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专题 6.2 等差数列及其前 n 项和
【新高考专用】
题型一 等差数列的基本量运算
1．（2024·湖北武汉·模拟预测）设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 的公
{a } n S S −S =35,a +a =7 {a }
n n 10 3 3 10 n
差为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·广东汕头·三模）已知等差数列 的前 项和为 ， ， ，若 ，
{a } n S a =3 a =2a +1 S +a =100
n n 2 2n n n n+1
则n=（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3
3．（2024·广西·模拟预测）在单调递增的等差数列{a }中，若a =1，a a = ，则a = .
n 3 2 4 4 1
4．（2024·陕西安康·模拟预测）设等差数列 的前 项和为 ，则 .
{a } n S ,a =−8,2S =3S +6 a =
n n 4 3 2 1
题型二 等差数列的性质及应用
5．（2024·广东广州·模拟预测）在等差数列 中，若 ，则 （ ）
{a } a +a +a +a =28 a =
n 2 5 19 22 12
A．45 B．6 C．7 D．8
6．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知 为等差数列， ，则
{a } a +a +a =21,a +a +a =36 a =
n 1 3 5 2 4 6 6
（ ）
A．32 B．27 C．22 D．17
7．（2024·陕西·模拟预测）已知等差数列 中， ，则 .
{a } a +2a =3 a =
n 3 6 5
8．（2024·湖北·一模）已知数列 是等差数列，且其前 项和为 .若 ，则 .
{a } n S S =9,S =36 a =
n n 3 6 1题型三 等差数列的判定与证明
a +a
9．（2024·辽宁·一模）已知数列{a }满足 n n+1=n+1，则“数列{a }是等差数列”的充要条件可以是
n 2 n
（ ）
5
A．a =1 B．a = C．a =2 D．a =3
2 2 2 2 2
10．（24-25高三上·天津滨海新·阶段练习）已知数列 是无穷数列，则 “ ，
{a } ∀n∈N* 2a =a +a
n n+1 n n+2
”是“数列 为等差数列”的（ ）
{a }
n
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．（2024·陕西·模拟预测）已知数列 为各项均为正数的数列，数列 满足 ，且
{a } {b } b =a ⋅a ⋅a ⋯a
n n n 1 2 3 n
a +b =a ⋅b ．
n n n n
(1)求证：数列 是等差数列；
{b }
n
(2)设 a ，求数列 的前 项和 ．
c = n {c } n S
n (n+1) 2 n n
3 1
12．（2024·四川·模拟预测）已知数列{a }满足a = ，a + =2．
n 1 2 n+1 a
n
(1)证明数列{ 1 }是等差数列，并求 的通项公式；
{a }
a −1 n
n
(2)若数列 满足， ，求 的前n项和 ．
{b } b =(a −1)(a −1) {b } S
n n n n+1 n n题型四 等差数列通项公式的求解
13．（23-24高二下·辽宁·期中）已知数列a =2n−1, b =3n−2，则由这两个数列公共项从小到大排列
n n
得到的数列为 ，则数列 的通项公式为（ ）
{c } {c }
n n
A．c =3n−2 B．c =4n−1
n n
C．c =5n−3 D．c =6n−5
n n
14．（2024·广东佛山·二模）设数列 的前 项之积为 ，满足 （ ），则
{a } n T a +2T =1 n∈N* a =
n n n n 2024
（ ）
1011 1011 4047 4048
A． B． C． D．
1012 1013 4049 4049
1 3
15．（2024·四川·模拟预测）已知S 为正项数列{a }的前n项和，a =3且S +S = a2 − ，则a =
n n 1 n n+1 2 n+1 2 n
.
16．（2024·湖南邵阳·一模）已知数列 的首项为 ，则 .
{a } 2,a +a =2n+1(n∈N*) a =
n n n+1 10
题型五 等差数列前n项和的性质
17．（2024·福建厦门·模拟预测）等差数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）
{a } n S S =18,S =3 S =
n n 9 3 6
21 27
A．9 B． C．12 D．
2 2
18．（2024·陕西榆林·模拟预测）已知数列 ， 都是等差数列，记 ， 分别为 ， 的前n项
{a } {b } S T {a } {b }
n n n n n n
和，且S 5n−2，则a （ ）
n = 7=
T 3n b
n 5
8 7 7 8
A． B． C． D．
5 5 3 319．（2024·陕西西安·模拟预测）已知等差数列 和 的前n项和分别为 和 ，且S n+3，则
{a } {b } S T n =
n n n n T n−1
n
a ．
3=
b
4
20．（2024·湖南郴州·模拟预测）已知 为等差数列 的前 项和，若 ，则 .
