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第5讲 一元二次不等式与其它不等式解法
知识梳理
1、一元二次不等式
一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)，其中Δ=b2-4ac，x ,x 是方程ax2+bx+c>
1 2
0(a≠0)的两个根，且x 0时，二次函数图象开口向上．
(2)①若Δ>0，解集为x|x>x 或x0，解集为x|x 0⇔f(x)∙g(x)>0
g(x)
f(x)
(2) <0⇔f(x)∙g(x)<0
g(x)
f(x) f(x)∙g(x)≥0
(3) ≥0⇔
g(x) g(x)≠0
f(x) f(x)∙g(x)≤0
(4) ≤0⇔
g(x) g(x)≠0
3、绝对值不等式
(1)f(x) >g(x) ⇔[f(x)]2>[g(x)]2
(2)f(x) >g(x)(g(x)>0)⇔f(x)>g(x)或f(x)<-g(x)；
f(x) 0)⇔-g(x)0的解集为(m，n)(其中mn>0)，解关于x的不等式
cx2+bx+a>0．
1 由ax2+bx+c>0的解集为(m，n)，得：a
x
2 1 1 1 +b +c>0的解集为 ，
x n m
，即关于x
1 1
的不等式cx2+bx+a>0的解集为 ，
n m
．
已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(m，n)，解关于x的不等式cx2+bx+a≤0．
1 由ax2+bx+c>0的解集为(m，n)，得：a
x
2 1 1 +b +c≤0的解集为-∞，
x n
∪
1
，+∞
m
1
即关于x的不等式cx2+bx+a≤0的解集为-∞，
n
1
∪ ，+∞
m
．
2、已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(m，n)(其中n>m>0)，解关于x的不等
式cx2-bx+a>0．
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61 34271 由ax2+bx+c>0的解集为(m，n)，得：a
x
2 1 1 1 -b +c>0的解集为- ，-
x m n
即关于
1 1
x的不等式cx2-bx+a>0的解集为- ，-
m n
．
3、已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为(m，n)，解关于x的不等式cx2-bx+a≤
0．
1 由ax2+bx+c>0的解集为(m，n)，得：a
x
2 1 1 -b +c≤0的解集为-∞，-
x m
∪
1
- ，+∞
n
1
即关于x的不等式cx2-bx+a≤0的解集为-∞，-
m
1
∪ - ，+∞
n
，以此类
推．
a>0
4、已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为R，则一定满足
；
Δ<0
a<0
5、已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集为φ，则一定满足
；
Δ≤0
a<0
6、已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为R，则一定满足
；
Δ<0
a>0
7、已知关于x的一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集为φ，则一定满足
．
Δ≤0
必考题型全归纳
1 题型一：不含参数一元二次不等式的解法
【解题总结】
解一元二次不等式不等式的思路是：先求出其相应方程根，将根标在x轴上，结合图象，
写出其解集
92 (2024·上海金山·统考二模)若实数x满足不等式x2-3x+2<0，则x的取值范围是
.
【答案】1,2
【解析】不等式x2-3x+2<0，即x-1 x-2 <0，解得10
，解得1≤x<3.
所以函数的定义域为[1,3).
故答案为：[1,3).
1
95 (2024·高三课时练习)不等式-2x2+3x- ≥0的解集为 ．
2
【答案】
3- 5
,
3+ 5
4 4
1
【解析】不等式-2x2+3x- ≥0即4x2-6x+1≤0，
2
3- 5 3+ 5
4x2-6x+1=0的根为x = ,x = ，
1 4 2 4
故4x2-6x+1≤0的解集为 3- 5 , 3+ 5
4 4
，
即不等式-2x2+3x- 1 ≥0的解集为 3- 5 , 3+ 5
2 4 4
，
故答案为：
3- 5
,
3+ 5
4 4
2 题型二：含参数一元二次不等式的解法
【解题总结】
1、数形结合处理．
2、含参时注意分类讨论．
96 (2024·全国·高三专题练习)已知集合A= x
3x-1
≤1
x-2
，集合B=
x x2-a+2 x+2a<0 ，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围
( )
1
A. -∞,-
2
1
B. -∞,-
2
1
C. - ,2
2
1
D. - ,2
2
【答案】A
3x-1 3x-1 2x+1 2x+1
【解析】由 ≤1得： -1= ≤0，∴
x-2 x-2 x-2
x-2 ≤0 1
，解得：- ≤
x-2≠0 2
1
x<2，∴A= - ,2
2
；
由x2-a+2 x+2a<0得：x-2 x-a <0；
∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，∴AÜB，
当a>2时，B=2,a ，不满足AÜB；当a=2时，B=∅，不满足AÜB；
当a<2时，B=a,2
1
，若AÜB，则需a<- ；
2
1
综上所述：实数a的取值范围为-∞,-
2
.
