品60件，B产品30件．
【分析】本题考查了一次函数的应用，掌握一次函数的应用是解题的关键．90x
（1）设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件，则生产A产品 件，依题意列出函数
关系式即可；
（2）根据题意可得出x30，根据一次函数的性质即可求解．
90x
【详解】（1）解：设生产两种产品的获利总额为y（元），生产B产品x件，则生产A产品 件，依
题意得：
y60090x1000x400x54000
0x90 x
，且 ， 为整数；
（2）解：由题意得：
90x2x，
解得：x30，
y400x54000 y x
∵ ， 随 的增大而增大，
∴当x30时，获利总额最大，最大总额为：400305400066000（元），
∴生产A产品60件，B产品30件，获利总额最大，最大总额为66000元．
27．（2025·陕西宝鸡·二模）鲜花，作为大自然的馈赠，以其独特的美丽和寓意，成为爱的使者，传递着
子女们对母亲最真挚的祝福，成为了母亲节不可或缺的礼物．母亲节前夕，某鲜花经销商计划购进A、B
两种类型的鲜花共200束，设购进A种鲜花x束，销售完这200束鲜花的总利润为 y 元．鲜花的进价和售
价如表所示：
A B
进价(元/束) 45 60
售价(元/束) 80 100
(1)求 y 与x之间的函数关系式；
(2)该经销商计划最多投入10500元用于购进这两种鲜花，购进多少束A种鲜花，该经销商售完这两种鲜花
可获得最大利润？获得的最大利润是多少元？
y5x8000
【答案】(1)
(2)购进100束A种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润，获得的最大利润是7500元
【分析】本题考查一次函数的应用，关键是求出函数解析式．
200x
（1）设购进A种鲜花 x 束，则购进B种鲜花 束，根据总利润  A ，B两种鲜花所得利润之和列出函数解析式；
（2）先根据最多投入10500元用于购进这两种鲜花求出x的取值范围，再根据函数的性质求出最大值．
200x
【详解】（1）解：设购进A种鲜花 x 束，则购进B种鲜花 束，
y8045x10060200x5x8000
根据题意得： ，
y与x之间的函数关系式y5x8000；
45x60200x10500
（2）解：根据题意得： ，
解得：x100，
对于y5x8000，

50，
当x100时， y 有最大值，最大值为7500，
答：购进100束A种鲜花，该经销商售完这两种鲜花可获得最大利润，获得的最大利润是7500元．
28．（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）某商店销售一种产品，该产品成本价为8元/件，售价为10元/件，
销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象．图中的折线ODE表示日销量y（件）与销售时
间x（天）之间的函数关系，若线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件．
(1)第26天的日销量是______件，这天销售利润是______元；
(2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)销售期间日销售最大利润是多少元？日销售利润不低于660元的天数共有多少天？
【答案】(1)320；640
20x0x18
y
(2)

5x45018x30
(3)720元；8天
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用．
（1）根据题意“线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件”，已知第22天的销售
量，可求第26天的销售量；再根据日利润单件利润 日销售量，求出当天总利润即可；（2）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线OD、DE的函数关系式，进而可以判断得解；
（3）由函数的图象可得，当x18时，可求出最高销售量，即可求最大利润；根据日销售量日销售利
润每件的利润，可求出日销售量，将其分别代入OD、DE的函数关系式中求出x值，将其相减加1即可
求出日销售利润不低于660元的天数．
【详解】（1）解：由题意，∵时间每增加1天，日销量减少5件，且第22天的销售量为340件，
34026225320
∴第26天的日销售是 （件），
108320640
∴这天销售利润是 （元），
故答案为：320，640；
OD ykx
17,340
ykx
（2）解：设直线 的函数关系式为 ，将 代入 ，
∴34017k，
∴k 20，
∴直线OD的函数关系式为y20x；
x22 y340
当 ， ；
y320
x26
当 ， ，
22,340 26,320
DE
∴ 过 ， ，
设直线DE的函数关系式为 ymxn ，
22mn340

∴26mn320，
m5

∴n450，
∴直线DE的函数关系式为 y5x450，
令20x5x450，
解得x18，
OD DE
18,360
∴直线 和直线 的交点坐标为 ，
20x0x18
y
综上，y与x的函数关系式

5x45018x30；（3）解：由函数的图象可得，当x18时，日销售为2018360，
108360720
此时日销售利润最大为： （元）；
又∵每件利润为：1082（元），
∴当销售利润为660元时，销售量为330件，
y330 20x330 5x450330
∴令 ，则有 或 ，
∴x16.5或x24，
∴日销售利润不低于660元的天数在17到24之间，
∴241718（天），
∴日销售利润不低于660元的天数共有8天．
29．（24-25八年级下·广西防城港·阶段练习）列方程组解应用题：为美化校园，某学校计划购进A，B两
种树苗共17棵，已知A种树苗每棵80元，B种树苗每棵60元．
(1)若购进A，B两种树苗刚好用去1220元，求购进A，B两种树苗各多少棵？
(2)若购进A种树苗a棵，所需总费用为w元．
①求w与a的函数关系式（不要求写出a的取值范围）；
②若购进A种树苗的数量不低于9棵，请你给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需的费用．
【答案】(1)购进A种树苗10棵，购进B种树苗7棵
(2)①w20a1020；②购进A种树苗9棵，B种树苗8棵时费用最省，此时费用为1200元
【分析】本题主要考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用以及一元一次方程的应用，能够根据一次
函数的性质得出最省方案是解题的关键．
17x
（1）设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗 棵，根据“若购进A，B两种树苗刚好用去1220元”
列出方程求解即可；
（2）①根据所需总费用 A种树苗的费用B种树苗的费用列式可得；
②根据“若购进A种树苗的数量不低于9棵”列出不等式，求出x的取值范围，利用一次函数的性质可得x
的值，进而可得最省方案．
17x
【详解】（1）解：设购进A种树苗x棵，则购进B种树苗 棵，根据题意得：
80x6017x1220
，
解得x10，
17x7，答：购进A种树苗10棵，购进B种树苗7棵；
（2）①根据题意得：
w80a6017a20a1020
；
② 9a，
9a17，且a为正整数，

200，
w
随a的增大而增大，
 a9 20910201200( )
当 时，w最小，且最小值为 元 ，
此时17a8，
答：购进A种树苗9棵，B种树苗8棵时费用最省，此时费用为1200元．
30．（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）“中国乳都”呼和浩特，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业
书写城市传奇、铸就辉煌．其中酸奶是深受大众喜爱的乳制饮品之一．某超市销售甲、乙两种品牌酸奶，
结合以下材料解决问题．
内容
某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲种酸奶的进价为8元/罐；乙种酸奶的进货
总金额 y （单位：元）与进货量x（单位：罐）之间的关系如图所示，经过试
销，甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐．
材
料
一
材
某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙种品牌的销售量不低
料
于150罐，且不高于400罐．
二
任
务 （1）根据图像求出 y 与x的函数关系式．
一
任 （2）若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利
务 润为w元，求出w（单位：元）与乙种品牌酸奶的进货量x（单位：罐）之间的
二 函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案．y10x wx3200
【答案】（1） （2） ，甲品牌酸奶的进货量为400罐，乙品牌酸奶的进货量为400罐
时，获得的利润最大
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
y x yk（x k 0）
50,500
（1）设 与 的函数表达式为 ，代入 即可求解；
800x
x x
（2）设乙品牌酸奶的进货量 罐，则甲品牌酸奶的进货量 罐，用含 的式子表示利润，根据一次
函数的性质分析其最大值即可．
y x yk（x k 0）
【详解】解：（1）依题意，设 与 的函数表达式为 ，
50,500
把 代入解析式，
得k 10，
∴ y 与x的函数表达式为y10x；
800x
x
（2）依题意，乙品牌酸奶的进货量 罐，则甲品牌酸奶的进货量 罐，
∵乙品牌的收购量不低于150罐，且不高于400罐，
∴150x400，
y10x
由（1）得 ，
w128800x1510x
则 ，
x3200
∵k 10，
∴w随x的增大而增大，
∵150x400，
∴当x400时，w最大，最大值为40032003600元，
800400400（罐），
即甲品牌酸奶的进货量为400罐，乙品牌酸奶的进货量为400罐时，获得的利润最大．
31．（24-25八年级下·吉林长春·期中）某文具店准备购进A、B两种型号的文具一共100件，两种文具的
进价和售价情况如下表：
型号价格 A型号文具 B型号文具
进价（元/件） 9 15售价（元/件） 13 22
(1)求该文具店将这两种文具全部售完后，获得利润w（元）与购进A型号文具数量x（件）之间的函数关
系式．（注：利润售价进价）
(2)若这两种文具全部售完后恰好获利580元，求购进A型号文具的数量．
1
(3)根据市场需求，若购进的A型号文具数量不少于B型号文具数量的 ，则两种文具全部售完后，可获最
3
大利润为________元．
【答案】(1)w3x700
(2)购进A型号文具40件
(3)625元
【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的
关键：
（1）根据总利润等于两种文具的利润之和，列出函数关系式即可；
（2）令w580，求出x的值即可；
1
（3）根据购进的A型号文具数量不少于B型号文具数量的 ，求出 的范围，根据一次函数的性质，求最
3 x
值即可．
w139x2215100x3x700
【详解】（1）解：（1）由题意， ；
（2）∵w3x700，
∴当w3x700580时，解得：x40；
答：购进A型号文具40件；
1
（3）由题意，得：x 100x ，
3
解得：x25，
∵w3x700，30，
∴w随着x的增大而减小，
∴当x25时，w有最大值为325700625；
故答案为：625．
32．（2025·河北邯郸·二模）某车间接到一批总量为800个零件的加工任务，计划安排20名工人一天完成，
零件分为大、中、小三种型号，其中每名工人每天可以加工30个大型零件，或40个中型零件或50个小型零件，已知每名工人只能加工同一种型号的零件，在整个过程中，每个零件的平均成本如条形统计图所示．
设加工大型零件的工人为x名，加工中型零件的工人为 y 名，
(1)求 y 与x的函数关系式；
(2)若加工这批零件的总成本为9050元，求加工小型零件的工人人数．
y2x200x10
【答案】(1)
(2)加工小型零件的工人人数为5
30x40y5020xy800
【分析】（1）根据题意，得 ，变形解答即可；
3015x4012y50820xy
（2）由题意得，这批零件的总成本为 解答即可．
本题考查了一次函数的应用，熟练掌握应用是解题的关键．
30x40y5020xy800
【详解】（1）解：由题意得， ，
y2x200x10
即 ，
y2x200x10
y x
与 的函数关系式为 ；
3015x4012y50820xy
（2）解：由题意得，这批零件的总成本为 ，
3015x40122x2050820x2x209050
 
即 ，
解得x5.
20xy20x2x20 x5

加工小型零件的工人人数为
33．（2024九年级上·浙江·专题练习）根据以下素材，探索完成任务．
柚子季将至，某超市购进一批柚子进行销售
素 超市以20元/千克的批发价格购进柚子，准备在销售旺季里销售．根据食品保鲜材
度，商家决定在整个40天的销售旺季里，前15天以32元/千克的销售单价进行销
1 售，从第16天开始每天销售单价降低0.4元/千克进行降价销售．
根据往年的销售数据，柚子在销售旺季40天内的日销数量m（千克）与时间第x
（天）的关系如表．
 