S {a } n S +S =24 19a +a =
n n 3 7 3 11
题型六 求等差数列的前n项和及其最值
21．（2024·辽宁·模拟预测）记等差数列 的前n项和为 ，若 ， ，则 （ ）
{a } S a +a =20 a =9 S =
n n 1 6 3 10
A．60 B．80 C．140 D．160
22．（2024·山东泰安·三模）已知 为等差数列 的前 项和， ， ，则 的最小值为
S {a } n a =−21 S =S S
n n 1 7 15 n
（ ）
A．−99 B．−100 C．−110 D．−121
23．（2024·重庆·模拟预测）已知等差数列 满足 ，则前 项和
{a } a +a =5，3a +a =17 n S =
n 4 5 2 5 n
.
24．（2024·宁夏·模拟预测）设 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则使 的 的最大
S {a } n S =4a a >0 S >a n
n n 5 1 1 n n
值为 .
题型七 等差数列的简单应用
25．（2024·江苏南京·模拟预测）2022年4月26日下午，神舟十三号载人飞船返回舱在京完成开舱．据科
学计算，运载“神十三”的“长征二号”F遥十三运载火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2千米，以后
每秒钟通过的路程都增加2千米，在达到离地面380千米的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程需要的
时间大约是（ ）
A．10秒 B．13秒 C．15秒 D．19秒
26．（2024·四川达州·一模）《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作，其中有物不知数问题：今有
物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？意思是：有一些物品，不知道有
多少个，只知道将它们三个三个地数，会剩下2个；五个五个地数，会剩下3个；七个七个地数，也会剩下2个.这些物品的数量是多少个？若一个正整数除以三余二，除以五余三，将这样的正整数由小到大排列，
则前5个数的和为（ ）
A．189 B．190 C．191 D．192
27．（2024·甘肃白银·一模）《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.假设一
只鸡与一只狗､一只狗与一只羊､一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为200钱，
一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为 .
28．（2024·北京延庆·一模）北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，
环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环
多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石) 3402块，则
上层有扇形石板 块．
题型八 含绝对值的等差数列问题
29．（24-25高二上·江苏徐州·期中）在等差数列 中， ， ，设 ，则
{a } a =9 a =3 T =|a|+|a |+…+|a |
n 1 4 n 1 2 n
T =（）
31
A．281 B．651 C．701 D．791
30．（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列 的通项公式为 ，前n项和为 ，则（ ）
{a } a =10−2n S
n n n
A．数列{S }为等差数列，公差为
n −2
n
B．数列 为等差数列，公差为8
{S +n2}
n
C．当 时，数列 的前n项和为
n≥5 {|a |} S −2S
n n 5
D．当 时，数列 的前n项和为
n≥5 {|a |} −S +2S
n n 5
31．（24-25高二上·江苏苏州·阶段练习）记 为等差数列 的前 项和，已知 .则数列
S {a } n a =11,S =40
n n 2 10
的前20项和为 ．
{|a |}
n
32．（23-24高二上·上海·期末）等差数列 满足
{a }(n≥3,n∈N)
n|a|+|a |+|a |+⋅⋅⋅+|a |=|a +1|+|a +1|+|a +1|+⋅⋅⋅+
1 2 3 n 1 2 3
，则 的最大值为 ．
|a +1|=|a −2|+|a −2|+|a −2|+⋅⋅⋅+|a −2|=2024 n
n 1 2 3 n
题型九 等差数列中的恒成立问题
( 1 )
33．（2024·河南驻马店·二模）设数列{a }的前n项和为S ，a =4，且a = 1+ a ，若
n n 3 n+1 n+1 n
2S +12≥ka 恒成立，则k的最大值是（ ）
n n
22 15
A．2√10+1 B． C． D．8
3 2
34．（2024·福建·模拟预测）已知数列 满足 1， (n+1)a ，
{a } a = a = n
n 1 3 n+1 a +n
n
a +a a +⋯+a a ⋯a a n∈N∗ a
n n+1 n n+1 n 1
值范围为 .
