文档内容
第 05 讲 一元二次不等式与其他常见不等式解法
目录
01 考情透视·目标导航.........................................................................................................................2
02 知识导图·思维引航.........................................................................................................................3
03 考点突破·题型探究.........................................................................................................................4
知识点1：一元二次不等式..........................................................................................................................................4
知识点2：分式不等式..................................................................................................................................................4
知识点3：绝对值不等式..............................................................................................................................................5
解题方法总结.................................................................................................................................................................5
题型一：不含参数一元二次不等式的解法................................................................................................................6
题型二：含参数一元二次不等式的解法....................................................................................................................7
题型三：三个二次之间的关系....................................................................................................................................8
题型四：分式不等式以及高次不等式的解法............................................................................................................9
题型五：绝对值不等式的解法..................................................................................................................................10
题型六：二次函数根的分布问题..............................................................................................................................10
题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题..........................................................................................................11
题型八：解含参型绝对值不等式..............................................................................................................................12
题型九：解不等式组型求参数问题..........................................................................................................................13
题型十：不等式组整数解求参数问题......................................................................................................................13
04真题练习·命题洞见........................................................................................................................14
05课本典例·高考素材........................................................................................................................15
06易错分析·答题模板........................................................................................................................16
易错点：解含参数不等式时分类讨论不恰当..........................................................................................................16
答题模板：一元二次不等式恒成立问题..................................................................................................................16考点要求 考题统计 考情分析
（1）会从实际情景中抽象出
一元二次不等式．
（2）结合二次函数图象，会 从近几年高考命题来看，三个 “二
判断一元二次方程的根的个 次” 的关系是必考内容，单独考查的频
2020年I卷第1题，5分
数，以及解一元二次不等 率很低，偶尔作为已知条件的一部分出
式． 现在其他考点的题目中．
（3）了解简单的分式、绝对
值不等式的解法．
复习目标：
1、理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
2、会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的分布问题.
3、能借助二次函数求解二次不等式，类比会求高次方程和绝对值不等式.知识点1：一元二次不等式
一元二次不等式 ，其中 ， 是方程 的
两个根，且
（1）当 时，二次函数图象开口向上．
（2）①若 ，解集为 ．
②若 ，解集为 ．
③若 ，解集为 ．
（2） 当 时，二次函数图象开口向下．
①若 ，解集为
②若 ，解集为
【诊断自测】不等式 的解集是 ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
知识点2：分式不等式
（1）
（2）
（3）（4）
【诊断自测】不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
知识点3：绝对值不等式
（1）
（2） ；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用图象法和零点分段法求解.
【诊断自测】（2024·高三·山西忻州·期末）不等式 的解集是 ．
解题方法总结
1、已知关于x的不等式
ax2 +bx+c>0
的解集为
(m，n)
，解关于x的不等式
cx2 +bx+a≤0
．
1 1 1 1
a( ) 2 +b +c≤0 (−∞， ]∪[ ，+∞)
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得： x x 的解集为 n m 即关于x的
1 1
(−∞， ]∪[ ，+∞)
不等式 cx2 +bx+a≤0 的解集为 n m ．
2、已知关于x的不等式
ax2 +bx+c>0
的解集为
(m，n)
（其中
mn>0），解关于x的不等式
cx2 +bx+a>0
．
1 1 1 1
a( ) 2 +b +c>0 ( ， )
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得： x x 的解集为 n m ，即关于x的不等式
1 1
( ， )
cx2 +bx+a>0 的解集为 n m ．
3、已知关于x的不等式
ax2 +bx+c>0
的解集为
(m，n)
，解关于x的不等式
cx2 −bx+a≤0
．1 1 1 1
a( ) 2 −b +c≤0 (−∞，− ]∪[− ，+∞)
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得： x x 的解集为 m n 即关于x
1 1
(−∞，− ]∪[− ，+∞)
的不等式 cx2 −bx+a≤0 的解集为 m n ，以此类推．
4、已知关于x的不等式 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) （其中n>m>0），解关于x的不等式
cx2 −bx+a>0
．
1 1 1 1
a( ) 2 −b +c>0 (− ，− )
由 ax2 +bx+c>0 的解集为 (m，n) ，得： x x 的解集为 m n 即关于x的不等式
1 1
(− ，− )
cx2 −bx+a>0 的解集为 m n ．
{a>0¿¿¿¿
5、已知关于x的一元二次不等式 ax2 +bx+c>0 的解集为R，则一定满足 ；
{a<0¿¿¿¿
6、已知关于x的一元二次不等式
ax2 +bx+c>0
的解集为
φ
，则一定满足 ；
{a<0¿¿¿¿
7、已知关于x的一元二次不等式 ax2 +bx+c<0 的解集为R，则一定满足 ；
{a>0¿¿¿¿
8、已知关于x的一元二次不等式
ax2 +bx+c<0
的解集为
φ
，则一定满足 ．
题型一：不含参数一元二次不等式的解法
【典例1-1】（2024·上海嘉定·一模）不等式 的解集为 ．
【典例1-2】不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是（用集合表示）
．
【方法技巧】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在 轴上，结合图象，写出其解集.