素 时间第x（天） 1 2 3 10
材
2 日销售量m（千  
30 35 40 75
克）
问题解决
任
务 小明看到柚子降价销售“26元/千克”，计算这是超市卖柚子到第几天了．
1
任 利用一次函数、二次函数、反比例函数的知识，直接写出日销售量m（千克）与时
务
间x（天)的关系式．
2
任
务 请你帮助超市算一算，在销售旺季里利润最大是第几天，最大的利润是多少．
3
m5(x1)305x25
【答案】任务1：超市卖柚子到第30天了；任务2： ；任务3：在销售旺季里利润最
大是第15天，最大的利润是1200元
【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，同时本题还考查了待定系数法求一次函数的解析式、
解一元二次方程等知识点，明确二次函数的相关性质并会数形结合是解题的关键．
x(x16) 320.4(x15)380.4x
任务1：由题意得，第 柚子的价格为： ，即可求解；
任务2：由待定系数法即可求解；
1x15 w(3220)m12(5x25) 16x40
任务3：当 时，则 ，当 时，则
w(380.4x20)m(180.4x)(5x25)2(x35)(x5)，分别求出最大值，即可求解．
x(x16) 320.4(x15)380.4x
【详解】解：任务1：由题意得，第 柚子的价格为： ，
则26380.4x，
解得：x30，
即超市卖柚子到第30天了；m x )
任务2：由表格知，日销售量 （千克）是时间 （天 的一次函数，
设函数的表达式为：mk(x1)30，
将(2,35)代入上式得：35k(21)30，
解得：k 5，
故一次函数的表达式为：m5(x1)305x25；
任务3：设销售旺季里利润为w元，
当1x15时，则w(3220)m12(5x25)，
当x15时，w取得最大值为12(7525)1200（元)；
当16x40时，则w(380.4x20)m(180.4x)(5x25)2(x35)(x5)，
1
x (355)15
则函数的对称轴为 ，
2
故当x16时，函数w取得最大值为：798元，
综上所述：当x15时，函数w取得最大值为1200元，
即在销售旺季里利润最大是第15天，最大的利润是1200元．
题型5 一次函数应用--其它应用问题
包括工程、浓度、增长率等问题。关键是识别变量间的线性关系，通过题中条件确定斜率k
和截距b。特别注意实际意义对自变量取值范围的限制（如时间不为负，人数为整数等），
最后根据要求求解．
34．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）一根弹簧在它的弹性范围内挂上不同重物后弹簧长度的对应值
画出图象如图，则若挂一个1N的重物，弹簧伸长了（ ）
A．7.5cm B．12.5cm C．4.75cm D．1cm
【答案】A
【分析】本题考查一次函数的应用．根据弹簧的伸长量÷所挂物体的重量列式计算即可．205
【详解】解：
7.5cm
，
2
∴若挂一个1N的重物，弹簧伸长了7.5cm．
故选：A．
35．（2025·浙江杭州·三模）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，
将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显
示的读数分别为10N和5N．整个过程中，弹簧测力计读数F 与圆柱体下降高度h的关系图象如图乙所示．
(1)图乙中，点A对应状态______，点B对应状态______，（“状态”后填写图形序号）a ______，b
______；
(2)求线段AB对应的函数关系式．
(3)已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为8N，求圆柱体浸入水中的高度．
【答案】(1)②，④，10，5
5 40
(2)F  h 4h10
6 3
(3)2.4cm
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
（1）根据“圆柱体从刚刚接触水面到正好完全浸入水中，弹簧测力计读数F 一直在减小”和“弹簧测力
② ④ 10N 5N
计在状态 和 显示的读数分别为 和 ”填空即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）当F 8时，求出对应h的值，根据“圆柱体浸入水中的高度圆柱体下降的高度-从圆柱体开始下
降到刚刚接触水面的高度”计算即可．
【详解】（1）解：∵圆柱体从刚刚接触水面到正好完全浸入水中，弹簧测力计读数F 一直在减小， A ② B ④
图乙中，点 对应状态 ，点 对应状态 ，
② ④ 10N 5N

弹簧测力计在状态 和 显示的读数分别为 和 ，
a10，b5．
② ④ 10 5
故答案为： ， ， ， ．
AB F khb(k b k 0)
（2）设线段 对应的函数关系式为 、 为常数，且 ，
A4,10 B10,5
将坐标 和 分别代入F khb，
4kb10

得10kb5，
 5
k 

 6
解得 ，
40
b
 3
5 40
线段 对应的函数关系式为F  h 4h10 ．
 AB 6 3
5 40
（3）当 时，得 h 8，
F 8 6 3
解得h6.4，
6.442.4cm
．
答：圆柱体浸入水中的高度为2.4cm．
36．（2025·宁夏中卫·二模）如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小颖用
后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其
中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为xcm，双层部分的长度为 ycm ，经测量
得到如下数据：
单层部分的长度
xcm … 4 6 8 10 …
双层部分的长度
ycm … 75 74 73 72 …(1)求出y关于x的函数解析式，并求当x150时y的值；
(2)根据小明的身高和习惯，挎带的长度为120cm时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度；
(3)设挎带的长度为tcm，求t的取值范围．
1
【答案】(1)y x77，2
2
(2)86cm
(3)77t154
【分析】（1）根据变量的变化规律写出y关于x的函数解析式，当x150时，求出对应y的值即可；
xy120
（2）根据 列关于x的一元一次方程并求解即可；
y0
（3）根据挎带的长度=单层部分+双层部分长度写出t关于x的函数关系式，当 时，求出对应x的值，
即x的最大值，从而求出x的取值范围，进而求出t的取值范围即可．
1
【详解】（1）解：根据表格，x增加 ，y减小 cm，
1cm 2
1 1
则y75 x4 x77，
2 2
1
关于x的函数解析式为y x77，
y 2
1
当 时，y 150772，
x150 2
当x150时， y 的值为2；
1
（2）解：根据题意，得 ，即x x77120，
xy120 2
解得x86，
答：此时单层部分的长度是86cm；
1 1
（3）解：t x x77 x77，
2 2
1
当 时，得 x770，
y0 2解得x154，
0x154，
1
0 x77154，
2
t的取值范围为77t154．
【点睛】本题考查一次函数的应用，根据变量的变化规律写出y关于x的函数解析式、掌握一元一次方程
及一元一次不等式的解法是解题的关键．
37．（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）植物学家在研究两个不同品种的鸢尾花：山鸢尾（记作：S
V x cm) y
类）与变色鸢尾（记作： 类）时，测量并记录了花朵的花萼长度 （单位： 与花萼宽度 （单位：
cm) (x,y)
．以 为坐标的点在平面直角坐标系中的分布如图所示，人工智能可用线性分类器，即直线
l:ykxb将这些点分类，分类原则为：直线l上方的为S类，直线l下方的为V 类，正好落在直线l上的
也为V 类．图中给出了一条分类直线l，根据图象回答下列问题：
(4,2)
S
(1)若有一朵花的花萼长度与花萼宽度对应的点的坐标为 ，根据分类原则，试判断该花朵属于 类还是
V 类？请说明理由．
l:ykxb k b
(2)若保持（1）中直线 的 不变，为保证图中所有点被正确分类， 的取值范围为 ．
【答案】(1)花朵属于V 类，理由见解析；
(2)0.5b1.1
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，确定函数解析式是解题关键．
l (4,2) x4 y
（1）依据题意，首先求出直线 的解析式，然后判断点 的分类将 代入直线方程可得直线上的
y2.52 (4,2) V
值 ，说明 在该直线下方，按题意应分到 类；y0.5xb b
（2）设能保证图中所有点正确分类的函数解析式为 ，根据两个邻界点的值求出 的取值范围．
【详解】（1）解：（1）该花朵属于V 类，理由如下：
(2.2,1.6) (0,0.5)

由题意， 图象过 ， ，
b0.5

2.2kb1.6．
k 0.5

b0.5．
当x4时，y0.540.52.52，
 (4,2) l V
点 在分类直线 的下方的 类，
故答案为：V ；
l:ykxb k
（2）保持（1）中直线 的 不变，
则保证图中所有点被正确分类的函数解析式为y0.5xb，
对所有“V ”类点，必须在直线y0.5xb的下方或在直线上，
当x2.2时，y0.52.2b1.6，
解得b0.5；
所有“S”类点，必须在直线y0.5xb的上方，
当x3.2时，y0.53.2b2.7，
解得：b1.1，
综上所述：b的取值范围为0.5b1.1．
故答案为：0.5b1.1．
38．（2025·吉林长春·三模）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，
将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显
FN hcm
10N 5N
示的读数分别为 和 ．整个过程中，弹簧测力计读数 与圆柱体下降高度 的关系图象如图
乙所示．(1)图乙中，点A对应状态为___________，点B对应状态为___________（填写图形序号），a
___________，b___________；
(2)已知弹簧测力计在状态③时圆柱体浸入水中的高度为1.2cm，求此时弹簧测力计显示的读数．
【答案】(1)②，④，10，5
(2)此时弹簧测力计显示的读数为9N
【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解此题的关键．
（1）根据圆柱体从刚刚接触到水面到刚好完全进入水中，拉力F 一直在减小，并结合图形分析即可得解；
5 40
（2）利用待定系数法求出线段 对应的函数关系式为F  h 4h10 ，再代入 计算即可
AB 6 3 h5.2
得解．
【详解】（1）解：圆柱体从刚刚接触到水面到刚好完全进入水中，拉力F 一直在减小，
∴点A对应状态为②，点B对应状态为④，
∵弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为10N和5N，
∴a10，b5；
F khbk 0
AB
（2）解：设线段 对应的函数关系式为 ，
4kb10
将A4,10 ，B10,5
代入解析式可得

10kb5，
 5
k 

 6
解得： ，
40
b
 35 40
∴线段 对应的函数关系式为F  h 4h10 ，
AB 6 3
5 40
当 时，F  5.2 9，
h41.25.2 6 3
∴此时弹簧测力计显示的读数为9N．
39．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）【问题背景】《九章算术》中记载，浮箭漏（如图）出现于汉
武帝时期，它由供水壶和箭壶组成．箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上
升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．
【实验操作】某学校科技研究小组以此为学习项目，仿制了一套浮箭漏并进行了如下实验探究．
y(cm) x(h)
下表是实验记录的箭尺读数 与供水时间 的数据：
供水时间
0 1 2 3 4 …
x(h)
箭尺读数 1
6 12 24 30 …
y(cm) 8
x(h) y(cm)
(1)如图，建立平面直角坐标系，横轴表示供水时间 ，纵轴表示箭尺读数 ，描出以上表中的数据
为坐标的各点；
(2)【建立模型】观察上述各点的分布规律，判断它们是否在一条直线上．若在一条直线上，则请你建立适当的函数模型，并求出函数解析式；若不在同一直线上，则请说明理由．
(3)【模型应用】如果本次实验记录的开始时间是上午9：00，那么当箭尺读数是42cm时是几点？
【答案】(1)见解析
y6x6
(2)一次，
(3)下午15:00
【分析】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）描点并连线即可；
（2）根据画出的图象特征判断即可，运用待定系数法求出函数解析式；
y42 x 42cm
（3）将 代入函数解析式，求出 的值，并根据本次实验记录的开始时间计算当箭尺读数为 时
的时间即可．
【详解】（1）解：描点并连线如图所示：
（2）解：观察描出各点的分布规律，可以知道它是我们学过的一次函数．
故答案为：一次．
y x ykxb(k b k 0)
设 与 之间的函数解析式为 、 为常数，且 ．
x0 y6 x2 y18 ykxb
将 ， 和 ， 分别代入 ，
b6

