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第5讲 一元二次不等式与其它不等式解法
知识梳理
1、一元二次不等式
一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)，其中Δ=b2-4ac，x ,x 是方程ax2+bx+c>
1 2
0(a≠0)的两个根，且x 0时，二次函数图象开口向上．
(2)①若Δ>0，解集为x|x>x 或x0，解集为x|x 0⇔f(x)∙g(x)>0
g(x)
f(x)
(2) <0⇔f(x)∙g(x)<0
g(x)
f(x) f(x)∙g(x)≥0
(3) ≥0⇔
g(x) g(x)≠0
f(x) f(x)∙g(x)≤0
(4) ≤0⇔
g(x) g(x)≠0
3、绝对值不等式
(1)f(x) >g(x) ⇔[f(x)]2>[g(x)]2
(2)f(x) >g(x)(g(x)>0)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)；
f(x) 0)⇔-g(x)0的解集为(m，n)(其中mn>0)，解关于x的不等式
cx2+bx+a>0．
1 由ax2+bx+c>0的解集为(m，n)，得：a
x
2 1 1 1 +b +c>0的解集为 ，
x n m
，即关于x
1 1
的不等式cx2+bx+a>0的解集为 ，
n m
．
已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(m，n)，解关于x的不等式cx2+bx+a≤0．
1 由ax2+bx+c>0的解集为(m，n)，得：a
x
2 1 1 +b +c≤0的解集为-∞，
x n
∪
1
，+∞
m
1
即关于x的不等式cx2+bx+a≤0的解集为-∞，
n
1
∪ ，+∞
m
．
2、已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(m，n)(其中n>m>0)，解关于x的不等
式cx2-bx+a>0．
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41 10431 由ax2+bx+c>0的解集为(m，n)，得：a
x
2 1 1 1 -b +c>0的解集为- ，-
x m n
即关于
1 1
x的不等式cx2-bx+a>0的解集为- ，-
m n
．
3、已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(m，n)，解关于x的不等式cx2-bx+a≤
0．
1 由ax2+bx+c>0的解集为(m，n)，得：a
x
2 1 1 -b +c≤0的解集为-∞，-
x m
∪
1
- ，+∞
n
1
即关于x的不等式cx2-bx+a≤0的解集为-∞，-
m
1
∪ - ，+∞
n
，以此类
推．
a>0
4、已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R，则一定满足
；
Δ<0
a<0
5、已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为φ，则一定满足
；
Δ≤0
a<0
6、已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R，则一定满足
；
Δ<0
a>0
7、已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为φ，则一定满足
．
Δ≤0
必考题型全归纳
1 题型一：不含参数一元二次不等式的解法
【解题总结】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在x轴上，结合图象，
写出其解集
92 (2024·上海金山·统考二模)若实数x满足不等式x2-3x+2<0，则x的取值范围是
.
1 2x
93 (2024·高三课时练习)不等式x2+ ≤ 的解集为 ．
9 3
94 (2024·高三课时练习)函数f(x)= 2x2+x-3+log 3+2x-x2
3
的定义域为 ．
1
95 (2024·高三课时练习)不等式-2x2+3x- ≥0的解集为 ．
2
2 题型二：含参数一元二次不等式的解法
【解题总结】
1、数形结合处理．
2、含参时注意分类讨论．
96 (2024·全国·高三专题练习)已知集合A= x
3x-1
≤1
x-2
，集合B=
x x2-a+2 x+2a<0 ，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围
( )
1
A. -∞,-
2
1
B. -∞,-
2
1
C. - ,2
2
1
D. - ,2
2
97 (2024·全国·高三专题练习)若关于x的不等式x2-m+2 x+2m<0的解集中恰有4个
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42 1043整数，则实数m的取值范围为 ( )
A. 6,7 B. -3,-2
C. -3,-2 ∪6,7 D. -3,7
98 (2024·全国·高三专题练习)解下列关于x的不等式ax2+a+2 x+1>0a≠0 ．
99 (2024·全国·高三专题练习)不等式ax2-a+2 x+2≥0a<0 的解集为 ( )
2
A. ,1
a
1
B. 1,
a
2
C. -∞,
a
2
∪[1,+∞) D.(-∞,1]∪ ,+∞
a
3 题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
【解题总结】
1、一定要牢记二次函数的基本性质．
2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
100 (2024·全国·高三专题练习)已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-1或
x>4}，则下列说法正确的是 ( )
A.a>0 B.不等式ax2+cx+b>0的解集为{x|2- 70的解集为x|x>3
101 (2024·全国·高三专题练习)已知实数a0(a>0)的解
集是x|x≠d ,，则下列四个结论中错误的是 ( )
A.a2=4b
1
B.a2+ ≥4
b
C.若关于x的不等式x2+ax-b<0的解集为(x ，x )，则xx >0
1 2 1 2
D.若关于x的不等式x2+ax+b0的解集为 ．
x+2
x2-9
106 (2024·全国·高三专题练习)不等式的 >0的解集是
x-2
107 (2024·上海·高三专题练习)若不等式x-2 <1，则x的取值范围是 ．
108 (2024·上海浦东新·统考三模)不等式x+2 +x-2 ≤4的解集是 ．
109 (2024·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习)已知集合A=x∣x2-6x+8≤0 ,B=
x x-3 <2,x∈Z ，则A∩B= ．
5 题型五：二次函数根的分布问题
【解题总结】
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对
应的二次函数图象的开口方向．
110 (2024·全国·高三专题练习)方程mx2-m-1 x+1=0在区间0,1 内有两个不同的根，
则m的取值范围为 ．
111 (2024·全国·高三专题练习)已知方程x2-2a+1 x+aa+1 =0的两根分别在区间
0,1 ，1,3 之内，则实数a的取值范围为 ．
112 (2024·全国·高三专题练习)若方程2xkx-4 -x2+6=0有两个不相等的实根，则k可
取的最大整数值是 .
113 (2024·全国·高三专题练习)已知a,b,c∈R，a+b+c=1,a2+b2+c2=1，则c的取值范围
为 .
6 题型六：一元二次不等式恒成立问题
【解题总结】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成
立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
114 (2024·全国·高三专题练习)若不等式x2+x-1x2-x-1对x∈-∞,0 恒成立，则a的取值
范围是 ．
116 (2024·全国·高三专题练习)若关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间0,4 上有解，则实
数a的取值范围是 .
117 (2024·全国·高三专题练习)若∃x∈1,2 使关于x的不等式x2-ax+1≥0成立，则实
数a的取值范围是 ．
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44 1043118 (2024·全国·高三专题练习)若不等式2x-1>mx2-1 对任意m∈-1,1 恒成立，实数
x的取值范围是 .
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45 1043