【变式1-1】不等式 的解集是 ．
【变式1-2】一元二次不等式 的解集为 .题型二：含参数一元二次不等式的解法
【典例2-1】设函数
(1)若不等式 对一切实数x恒成立，求a的取值范围；
(2)解关于 的不等式： ．
【典例2-2】已知关于 的一元二次不等式 的解集为 ．
(1)求 和 的值；
(2)求不等式 的解集．
【方法技巧】
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类讨论．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数，数形结合处理．
(3)有两个根时，还需要根据两根的大小进行讨论，注意分类讨论．
【变式2-1】已知函数 ．
(1)若关于x的不等式 的解集为R，求实数a的取值范围；
(2)解关于x的不等式 ．
【变式2-2】解关于实数 的不等式： ．【变式2-3】设函数 ，其中 ．解不等式 ；
题型三：三个二次之间的关系
【典例3-1】（2024·高三·云南德宏·期末）已知关于 的不等式 的解集为 ，
则关于 的不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-2】已知 的解集为 ，则不等式 的解集
为（ ）
A． B．
C． 或 D．
【方法技巧】
1、一定要牢记二次函数的基本性质．
2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
【变式3-1】若不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是
（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（多选题）不等式 的解集为 ，且 .以下结
论错误的是（ ）
A． B． C． D．【变式3-3】（多选题）已知关于 的不等式 的解集是 ，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式 的解集是 或
题型四：分式不等式以及高次不等式的解法
【典例4-1】（2024·高三·上海杨浦·期中）关于x的不等式 的解集是 .
【典例4-2】已知关于x的不等式 的解集是 ，则实数 的
取值范围是 ．
【方法技巧】
分式不等式化为二次或高次不等式处理．
【变式4-1】（2024·上海浦东新·模拟预测）不等式 的解集是 ．
【变式4-2】（2024·上海青浦·二模）已知函数 的图像如图所示，则不等式
的解集是 .
【变式4-3】不等式 的解集是 ．题型五：绝对值不等式的解法
【典例5-1】（2024·高三·上海长宁·期中）不等式 的解集为 .
【典例5-2】（2024·上海青浦·二模）不等式 的解集为 ．
【方法技巧】
（1）
（2） ；
；
（3）含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【变式5-1】（2024·上海虹口·模拟预测）不等式 的解集为 .
【变式5-2】不等式 的解集是 ．
题型六：二次函数根的分布问题
【典例6-1】已知函数 ，关于 的方程 有三个不等的实根，则实数 的取
值范围是 .
【典例6-2】若关于x的一元二次方程 有两个不相等的实根 ，且 ．
则实数a的取值范围为 ．
【方法技巧】
解决一元二次方程的根的分布时，常需考虑：判别式，对称轴与所给区间的位置关系，区间端点处
函数值的符号，所对应的二次函数图象的开口方向．
【变式6-1】已知一元二次方程 的两根都在 内，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【变式6-2】已知函数 ，若关于 的方程 恰有4个不相等的实数根，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】已知关于 的方程 在区间 内有实根，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型七：一元二次不等式恒（能）成立问题
【典例7-1】已知关于 的不等式 .
(1)是否存在实数 ，使不等式对任意 恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于 恒成立，求实数 的取值范围；
(3)若不等式对 有解，求 的取值范围.