得2kb18，
k 6

解得b6，y x y6x6
与 之间的函数解析式为 ．
y42
6x642
（3）解：当 时，得 ，
解得x6，
上午9:00经过6小时是下午15:00．
答：当箭尺读数为42cm时是下午15:00．
40．（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，某校研学小组在博物馆中看到了一种“公道杯”，在这种杯
子中加水超过一定量时，水会自动排尽，体现了“满招损，谦受益”的寓意．该小组模仿其原理，自制了
一个圆柱形简易“公道杯”，确保向杯中匀速注水和杯中水自动向外排出时，杯中的水位高度的变化都是
匀速的．现向此“公道杯”中匀速注入清水；当满杯时(即3秒时)，边继续匀速注入清水，杯中水边自动
向外排出，6秒后停止注水，再等水匀速完全排尽．在这个过程中，对不同时间的水位高度进行了记录，
部分数值如表：
时间(t/秒) 1 2 3 4 5 6 7 8
水位高度(h/厘米) 2 4 6 5.75 5.5 5.25 3 0.75
根据以上信息，解决下列问题：
(1)根据表中数据在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象；
(2)求3秒到6秒之间的函数表达式，并求出排水的速度；
(3)利用图象估计从开始注水，到杯中水完全排尽，用时约为 秒．(保留1位小数)
【答案】(1)见解析
y0.25x6.75 2.25
(2) ；排水的速度为 (厘米/秒)
(3)8.3
【分析】本题考查一次函数的应用，解题的关键是数形结合思想的应用．
（1）描点，画出函数图象即可；
（2）用待定系数法可求出3秒到6秒之间的函数表达式，结合注水速度可得排水的速度；（3）观察图象（或列式计算）可得答案．
【详解】（1）解：描点，画出函数图象如下：
3 6 ykxb
（2）设 秒到 秒之间的函数表达式为 ，
3kb6
把
3,6
，
4,5.75
代入得：

4kb5.75，
k 0.25

解得b6.75 ，
3 6 y0.25x6.75
秒到 秒之间的函数表达式为 ；
由表格知，注水的速度为每秒2厘米，
排水的速度为20.252.25(厘米/秒)；
80.752.258.3( )
（3） 秒 ，
故答案为：8.3．
41．（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关
实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两
个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到
甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不
计）
实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的
密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大．
F =G
总结公式：当小铝块位于液面上方时， 拉力 重力；
F G F
当小铝块浸入液面后， 拉力 重力 浮力．F N
【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数 拉力 与小铝块各自下
xcm
降的高度 之间的关系如图②所示．
【解决问题】
(1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数．
(2)当
6≤x≤10
时，求弹簧测力计A的示数
F
拉力关于x的函数解析式．
mN
(3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为 ，若使乙液体中的小
mN ncm
铝块所受的浮力也为 ，则乙液体中小铝块浸入的深度为 ，直接写出m，n的值．
【答案】(1)弹簧测力计A的示数为2.8，弹簧测力计B的示数为2.5；
F 0.3x5.86x10
(2) 拉力 ；
(3)m0.6，n1.6．
【分析】本题考查了一次函数的应用．
（1）直接根据图②作答即可；
（2）设当
6≤x≤10
时，弹簧测力计A的示数
F
拉力关于x的函数解析式为
F
拉力
k
1
xb
1，别将
6,4
，
10,2.8 F k xb
代入 拉力 1 1计算即可；
F 0.3x5.8 F 3.4 F G F
（3）由题意可知小铝重为 4N ，将 x8 代入 拉力 得 拉力 ，将 拉力 重力 浮力变形即可
求出
m0.6
，求出当
6≤x≤10
时，弹簧测力计B的示数
F
拉力关于x的函数解析式为
3 25
F  x 6x10
拉力 8 4 F 拉力 3.43 25
F
拉力

8
x
4
6x10 ，将F
拉力
3.4代入计算即可．
【详解】（1）解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为2.8，弹簧测力计B的示
数为2.5；
（2）解：设当
6≤x≤10
时，弹簧测力计A的示数
F
拉力关于x的函数解析式为
F
拉力
k
1
xb
1，
F k xb 6,4 10,2.8
由图可知 拉力 1 1经过 ，
6,4 10,2.8 F k xb
分别将 ， 代入 拉力 1 1得：
6k b 4
1 1

10k b 2.8，
1 1
k 0.3
1

解得： b 5.8 ，
1
F 0.3x5.86x10
∴ 拉力 ；
（3）解：由题意可知小铝重为4N，
F 0.3x5.8 F 3.4
将 x8 代入 拉力 得 拉力 ，
F G F 43.40.6N
则 浮力 重力 拉力 ，即 m0.6 ；
则使乙液体中的小铝块所受的浮力为0.6N，
F G F 40.63.4N
∴ 拉力 重力 浮力 ，
设当
6≤x≤10
时，弹簧测力计B的示数
F
拉力关于x的函数解析式为
F
拉力
k
2
xb
2，
F k xb 6,4 10,2.5
由图可知 拉力 2 2经过 ，
6,4 10,2.5 F k xb
分别将 ， 代入 拉力 2 2得：
6k b 4
2 2

10k b 2.5，
2 2 25
b 
  2 4
解得： ，
3
k 
 2 8
3 25
即F  x 6x10 ，
拉力 8 4
3 25
将F 3.4代入得： x 3.4，
拉力 8 4
38
解得：x ，
5
38
∴深度为n 61.6．
5
题型6 一次函数应用--几何问题
将几何量（长度、面积）表示为一次函数。常用方法：①利用全等三角形得线段比例关系；
②用坐标表示点，再用距离公式；③用面积公式建立函数关系。分析函数性质（增减性、最
值）解决几何问题，注意自变量取值范围受几何图形限制．
A1,3 B1,1
42．（24-25八年级下·河北唐山·阶段练习）如图是某个动画程序的数学模型．以 、 、
C4,2
VABC ykx2
为顶点的 代表黑区（包括三角形的边及内部），信号光束沿直线 扫描坐标平面，
当信号光束触到黑区时，黑区则全部消失，能够使黑区全部消失的取值范围是（ ）
A．5k 1 B．k 3或k 5 C．5k 3 D．k 1或k 5
【答案】D
【分析】此题主要考查是一次函数在实际生活中的运用，解答此类题目时一定要注意数形结合的运用．
D0,2
根据直线的解析式可知此直线必然经过点 ，当经过点A和点C时分别求出k的值，然后结合一次
函数的性质可得出结论．ykx2
【详解】解：∵ ，
x0 y2
令 ，则 ，
ykx2
D0,2
∴直线 必经过点 ，
∴信号光束触到黑区时为直线AD和直线CD之间，如图所示：
把点 代入 ，得 ，
A1,3
ykx2 k23
∴k 5，
C4,2
ykx2 4k22
把点 代入 ，得 ，
∴k 1；
∴能够使黑区全部消失的k的取值范围是k 5或k 1；
故选D．
1
43．（24-25八年级下·河北邢台·期末）如图，一次函数y
2
x5的图象l 分别与x轴、y轴交于A，B两
1
 15
Cm，

点，正比例函数的图象l 与l 交于点  4 ．一次函数ykx＋1的图象为 l ，且l ，l ， l 可以围成三角
2 1 3 1 2 3
形，那么k的取值范围是 ．
11 3 1
【答案】k  且k  且k  且
10 2 2 k 0【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三条直线能够围成三角形的条件，一元一次方程．利
用了数形结合及分类讨论的思想．
5 15 11
 ,  k 
先求得C的坐标，然后讨论l,l ,l 不能围成三角形时分三种情况：①l 经过点C2 4 时， 10；②
1 2 3 3
1
3
l 2 ,l 3 平行时，k= 2 ；③l 1 ，l 3 平行时， k  2 ；进而得出 l 1 ,l 2 ,l 3 可以围成三角形时k的取值范围．
1  15
y x5 Cm, 
【详解】解：∵一次函数 2 的图象过点  4 ，
15 1
∴  m5，
4 2
5
解得m ，
2
5 15
C , 
∴ 2 4 
ykx＋1 l l,l ,l
一次函数 的图象为 3，如果 1 2 3不能围成三角形，那么可分三种情况：
5 15 5 15 11
C ,  k＋1 k 
① l 3 经过点 2 4 时，2 4 ，解得 10，
3
②l ,l 平行时，
k=
，
2 3 2
1
③ 平行时，k  ，
l ,l 2
1 3
ykx＋1 k 0
又 是一次函数，所以 ．
11 3 1
故 可以围成三角形时，k的取值范围是k  且k  且k  且 ．
l,l ,l 10 2 2 k 0
1 2 3
11 3 1
故答案为：k  且k  且k  且 ．
10 2 2 k 0
A8,0 B0,6
44．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，直线l与x轴、y轴分别交于点 、点 ，以
P0,a
线段 AB 为直角边在第一象限内作等腰直角三角形 ABC ， BAC 90 ，点 为y轴上一个动点．(1)求点C坐标；
(2)求直线BC的函数表达式；
(3)当VABC与 ABP面积相等时，求实数a的值．

C14,8
【答案】(1)
1
(2)y x6
7
37 13
(3)a 或a
2 2
AOB≌ CHAAAS
CH x  
【分析】（1）过点C作 轴，根据等腰直角三角形的性质证明 ，推出
CH  AO8,AH OB6 OAAH 14
，进而求出 ，即可得到点C的坐标；
（2）由（1）知点C的坐标，利用待定系数法即可求解；
BP a6
AB10 VABC 50
（3）利用勾股定理求出 ，即可求出 的面积为 ，由题意可得 ，根据
1
S  BP·OA50，建立方程求解即可．
ABP 2
【详解】（1）解：如图，过点C作CH x轴，
∵VABC为等腰直角三角形，且BAC 90，
∴AB AC，OABCAH OABABO90，
∴CAH ABO，
∵AOBAHC 90，AOB≌ CHAAAS
 
∴ ，
∴CH  AO,AH OB，
A8,0 B0,6
∵点 、点 ，
∴OA8,OB6，
∴CH  AO8,AH OB6，
∴OAAH 14，
C14,8
∴ ；
C14,8
（2）解：由（1）知 ，
设直线BC的函数表达式为：ykxb，
 1
k 
6b  7
则
814kb
，解得
b6
，
1
∴直线 的函数表达式y x6；
BC 7
VABC OA8,OB6 AOB90
（3）解：∵ 为等腰直角三角形，且 ， ，
AB OA2OB2 10
∴ ，
∵BAC 90，
∴AC  AB10，
1 1
∴S  AB·AC  101050，
ABC 2 2
P0,a
∵点 ，
BP a6
∴ ，
∵VABC与 ABP面积相等，
1
∴S  BP·OA50，
ABP 2
1
∴  a6850，
225
∴ a6  ，
2
37 13
∴a 或a ．
2 2
【点睛】本题考查图形与坐标、一次函数与几何综合、勾股定理、等腰直角三角形的性质、全等三角形的
判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
ykxb
A11,0
45．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线 与x轴交于点 ，与y轴交于点B，并与
4
直线y x相交于点C3,t．
3
(1)k______，b______；
4
(2)点D是线段 上一动点，过点D作y轴的平行线，交直线 于点E，交直线y x于点F．
OA AB 3
①若EF 3，求点D的坐标；
5,0
②若点D坐标是 ，M是直线 EF 上一点，当 OMC是等腰三角形，请直接写出点M的坐标．
1 11
【答案】(1) ，
2 2
15  51   5
(2)①

11
,0
或

11
,0
；②
5,0
或
 5,4 21 
或
 5,4 21 
或


5,
8


【分析】本题考查了一次函数的应用、等腰三角形的定义、利用平方根解方程等知识，熟练掌握一次函数
的性质是解题关键．
（1）先利用待定系数法求出点C的坐标，再利用待定系数法求解即可得；
 1 11  4 
（2）①设点D的坐标为
Dm,00m11
，则点E的坐标为
E

m,
2
m
2

，点F 的坐标为
F

m,
3
m
，
再根据EF 3建立方程，解方程即可得；M5,n
M OC OM OC CM OM CM
②先设点 的坐标为 ，再分三种情况： ， 和 ，分别建立方程，解方
程即可得．
4 4
【详解】（1）解：将点C3,t代入y x得：t 34，
3 3
C3,4
∴ ，
11kb0
将点A11,0 ，C3,4
代入ykxb得：