故选：A.
97 (2024·全国·高三专题练习)若关于x的不等式x2-m+2 x+2m<0的解集中恰有4个
整数，则实数m的取值范围为 ( )
A. 6,7 B. -3,-2
C. -3,-2 ∪6,7 D. -3,7
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63 3427【答案】C
【解析】不等式x2-m+2 x+2m<0即(x-2)(x-m)<0 ，
当m>2时，不等式解集为(2,m)，此时要使解集中恰有4个整数，
这四个整数只能是3,4,5,6，故60a≠0 ．
【解析】方程：ax2+a+2 x+1=0 且a≠0
∴Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0,
-a-2- a2+4 -a-2+ a2+4
解得方程两根：x = ,x = ；
1 2a 2 2a
当a>0时，原不等式的解集为：
xx> -a-2+ a2+4 或x< -a-2- a2+4
2a 2a
;
当a<0时，原不等式的解集为：
x -a-2+ a2+4 0时，原不等式的解集为：
xx> -a-2+ a2+4 或x< -a-2- a2+4
2a 2a
;
当a<0时，原不等式的解集为：
x -a-2+ a2+4 4}，则下列说法正确的是 ( )
A.a>0 B.不等式ax2+cx+b>0的解集为{x|2- 70的解集为x|x>3
【答案】B
【解析】因为关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为{x|x<-1或x>4}，所以a<0，
所以选项A错误；
a<0
b
由题得 -1+4=- a ,∴b=-3a,c=-4a，所以ax2+cx+b>0为x2-4x-3<0,∴2
c
-1×4=
a
- 70，所以选项C错误；
不等式ax+b>0为ax-3a>0,∴x<3，所以选项D错误.
故选：B
101 (2024·全国·高三专题练习)已知实数a0，所以m>0.故x >a，x 0
b
-3+1=- ，∴ a ，得b=2a,c=-3a，
c
-3×1=
a
则不等式bx2+ax+c<0⇔2ax2+ax-3a<0，
3
即2x2+x-3<0，解得：- 0(a>0)的解
集是x|x≠d ,，则下列四个结论中错误的是 ( )
A.a2=4b
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65 34271
B.a2+ ≥4
b
C.若关于x的不等式x2+ax-b<0的解集为(x ，x )，则xx >0
1 2 1 2
D.若关于x的不等式x2+ax+b0的解集为 ．
x+2
【答案】x|x>1或x<-2
x-1
【解析】根据分式不等式解法可知 >0等价于x-1
x+2
x+2 >0，
由一元二次不等式解法可得x>1或x<-2；
x-1
所以不等式 >0的解集为x|x>1或x<-2
x+2
.
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66 3427故答案为：x|x>1或x<-2
x2-9
106 (2024·全国·高三专题练习)不等式的 >0的解集是
x-2
【答案】：(-3,2)∪(3,+∞)
x2-9
【解析】 >0⇒(x+3)(x-3)(x-2)>0则-33
x-2
【考点定位】本题考查将分式不等式等价转化为高次不等式、考查高次不等式的解法
107 (2024·上海·高三专题练习)若不等式x-2 <1，则x的取值范围是 ．
【答案】x12时，x+2+x-2≤4，解得x≤2，此时解集为空集，
综上：不等式的解集为-2,2 .
故答案为：-2,2
109 (2024·上海杨浦·高三复旦附中校考阶段练习)已知集合A=x∣x2-6x+8≤0 ,B=
x x-3 <2,x∈Z ，则A∩B= ．
【答案】{2,3,4}
【解析】A=x∣x2-6x+8≤0 =x∣2≤x≤4 ，
B= x x-3 <2,x∈Z =x13+2 2
【解析】令fx =mx2-m-1 x+1，图象恒过点0,1 ，
∵方程mx2-m-1 x+1=0在区间0,1 内有两个不同的根，
m>0
m-1
0< <1
∴ 2m
f1
m>0
⇒ m>1
>0 m-1
Δ>0
，解得m>3+2 2.