【典例7-2】（2024·陕西西安·模拟预测）当 时，不等式 恒成立，则实数 的取值
范围是 ．
【方法技巧】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
（1）弄清楚自变量与参数．
（2）一元二次不等式在R上恒（能）成立，可用判别式 ，一元二次不等式在给定的某个区间上恒
（能）成立，不能用判别式 ，一般分离参数求最值或分类讨论处理．
【变式7-1】当 时，不等式 恒成立，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【变式7-2】已知函数 ， ，
(1)当 时，解不等式 ；
(2)若任意 ，都有 成立，求实数 的取值范围；
(3)若 ， ，使得不等式 成立，求实数 的取值范围.
【变式7-3】若存在实数 ，对任意实数 ，不等式 恒成立，则实数m的取
值范围是 .
【变式7-4】已知函数 ，若对任意 ，则所有满足条件的有序数对
是 ．
题型八：解含参型绝对值不等式
【典例8-1】已知关于 的不等式 有实数解，则实数 的取值范围是 .
【典例8-2】若存在实数 使得不等式 成立，则实数 的取值范围是 ．
【方法技巧】
含参型绝对值不等式 ，可用零点分段法和图象法求解.
【变式8-1】若关于x的不等式 的解集为 ，则实数m的取值范围是
【变式8-2】（2024·上海长宁·二模）若对任意 ，均有 ，则实数a的取值
范围为 ．题型九：解不等式组型求参数问题
【典例9-1】设集合 ，集合 为关于 的不等式组 的解集，
若 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【典例9-2】（2024·高三·山东菏泽·期中）已知不等式组 的解集是关于 的不等式
的解集的子集，则实数a的取值范围为（ ）
A．a≤0 B．a<0 C．a≤-1 D．a<-2
【方法技巧】
求不等式(组)参数的问题，往往要利用不等式的性质、不等式(组)的解集，建立对应关系后求解.
【变式9-1】（2024·高三·山西吕梁·开学考试）若不等式组 的解集是空集，则实数
的取值范围是 .
【变式9-2】若不等式组 的解集不是空集，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型十：不等式组整数解求参数问题
【典例10-1】已知关于 的不等式组 的解集中存在整数解且只有一个整数解，
则 的取值范围为 .
【典例10-2】关于x的不等式 恰有2个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【方法技巧】
不等式组整数解求参数问题通常使用分类讨论与数形结合处理.
【变式10-1】已知关于 的不等式组 仅有一个整数解，则 的取值范围为
（ ）
A． 或 B． 或
C． 或 D． 或
【变式10-2】若关于 的不等式组 的整数解共有36个，则正数 的取值范围是
.
【变式10-3】设集合 ，集合 若 中恰有一个整
数，则实数a的取值范围（ ）
A． B． C． D．
1．（2014年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷））已知函数 ，若对于任
意的 都有 ，则实数 的取值范围为 .
2．（2007年普通高等学校招生全国统一考试理科数学卷（北京））已知集合 ，
．若 ，则实数 的取值范围是 ．
3．（2019年天津市高考数学试卷（文科）） 设 ，使不等式 成立的 的取值范围
为 .1．当k取什么值时，一元二次不等式 对一切实数x都成立.
2． 是什么实数时，下列各式有意义？
（1） ；
（2） .
3．如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速
度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响.据以上预报估计，从码头现在起多长时间
后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到0.1h）？
4．一名同学以初速度 竖直上抛一排球，排球能够在抛出点 以上的位置最多停留多长时
间（精确到 ）？易错点：解含参数不等式时分类讨论不恰当
易错分析： 含参数不等式的解法是不等式问题的难点．解此类不等式时一定要注意对字母分类讨论，
讨论时要做到不重不漏，分类解决后，要对各个部分的结论按照参数由小到大进行整合．
【易错题1】当 时，解关于 的不等式 .
【易错题2】解关于实数 的不等式： ．
答题模板：一元二次不等式恒成立问题
1、模板解决思路
结合对应二次函数的图象，数形结合罗列关于参数的不等式．对于在定区间上恒成立的问题，可以分
离参数转化为函数的最值问题，不要漏掉考虑函数图象的对称轴和区间端点的关系．
2、模板解决步骤
第一步：将不等式恒成立问题转化为对应函数图象的问题．
第二步：列出不等式（组），一定要注意二次项系数如果含参数时就需要进行分类讨论．
第三步：解不等式求解参数的范围．
【典例1】已知函数 ， .
(1)当 时，解不等式 ；
(2)若 ，使得 ，求实数 的取值范围.
【典例2】（1）若 ， ，求实数a的取值范围；
（2）若 ， ，求实数x的取值范围．
