第41讲等差数列及其前n项和_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第41讲 等差数列及其前n项和 知识梳理 知识点一．等差数列的有关概念 (1)等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个 数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为a n -a =d(常数)(n∈N*，n≥2)． n-1 (2)等差中项 a+b 若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A= ． 2 知识点二．等差数列的有关公式 (1)等差数列的通项公式 如果等差数列{a }的首项为a ，公差为d，那么它的通项公式是a =a +(n-1)d． n 1 n 1 (2)等差数列的前n项和公式 n(n-1) n(a +a ) 设等差数列{a }的公差为d，其前n项和S =na + d= 1 n ． n n 1 2 2 知识点三．等差数列的常用性质 已知{a }为等差数列，d为公差，S 为该数列的前n项和． n n (1)通项公式的推广：a =a +(n-m)d(n，m∈N*)． n m (2)在等差数列{a }中，当m+n=p+q时，a +a =a +a (m，n，p，q∈N*)． n m n p q 特别地，若m+n=2t，则a +a =2a(m，n，t∈N*)． m n t (3)a ，a ，a ，⋯仍是等差数列，公差为md(k，m∈N*)． k k+m k+2m (4)S ，S -S ，S -S ，⋯也成等差数列，公差为n2d． n 2n n 3n 2n (5)若{a }，{b }是等差数列，则{pa +qb }也是等差数列． n n n n S (6)若{a }是等差数列，则 n n  n  也成等差数列，其首项与{a }首项相同，公差是{a } n n 1 公差的 ． 2 S a (7)若项数为偶数2n，则S =n(a +a )=n(a +a )；S -S =nd； 奇 = n ． 2n 1 2n n n+1 偶 奇 S a 偶 n+1 (8)若项数为奇数2n-1，则S =(2n-1)a ；S -S =a ； S 奇 = n ． 2n-1 n 奇 偶 n S n-1 偶 a ≥0 (9)在等差数列{a n }中，若a 1 >0，d<0，则满足  a m ≤0 的项数m使得S n 取得最大值 m+1 a ≤0 S m ；若a 1 <0，d>0，则满足  a m ≥0 的项数m使得S n 取得最小值S m ． m+1 知识点四．等差数列的前n项和公式与函数的关系 d d S = n2+a - n 2 1 2  n．数列{a }是等差数列⇔S =An2+Bn(A、B为常数)． n n 知识点五．等差数列的前n项和的最值 公差d>0⇔{a }为递增等差数列，S 有最小值； n n 第 页 共 页 329 1043公差d<0⇔{a }为递减等差数列，S 有最大值； n n 公差d=0⇔{a }为常数列． n 特别地 a >0 若  d 1 <0 ，则S n 有最大值(所有正项或非负项之和)； a <0 若  d 1 >0 ，则S n 有最小值(所有负项或非正项之和)． 知识点六．其他衍生等差数列． 若已知等差数列{a }，公差为d，前n项和为S ，则： n n ①等间距抽取a ,a ,a ,⋯a ,⋯为等差数列，公差为td． p p+t p+2t p+(n-1)t ②等长度截取S ,S -S ,S -S ,⋯为等差数列，公差为m2d． m 2m m 3m 2m S S S d ③算术平均值 1, 2, 3,⋯为等差数列，公差为 ． 1 2 3 2 【解题方法总结】 (1)等差数列{a }中，若a =m,a =n(m≠n,m,n∈N∗)，则a =0． n n m m+n (2)等差数列{a }中，若S =m,S =n(m≠n,m,n∈N∗)，则S =-(m+n)． n n m m+n (3)等差数列{a }中，若S =S (m≠n,m,n∈N∗)，则S =0． n n m m+n a S (4)若{a }与{b }为等差数列，且前n项和为S 与T，则 m = 2m-1． n n n n b T m 2m-1 必考题型全归纳 1 题型一：等差数列的基本量运算 1821 (2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知数列a n  满足：a =1，且满足a + 1 n a =n(n∈N*)，则a = ( ) n+1 2023 A.1012 B.1013 C.2022 D.2024 1822 (2024·河北·统考模拟预测)已知等差数列{a }的前n项和是S ,a =1,S =3a ，则S = n n 3 7 6 3 ( ) A.1 B.-1 C.3 D.-3 1823 (2024·四川凉山·三模)在等差数列a n  中，a +a =2，a =3，则a =( )． 2 4 5 9 A.3 B.5 C.7 D.9 1824 (2024·江西新余·统考二模)记S 是公差不为0的等差数列a n n  的前n项和，若a =S ， 2 3 aa =S ，则数列a 1 3 4 n  的公差为 ( ) A.-2 B.-1 C.2 D.4 1825 (2024·广西·统考模拟预测)设a n  为等差数列，若a +2a =1,a =5，则公差d= 3 1 4 ( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 1826 (2024·山西·高三校联考阶段练习)记S 为等差数列a n n  的前n项和，若S =a ,a -a 3 5 3 1 =8，则a = ( ) 7 第 页 共 页 330 1043A.30 B.28 C.26 D.13 2 题型二：等差数列的判定与证明 1827 (2024·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)已知数列a n  的前n项和为S , n 1 S n = 3 n+2  a ，且a =1. n 1 a (1)求证：数列 n  n  是等差数列； 1 (2)求数列 a n  的前n项和T. n 1828 (2024·江苏南京·高二南京师范大学附属中学江宁分校校考期末)记S 为数列{a }的前 n n n项和． (1)从下面两个条件中选一个，证明：数列{a }是等差数列； n S ①数列 n  n  是等差数列；②S = na n +1 n  n∈N* 2  (2)若数列{a }为等差数列，且a =1，a =5，求数列 n n 1 3  (n+2)S n  的前n项和T． n 1829 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n  2 a -2 满足a = ，a = n n∈N* 1 3 n+1 2a -3 n  ． 