3kb4 ，
 1
k 

 2
解得 ，
11
b
 2
1 11
故答案为： ， ．
2 2
（2）解：①由题意，画出图形如下：
1 11
由（1）已得：直线 的解析式为y x ，
AB 2 2
 1 11  4 
设点D的坐标为
Dm,00m11
，则点E的坐标为
E

m,
2
m
2

，点F 的坐标为
F

m,
3
m
，
1 11 4 11 11
EF   m  m   m
∴ 2 2 3 2 6 ，
∵EF 3，
11 11
 m 3
∴ 2 6 ，
15 51
解得m 或m ，均符合题意，
11 1115  51 
 ,0  ,0
∴点D的坐标为11 或11 ．
D
5,0
M EF
EF∥y
②∵点 坐标是 ， 是直线 上一点， 轴，
M5,n
M
∴可设点 的坐标为 ，
O0,0,C3,4
∵ ，
OC2 302 402 25
∴ ，
OM2 502n02 n225
，
CM2 532 n42 n42 4
，
当OC OM 时， OMC是等腰三角形，
OC2 OM2 n22525 n0
则 ，即 ，解得 ，
5,0
M
此时点 的坐标为 ；
当OC CM 时， OMC是等腰三角形，
则OC2 CM2 ，即
n42
425 ，解得n4 21或n4 21，
   
5,4 21 5,4 21
此时点M 的坐标为 或 ；
当OM CM 时， OMC是等腰三角形，
5
则
OM2 CM2
，即n225n42 4，解得n
8
，
 5
此时点 的坐标为5, ；
M  8
 5
综上，点
M
的坐标为5,0或 5,4 21 或 5,4 21 或

5,
8


．
l ykxb x
A6,0
y
46．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）如图1，已知直线 1： 交 轴于 ，交 轴于
B0,6
．l
(1)求直线 1的表达式；
1
(2)如图2，直线 的表达式为y xc，点 为线段 的中点，在直线 上找一点 ，使得
CP 2 P AB CP Q OQAQ
最小，并求出最小值；
M2,0 Nm,2m6
AB OBM ABN m
(3)如图3，已知点 ，点 为直线 右侧一点，且满足 ，求 的值．
yx6
【答案】(1)
12 10
(2)作点O关于CP的对称点R，连接AR交CP于点Q，则此时OQAQ的值最小，最小值为 5
24
(3)
5
A6,0 B0,6
ykxb
【分析】（1）把 ， 代入 ，即可求解；
O CP R AR CP Q OQAQ OR CP
（2）如图：作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，则此时 最小，设 交 于点
T ，则点 T 是 OR 的中点，先根据中点坐标公式求出点P的坐标为
3,3
，进而求出直线 l 2的解析式为
1 3  1 3
y
2
x
2 ，然后求出点C的坐标为
3,0
，设点T 的坐标为


n,
2
n
2

，根据两点之间的距离公式得出
OT2 n2   1 n 3  2 CT2 n32   1 n 3  2
2 2 ， 2 2 ，根据勾股定理，列出方程，求出 n 的值，得出点 T 的坐 3 6  6 12
 ,   , 
标为 5 5；先根据中点坐标公式求出点R的坐标为 5 5 ，根据两点之间的距离公式求出AR的值，
即可求解；
M y
G2,0
G BG BG BGH
（3）作 关于 轴的对称点 ，以 为直角顶点， 为直角边在 右侧作等腰直角三角形 ，
过H作HK x轴于K，根据等腰直角三角形的判定和性质推得�OBM � ABH ，根据直角三角形两个锐
角互余和等角的余角相等得出OGBGHK，根据全等三角形的判定和性质得出BO=GK =6，
1
，推得点 的坐标为8,2，待定系数法求出直线 的解析式为y x6．得出点 的
OG=HK =2 H BH 2 N
坐标，结合题意，列出方程，即可求出m的值．
A6,0 B0,6
ykxb
【详解】（1）解：把 ， 代入 得：
06kb

 6b ，
k 1

解得：b6 ，
l yx6
故直线 1的表达式为 ．
O CP R AR CP Q OQAQ
（2）解：如图：作点 关于 的对称点 ，连接 交 于点 ，则此时 最小，
OQ+AQ=RQ+AQ=RA
理由： ，
设OR交CP于点T ，则点T 是OR的中点，
A6,0 B0,6
∵ ， ，点P为线段 AB 的中点，
3,3
∴点P的坐标为 ，1 3
把P3,3代入y xc得：3 c，
2 2
3
解得：c ，
2
1 3
∴直线l 的解析式为y x ．
2 2
2
1 3
令 ，则0 x ，
y0 2 2
解得：x3，
3,0
C
即点 的坐标为 ；
则OC 3，
 n, 1 n 3  OT2 n2   1 n 3  2 CT2 n32   1 n 3  2
设点 T 的坐标为 2 2，则 2 2 ， 2 2 ，
在Rt CTO中，OC2 CT2OT2，

32 n32   1 n 3  2 n2   1 n 3  2
即 2 2 2 2 ，
3
解得：n 或 （不符合题意，舍去），
5 n3
 3 6
 , 
故点T 的坐标为 5 5；
又∵点T 是OR的中点，
 6 12
∴点 的坐标为 , ，
R  5 5 
 6 2 12 2 12 10
∴ AR 6     ；
 5  5  5
12 10
即OQAQ最小值为 5 ．
M y
G2,0
G BG BG
（3）解：作 关于 轴的对称点 ，以 为直角顶点， 为直角边在 右侧作等腰直角三角形
BGH，过H作HK x轴于K，如图：则�OBM � OBG，
A6,0 B0,6
∵ ， ，
∴VAOB是等腰直角三角形，
∴�OBG��ABG 45 ，
∵VBGH 是等腰直角三角形，
∴∠GBH ABGABH 45，BGGH ，
∴OBGABH ，
∴�OBM � ABH ，
∴N 在直线BH 上，
∵BGH 90，BOG90，
∴∠OGB∠BGO90，∠OGB∠HGK 90，
∴OGBGHK，
∵OGBGHK，�BOG��GKH 90 ，BGGH ，
BOG≌ GKHAAS
 
∴ ，
∴BO=GK =6，OG=HK =2，
8,2
∴点H的坐标为 ，
yk xb
设直线 BH 的解析式为 1 1，
 6b
1

将0,6，8,2代入yk xb ，得 28k b ，
1 1 1 1
 1
k 
解得： 1 2，
  b 6
11
∴直线 的解析式为y x6．
BH 2
1
∵点 在直线 上，故当 时，y m6，
N BH xm 2
 1 
m, m6
即点N 的坐标为 2 ，
1
∴2m6 m6，
2
24
解得m ．
5
【点睛】本题考查一次函数的图象和性质，待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，全
等三角形判定与性质，轴对称的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键．
ykx3k2 k k0 x y
47．（24-25八年级下·四川成都·期末）一次函数 （ 为常数，且 ）分别与 轴， 轴交
于A,B两点，点M 是一次函数图象上一动点，设点M 的横坐标为m(m0)．
(1)若点M 的纵坐标为2，求m的值；
ykx3k2 x D y E
(2)在（1）的条件下，如图1，将一次函数 的图象向下平移，交 轴于点 ，交 轴于点 ，
1 2
连接 交x轴于点 ，过 作 轴于点 ，当 时，问  是否为定值，若是，求
ME F M MN x N OD2ON FN AN
出该定值；若不是，请说明理由；
M MPx P BP BP B 90 BD
(3)如图2，过点 作 轴于点 ，连接 ，将线段 绕点 逆时针旋转 得到线段 ，连接
AD ，交y轴于点 H ，记 ABP 的面积为 S 1， BHD 的面积为 S 2，点 M 在运动过程中，当 H 是 AD 的中点
S S 15
且 1 2 时，求点 M 的坐标．【答案】(1)3
1
(2)是定值，为
3
M3,2
(3)
【分析】（1）根据题意可得km3k22，求出m即可；
6k2
（2）先求直线
DE
的解析式为
ykx6k
，则E0,6k，再求直线
ME
的解析式为y
3
x6k ，则
 9k  3 2 1 2 3k1 1
 ,0，分别求出FN  ,AN  ，可得   k  ；
F 3k1  3k1 k FN AN 3 3
B GQ∥x M MGGQ G D DQGQ Q
（3）过点 作 轴，过点 作 于 ，过点 作 于 ，可证明
△BPG△DBQAAS
，求出 D(3k2, 3k2m) ），再由H是 AD 的中点，求出 k 1 ，从而确定各点坐
标，最后由 S 1 S 2 15 ，求出 m 即可求 M 点坐标．
本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，平行线的
性质是解题的关键．
【详解】（1）∵点M 的纵坐标为2，
∴km3k22，
解得m3；
1 2
（2）  为定值，理由如下：
FN AN
MN x N,
∵ 轴于点
ON 3，
N3,0
∴ ，
∵OD2ON，
∴OD6，
D6,0
∴ ，
∵DE∥AB，DE ykxb
∴直线 的解析式为 ，
D6,0
b6k
代入 得 ，
DE ykx6k
∴ 为 ，
E0,6k
∴ ，
yk xb
设直线 ME 的解析式为 1 1，
M3,2,E0,6k
代入 得，
23k b
1 1

6k b ，
1
 6k2
k 
 1 3
解得
b 6k
，
1
6k2
∴直线 的解析式为y x6k ，
ME 3
6k2 9k
令y x6k 0，求得x ，
3 3k1
 9k 
∴F ,0，
3k1 
9k 3
∴FN  3 ，
3k1 3k1
3k2
一次函数 中，当 时， ，解得x ，
ykx3k2 y0 kx3k20 k
3k2 
A ,0
∴  k ，
3k2 2
∴AN 3  ，
k k
1 2 3k1 1
∴   k  ；
FN AN 3 3
B GQ∥x M MGGQ G D DQGQ Q
（3）过点 作 轴，过点 作 于 点，过点 作 于 点，∵PBD90，
GBPDBQ90
∴ ，
∵GBPGPB90，
DBQGPB
∴ ，
∵BDPB,QG90，
BPG≌ DBQAAS
 
∴ ，
∴GBDQm,GPBQ3k2，
D3k2,3k2m
∴ ，
3k2 
A ,0
∵H是AD的中点，  k ，
3k2
3k2
∴ k 0，
2
2
解得 或k  （舍），
k 1 3
 5m
A5,0,B0,5,D5,5m,Pm,0,H0,

∴  2 ，
1 1  5m
S S  m55 5 515
∴ 1 2 2 2  2  ，
解得m3，
M3,2
∴ ．
1
48．（24-25八年级下·湖北鄂州·期末）如图1，已知函数y  x3与x轴交于点C，与y轴交于点B，
2点C与点A关于y轴对称．
(1)求直线AB的函数解析式；
(2)设点M是x轴上的一个动点，过点M作y轴的平行线，交直线AB于点P，交直线BC于点Q．
4
①若△PQB的面积为
3
，求点M的坐标；
②连接BM ，如图2，若BMPBAC，求点P的坐标．
1
【答案】(1)y x3
2
(2)① M    2 3 6 ,0    或 M     2 3 6 ,0    ；②     3 2 , 9 4    或    3 2 , 1 4 5  
【分析】本题考查一次函数的综合应用．
1
（1）先由y 
2
x3求得
B(0,3)
，C6,0。由点
C
与点A关于y轴对称可得A6,0，再利用待定系数
法求出直线AB的函数解析式即可。
 1   1 
（2）①设
Mm,0
，则：
P

m,
2
m3
、
Q

m,
2
m3
，过点B作BDPQ于点D，利用
1 1 4
S  PQ·BD m2  ，进行求解即可；
PQB 2 2 3
②分点M在y轴的左侧和点M在y轴的右侧，两种情况进行讨论求解即可．
正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
1
【详解】（1）解：对于y  x3，
2
由x0得：y3，
1
由 得：0 x3，
y0 2解得x6，
B(0,3)
C6,0
∴ ， ，
∵点C与点A关于 y 轴对称，
A6,0
∴ ，
ykxb
AB
设直线 的函数解析式为 ，
b3

