第05讲一元二次不等式与其它不等式解法_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第5讲 一元二次不等式与其它不等式解法
知识梳理
1、一元二次不等式
一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)，其中Δ=b2-4ac，x ,x 是方程ax2+bx+c>
1 2
0(a≠0)的两个根，且x <x
1 2
(1)当a>0时，二次函数图象开口向上．
(2)①若Δ>0，解集为x|x>x 或x<x
2 1
 ．
b
②若Δ=0，解集为xx∈R且x≠-
 2a
 ．
③若Δ<0，解集为R．
(2) 当a<0时，二次函数图象开口向下．
①若Δ>0，解集为x|x <x<x
1 2

②若Δ≤0，解集为∅
2、分式不等式
f(x)
(1) >0⇔f(x)∙g(x)>0
g(x)
f(x)
(2) <0⇔f(x)∙g(x)<0
g(x)
f(x) f(x)∙g(x)≥0

(3) ≥0⇔
g(x) g(x)≠0
f(x) f(x)∙g(x)≤0

(4) ≤0⇔
g(x) g(x)≠0
3、绝对值不等式
(1)f(x)  >g(x)  ⇔[f(x)]2>[g(x)]2
(2)f(x)  >g(x)(g(x)>0)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)；
f(x)  <g(x)(g(x)>0)⇔-g(x)<f(x)<g(x)；
(3)含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分段法和图象法求解
【解题方法总结】
1、已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(m，n)(其中mn>0)，解关于x的不等式
cx2+bx+a>0．
1 由ax2+bx+c>0的解集为(m，n)，得：a
x
 2 1 1 1 +b +c>0的解集为 ，
x n m
 ，即关于x
1 1
的不等式cx2+bx+a>0的解集为 ，
n m
 ．
已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(m，n)，解关于x的不等式cx2+bx+a≤0．
1 由ax2+bx+c>0的解集为(m，n)，得：a
x
 2 1 1 +b +c≤0的解集为-∞，
x n
 ∪
1
  ，+∞
m

1
即关于x的不等式cx2+bx+a≤0的解集为-∞，
n

1
∪  ，+∞
m
 ．
2、已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(m，n)(其中n>m>0)，解关于x的不等
式cx2-bx+a>0．
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61 34271 由ax2+bx+c>0的解集为(m，n)，得：a
x
 2 1 1 1 -b +c>0的解集为- ，-
x m n
 即关于
1 1
x的不等式cx2-bx+a>0的解集为- ，-
m n
 ．
3、已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(m，n)，解关于x的不等式cx2-bx+a≤
0．
1 由ax2+bx+c>0的解集为(m，n)，得：a
x
 2 1 1 -b +c≤0的解集为-∞，-
x m
 ∪
1
 - ，+∞
 n

1
即关于x的不等式cx2-bx+a≤0的解集为-∞，-
m

1
∪ - ，+∞
 n
 ，以此类
推．
a>0
4、已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R，则一定满足

；
Δ<0
a<0
5、已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为φ，则一定满足

；
Δ≤0
a<0
6、已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R，则一定满足

；
Δ<0
a>0
7、已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为φ，则一定满足

．
Δ≤0
必考题型全归纳
1 题型一：不含参数一元二次不等式的解法
【解题总结】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在x轴上，结合图象，
写出其解集
92 (2024·上海金山·统考二模)若实数x满足不等式x2-3x+2<0，则x的取值范围是
.
【答案】1,2 
【解析】不等式x2-3x+2<0，即x-1  x-2  <0，解得1<x<2，则x的取值范围是
1,2  .
故答案为：1,2  .
1 2x
93 (2024·高三课时练习)不等式x2+ ≤ 的解集为 ．
9 3
1
【答案】
 3

1 2x
【解析】解:由题知不等式为x2+ ≤ ,
9 3
即9x2-6x+1≤0,
即3x-1  2≤0,
1
解得x= ,
3
1
所以解集为
 3
 .
1
故答案为:
 3

94 (2024·高三课时练习)函数f(x)= 2x2+x-3+log 3+2x-x2
3
 的定义域为 ．
【答案】1,3 
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62 34272x2+x-3≥0
【解析】要使函数有意义，则