1 (1)证明： a -1 n  是等差数列，并求出a n  的通项a ． n 1 (2)证明：aa a ⋯a < ． 1 2 3 n n+1 1830 (2024·陕西西安·高二长安一中校考期末)已知数列a n  满足，a = n+1 a +1, n=2k-1   n ,k∈N∗ ，a 1 =1. a -2, n=2k n (1)若数列b n  为数列a n  的奇数项组成的数列，证明：数列b n  为等差数列； (2)求数列a n  的前50项和. 1831 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n  的前n项和为S nS n ≠0  ，数列S n  的前n项 积为T，且满足S +T =S ⋅Tn∈N* n n n n n  ． 1 (1)求证： S -1 n  为等差数列； 1 (2)记b = ，求数列b n n2S n n  的前2024项的和M． 1832 (2024·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末)已知数列a n  中，a =1，当n≥2时，其前 1 n项和S n 满足：S2 n =a nS n -1  ，且S ≠0，数列b n n  b b 满足：对任意n∈N*有 1 + 2 +⋯ S S 1 2 b + n =n-1 S n  ⋅2n+1+2. 1 (1)求证：数列 S n  是等差数列； (2)求数列b n  的通项公式； (3)设T 是数列 2n-1 n  b -b 2n n  3 的前n项和，求证：T < . n 2 3 题型三：等差数列的性质 1833 (2024·安徽蚌埠·统考模拟预测)已知等差数列{a n }满足a 2 +a 4 +a 6 =π，则cosa 1 +a 7  第 页 共 页 331 1043= ( ) 1 1 2 3 A.- B. C. D. 2 2 2 2 1834 (2024·陕西榆林·统考模拟预测)设S 为等差数列a n n  的前n项和，若S =105，则a = 21 11 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8 1835 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n  满足2a =a +a ，其前n项和为S ，若S n+1 n n+2 n 9 =18，则a = ( ) 5 A.-2 B.0 C.2 D.4 1836 (2024·全国·高三专题练习)如果等差数列a n  中，a +a +a =12，那么a +a +⋅⋅⋅+a 3 4 5 1 2 7 = ( ) A.14 B.12 C.28 D.36 1837 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n  1 是等差数列，若 ，则a +a 等于 ( ) 2 3 15 A.7 B.14 C.21 D.7(n-1) 1838 (2024·全国·高三专题练习)已知等差数列a n  中，a +a =6，则a +a +a +a +a = 2 4 1 2 3 4 5 ( ) A.30 B.15 C.5 6 D.10 6 4 题型四：等差数列前n项和的性质 1839 (2024·全国·高三专题练习)两个等差数列a n  ，b n  的前n项和分别为S 和T，已知 n n S 7n+2 a n = ，则 7 = ． T n+3 b n 7 1840 (2024·全国·高三专题练习)设等差数列a n  ，b n  S 的前n项和分别为S ，T，且 n = n n T n 3n-1 a ，则 8 = . n+3 b +b 5 11 1841 (2024·全国·高三专题练习)若两个等差数列a n  ，b n  的前n项和分别是S ，T，已知 n n S 3n+1 a n = ，则 3 = . T 2n-3 b n 3 1842 (2024·高三课时练习)已知数列a n  与b n  均为等差数列，且前n项和分别为S 与T， n n S 3n+2 a 若 n = ，则 5 = ． T n+1 b n 5 1843 (2024·宁夏·高三六盘山高级中学校考期中)设等差数列{a }的前n项和为S ，若S = n n 3 9，S =36，则a +a +a = 6 4 5 6 1844 (2024·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习)已知等差数列a n  的前n项 和为S ，若S =20，S =90，则S = n 10 30 20 1845 (2024·全国·高三专题练习)等差数列a n  S S 中，a =2020，前n项和为S ，若 12 - 10 = 1 n 12 10 -2，则S = . 2022 第 页 共 页 332 10431846 (2024·全国·高三对口高考)已知等差数列a n  1 的前n项和为S ，若公差d= ，S = n 2 100 145；则a +a +a +⋯+a 的值为 . 1 3 5 99 1847 (2024·全国·高三专题练习)已知等差数列a n  的项数为奇数，且奇数项的和为40，偶数 项的和为32，则a = . 5 1848 (2024·四川泸州·四川省泸县第一中学校考二模)在等差数列a n  中，前m项(m为奇 数)和为70，其中偶数项之和为30，且a -a =12，则a 1 m n  的通项公式为a = . n 5 题型五：等差数列前n项和的最值 1849 (2024·全国·高三专题练习)已知S 为等差数列a n n  的前n项和，且S =35，a +a +a 2 2 3 4 =39，则当S 取最大值时，n的值为 . n 1850 (2024·全国·高三专题练习)设等差数列a n  的前n项和为S ，已知S >0，S <0，则 n 12 13 以下选项中，最大的是 ( ) A.S B.S C.S D.S 12 7 6 1 1851 (2024·四川·模拟预测)在数列a n  中，若a =21，前n项和S =-2n2+bn，则S 的最大 1 n n 值为 ． 