则6kb0，
 1
k 
 2
解得
b3
．
1
∴直线 的函数解析式为y x3；
AB 2
Mm,0
（2）解：①设 ，
 1   1 
Pm, m3 Qm, m3
则  2 、  2 ，
B BDPQ D
如图1，过点 作 于点 ，
 1  1 
PQ  m3 m3  m
∴  2  2  ，BD m ，
1 1 4
∴S  PQ·BD m2  ，
PQB 2 2 3
2 6
解得m ，
3
2 6   2 6 
M ,0 M ,0
∴  3 ，或  3 ；
   ②如图，当点M 在 y 轴的左侧时，∵点C与点A关于 y 轴对称,
∴ABBC，
∴BAC BCA,
∵BMPBAC，
∴BMPBCA,
∵BMPBMC90，
∴BMCBCA90,
MBC 180BMCBCA90
∴ ,
BM2BC2 MC2
∴ ,
 1 
设
Mx,0
，则
P

x,
2
x3
,
BM2 OM2OB2  x29 MC2 (6x)2 BC2 OC2OB2 6232 45
， ， ，
x2945(6x)2
，
3
解得x ．
2
 3 9
P , 
 2 4．y
当点M 在 轴的右侧时，如图3，
3 15
P , 
同理可得 2 4 ，
 3 9 3 15
 ,   , 
综上，点P的坐标为 2 4或2 4 ．
3
49．（24-25八年级下·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线AB:y x6与 轴、 轴分
4 x y
别交于点A、B，点C在x轴的正半轴上，若将△CAB沿直线BC折叠，点A恰好落在 y 轴正半轴上的点
D处．
(1)如图1，求点A、B两点的坐标；
(2)如图2，求直线CD的表达式；1
(3)点 是 轴上一动点，若S  S ，求点 的坐标；
M y MCD 2 ABC M
(4)连接AD，在第一象限内是否存在点P，使 PAB为等腰直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；
若不存在，请说明理由．
A(8,0) B(0,6)
【答案】(1) ，
4
(2)y x4
3
(0,9) (0,1)
(3) 或
2,8 1,1
(4)存在， 或 .
BO6 AO8
【分析】（1）先求出 ， ，即可得到点A，B的坐标；
（2）根据勾股定理求出AB10，根据折叠得出ABBD10，ACCD，则可求出DO4，即可求出点
8CO2 CO242
B的坐标，在Rt△CDO中，根据勾股定理得出 ，解方程求出点C的坐标，然后根据待
定系数法求解即可；
1 1
（3）计算S
△ABC

2
ACOB15，可得S
MCD

2
S
ABC
7.5，点
M
是y轴上一动点，设M0,y，可得
1
 y437.5，再进一步求解即可；
2
（3）分两种情况讨论：①PAB90，PA AB；②PBA90，PB AB；然后根据全等三角形的判
定与性质求解即可．
x0 y6
【详解】（1）解：当 时， ；
3
当 时，y x60，解得 ，
y0 4 x8
B0,6 A8,0
∴ ， ，
B0,6 A8,0
AOB90
（2）解：∵ ， ， ，
AB CO2DO2 10
∴ ，
∵折叠，∴BABD10，ACCD，
∴DOBDOB4，
D0,4
∴ ，
在Rt△CDO中，CD2 CO2DO2，
8CO2 CO242
∴ ，
解得CO3，
C3,0
∴ ，
CD ykxb
设直线 解析式为 ，
3kb0

∴b4
 4
k 
 3
∴
b4
，
4
∴y x4；
3
A8,0 B0,6 C3,0
（3）解：∵ ， ， ，
1 1
∴S  ACOB 83615，
ABC 2 2
1
∵S  S ，
MCD 2 ABC
1
∴S  S 7.5，
MCD 2 ABC
y
M0,y
M
∵点 是 轴上一动点，设 ，
1
∴  y437.5，
2
y9 y1
∴ 或 ；
M0,9 M0,1
∴ 或 ；（4）解：如图，过A作AP AB，使AP AB，则 ABP为等腰直角三角形，
∴AOBPHA90PAB，PABA，
∴PAH 90BAOABO，
∴ PAH≌  ABO，
∴AH BO6，HP AO8，
∴OH 862，
P2,8
∴ ，
取BP的中点P，连接AP，
∴APBP，△ABP为等腰直角三角形，
20 86
∴
P 
 2
,
2

，即
P1,1
，
2,8 1,1
综上：P的坐标为： 或 .
【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数的综合应用，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性
质，等腰直角三角形的定义等知识，明确题意，添加合适辅助线，利用数形结合和分类讨论的思想解决问
题是解题的关键．
1a,a3
50．（24-25八年级下·山东日照·期末）【问题呈现】在平面直角坐标系中，点P的坐标为 （a
为实数），当a变化时，探究点P的位置随a的变化规律．
【初步探究】
（1）某同学将a取了部分特殊值来确定点P的坐标以便观察其变化规律．列表如下：
a 1 0 1 2
点P的坐标 P2,2 P 1,3 P 0,4 P
1 2 3 4P P
4 4
请直接写出点 的坐标，并在已建立的平面直角坐标系中描出点 ；
【问题解决】
（2）小组的同学通过观察，实验，归纳，大致猜想出点P的位置随a的变化规律后，有以下两种验证猜想
的方法：
方法1：用待定系数法，选择其中的点P，P ，求出y关于x的解析式，再将点P ，P
1 2 3 4
的坐标代入验证．
方法2：设点P的坐标为
x,y
，令x1a，ya3，消掉字母a，求出y关于x的解
析式．
请分别用以上两种方法求出y关于x的解析式；
【拓展应用】
（3）如图2，点A是y轴正半轴上的一点，OA1，求 AOP周长的最小值；
x2 ymx1
（4）当 时，点P都在直线 的上方，请直接写出m的取值范围．
1
【答案】（1）P
4
1,5，描点见解析；（2）
yx4
；（3）6；（4）1m
2
．
【分析】本题考查了一次函数综合，轴对称的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题
的关键．
a2 1a1 a35 P
4
（1）当 时， ， ，即可得出 的坐标，再描点即可；
（2）利用待定系数法计算即可得解；
（3）由（2）可得，点P在直线 yx4 上，由题意可得
A0,1
，令直线 yx4 于 y 轴交于点 C ，则
当 x0 时， y4 ，即
C0,4
，则 AC 3 ，作点A关于直线 yx4 的对称点A，连接AP、 AC ， OA ，
则AC  AC 3，AP AP，APOP APOPOA，当O、P、A在同一直线上时，OPAP的值最A3,4
小，求出 ，再由勾股定理计算即可得解；
x2 y2 2m12 m1
（4）当 时， ，由题意可得 ， ，计算即可得解．
P 1,5
【详解】解：（1）当 a2 时， 1a1 ， a35 ，即 4 ，
描点如图所示：
；
y x ykxb
（2）设 与 的函数关系式为 ，
2kb2
将P
1
2,2 ，P
2
1,3 代入解析式可得  kb3 ，
k 1

解得：b4 ，
∴ y 与x的函数关系式为yx4，
x0 y4 x1 y5
当 时， ，当 时， ；
x,y
x1a ya3 xy4
设点P的坐标为 ，令 ， ，消掉字母a可得： ，
∴ y 与x的函数关系式为yx4；
yx4
P
（3）由（2）可得，点 在直线 上，
∵点A是y轴正半轴上的一点，OA1，
A0,1
∴ ，
yx4 y C x0 y4
C0,4
令直线 于 轴交于点 ，则当 时， ，即 ，，
∴AC 3，
作点A关于直线yx4的对称点A，连接AP、AC，OA，
则AC  AC 3，AP AP，
∴APOP APOPOA，
∴当O、P、A在同一直线上时，OPAP的值最小，
s t1
设
As,t
，则AA的中点坐标为

2
,
2

，且该点在直线上，
 s t1
 4

2 2

∴ ，
 s02t42 3

s3

解得：t 4，
A3,4
∴ ，
OA 302 402 5
∴ ，
∴ AOP的周长的最小值为156；
x2 y242
（4）当 时， ，
m1 yx1 x2 ymx1
如图：当 时， ，此时均满足当 时，点P都在直线 的上方，x2 ymx1
∵当 时，点P都在直线 的上方，
m1
2m12
∴ ， ，
1
解得：1m ．
2
七、培优综合练
A,B,C
B
51．（24-25八年级下·福建莆田·期末）在一条沿山而建的游览路线上依次有 三处观景台，小方从
处徒步前往C处，同时小圆从B处骑车前往A处，到达A处后休息1分钟，然后立即折返（折返时间忽略
不计）按原路原速前往C处，结果小圆比小方早2分钟到达C处，两人均匀速运动，如图是两人距B处路
程 y （米）与时间x（分钟）之间的函数图象．根据上述信息，下列说法错误的是（ ）
1
A．小方的速度为112 米/分钟
2
B．小圆的速度为300米/分钟
FG y300x900
C．线段 所在直线函数解析式为56 88
D．出发 分钟或 分钟后，两人之间路程相距200米
15 15
【答案】D
【分析】本题考查一次函数的应用、路程速度时间的关系等知识，利用速度路程时间，找准小方、
ykxb
FG
小圆的路程和时间，可求出小方、小圆的速度；得出点G的坐标，设直线 的解析式为： ，将
F，G的坐标代入，求解方程组即可得线段FG所在直线函数解析式；两人之间路程相距200米，根据题意
可知存在三种情况，然后分别计算即可．
D1,300 E2,300
【详解】解：根据题意可知 ， ，
∴小圆的速度为：3001300（米/分钟），
故选项B正确；
∴小圆从B地到C地用时：9003003（分钟），
G6,900
∴ ，
H8,900
∴ ，
1
∴小方的速度为9008112 （米/分钟），
2
故选项A正确；
ykxb
FG
设线段 所在直线函数解析式为 ，
F3,0 G6,900
ykxb
将 、 代入 ，
3kb0