2-4m>0
故答案为：m>3+2 2
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67 3427111 (2024·全国·高三专题练习)已知方程x2-2a+1 x+aa+1 =0的两根分别在区间
0,1 ，1,3 之内，则实数a的取值范围为 ．
【答案】0,1 .
【解析】方程x2-2a+1 x+aa+1 =0⇒x-a x-a+1 =0
∴方程两根为x =a,x =a+1，
1 2
00，k≠ 解得k< ，
2 6
所以k最大整数值是1.
故答案为：1.
113 (2024·全国·高三专题练习)已知a,b,c∈R，a+b+c=1,a2+b2+c2=1，则c的取值范围
为 .
1
【答案】 - ,1
3
【解析】a+b+c 2-2ab+2ac+2bc =a2+b2+c2，故ab+ac+bc=0，
a+b=1-c，ab=-ca+b =-c1-c ，
将a,b看成方程x2-1-c x-c1-c =0的两根，则Δ≥0，
即1-c 2+4c1-c ≥0，故c-1 1+3c
1
≤0，解得- ≤c≤1.
3
1
故答案为： - ,1
3
6 题型六：一元二次不等式恒成立问题
【解题总结】
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成
立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
114 (2024·全国·高三专题练习)若不等式x2+x-10对x∈R恒成立．
(1)当m2-1=0时，若不等式对x∈R恒成立，
m+1=0
只需
，解得m=-1；
1>0
(2)当m2-1≠0时，若该二次不等式恒成立，
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68 3427m2-1>0
只需 Δ=m+1 2-4m2-1
m>1或m<-1
，解得 5 ， <0 m> 或m<-1
3
所以m∈-∞,-1
5
∪ ,+∞
3
；
综上：m∈-∞,-1
5
∪ ,+∞
3
.
故答案为：-∞,-1
5
∪ ,+∞
3
115 (2024·全国·高三专题练习)若不等式ax2>x2-x-1对x∈-∞,0 恒成立，则a的取值
范围是 ．
5
【答案】a>
4
【解析】由不等式ax2>x2-x-1对x∈-∞,0 恒成立，
x2-x-1
可转化为a> 对x∈-∞,0
x2
x2-x-1
恒成立，即a>
x2
，
max
x2-x-1 1 1 1 1
而 =- - +1=- +
x2 x2 x x 2
2 5
+ ，
4
1 1
当x=-2时，- +
x 2
2 5 5 5
+ 有最大值 ，所以a> ，
4 4 4
5
故答案为：a> ．
4
116 (2024·全国·高三专题练习)若关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间0,4 上有解，则实
数a的取值范围是 .
【答案】(-∞,1]
【解析】因为x∈0,4
2x
，所以由ax2-2x+a≤0得a≤ ，
x2+1
因为关于x的不等式ax2-2x+a≤0在区间0,4 上有解，
2x
所以只需a小于等于 的最大值，
x2+1
2x
当x=0时， =0，
x2+1
2x 2
当x≠0时， = ≤1，当且仅当x=1时，等号成立，
x2+1 1
x+
x
2x
故 的最大值为1，
x2+1
所以a≤1，
即实数a的取值范围是(-∞,1].
故答案为：(-∞,1].
117 (2024·全国·高三专题练习)若∃x∈1,2 使关于x的不等式x2-ax+1≥0成立，则实
数a的取值范围是 ．
5
【答案】-∞，
2
【解析】∃x∈1，2 ，使关于x的不等式x2-ax+1≥0成立，
1
则ax≤x2+1，即a≤x+
x
，x∈1，2
max
，
1
令g(x)=x+ ，x∈1，2
x
，则对勾函数g(x)在1，2 上单调递增，
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69 34275
所以g(x) =g(2)= ，
max 2
5
故a∈-∞，
2
.
5
故答案为：-∞，
2
.
118 (2024·全国·高三专题练习)若不等式2x-1>mx2-1 对任意m∈-1,1 恒成立，实数
x的取值范围是 .
【答案】 3-1,2
【解析】2x-1>mx2-1 可转化为mx2-1 -2x+1<0.
设fm =mx2-1 -2x+1，则fm 是关于m的一次型函数.
要使fm
f1
<0恒成立，只需
=x2-2x<0
f-1
，
=-x2-2x+2<0
解得 3-1
