文档内容
6.2 等差数列
思维导图
知识点总结
1．等差数列的有关概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么
定义
这个数列就叫做等差数列，即a －a ＝d(n∈N*，d为常数)
n＋1 n
通项
设{a }是首项为a，公差为d的等差数列，则通项公式a ＝a ＋ ( n － 1 ) d
n 1 n 1
公式
等差 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A 叫
中项 做a与b的等差中项．根据等差数列的定义可以知道，2A＝ a ＋ b
2．等差数列的前n项和公式
已知条件 前n项和公式
a，a ，n S ＝
1 n n
a，d，n S ＝na ＋d
1 n 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】典型例题分析
考向一 等差数列基本量的运算
1．已知等差数列{a }的各项均为正数，其前n项和为S ，且满足a＝17，S＝aa，则a ＝( )
n n 6 5 2 3 12
A．28 B．30
C．32 D．35
解析：选D 设公差为d且d>0，由a＝17，S＝aa，得⇒故a ＝a＋11d＝2＋33＝35.
6 5 2 3 12 1
2．(2022·全国乙卷)记S 为等差数列{a }的前n项和．若2S＝3S＋6，则公差d＝__________.
n n 3 2
解析：因为2S＝3S＋6，所以2(a＋a＋a)＝3(a＋a)＋6，化简得3d＝6，得d＝2.
3 2 1 2 3 1 2
答案：2
方法总结
解答等差数列运算问题的通法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程
1
(组)求解．
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及a ，a ，d，n，S 五个量，知其中三个就能求另外两个，
1 n n
体现了解方程的思想．
考向二 等差数列的判定或证明
[典例] 在数列{a }中，S ＝4a ＋2，a＝1.
n n＋1 n 1
(1)设c ＝，求证数列{c }是等差数列；
n n
(2)求数列{a }的通项公式．
n
[解] (1)证明：在数列{a }中，∀n∈N*，S ＝4a ＋2，则当n≥2时，有S ＝4a ＋2，
n n＋1 n n n－1
两式相减得a ＝4a －4a ，而c ＝，即a ＝2nc ，则有2n＋1c ＝4×2nc －4×2n－1c ，
n＋1 n n－1 n n n n＋1 n n－1
整理得c ＝2c －c ，即c ＋c ＝2c ，
n＋1 n n－1 n＋1 n－1 n
所以数列{c }是等差数列．
n
(2)由S ＝4a ＋2得a＋a＝4a＋2，而a＝1，则a＝5，c＝＝，c＝＝，
n＋1 n 1 2 1 1 2 1 2
因此，等差数列{c }的公差d＝－＝，即{c }是以为首项，为公差的等差数列，则c ＝＋(n－1)＝n－，
n n n
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即＝，于是得a ＝(3n－1)·2n－2，
n
所以数列{a }的通项公式a ＝(3n－1)·2n－2.
n n
[方法技巧] 等差数列的判定与证明方法
如果一个数列{a }从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常
n
定义法
数，那么可以判断数列{a }为等差数列
n
等差 如果一个数列{a }对任意的正整数n都满足2a ＝a ＋a ，那么可以
n n＋1 n n＋2
中项法 判断{a }为等差数列
n
通项 如果一个数列{a }的通项公式满足a ＝pn＋q(p，q为常数)的形式，那么
n n
公式法 可以提出{a }是首项为p＋q，公差为p的等差数列，适用选择、填空题
n
如果一个数列{a }的前n项和公式满足S ＝An2＋Bn(A，B为常数)的形
n n
前n项和
式，那么可以得出数列{a }是首项为A＋B，公差为2A的等差数列，适
n
公式法
用选择、填空题
考向三 等差数列的性质
角度1 等差数列的性质
[例1] (1)已知等差数列{a }的前n项和为S ，若S ＝10，S ＝60，则S 等于( )
n n 10 20 40
A．110 B．150 C．210 D．280
(2)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺．斩本一尺，重四斤．斩末一尺，
重二斤．问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细．在粗的一端截下 1
尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤．问依次每一尺各重多少斤？”假定该金杖被截成长度相等的
若干段时，其质量从大到小构成等差数列．若将该金杖截成长度相等的 20段，则中间两段的质量和为
________斤．
(3)已知数列{a }，{b }都是等差数列，S ，T 分别是它们的前n项和，并且＝，则＝________.
n n n n
[解析] (1)因为等差数列{a }的前n项和为S ，所以S ，S －S ，S －S ，S －S 也成等差数列．
n n 10 20 10 30 20 40 30
故(S －S )＋S ＝2(S －S )，所以S ＝150.又因为(S －S )＋(S －S )＝2(S －S )，所以S ＝280.