36．（2024·河南新乡·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ， （ ），且
{a } n S na −(n+1)a +1=0 n∈N*
n n n+1 n
， .若 S 恒成立，则实数 的取值范围为 .
a =3 a =5 m> n m
1 2 2n+1
题型十 与等差数列有关的新定义问题
37．（2024·福建宁德·二模）若数列 相邻两项的和依次构成等差数列，则称 是“邻和等差数列”.例
{a } {a }
n n
如，数列1，2，4，5，7，8，10为“邻和等差数列”.已知数列 是“邻和等差数列”， 是其前 项和，
{a } S n
n n
且a =0，a =1，a =4，则S =（ ）
1 2 3 200
A．39700 B．39800 C．39900 D．40000
38．（2024·四川·模拟预测）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项
的差构成等差数列．若某个二阶等差数列的前4项为1,4,8,13，则该数列的第18项为（ ）
A．188 B．208 C．229 D．251
39．（2024·河南洛阳·模拟预测）正整数数列 的前 项和为 ，前 项积为 ，若
{a } n S n T
n n n
T ，则称数列 为“ 数列”．
i∈N∗(i=1,2,...,n) {a } A
S n
i
(1)判断数列2，2，4，8是否是A数列，并说明理由；
(2)若数列 是 数列，且 ．探究 和 的值是否唯一；
{a } A a =2 S T
n 2 3 3
(3)是否存在等差数列是A数列?请阐述理由．
40．（2024·江苏·模拟预测）设n为正整数，数列 为正整数数列，且满足数列 和 均为等差数
{a } {a } {a }
n a a +1
n n
列，则称数列 为“五彩的”
{a }
n
(1)判断下列两个数列是否为“五彩的”，并说明理由；①有穷数列数列W：1，5，2，4，3，2；②无穷数
列 ，通项公式为
{c } c =n
n n
(2)若数列 为“五彩的”且严格单调递增.
{a }
n
（i）证明：数列 和 公差相等；
{a } {a }
a a +1
n n
（ii）证明：数列 一定为等差数列.
{a }
n一、单选题
1．（2025·辽宁沈阳·一模）已知数列 为等差数列， ， ， ， ，设 ，
{a } m n s t∈N p:m+n=s+t
n +
q:a +a =a +a，则p是q的（ ）
m n s t
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2024·重庆·模拟预测）已知等差数列 和 的前 项和分别为 ，若S 3n+1，则
{a } {b } n S ，T n =
n n n n T 5n−7
n
a +a （ ）
2 8 =
b +b +b
1 2 6
28 14 28
A． B． C．28 D．
9 9 27
1 1 1
3．（2025·浙江温州·模拟预测）已知数列{a }满足a =− , − =2，则数列{a }中的最小项为
n 1 5 a a n
n+1 n
（ ）
A．a B．a C．a D．a
2 3 4 5
4．（2024·全国·模拟预测）已知数列 与 是公差相同的两个等差数列，且 ，
{a } {b } a +b =2,a +2b =4
n n 2 4 3 3
则a =（ ）
3
A．−2 B．0 C．2 D．不确定
5．（2024·河北石家庄·模拟预测）若数列 为等差数列， 为数列 的前 项和， ， ，
{a } S {a } n a +a >0 S <0
n n n 4 9 11
则S 的最小值为（ ）
n
A．S B．S C．S D．S
5 6 7 8
6．（2024·辽宁·模拟预测）2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活
动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被
4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为（ ）
A．167 B．168 C．169 D．170
7．（2025·浙江·模拟预测）设等差数列 的前 项和是 ，前 项积是 ，若 ， ，则（ ）
{a } n S n T S =3 S =6
n n n 6 3
A．S 无最大值，T 无最小值 B．S 有最大值，T 无最小值
n n n n
C．S 无最大值，T 有最小值 D．S 有最大值，T 有最小值
n n n n