3+2x-x2>0
，解得1≤x<3.
所以函数的定义域为[1,3).
故答案为：[1,3).
1
95 (2024·高三课时练习)不等式-2x2+3x- ≥0的解集为 ．
2
【答案】

3- 5
,
3+ 5
 4 4

1
【解析】不等式-2x2+3x- ≥0即4x2-6x+1≤0，
2
3- 5 3+ 5
4x2-6x+1=0的根为x = ,x = ，
1 4 2 4
故4x2-6x+1≤0的解集为  3- 5 , 3+ 5
 4 4
 ，
即不等式-2x2+3x- 1 ≥0的解集为  3- 5 , 3+ 5
2  4 4
 ，
故答案为：

3- 5
,
3+ 5
 4 4

2 题型二：含参数一元二次不等式的解法
【解题总结】
1、数形结合处理．
2、含参时注意分类讨论．
96 (2024·全国·高三专题练习)已知集合A= x 
3x-1
 ≤1
 x-2
 ，集合B=
x  x2-a+2   x+2a<0   ，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围
( )
1
A. -∞,-
2

1
B. -∞,-
2

1
C.  - ,2
 2

1
D. - ,2
2

【答案】A
3x-1 3x-1 2x+1 2x+1
【解析】由 ≤1得： -1= ≤0，∴
x-2 x-2 x-2
 x-2   ≤0 1
 ，解得：- ≤
x-2≠0 2
1
x<2，∴A= - ,2
 2
 ；
由x2-a+2  x+2a<0得：x-2  x-a  <0；
∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，∴AÜB，
当a>2时，B=2,a  ，不满足AÜB；当a=2时，B=∅，不满足AÜB；
当a<2时，B=a,2 
1
，若AÜB，则需a<- ；
2
1
综上所述：实数a的取值范围为-∞,-
2
 .
故选：A.
97 (2024·全国·高三专题练习)若关于x的不等式x2-m+2  x+2m<0的解集中恰有4个
整数，则实数m的取值范围为 ( )
A. 6,7  B. -3,-2 
C. -3,-2  ∪6,7  D. -3,7 
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63 3427【答案】C
【解析】不等式x2-m+2  x+2m<0即(x-2)(x-m)<0 ，
当m>2时，不等式解集为(2,m)，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是3,4,5,6，故6<m≤7，
当m=2时，不等式解集为∅ ，此时不符合题意；
当m<2 时，不等式解集为(m,2)，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是-2,-1,0,1 ，故-3≤m<-2，，
故实数m的取值范围为-3,-2  ∪6,7  ，
故选：C
98 (2024·全国·高三专题练习)解下列关于x的不等式ax2+a+2  x+1>0a≠0  ．
【解析】方程：ax2+a+2  x+1=0 且a≠0
∴Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0,
-a-2- a2+4 -a-2+ a2+4
解得方程两根：x = ,x = ；
1 2a 2 2a
当a>0时，原不等式的解集为：
 xx> -a-2+ a2+4 或x< -a-2- a2+4
2a 2a
 ;
当a<0时，原不等式的解集为：
 x -a-2+ a2+4 <x< -a-2- a2+4
2a 2a
 .
综上所述, 当a>0时，原不等式的解集为：
 xx> -a-2+ a2+4 或x< -a-2- a2+4
2a 2a
 ;
当a<0时，原不等式的解集为：
 x -a-2+ a2+4 <x< -a-2- a2+4
2a 2a
 .
99 (2024·全国·高三专题练习)不等式ax2-a+2  x+2≥0a<0  的解集为 ( )
2
A.   ,1
a