30 20 10 20 10 30 20 10 40 30 30 20 40
(2)设该若干段的质量从大到小构成等差数列{a }，由题意得，每4段为1尺，即a ＋a ＋a ＋a ＝4，
n 1 2 3 4
a ＋a ＋a ＋a ＝2，两式相加得4(a＋a )＝6，则a ＋a ＝a＋a ＝.
20 19 18 17 1 20 10 11 1 20
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(3)因为{a }，{b }为等差数列，所以＝＝＝＝，又＝，
n n
所以＝＝＝＝2.
[答案] (1)D (2) (3)2
[方法技巧]
(1)运用等差数列的有关性质和结论可以提升解题效率．
(2)应用性质解题时，注意性质成立的前提条件．
(3)要注意等差数列通项公式及前 n项和公式的灵活应用，如 a ＝a ＋(n－m)d，d＝，S ＝(2n－
n m 2n－1
1)a ，S ＝＝(n，m∈N*)等．
n n
角度2 等差数列前n项和的最值
[例2] (多选)记等差数列{a }的前n项和为S .若a＝10，S＝S，则( )
n n 2 5 2
A．S＝S B．a＝10
3 4 6
C．S 的最大值为30 D．a 的最大值为15
n n
[解析] 设等差数列的公差为d，则由题可得解得∴a ＝15＋(n－1)×(－5)＝20－5n，S ＝＝，∴a ＝
n n 4
0，S ＝S ，故A正确；a ＝－10，故B错误；当n＝3或n＝4时，S 取得最大值为30，故C正确；由于
3 4 6 n
d<0，∴a 的最大值为a＝15，故D正确．
n 1
[答案] ACD
[方法技巧]
求等差数列前n项和S 最值的方法
n
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式S ＝an2＋bn(a≠0)，通过配方或借助图象求二次函数
n
最值的方法求解．
(2)邻项变号法：①若a＞0，d＜0，则满足的项数m使得S 取得最大值S ；
1 n m
②若a＜0，d＞0，则满足的项数m使得S 取得最小值S .
1 n m
基础题型训练
一、单选题
1．观察下面的数表：若第n行的各数之和为231，则 （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．15 B．18 C．20 D．21
【答案】C
【分析】观察数表的规律利用等差数列的前 项和公式求解即可.
【详解】设第n行的各数之和为 ，
则 , ,…， ，
令 ，即 ，解得 或 （舍去）
故选：C.
2．两等差数列{an}、{bn}的前n项和的比 ，则 的值是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依据等差数列角标和性质去求 的值即可.
【详解】
故选：D.
3．设等差数列 的前 项和为 ，若 ，则当 取最小值时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据等差数列的前项和以及等差数列的性质可得 ， ，进而可得 最小.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】由等差数列前 项和公式可得:
，所以 ，
，所以 ，故 ，
所以等差数列 的前 项为负数，从第 项起为正，故前 项的和最小，
所以 的值为 ，
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用 ，得出 ， 进而可得 最小.
4．在等差数列 中，若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等差数列性质，若 ，则 及等差中项公式可求．
【详解】因为 ，由等差中项公式，得 ，
同理 ，得 ，
．
故选：C
5．已知 是各项均为正数的等差数列，且 ，则 的最大值为（ ）
A．10 B．20 C．25 D．50
【答案】C
【分析】根据等差数列的性质，化简原式，得到 ，用基本不等式求最值.
【详解】∵ ，∴ ，
由已知，得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，当且仅当 时等号成立.
故选：C.
6．数列 的前 项和为 ，若点 在函数 的图象上，则 （ ）
A．2021 B．4041 C．4042 D．4043
【答案】D
【分析】根据点 在函数 的图象上，得到 ，再利用数列通项与前n项和的关系
求解.