得6kb900，
k 300

解得b900，
FG y300x900
∴线段 所在直线函数解析式为 ，
故选项C正确；
由题意可知，AB相距300米，BC相距900米，O0,0 H8,900
∵ ， ，
225
∴直线 的解析式为：y x，
OH 2
D1,300
∵ ，
OD y300x
∴直线 的解析式为： ，
当0x1时，小方从B处徒步前往C处，同时小圆从B处骑车前往A处，即小方、小圆朝相反方向走，
225
∴令 x300x200，
2
16
x
解得 ，
33
∵当2x3时，小方从B处徒步前往C处，小圆从A处往B处骑行，
225
∴
x300300x2200，
2
56
解得x （不合题意，舍去），
15
∵当x3时，小方从继续徒步前往C处，小圆从B处往C处骑行，
225 225 
x300300x2200 300x2 x300200
∴ 2 或  2  ，
56 88
解得x 或x ．
15 15
16 56 88
综上，出发 分钟或 分钟或 分钟后，两人之间的路程相距200米，
33 15 15
故选项D错误．
故选：D．
xOy OABC
5,0
52．（24-25八年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系 中，已知矩形 ，其中点A ， B
5,4 0,4
l:xt P OABC
，C ．给出如下定义：若点P关于直线 的对称点 在矩形 的内部或边上，则称点
P为矩形OABC关于直线l的“关联点”．
例如，图1中的点D，点E都是矩形OABC关于直线l:x=3的“关联点”．P4,1,P 3,3,P 2,0,P 6,2
(1)如图2， 在点 1 2 3 4 中， 是矩形 OABC 关于直线 l:x1 的“关联
点”的为 ；
Pa1,a1
OABC l:x1
(2)如图2，点 是矩形 关于直线 的“关联点”，求a的取值范围；
1 1
(3)如图3，若在直线y xb上存在点Q，使得点Q是矩形 关于直线 l:x 的“关联点”，请直
2 OABC 2
接写出b的取值范围 ．（不写过程）P,P
【答案】(1) 2 3
(2)3a5
1
(3) b7
2
【分析】本题考查新定义，坐标与轴对称，一次函数与几何的综合应用，熟练掌握新定义，利用数形结合
的思想进行求解是解题的关键：
（1）画出各点关于直线 l:x1的对称点进行判断即可；
（2）画出矩形OABC关于直线l:x1的对称图形OABC，根据新定义，得到点P在矩形OABC的边
上或内部，进而得到0a14，且7a12，进行求解即可；
1 1
（3）画出矩形 关于直线l:x 的对称图形，根据直线y xb上存在点Q，使得点Q是矩形
OABC 2 2
1 1
关于直线 l:x 的“关联点”，得到直线y xb与矩形 的对称图形有交点，求出临界值，
OABC 2 2 OABC
即可得出结果．
【详解】（1）解：由题意，如图：
P,P OABC
由图可知，只有点 2 3的对称点在矩形 的边上或内部，
P,P
故答案为： 2 3；
（2）如图，画出矩形OABC关于直线l:x1的对称图形OABC，Pa1,a1
OABC l:x1
∵点 是矩形 关于直线 的“关联点”，
Pa1,a1
OABC
则： 在矩形 的边上或内部，
∴7a12且0a14，
解得：3a5；
1
l:x
（3）如图，画出矩形OABC关于直线
2
的对称图形O
1
A
1
B
1
C
1
，
1 1
∵在直线y xb上存在点Q，使得点Q是矩形 关于直线 l:x 的“关联点”，
2 OABC 2
1
∴直线y xb与矩形OABC 必有交点，
2 1 1 1 1
1 1 1
∴当y xb过点O 1,0时， b0，解得：b ；
2 1 2 2
1 1
当y xb过点C 6,4时， 6b4，解得： ；
2 1 2 b7
1
∴ b7；
21
故答案为： b7．
2
Am,0 B0,n
53．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，有 ， 两点，若存在点C使得
A1,0 B0,1 C1,0
ABC90 ABBC C
，且 ，则称点 为m的“等垂点”．例如：在 ， ， 三点中，因
为ABC90，且ABBC，所以点C为1的“等垂点”．
A2,0 B0,2
C(2,4)
(1)①点 ， ，则 2的“等垂点”（填“是”或“不是”）．
A4,0 B0,3
②如图1，若点 ， ，则点C是4的“等垂点”，则点C的坐标为 ．
y3x5
(2)如图2，若一次函数 上存在5的“等垂点”，求5的“等垂点”C的坐标．
ykxbk 0
ykxb(k 0)
(3)若在直线 上存在无数个5的“等垂点”，且直线 与x轴交于点E，与y
轴交于点F，点M在线段EF上，点P在 EOF 内，EP4，OP3，连接MP，设EM a，直接写出

EPM 面积S关于a的表达式．
3,7 3,1
【答案】(1)①是；② 或
5,10 0,5
(2) 或
2
S  a
(3) △EPM 5
【分析】本题主要考查一线三等角构造全等、面积桥、直角三角形斜边上的高、勾股定理及其逆定理等；
解题过程中重点运用数形结合思想以及分类讨论思想，综合考查学生画图和全面思考问题的能力和解决问
题的能力．
（1）①根据等垂点的定义，进行判断即可；②分两种情况：C分点在B点上方和下方，分别画出图形求解
即可；（2）分两种情况：当n0时，当n0时，分别画出图形，进行求解即可；
（3）特殊点法求一次函数解析式，根据等积法求 EPO的高，根据
1 1 1 2 2
S S S S  EO·PQ EF·PN FO·PH ，求出PN  ，根据三角形面积公式写出
EFO EPO EFP PFO 2 2 2 5
表达式即可．
A2,0, B0,2,C2,4
【详解】（1）解：①∵点 ，
OA2，OB2，AC 4，AB OA2OB2 2 2
∴ ，
∵ABC90，
BC AC2AB2 2 2
∴ ，
∴ABBC，
C2,4
则 是2的“等垂点”，
故答案为：是．
②当点C在点B上方时，过点C分别作x轴， y 轴的垂线，垂足分别为点F 和点E，
A4,0 B0,3
C
∵点 ， ，且点 是4的“等垂点”，
∴ABC90，OA4，OB3，ABBC，
∴BEC AOBABC 90，
∴CBEBCECBEABO90，
∴BCE ABO，
∵ABBC，
∴ ABO≌  BCE ，
∴BE OA4，CE BO3，
∴CF OE OBBE 347，C3,7
∴ ．
x CF EF CH  y
当点C在点B下方时，过点B作 轴的平行线，过点C作 于点F， 轴于点H，过点A作
AEEF于点E，如图所示：
A4,0 B0,3
C
∵点 ， ，且点 是4的“等垂点”，
∴ABC90，OA4，OB3，ABBC，
同理得：△ABE≌ △BCF ，
∴BE CF OA4，BF  AE BO3，
∴BH CF 4，CH BF 3，
∴OH BH OB431，
C3,1
∴ ．
3,7 3,1
故答案为： 或 ．
A5,0，B0,n，
（2）解：设
n0 C CE y E
当 时，如图，过 作 轴于点 ，
CE y
∵ 轴，
∴CEBAOB90，∵CBA90，
∴CBE90ABOBAO，
∵ABBC，
∴ CBE≌  BAO，
A5,0,B0,n
∵ ，
∴CE OBn,BE  AO5，
Cn,n5 n,n5
即 或 ，
∵点C在y3x5上，
∴n53n5或n53n5，
解得n5或n0(舍)，
C5,10
∴ ．
n0 C CM  y M
当 时，如图，过 作 轴于点 ，
Cn,n5 n,5n
同理可得 或 ，
∵点C在y3x5上，
∴n53n5或5n3n5，
解得n5(舍)或n0，
C0,5
∴ ．
5,10 0,5
综上所述： 或 ．
ykxb(k 0)
（3）解：∵直线 上存在无数个5的“等垂点”，E5,0 F0,5
∴直线与x轴交于点 ，与y轴交于点 ，
5kb0

∴b5 ，
k 1

解得：b5，
yx5
∴直线解析式为 ，
P PQx PH  y PN EF EF
如图，过点 分别作 轴于点Q， 轴于点H， 交 于点N，
∵EP4，OP3，OE 5，
EP2OP2 OE2
∴ ，
∴ EPO为直角三角形，
EP·OP 12 9
∴PQ  ,OQ OP2PQ2  ，
OE 5 5
9
∴PH OQ ，
5
1 1 1
∴S S S S  EO·PQ EF·PN FO·PH ，
EFO EPO EFP PFO 2 2 2
1 1 1 1
即 55 5PQ EF·PN 5PH ，
2 2 2 2
2 2
解得：PN  ，
5
1 1 2 2 2
∴S  EM·PN  a  a．
EPM 2 2 5 5
l :yxn l :y2xn
m
54．（24-25八年级下·福建莆田·期末）已知直线 1 1经过线段 的一个端点，直线 2 2m l l M M m M m
经过线段 的另一个端点．若直线 1与 2交于点 ，且点 不在线段 上，则称点 为线段 的“相伴
点”．
0,2 0,4 M 2,0,M 2,2,M 2,2
(1)线段 m 的两个端点分别为 和 ，则在点 1 2 3 中，选择一个是线段 m
的“相伴点”，并说明理由；
2
(2)Ac,a,Bc3,b是直线y x上的两个动点．
3
①点N 是线段AB的“相伴点”，且点N 的纵坐标为6，求点N 的横坐标；
CDEF
Cs,s,Ds,s,E3s,s,F3s,s
s0 A,B
②正方形 的四个顶点的坐标分别为 ，其中 ．当点 在直
线上运动时，生成线段AB的“相伴点”．若所有线段AB的“相伴点”中，有且只有1个点在正方形
CDEF 上，求s的值．
M 2,0，M 2,2
【答案】(1) 1 3 是线段 m 的“相伴点”，理由见解析
23 31 8 8
(2)① 或 ；② 或 ．
3 3 27 3
l :yxn 0,2 l :y2xn 0,4
【分析】（1）分两种情况：当直线 1 1经过点 ，直线 2 2经过点 时，当直
l :yxn 0,4 l :y2xn 0,2
线 1 1经过点 ，直线 2 2经过点 时，利用待定系数法分别求出对应情形下两
函数的解析式，进而求出两直线的交点坐标即可得到结论；
 2   2   2 
Ac, c Bc3, c2 Ac, c
（2）根据题意可求出  3 ，  3 ，再分两种情况：当直线 l :yxn 经过点  3 ，
1 1
 2   2 
Bc3, c2 Bc3, c2
直线 l :y2xn 经过点  3 时， 当直线 l :yxn 经过点  3 ，直线
2 2 1 1
 2 
Ac, c
l :y2xn  3 
2 2 2 
经过点Ac, c时，利用待定系数法分别求出对应情形下两函数的解析式，再分别求出对
l :y2xn  3 
2 2
应情形下两函数的函数值为6时的自变量的值，令两个自变量的值相等建立方程求出c的值即可得到答案；
 2   2 
Ac, c Bc3, c2
②由①可得当直线 l :yxn 经过点  3 ，直线 l :y2xn 经过点  3 时， 直线
1 1 2 2
1 8
l :yxn 的解析式为y x c，直线l :y2xn 的解析式为y2x c8，则可求出线段 的
1 1 3 2 2 3 AB
 8 2 8 2x 8
“相伴点”的坐标为c , c ，故线段 的“相伴点”在直线y  上运动，则正方形
 3 3 3 AB 3 9 CDEF
2x 8  2 
y  Bc3, c2
与直线 3 9 有且只有一个交点；当直线 l 1 :yxn 1 经过点  3 ，直线 l 2 :y2xn 2 经过
 2  1 8
点Ac, c时，则直线 的解析式为y x c1，直线 的解析式为y2x c，
 3  l 1 :yxn 1 3 l 2 :y2xn 2 3
2x 8 2x 8
同理线段 的“相伴点”在直线y  上运动，则正方形 与直线y  有且只有一个交点，
AB 3 9 CDEF 3 9
据此可得答案．
M 2,2
【详解】（1）解： 3 是线段 m 的“相伴点”，理由如下：
l :yxn 0,2 l :y2xn 0,4 n 2，n 4
当直线 1 1经过点 ，直线 2 2经过点 时，则 1 2 ，
l :yxn yx2 l :y2xn y2x4
∴直线 1 1的解析式为 ，直线 2 2的解析式为 ，
yx2 x2
 