8．（2024·陕西咸阳·模拟预测）在等差数列 中， ，且 ， 是其前 项和，
{a } a <0,a >0 a >|a | S n
n 2023 2024 2024 2023 n
则（ ）
A．S ,S ⋯S 都小于0，S ,S ⋯都大于0
1 2 2023 2024 2025
B．S ,S ⋯S 都小于0，S ,S ⋯都大于0
1 2 4045 4046 4047
C．S ,S ⋯S 都小于0，S ,S ⋯都大于0
1 2 1012 1013 1014
D．S ,S ⋯S 都小于0，S ,S ⋯都大于0
1 2 4046 4047 4048
二、多选题
9．（2025·重庆·一模）已知数列
{a }
满足
a =1，a =a (1+3a )，n∈N*
，则（ ）
n 1 n n+1 n
A．数列 {1 } 是等差数列
a
n
B．a =3n−2
n
16
C．若a a +a a +…+a a = ，则n=16
1 2 2 3 n n+1 49
n(3n−1)
D．a +a +a +…+a +a =
1 2 3 n−1 n 2
10．（2024·广东河源·模拟预测）记 为等差数列 的前 项和，已知 ， 的公差为 ，且
S {a } n a >0 {a } d
n n 1 n
，则（ ）
(S −S )S <0
8 6 13
A．a <0
8
B．S 0的n的最大值为15
n11．（2024·黑龙江哈尔滨·二模）已知等差数列{aₙ}的首项 ，公差 ，在 中每相邻两项之间都
a =1 d=6 {a }
1 n
插入k个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列 ，下列说法正确的有（ ）
{b }
n
A．a =6n−5
n
B．当k=2时， b =2n−1
n
C．当 时， 不是数列 中的项
k=2 b {a }
19 n
D．若 是数列 中的项，则k 的值可能为6
b {a }
8 n
三、填空题
12．（2025·上海·模拟预测）若 是首项为2，公差为3的等差数列，则 .
{a } a =
n 4
13．（2025·陕西渭南·一模）已知等差数列 的前 项和为 ．且 ．则 ．
{a } n S S =6 3a −2a =
n n 13 9 10
14．（2024·江西宜春·模拟预测）已知数列 是等差数列， 记 ， 分别为 ， 的前n项和，
{a } b =¿ S T {a } {b }
n n n n n n
若S =18，T =10，则T = .
3 2 20
四、解答题
1 3
15．（2024·四川·模拟预测）已知S 为正项数列{a }的前n项和，a =3且S +S = a2 − ．
n n 1 n n+1 2 n+1 2
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
a
(2)若b =(−1) n+1 n ，求{b }的前10项和T ．
n n(n+1) n 10
16．（2024·甘肃张掖·一模）已知数列 满足 1 a ．
{a } a = ,a = n
n 1 2 n+1 2a +1
n
1
(1)若b = ，求证：{b }为等差数列；
n a n
n(2)求数列 的前 项和 ．
{a a } n S
n n+1 n
17．（2024·湖北武汉·模拟预测）在等差数列 （ ）中， ， .
{a } n∈N* a +a =11 a =10
n 1 2 3
(1)求 的通项公式；
{a }
n
1 1
(2)若b = ，数列的{b }前n项和为T ，证明T < .
n a a a n n n 168
n n+1 n+2
18．（2024·广东广州·模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，数列{S }是公差为1的等差数列，且
{a } n S n
n n n 2
a =2.
1
(1)求数列 的通项公式；
{a }
n
1 1 1
(2)若存在n∈N*，使得 + +⋅⋅⋅+ ≥λa 成立，求实数λ的取值范围.
a a a a a a n+1
1 2 2 3 n n+1
19．（2024·江西南昌·三模）给定数列{A }，若对任意m，n∈N*且m≠n，A +A 是{A }中的项，则称
n m n n
{A }为“H数列”．设数列{a }的前n项和为S .
n n n
(1)若 ，试判断数列 是否为“H数列”，并说明理由；
S =n2+n {a }
n n
(2)设 既是等差数列又是“H数列”，且 ， ， ，求公差d的所有可能值；
{a } a =6 a ∈N∗ a >6
n 1 2 2(3)设{a }是等差数列，且对任意n∈N*，S 是{a }中的项，求证：{a }是“H数列”．
n n n n