【详解】因为点 在函数 的图象上，
所以 ，
当 时， ，
当 时， ，
又 适合上式，
所以 ，
所以 ，
故选：D
【点睛】方法点睛：1、数列的通项an与前n项和Sn的关系是 ，当n＝1时，a 若适合
1
Sn－Sn ，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；当n＝1时，a 若不适合Sn－Sn ，则用分段函数的形
－1 1 －1
式表示．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】二、多选题
7．若 为等差数列， ，则下列说法正确的是（ ）
A．
B． 是数列 中的项
C．数列 单调递减
D．数列 前7项和最大
【答案】ACD
【分析】由 为等差数列，列方程组求得首项与公差，就可得到通项公式，然后对选项逐一判断即可.
【详解】因为数列 为等差数列，且 ，则 ，解得 ，
，故A选项正确，
由 ，得 ，故B错误，
因为 ，所以数列 单调递减，故C正确，
由数列通项公式 可知，前7项均为正数， ，所以前7项和最大,故D正确.
故选：ACD
8．已知关于x的方程 的四个根是公差为2的等差数列 的前四项， 为数列
的前n项和，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】根据韦达定理可得 ，进而求得首项，即可得 ，即可判断选项A，C，D；由
韦达定理可知 代入即可判断D.
【详解】解：因为 为等差数列，所以 ，
因为 ，可得 ， ， ， ，
所以数列 的通项公式为 ，
故 ，代入可得 ， ， ，
故选项A不正确，选项C，D正确；
根据韦达定理可得， ，故选项B正确．
故选：BCD．
三、填空题
9．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根 节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面 节
的容积共 升，下面 节的容积共 升，则第 节的容积为__________升．
【答案】
【分析】设自上而下的竹子容量依次为 ，可得 为等差数列，根据 ， ，可得数列
的通项公式及
【详解】设自上而下的竹子容量依次为 ，可得 为等差数列，
则 ，解得 ，
故 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为： .
10．已知等差数列 的前 项和 有最小值，且 ，则使得 成立的 的最小值是
________．
【答案】22
【分析】根据等差数列 的前 项和 有最小值，得到公差 ，再由 ，得到
，利用等差数列的性质结合前n项和公式求解.
【详解】因为等差数列 的前 项和 有最小值，
所以等差数列 的公差 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
，
所以使得 成立的 的最小值是22，
故答案为：22
11．已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 __________．
【答案】
【分析】用公差 和首项 表示已知式，求得关系后再代入求值式计算．
【详解】设公差为 ，则 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ．
故答案为： ．
12．已知数列 中， ，则 ___________．
【答案】
【详解】试题分析：由 ，即 ，即数列 表示首项为 ，公差为 的等差数
列，所以数列的通项公式 ，则 ，令 ，即 ，
即当 时，则 ，当 ，则 ，所以
．
考点：等差数列求和问题．
四、解答题
13．已知等差数列 中， =1， ，求数列 的通项公式
【答案】
【分析】设等差数列 的公差为 ,进而结合已知条件列方程求解 ，进而得答案.
【详解】设等差数列 的公差为 ，则
由 得 ，解得
所以，
所以数列 的通项公式为
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】14．已知数列 满足 ﹒
(1)求证数列 是等差数列；
(2)求 的通项公式；
(3)试判断 是否为数列 中的项，并说明理由﹒
【答案】(1)见解析；
(2) ；
(3)是，理由见解析﹒
【分析】(1)已知条件两边同时取倒数，构造等差数列求解；
(2)根据(1)中构造的等差数列即可求通项公式；
(3)令通项等于 ，解出n，如果n为正整数，则是该数列的项，否则不是﹒
【详解】（1）由题可得 ，
∴ 是以3为首项，3为公差的等差数列；
（2）由(1)得， ，
∴ ；
（3）令 ，解得 ，故 是为数列 中的项﹒
15．在等差数列 中， ， .
（1）求 的通项公式；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）求 的表达式.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）设公差为 ，根据通项公式得关于 和 的方程组，解方程组可得答案；
（2）按照 和 两种情况讨论去掉绝对值，转为等差数列的求和公式即可得到.
【详解】（1）设公差为 ，
则 ，解得 ， ，
所以 .
（2）由 可得 ，
所以当 时， ，
当 时，
.
所以 .
【点睛】本题考查了求等差数列的通项公式，考查了等差数列的求和公式，解题关键是通过讨论 去掉绝
对值，属于中档题.