联立y2x4，解得y0，
l :yx2 l :y2x4
2,0
∴此时直线 1 与直线 2 的交点坐标为 ，
0,2 0,4
m
∵线段 的两个端点分别为 和 ，
l :yx2 l :y2x4
∴此时直线 1 与直线 2 的交点不在线段m上，符合题意；l :yxn 0,4 l :y2xn 0,2
同理可得当直线 1 1经过点 ，直线 2 2经过点 时，
l :yxn l :y2xn 2,2
直线 1 1与直线 2 2的交点坐标为 ，
2,2
∵ 不在线段m上，
M 2,0，M 2,2
∴ 1 3 是线段 m 的“相伴点”；
2
（2）解：①∵Ac,a,Bc3,b是直线y x上的两个动点，
3
2 2 2
∴a c，b c3 c2，
3 3 3
 2   2 
Ac, c Bc3, c2
∴  3 ，  3 ，
 2   2  2
Ac, c Bc3, c2 cn  c
当直线 l 1 :yxn 1 经过点  3 ，直线 l 2 :y2xn 2 经过点  3 时，则 1 3 ，
2
2c3n  c2，
2 3
1 8
∴n  c，n  c8，
1 3 2 3
1 8
∴直线l :yxn 的解析式为y x c，直线l :y2xn 的解析式为y2x c8，
1 1 3 2 2 3
1 1 1
在y x c中，当y x c6时，x6 c，
3 3 3
8 8 4
在y2x c8中，当y2x c86时，x1 c，
3 3 3
∵点N 是线段AB的“相伴点”，且点N 的纵坐标为6，
1 4
∴6 c1 c，
3 3
解得c5，
1 23
∴6 c ，
3 3
23
∴点N的横坐标为 ；
3 2   2  2
Bc3, c2 Ac, c c3n  c2
当直线 l 1 :yxn 1 经过点  3 ，直线 l 2 :y2xn 2 经过点  3 时，则 1 3 ，
2
2cn  c，
2 3
1 8
∴n  c1，n  c，
1 3 2 3
1 8
∴直线l :yxn 的解析式为y x c1，直线l :y2xn 的解析式为y2x c，
1 1 3 2 2 3
1 1 1
在y x c1中，当y x c16时，x7 c，
3 3 3
8 8 4
在y2x c中，当y2x c6时，x c3，
3 3 3
∵点N 是线段AB的“相伴点”，且点N 的纵坐标为6，
1 4
∴7 c c3，
3 3
解得c10，
1 31
∴7 c ，
3 3
31
∴点N的横坐标为 ；
3
23 31
综上所述，点N的横坐标为 或 ；
3 3
 2   2 
Ac, c Bc3, c2
②由①可得当直线 l :yxn 经过点  3 ，直线 l :y2xn 经过点  3 时， 直线
1 1 2 2
1 8
l :yxn
的解析式为y x c，直线l
:y2xn
的解析式为y2x c8，
1 1 3 2 2 3
 1  8
yx c xc
 
 3  3
联立 ，解得 ，
8 2 8
y2x c8 y c
 3  3 3
 8 2 8
∴线段 的“相伴点”的坐标为c , c ，
AB  3 3 3
2x 8
∴线段 的“相伴点”在直线y  上运动，
AB 3 9
∵所有线段AB的“相伴点”中，有且只有1个点在正方形CDEF 上，2x 8
∴正方形 与直线y  有且只有一个交点，
CDEF 3 9
2x 8
如图所示，当直线y  恰好经过点C时符合题意，
3 9
2s 8
∴s  ，
3 9
8
解得s ；
3
 2   2 
Bc3, c2 Ac, c
当直线 l :yxn 经过点  3 ，直线 l :y2xn 经过点  3 时，则直线 l :yxn 的
1 1 2 2 1 1
1 8
解析式为y x c1，直线l
:y2xn
的解析式为y2x c，
3 2 2 3
 1  1
yx c1 xc
 
 3  3
联立 ，解得 ，
8 2 2
y2x c y c
 3  3 3
 1 2 2
c , c 
∴线段AB的“相伴点”的坐标为 3 3 3，
2x 8
∴线段 的“相伴点”在直线y  上运动，
AB 3 9
∵所有线段AB的“相伴点”中，有且只有1个点在正方形CDEF 上，
2x 8
∴正方形 与直线y  有且只有一个交点，
CDEF 3 9
2x 8
如图所示，当直线y  恰好经过点E时符合题意，
3 9
2 8
∴s 3s ，
3 98
解得s ；
27
8 8
综上所述， 的值为 或 ．
s 27 3
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，正确理解“相伴点”的定义和利用分类讨论的思想求解是
解题的关键．
55．（2025·天津南开·三模）某县在实施“村村通”工程中，决定在A，B两村之间修筑一条公路，甲、
乙两个工程队分别从A，B两村同时相向开始修筑，施工期间，乙队因另有任务提前离开，余下的任务由
y
甲队单独完成，直到道路修通．下图是甲、乙两个工程队各自修筑道路的长度 （单位：m）与修筑时间
x
（单位：天）之间的函数图象．
请根据相关信息，回答下列问题．
(1)填表：
甲工程队修筑道路的时间x（单位：
2 4 8
天）
y
甲工程队修筑道路的长度 （单位：m 36
） 0
(2)填空：①乙工程队提前离开了______（天）；
②乙工程队修筑道路的速度为______（m/天）；
③乙工程队一共修筑道路的长度为______（m）；
④该公路的总长度为______（m）；
(3)当0 x16时，请直接写出甲工程队修筑道路的长度 y 关于时间x的函数解析式；0x12
80m x
(4)甲、乙工程队都施工期间 ，他们修筑道路的长度相差 时，修筑道路的时间 的值为多少？
（直接写出结果）
【答案】(1)180，560；
(2)①4；②70；③840；④1800；
0x4 y90x 4 x16 y50x160
(3)当 时， ；当 时， ；
(4)4，12
【分析】考查一次函数的应用及从函数图象获取信息；数形结合得到所在函数解析式上的点及相关函数解
析式是解决本题的突破点．
360
（1）由函数图象可以得出，甲前4天共修筑360米，可得前4天每天修筑 90（米），再求解并填表
40
即可；
（2）根据函数图象进行求解即可；
（3）当0x4时及当4 x16时，分别用待定系数法求得函数解析式；
（4）根据题意对临界点的值分别进行计算，再进行判断即可．
【详解】（1）解：由函数图象可以得出，甲前4天共修筑360米，
360
前4天每天修筑 90（米），
 40
 x2 y290180
当 时， ，
由函数图象可以得出，甲前8天共修筑560米，
当x8时，y560，
填表如下：
甲工程队修筑道路的时间x（单位：
2 4 8
天）
y
甲工程队修筑道路的长度 （单位：m 36
180 560
） 0
故答案为：180，560；
（2）解：①由函数图象可以得出，乙工程队提前离开了16124（天），
故答案为：4；
560
②由函数图象可以得出，乙工程队修筑道路的速度为 70（m/天），
8
故答案为：70；1270840m
③由函数图象可以得出，乙工程队一共修筑道路的长度为 ，
故答案为：840；
④由③得出，乙工程队一共修筑道路的长度为840m，
560360
由函数图象可以得出，甲第4天到第16天每天筑道路的长度为
50m
，
84
36050164=960m

甲工程队一共修筑道路的长度为 ，
9608401800m

该公路的总长度为 ，
故答案为：1800；
0x4 ykx
4,360
3604k k 90
（3）解：设当 时， ，将 代入得 ，解得 ，
 0x4 y x y90x
当 时，甲工程队修筑道路的长度 关于时间 的函数解析式为 ，
4 x16 ymxn
4,360 8,560
设当 时， ，将 ， 代入得
4mn360

8mn560，
m50

解得n160，
当4 x16时，甲工程队修筑道路的长度 y 关于时间x的函数解析式为y50x160；
36047080m
（4）解：当x4时，甲、乙工程队修筑道路的长度相差 ，
1270501216080m
x12
当 时，甲、乙工程队修筑道路的长度相差 ，
x
的值为4或12．
56．（24-25八年级下·北京·期中）我校八年级学生在数学的综合与实践活动中，研究了一元一次不等式、
y x12
一元一次方程和一次函数的关系这一课题．在研究过程中，他们将函数 确定为研究对象，通
过作图，观察图象，归纳性质等探究过程，进一步理解了一元一次不等式与函数的关系．请你根据以下探
究过程，回答问题．
y x12
(1)作出函数 的图象．①列表：
x … 4 3 2 1 0 1 2 …
y … 1 0 m 2 1 0 1 …
其中，表格中m的值为______；
②描点：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点；
③连线：画出该函数的图象．
y x12
(2)观察函数 的图象，探索函数性质：
y x12
x
①当 ______时，函数 有最大值，最大值为______；
②写出该函数的其它性质(写一条即可)______；
(3)结合该函数图象，利用该函数的性质，解决问题：
M2m1,y  Nm3,y  y x12 y  y
若点 1 与 2 都在函数 的图象上，总有 1 2，则m的取值范围为______．
【答案】(1)①m1②作图见解析③作图见解析
(2)①1；2②函数图象关于直线x1对称(答案合理即可)
2
(3) 或m
m2 3
【分析】本题考查了描点法作图、函数的性质、利用函数的增减性求参数的取值范围等，数形结合是解题
的关键．
（1）根据表格，得出当x2时， ym ，再代入解析式求值；②在图中描出对应的点，③在图中画出函
1,2
数图象，注意点 为转折点；
（2）①找到图中最高点，可得结果；②可从函数对称性，增减性方面描述；
（3）先将点
Nm3,y
2

关于直线 x1 对称，得对称点
N1m,y
2

，再根据点
Nm3,y
2

与直线 x1的位置关系分类讨论，
y  y m
由 1 2，结合函数增减性，列不等式求解，最后综合得出 的取值范围．
【详解】（1）由表可知，当x2时， ym ，代入解析式，
m212121
可得 ，
描点，连线如下图所示：
y x12
x1
（2）①由图知，当 时，函数 有最大值，最大值为2；
②由图知，函数图象关于直线x1对称；
（3）由图知，当x1时， y 随x的增大而增大；当x1时， y 随x的增大而减小；
又函数图象关于直线x1对称，
 点
Nm3,y
2

关于直线 x1 的对称点
N1m,y
2

也在函数图象上，
当点
Nm3,y
2

在直线 x1 左侧时，点
N1m,y
2

在直线 x1 右侧，
m31，m2，
2
由y 1  y 2 得， 2m1m3 或 2m11m ，解得 m2 或m 3 ，
2
或 m2；
m2 3
当点
Nm3,y
2