1
B.  1,
 a

2
C. -∞,
a

2
∪[1,+∞) D.(-∞,1]∪  ,+∞
a

【答案】A
【解析】原不等式可以转化为：x-1  ax-2  ≥0，
2
当a<0时，可知x-
a

2
(x-1)≤0，对应的方程的两根为1， ，
a
2
根据一元二次不等式的解集的特点，可知不等式的解集为：  ,1
a
 .
故选：A.
3 题型三：一元二次不等式与韦达定理及判别式
【解题总结】
1、一定要牢记二次函数的基本性质．
2、含参的注意利用根与系数的关系找关系进行代换．
100 (2024·全国·高三专题练习)已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-1或
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64 3427x>4}，则下列说法正确的是 ( )
A.a>0 B.不等式ax2+cx+b>0的解集为{x|2- 7<x<2+ 7}
C.a+b+c<0 D.不等式ax+b>0的解集为x|x>3 
【答案】B
【解析】因为关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-1或x>4}，所以a<0，
所以选项A错误；
a<0

 b
由题得  -1+4=- a ,∴b=-3a,c=-4a，所以ax2+cx+b>0为x2-4x-3<0,∴2
 c
-1×4=
 a
- 7<x<2+ 7.所以选项B正确；
设f(x)=ax2+bx+c，则f(1)=a+b+c>0，所以选项C错误；
不等式ax+b>0为ax-3a>0,∴x<3，所以选项D错误.
故选：B
101 (2024·全国·高三专题练习)已知实数a<b，关于x的不等式x2-a+b  x+ab+1<0的
解集为x 1 ,x 2  ，则实数a、b、x 、x 从小到大的排列是 ( ) 1 2
A.a<x <x <b B.x <a<b<x
1 2 1 2
C.a<x <b<x D.x <a<x <b
1 2 1 2
【答案】A
【解析】由题可得：x +x =a+b，xx =ab+1.由a<b，x <x ，设x =a+m，则x =
1 2 1 2 1 2 1 2
b-m.所以xx =(a+m)(b-m)=ab+m(b-a)-m2=ab+1，所以m(b-a)-m2=
1 2
1+m2
1，m= .又a<b，所以b-a>0，所以m>0.故x >a，x <b.又x <x ，故a<
b-a 1 2 1 2
x <x <b.
1 2
故选：A.
102 (2024·全国·高三专题练习)关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为-3,1  ，则不等式
bx2+ax+c<0的解集为 ( )
A. 1,2  B. -1,2 
1
C. - ,1
2

3
D. - ,1
2

【答案】D
【解析】∵ax2+bx+c<0的解集是-3,1 
a>0

 b
-3+1=- ，∴  a ，得b=2a,c=-3a，
 c
-3×1=
 a
则不等式bx2+ax+c<0⇔2ax2+ax-3a<0，
3
即2x2+x-3<0，解得：- <x<1，
2
3
所以不等式的解集是- ,1
2
 .
故选：D
103 (2024·北京海淀·101中学校考模拟预测)已知关于x的不等式x2+ax+b>0(a>0)的解
集是x|x≠d  ,，则下列四个结论中错误的是 ( )
A.a2=4b
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65 34271
B.a2+ ≥4
b
C.若关于x的不等式x2+ax-b<0的解集为(x ，x )，则xx >0
1 2 1 2
D.若关于x的不等式x2+ax+b<c的解集为(x 1 ，x 2 )，且x 1 -x 2  =4，则c=4
【答案】C
【解析】由题意Δ=a2-4b=0，a2=4b，所以A正确;
1 4 4 4
对于B:a2+ =a2+ ≥2 a2⋅ =4，当且仅当a2= ，即a= 2时成立,
b a2 a2 a2
所以B正确;
a2
对于C,由韦达定理，可知xx =-b=- <0，所以C错误;
1 2 4
a2
对于D,由韦达定理，可知x +x =-a，xx =b-c= -c，
1 2 1 2 4
则x 1 -x 2  = x 1 +x 2 
a2
2-4xx = a2-4 -c 1 2 4  =2 c=4，解得c=4，
所以D正确,
故选：C.
4
104 (2024·全国·高三专题练习)已知关于x的不等式ax2+2bx+4<0的解集为m,
m
 ，其
b 4
中m<0，则 + 的最小值为 ( )
4a b
A.-2 B.1 C.2 D.8
【答案】C
4 4 4
【解析】由题意可知，方程ax2+2bx+4=0的两个根为m， ，则m⋅ = ，解得：a
m m a
4
=1，故m+ =-2b，m<0，
m
4
所以2b=-m- ≥2 -m
m