16．已知在公比为2的等比数列 中， 成等差数列．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）求数列 的通项公式；
（2）设 求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）利用等比数列的基本量代换，求出 ，套公式求出通项公式；
（2）分别分析出奇数项是以6为首项，10为公差的等差数列，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，
利用分组求和法求和即可.
【详解】解：（1）因为数列 的公比q为2，
所以 ．
因为 成等差数列，
所以 ，
解得 ，所以 ．
（2）由（1）可得
所以奇数项是以6为首项，10为公差的等差数列，偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】提升题型训练
一、单选题
1．在等差数列 中，若 ， ，则 （ ）
A．38 B．39 C．40 D．41
【答案】B
【分析】根据 ，求出 ，然后用公式计算即可.
【详解】在等数列 中， ，
所以 ，
解得 ，
所以 ，
故选：B.
2．已知直线y＝25－3x，点(n，an)在该直线上，则a＋a＝（ ）
3 5
A．24 B．25 C．26 D．27
【答案】C
【分析】根据数列的通项公式计算即可得解.
【详解】由题意知an＝25－3n，
∴a＋a＝(25－3×3)＋(25－3×5)＝26．
3 5
故选：C
3．北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是扇环形的石板，从内
到外各圈的石板数组成等差数列 ，它的前n项和为 ，且 ， ，则 （ ）
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】A．2079 B．2059 C．2022 D．1890
【答案】A
【分析】利用等差数列通项公式求基本量，再由等差数列前n项和公式求 .
【详解】由题设 ，可得 ，
所以 .
故选：A
4．已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，下列为真
命题的序号为（ ）
① ；② ；③ ；④ ．
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】B
【分析】由 ， ，可得 ， 即 ，
，再根据等差数列的性质及基本量的运算可求解.
【详解】由 ，
可得 ， 即 ， ，
故可得等差数列的公差 ，选项③ 正确；
把已知的两式相加可得
整理可得
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】结合上面的判断可知
故有 ， ，故选项②正确；
由于 ， ，则 ，故选项①错误；
由公差 可得 ，结合等差数列的列的性质，
可得 ，从而可得 ，故 ，即选项④错
误．
故选：B．
5．孙子定理是中国古代求解一次同余式组的方法，是数论中一个重要定理，最早可见于中国南北朝时期
的数学著作《孙子算经》， 年英国来华传教士伟烈亚力将其问题的解法传至欧洲， 年英国数学家
马西森指出此法符合 年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定
理”．这个定理讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将 至 这 个整数中能被
除余 且被 除余 的数按由小到大的顺序排成一列构成一数列，则此数列的项数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】列举出该数列的前几项，可知该数列 为等差数列，求出等差数列的首项和公差，进而可得出
数列 的通项公式，然后求解满足不等式 的正整数 的个数，即可得解.
【详解】设所求数列为 ，该数列为 、 、 、 、 ，
所以，数列 为等差数列，且首项为 ，公差为 ，
所以， ，
解不等式 ，即 ，解得 ，
则满足 的正整数 的个数为 ，
因此，该数列共有 项.
故选：D.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】本题考查数列项数的计算，求出数列的通项公式是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
6．在 中插入 个数，使它们和 组成等差数列 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的性质，利用倒序相加法求得所求表达式的值.
【详解】令 ，倒过来写 ，两式相加得
，故 ，所以 ，故选B.
【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，即 ，考查倒序相加法，属于基础题.
二、多选题
7．关于等差数列，有下列四个命题，正确的是（ ）
A．若数列中有两项是有理数，则其余各项都是有理数
B．等差数列的通项公式 是关于项数n的一次函数
C．若数列 是等差数列，则数列 （k为常数）也是等差数列
D．若数列 是等差数列，则数列 也是等差数列
【答案】AC
【分析】根据等差数列的定义逐一验证即可.
【详解】选项A正确.当 时，选项B不成立.
由等差数列的定义知选项C正确，证明如下：设 的公差为d，则 （常数），所以
也是等差数列.
选项D错误,比如数列 为：-2，-1，0，1，2，则数列 为：4，1，0，1，4
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故选：AC
8．已知数列 满足： ， ， ，则下列说法正确的有（ ）
A．数列 是等差数列 B．
C． D．
【答案】BC
【分析】A.利用等差中项判断；BC.根据 ，由数列的奇数项和偶数项构成等差数列判断；
D.令 判断.