在直线 x1 右侧时，点
N1m,y
2

在直线 x1 左侧，
m31，m2，
2
m
由y
1
 y
2
得，
2m1m3
或2m11m，解得m2或
3
，
m2；当点 Nm3,y 2  在直线 x1 上时， m31 ， m2 ， y 2 2 ，
2m13 y 3122 y  y
， 1 ，有 1 2，符合题意；
2
综上可知，当 m2 或m 3 时，总有y  y .
1 2
Px,y 、Qx ,y 
57．（24-25八年级上·广东深圳·期末）定义：平面直角坐标系中，对于 1 1 2 2 两点，称
x x  y y PQ md(P,Q)
1 2 1 2 为 两点的“曼哈顿距离”，记为 ．
【探究应用】
A(2,1),B(3,3)
平面直角坐标系中， ．
AC∥x BC∥y md(A,B) ACBC 
（1）如图1， 轴， 轴， ______．
yx3 x M y N MN
（2）如图2，一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，在线段 上任取一点
P,md(P,B)
是否为定值？如果是，请求出定值，如果不是，请说明理由．
md(Q,B)3 Q
（3）使 的所有点 围成的图形面积为______．
1
（4）若点
Q
是函数y
2
x的图象上一动点，则使md(Q,B)3的所有点
Q
构成的线段长度为______．
【拓展延伸】
Px,y ,Qx ,y  Δ(P,Q) x x  y y
对于平面直角坐标系中的 1 1 2 2 两点，定义 1 2 1 2 ．如图3的网格坐标系中，
P(4,3) (P,Q)1 Q
给定点 ，请类比“曼哈顿距离”的探究，在网格范围内画出使 的所有点 构成的图形，
|x4||2x9|
并直接写出 的最大值．1
【答案】探究应用：（1）3，（2）是定值，3，（3）18，（4）2 5，拓展延伸：图见解析，最大值为2
【分析】探究应用：（1）根据定义代入数据计算即可；
M,N
Pp,p30 p3
（2）先求出点 的坐标，设点 ，再根据定义得到
mdP,B p3  p33 3 p p3
，即可解答；
yx30x3
md(Q,B)3
（3）由（2）知点Q在一次函数 的图象上时， ，根据对称的性质可得所有
Q 3 2
点 围成的图形为边长为 的正方形，即可解答；
 1  1
Qm, m mdQ,B m3  m3 3
（4）设  2 ，根据定义得 2 ，解不等式，求出临界点，再利用勾股定理
即可解答；
4x  3y 1 x 5 x 3
拓展延伸：由题意得 2 2 ，先求出 2 或 2 ，再分别取特殊点，即可解答；分情况求出
|x4||2x9|
的关系式，利用一次函数的性质解答即可．
【详解】探究应用：
mdA,B ACBC  23 13 123
解：（1）根据题意： ；
yx3 x M y N
（2）∵一次函数 的图象与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，
x0 y3 y0 x3
令 ，则 ，令 ，则 ，
M3,0,N0,3
∴ ，Pp,p30 p3
设点 ，
mdP,B p3  p33 3 p p3
则 ，
mdP,B mdP,B3
∴ 是定值，且 ；
yx30x3
md(Q,B)3
（3）如图，由（2）知点Q在一次函数 的图象上时， ，
Q 3232 3 2
由对称的性质可得所有点 围成的图形为边长为 的正方形，
Q 3 23 2 18
则所有点 围成的图形面积为 ；
 1  1
Qm, m mdQ,B m3  m3 3
（4）设  2 ，根据定义得 2 ，
1 3
当 时，则m3 m33，即 m9，解得： （舍去）；
m6 2 2 m6
1 1
当 时，则m33 m3，即 m3，解得： ，
3m6 2 2 m6
∴3m6；
1 3
当 时，则3m3 m3，即 m3，解得： ，
m3 2 2 m2
∴2m3；
2m6 md(Q,B)3
综上， 时， ，
此时，所有点Q构成的线段为点
2,1
到点
6,3
的线段长，长度为
622 312 2 5
；
拓展延伸：4x  3y 1
由题意得 2 2 ，
3y 0
∵ 2 ，
4x 1
∴ 2 ，
4x 1 4x 1
∴ 2 或 2 ，
x 5 x 3
∴ 2 或 2 ，
x 5 y 3 x 6 y 4
当 2 时， 2 ；当 2 时， 2 ；
x 3 y 3 x 2 y 2
当 2 时， 2 ；当 2 时， 2 ；
(P,Q)1 Q
则在网格范围内使 的所有点 构成的图形如图所示，
9
当x 时，则x42x9x5，
2
9 9 1
此时，x 时， 有最大值，最大值为 5 ；
2 |x4||2x9| 2 2
9
当4x 时，则x492x3x13，
2
9 9 1
此时，x
2
时，|x4||2x9|有最大值，最大值为3
2
13
2
；
4x92xx5
x4
当 时，则 ，
x4 |x4||2x9| 451
此时， 时， 有最大值，最大值为 ；1
综上， 的最大值为 ．
|x4||2x9| 2
【点睛】本题考查了一次函数综合，理解曼哈顿距离的计算方法，掌握一次函数图形的性质，勾股定理，
熟练掌握数形结合的思想是解题的关键．
p
58．（23-24八年级下·福建厦门·期末）小南同学在跨学科项目式学习活动中得知，心率 （单位：次/分
钟）与运动类型、性别、运动时间等因素有关．为了解跑步时的心率变化情况，他在班级展开实践活动．
跑步之前，测量了班级40名同学的心率，并绘制出如图所示的频数分布直方图，并通过查阅资料得知，跑
步时心率与速度之间大致符合一次函数关系．在实验过程中，通过同学们佩戴的电子手环测得不同跑步速
度v（单位：km/h）所对应的心率，当速度为8km/h时，通过计算得到这40名同学心率的平均值为162
次/分钟．小南查看数据时发现，从起跑至最大速度时，自己的心率随着时间t（单位：秒）的变化呈现均
匀增大的规律，部分数据如表所示．
t（单位：秒） 0 5 10 15 20
p 8 10
（单位：次/分钟） 90 110 120
0 0
(1)根据上表数据，请求出小南起跑至最大速度时心率 p （单位：次/每分钟）与跑步时间t（单位：秒）之
间的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
(2)已知小南在起跑45秒后速度达到最大，
①请估计小南跑步的最大速度；
②达到最大速度之后，小南坚持以此最大速度跑了一段时间，又经过1分钟将速度降至最大速度的四分之
一时停下运动．休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态．若此次实践活动中，小南的心率在
100次/分钟以上的时间不低于15分钟，则他以最大速度跑步的时间至少是多少分钟？
p=2t+80
【答案】(1)
131
min
(2)①小南跑步的最大速度为8.8千米/小时②他以最大速度跑步的时间至少是
12
【分析】本题考查的是一次函数的应用及加权平均数的计算，
（1）用待定系数法直接计算求出即可；p=10v+82 p=170
（2）①用待定系数法求出 ，再将 代入计算得出结论；②先求从起跑到速度达到最大这
7
段时间内，心率保持在100次/分钟以上的时长为：t =
12
min，得出停下时，p100，再用待定系数法求
5
出休息时段心率p与休息时间t的一次函数关系式，进而得出t ，设最大速度跑步的时间为 ，列
2 amin
不等式计算解决即可．
【详解】（1）解：由表格知，起跑至最大速度时心率 p （单位：次/每分钟）与跑步时间t（单位：秒）之
间为一次函数关系，
p t
设小南起跑至最大速度时心率 （单位：次/每分钟）与跑步时间 （单位：秒）之间的函数关系式为
pktb
1 1，
t =0,p=80 t =10,p=100
把 ， 分别代入，
80b
1

10010k b ，
1 1
b 80
1

解得：k 2 ，
1
p t
则小南起跑至最大速度时心率 （单位：次/每分钟）与跑步时间 （单位：秒）之间的函数关系式为
p=2t+80
，
6�65�10�75�14 85 10 95
（2）①由题意得：p = =82，
跑前 40
p=k v+b
设 2 2，
v=0,p=82 v=8,p=162
把 ， 分别代入，
82b
2

1628k b ，
2 2
b 82
2

解得： k 10，
2\ p=10v+82
，
t =45,p=2t+80 p=170
当 时， ，
p=170,p=10v+80 170=10v+82
当 时， ，
解得：v=8.8，
答：小南跑步的最大速度为8.8千米/小时；
p>100,p=2t+80 2t+80>100
②当 时， ，
\ t>10(s)
，
又 t�45，

从起跑到速度达到最大这段时间内，小南的心率保持在100次/分钟以上的时长为：
7
t =45-10=35s= min，
12
1
当v=8.8� 2.2，
4
v2.2 p=10v+82 p=104>100
将 代入 得 ，
p100
即停下时， ，
由休息15分钟后，小南的心率匀速降低至跑步前的状态可知，休息时段心率p与休息时间t是一次函数关
pk tb
系，设休息时段 3 3，
(0,104)，(15,80)
把 代入，
104b
3

8015k b ，
3 3
b 104
 3
 8
解得：

k
3

5
，
8
\ p=- t+104，
58 8
当p>100,p=- t+104时，- t+104>100，
5 5
5
\ t< ，
2
由于休息时心率匀速降低，
5
因此在休息这段时间小南的心率保持在100次/分钟以上的时长为 min，
2
设最大速度跑步的时间为amin，
7 5
则p100的时段：t =
12
+a+1+
2
�15，
131
\ a� min，
12
131
min
则他以最大速度跑步的时间至少是 ．
12
Pm,n Qx,y
59．（24-25八年级下·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，对于点 和点 若满足
x2m1

 y2n ，则称点 P 为点Q的友谊点．例如点
2,1
的友谊点为
5,2
．
P2,2 7,2
(1)点 的友谊点坐标是_____；若点P的友谊点为 ，则点P的坐标是_____．
Pa,5
y2x3 a
(2)若点 的友谊点在直线 上，则 的值为_____．
(3)点 P 在直线 y2x1 上，其横坐标为 x 0，点 Q 为点 P 的友谊点．若点 Q 到 y 轴的距离等于它到 x 轴的距x
离的2倍，求 0的值．
ABCD A(0,5)
B3,5,C3,2,D0,2 Pm,n
yx1 Q
(4)正方形 各顶点的坐标分别为 ， ．点 在直线 上，点
P PQ PQ ABCD m
为点 的友谊点，连接 ，当线段 与正方形 的边有且只有一个公共点时，直接写出 的取值范
围．
3,4 3,1
【答案】(1) ，
11
(2)
4
5 3
(3) 或
6 10
(4)0m3
【分析】本题是一次函数的综合问题，解题的关键是掌握“友谊点”的定义，并熟练加以运用，及一次函
数图象上点的坐标和分类讨论思想的运用．
（1）根据“友谊点”的定义进行求解即可；
Pa,5 2a1,25 2a1,10 2a1,10
y2x3
（2）若点 的友谊点为 ，即 ，由点 在直线 上，可得
22a1310
，解之可得；
（3）先根据点Q为点P的友谊点．求得 Q2x 0 1,4x 0 2 ，再由点 Q 到 y 轴的距离等于它到 x 轴的距离的
2x 1 2 4x 2
2倍，列出方程 0 0 ，求解即可；
Q2m1,2m2
y2x1
（4）先根据题意画出图形，再求得 也在直线 上，然后根据题意分类讨论求解即
可．
P2,2 221,22 3,4
【详解】（1）解∶根据题意可得：点 的友谊点坐标是 ，即 ；
2m17 m3
若点P的友谊点为
7,2
，则

2n2 ，解得

n1，
3,1
点P的坐标是 ，3,4 3,1
故答案为： ， ；
Pa,5 2a1,25 2a1,10
（2）解∶若点 的友谊点为 ，即 ，
2a1,10
y2x3
点 在直线 上，
22a1310
，
11
解得：a
4
11
所以 的值为 ，
a 4
11
故答案为： ；
4
y2x1 x
（3）解∶ 点P在直线 上，其横坐标为 0，
Px ,2x 1
0 0 ，
点Q为点P的友谊点．
Q2x 1,4x 2
0 0 ，
Q y x

点 到 轴的距离等于它到 轴的距离的2倍，
2x 1 2 4x 2
0 0 ，
5 3
解得：x  或 ；
0 6 10
（4）解∶ 如图，y2 yx1 x12 x1
将 代入 中，得 ，解得
F1,2
则 ，
将x3代入yx1中，得y314，
E3,4
则 ，
Pm,n
 yx1
在直线 上，
Pm,m1
，
点Q为点P的友谊点，
Q2m1,2m2
，
x2m1,y2m11 yx1
令 ，得 ，
Q2m1,2m2
yx1
也在直线 上，
PQ ABCD
当线段 与正方形 的边有且只有一个公共点时，分两种情况讨论：
当点P在点F在下方（含点F），点Q在线段EF上时，符合题意，
m1

12m13，解得0m1，
当点P在线段EF上，点Q在点E右上方（含点E）时，符合题意，
1m3

2m13，解得1m3，
综上m的取值范围是0m3．