4
⋅-
m

4
=4，当且仅当-m=- ，即m=-2时取等号，
m
则b≥2，
b 4 b 4 b 4 b 4
所以 + = + ≥2 ⋅ =2，当且仅当 = ，即b=4时取等号，
4a b 4 b 4 b 4 b
b 4
故 + 的最小值为2.
4a b
故选：C.
4 题型四：其他不等式解法
【解题总结】
1、分式不等式化为二次或高次不等式处理．
2、根式不等式绝对值不等式平方处理．
x-1
105 (2024·北京海淀·统考一模)不等式 >0的解集为 ．
x+2
【答案】x|x>1或x<-2 
x-1
【解析】根据分式不等式解法可知 >0等价于x-1
x+2
 x+2  >0，
由一元二次不等式解法可得x>1或x<-2；
x-1
所以不等式 >0的解集为x|x>1或x<-2
x+2
 .
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66 3427故答案为：x|x>1或x<-2 
x2-9
106 (2024·全国·高三专题练习)不等式的 >0的解集是
x-2
【答案】：(-3,2)∪(3,+∞)
x2-9
【解析】 >0⇒(x+3)(x-3)(x-2)>0则-3<x<2或x>3
x-2
【考点定位】本题考查将分式不等式等价转化为高次不等式、考查高次不等式的解法
107 (2024·上海·高三专题练习)若不等式x-2  <1，则x的取值范围是 ．
【答案】x1<x<3 
【解析】∵x-2  <1，则-1<x-2<1，解得1<x<3，
∴x的取值范围是x1<x<3  .
故答案为：x1<x<3  .
108 (2024·上海浦东新·统考三模)不等式x+2  +x-2  ≤4的解集是 ．
【答案】-2,2 
【解析】当x<-2时，-x-2+2-x≤4，解得x≥-2，此时解集为空集，
当-2≤x≤2时，x+2+2-x≤4，即4≤4，符合要求，此时解集为-2,2  ，
当x>2时，x+2+x-2≤4，解得x≤2，此时解集为空集，
综上：不等式的解集为-2,2  .
故答案为：-2,2 
109 (2024·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习)已知集合A=x∣x2-6x+8≤0  ,B=
x x-3    <2,x∈Z  ，则A∩B= ．
【答案】{2,3,4}
【解析】A=x∣x2-6x+8≤0  =x∣2≤x≤4  ，
B= x x-3    <2,x∈Z  =x1<x<5,x∈Z  =2,3,4  .
故A∩B=2,3,4  .
故答案为：{2,3,4}
5 题型五：二次函数根的分布问题
【解题总结】
解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对
应的二次函数图象的开口方向．
110 (2024·全国·高三专题练习)方程mx2-m-1  x+1=0在区间0,1  内有两个不同的根，
则m的取值范围为 ．
【答案】m>3+2 2
【解析】令fx  =mx2-m-1  x+1，图象恒过点0,1  ，
∵方程mx2-m-1  x+1=0在区间0,1  内有两个不同的根，
m>0
m-1
0< <1
∴ 2m
f1 


m>0

⇒ m>1 
 >0 m-1

Δ>0


 ，解得m>3+2 2.
2-4m>0
故答案为：m>3+2 2
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67 3427111 (2024·全国·高三专题练习)已知方程x2-2a+1  x+aa+1  =0的两根分别在区间
0,1  ，1,3  之内，则实数a的取值范围为 ．
【答案】0,1  .
【解析】方程x2-2a+1  x+aa+1  =0⇒x-a  x-a+1    =0
∴方程两根为x =a,x =a+1，
1 2
0<a<1
若要满足题意，则

，解得0<a<1，
1<a+1<3
故答案为：0,1  .
112 (2024·全国·高三专题练习)若方程2xkx-4  -x2+6=0有两个不相等的实根，则k可
取的最大整数值是 .
【答案】1
【解析】方程化为2k-1  x2-8x+6=0，
由Δ=64-242k-1 
1 11
>0，k≠ 解得k< ，
2 6
所以k最大整数值是1.
故答案为：1.
113 (2024·全国·高三专题练习)已知a,b,c∈R，a+b+c=1,a2+b2+c2=1，则c的取值范围
为 .
1
【答案】 - ,1
 3