【详解】因为 ， ， ，则 ，而 ，故A错误；
因为 ，所以数列的奇数项和偶数项构成等差数列，
当 时， ，
当 时， ，故BC正确；
因为 ，不满足 ，故D错误；
故选：BC
三、填空题
9．在等差数列 中， ， ，则 ________.
【答案】
【分析】利用等差中项的性质得出 ，由此可得出 的值.
【详解】由等差中项的性质得 ， .
故答案为： .
【点睛】本题考查了等差中项性质的应用，考查计算能力，属于基础题．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】10．已知公差不为零的等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 __________．
【答案】
【分析】用公差 和首项 表示已知式，求得关系后再代入求值式计算．
【详解】设公差为 ，则 ， ，
所以 ．
故答案为： ．
11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且 ，则a +a ＝______
3 6
【答案】
【解析】由定积分的几何意义和微积分基本定理求得 ，再由等差数列的前 项和公式与等差数列的性质
求得结论．
【详解】解：令 ，则y≥0，两边平方得y2＝1﹣x2，即x2+y2＝1，
则函数 在区间[﹣1，1]上的图象是圆x2+y2＝1的上半部分，
则 ，
则 ，
由于数列{a }为等差数列，则a +a ＝a +a ，
n 3 6 1 8
所以 ，因此 ，
故答案为： ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【点睛】本题考查微积分基本定理，定积分的几何意义，等差数列的前 项和，等差数列的性质，解题时
要选择恰当地公式计算．
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a ＝4，S ＝30，则数列{ }的前n项和为_____．
2 5
【答案】
【分析】依据等差数列通项及前n项和公式求得等差数列{a }的基本量 ，应用等差数列前n项和公式
n
表示出 ，进而得到数列{ }的通项，并利用裂项法求前n项和即可
【详解】根据等差数列通项及前n项和公式，知
解得
∴由等差数列前n项和公式： ，
对于数列{ }有
∴数列{ }的前n项和
故答案为：
【点睛】本题考查了等差数列，根据已知量，结合等差数列的通项公式和前n项和公式列方程求基本量，
进而得到其前n项和公式，根据新数列与等差数列前n项和的关系求得数列通项公式，结合裂项法得到新
数列的前n项和公式
四、解答题
13．已知数列 的前n项和为 ， ， ，且 .求证：数列 是等差数列；
【答案】证明见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】由 ，得 ，又 ，根据等差数列的定义可证结论正确.
【详解】因为 ，
所以 ，即 ，
则 ．
又 ， ，满足 ，
所以 ，
所以 是公差为4的等差数列．
14．已知数列 的前 项和为 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)求证：数列 是等差数列.
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）由 ，即可求出数列 的通项公式；
（2）由等差数列的定义证明即可；
【详解】（1）当 时， ，
当 时， ，
令 ， 满足 ，所以 .
（2）由（1）知， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以数列 是以首项为 ，公差为 等差数列.
15．已知等差数列 ， ，公差 ， 是数列 的前 项和，数列 满足
， ， ， 是数列 的前n项和.
(1)求数列 ， 的通项公式；
(2)求证： .
【答案】(1) ， ；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据等差数列的通项公式，求和公式求解即可；
（2）由 可得 ，由 ， 可得 .
(1)
∵数列 为等差数列，
，公差 ，∴ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
(2)
证明：∵ ，
∴ ，不等式左边得证.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当 时， ；
当 时， ，
∴
.
综上， .
16．设等差数列 的前n项和为 ，已知 ，且 是 与 的等差中项．
(1)求 的值；
(2)若集合 中最小的元素为6，求实数t的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)
【分析】（1）利用题给条件列出关于 的方程组，解之即可求得 的值；
（2）利用题给条件列出关于实数t的不等式，解之即可求得实数t的取值范围．
【详解】（1）设等差数列 的首项为 ，公差为d，
则 ，解之得 ，则
（2）由（1）得等差数列 的首项为1，公差为2，则 ，
由集合 中最小的元素为6，
可得满足不等式 的最小正整数n为6，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，解之得
则实数t的取值范围为
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