【解析】a+b+c  2-2ab+2ac+2bc  =a2+b2+c2，故ab+ac+bc=0，
a+b=1-c，ab=-ca+b  =-c1-c  ，
将a,b看成方程x2-1-c  x-c1-c  =0的两根，则Δ≥0，
即1-c  2+4c1-c  ≥0，故c-1  1+3c 
1
≤0，解得- ≤c≤1.
3
1
故答案为： - ,1
 3

6 题型六：一元二次不等式恒成立问题
【解题总结】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成
立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
114 (2024·全国·高三专题练习)若不等式x2+x-1<m2x2-mx对x∈R恒成立，则实数m
的取值范围是 ．
【答案】-∞,-1 
5
∪ ,+∞
3

【解析】原不等式可化为m2-1  x2-m+1  x+1>0对x∈R恒成立．
(1)当m2-1=0时，若不等式对x∈R恒成立，
m+1=0
只需

，解得m=-1；
1>0
(2)当m2-1≠0时，若该二次不等式恒成立，
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68 3427m2-1>0
只需 Δ=m+1  2-4m2-1 
m>1或m<-1  
 ，解得 5 ， <0 m> 或m<-1
3
所以m∈-∞,-1 
5
∪ ,+∞
3
 ；
综上：m∈-∞,-1 
5
∪ ,+∞
3
 .
故答案为：-∞,-1 
5
∪ ,+∞
3

115 (2024·全国·高三专题练习)若不等式ax2>x2-x-1对x∈-∞,0  恒成立，则a的取值
范围是 ．
5
【答案】a>
4
【解析】由不等式ax2>x2-x-1对x∈-∞,0  恒成立，
x2-x-1
可转化为a> 对x∈-∞,0
x2

x2-x-1
恒成立，即a>
x2
 ，
max
x2-x-1 1 1 1 1
而 =- - +1=- +
x2 x2 x x 2

2 5
+ ，
4
1 1
当x=-2时，- +
x 2

2 5 5 5
+ 有最大值 ，所以a> ，
4 4 4
5
故答案为：a> ．
4
116 (2024·全国·高三专题练习)若关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间0,4  上有解，则实
数a的取值范围是 .
【答案】(-∞,1]
【解析】因为x∈0,4 
2x
，所以由ax2-2x+a≤0得a≤ ，
x2+1
因为关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间0,4  上有解，
2x
所以只需a小于等于 的最大值，
x2+1
2x
当x=0时， =0，
x2+1
2x 2
当x≠0时， = ≤1，当且仅当x=1时，等号成立，
x2+1 1
x+
x
2x
故 的最大值为1，
x2+1
所以a≤1，
即实数a的取值范围是(-∞,1].
故答案为：(-∞,1].
117 (2024·全国·高三专题练习)若∃x∈1,2  使关于x的不等式x2-ax+1≥0成立，则实
数a的取值范围是 ．
5
【答案】-∞，
2

【解析】∃x∈1，2  ，使关于x的不等式x2-ax+1≥0成立，
1
则ax≤x2+1，即a≤x+
x
 ，x∈1，2
max
 ，
1
令g(x)=x+ ，x∈1，2
x
 ，则对勾函数g(x)在1，2  上单调递增，
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所以g(x) =g(2)= ，
max 2
5
故a∈-∞，
2
 .
5
故答案为：-∞，
2
 .
118 (2024·全国·高三专题练习)若不等式2x-1>mx2-1  对任意m∈-1,1  恒成立，实数
x的取值范围是 .
【答案】 3-1,2 
【解析】2x-1>mx2-1  可转化为mx2-1  -2x+1<0.
设fm  =mx2-1  -2x+1，则fm  是关于m的一次型函数.
要使fm 
f1
<0恒成立，只需
 =x2-2x<0
f-1 

， 
=-x2-2x+2<0
解得 3-1<x<2.
故答案为： 3-1,2 
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