1852 (2024·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中)已知等差数列a n  的各项均为 正整数，且a =2020，则a 的最小值是 9 1 1853 (2024·全国·高三专题练习)设S 是等差数列a n n  的前n项和，若S >0，S <0，则数 25 26 S 列 n a n  n∈N+,n≤25  中的最大项是第 项. 1854 (2024·江西·高三校联考阶段练习)已知数列a n  a 满足a =21,a =a +2n，则 n 的最 1 n+1 n n 小值为 . 1855 (2024·全国·高三专题练习)等差数列a n  中，S S ，给出下列命题：①d<0， 6 7 7 8 ②S 0的k的最大值为 . n k 1857 (2024·高三课时练习)记等差数列a n  的前n项和为S ，若a >0，a +a =0，则当 n 1 2 2023 S 取得最大值时，n= ． n 1858 (2024·福建泉州·校联考模拟预测)已知S 是等差数列{a }的前n项和，若仅当n=5 n n 时S 取到最小值，且|a |>|a |，则满足S >0的n的最小值为 . n 5 6 n 1859 (2024·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习)已知S 为等差数列a n n  的前n项和.若 S >0，a +a <0，则当S 取最小值时，n的值为 . 16 7 9 n 1860 (2024·全国·高三专题练习)已知数列{a }是等差数列，若a +a >0，a a <0，且数 n 9 12 10 11 列{a }的前n项和S 有最大值，那么当S >0时，n的最大值为 ． n n n 第 页 共 页 333 10436 题型六：等差数列的实际应用 1861 (2024·全国·高三专题练习)从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、 立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气 的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，则谷雨这一天的日影长 度为 ( ) A.5.5尺 B.4.5尺 C.3.5尺 D.2.5尺 1862 (2024·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测)2022年卡塔尔世界杯是第二十二届世 界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯之 后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念 本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会 员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件 的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人(编号为1号到1456号，中间没 有空缺)，则获得精品足球的人数为 ( ) A.102 B.103 C.104 D.105 1863 (2024·全国·高三专题练习)2022年10月16日上午10时，举世瞩目的中国共产党第二 十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕，某单位组织全体人员在报告厅集体收看， 已知该报告厅共有16排座位，共有432个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个 座位数，则最后一排的座位数为 ( ) A.12 B.26 C.42 D.50 1864 (2024·全国·高三专题练习)天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地 支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、 未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干 在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第 三年为“丙寅”，⋯，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙 亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，⋯，以此类推，2024年是癸卯年，请问：在100 年后的2123年为 ( ) A.癸未年 B.辛丑年 C.己亥年 D.戊戌年 1865 (2024·海南海口·校联考一模)家庭农场是指以农户家庭成员为主要劳动力的新型农业 经营主体．某家庭农场从2019年开始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同 额度的收益，已知2019年的收益为30万元，2021年的收益为50万元．照此规律，从 2019年至2026年该家庭农场的总收益为 ( ) A.630万元 B.350万元 C.420万元 D.520万元 7 题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论 1866 (2024·全国·高三专题练习)已知a n  为等差数列，b n =   a 2a n - ,n 6, 为 n为 偶 奇 数 数 ，记S n ，T n 分别 n 为数列a n  ，b n  的前n项和，S =32，T =16． 4 3 (1)求a n  的通项公式； (2)证明：当n>5时，T >S ． n n 第 页 共 页 334 10431867 (2024·广东深圳·统考模拟预测)已知等差数列a n  满足a =10，a -2a =6． 3 5 2 (1)求a ； n (2)数列b n  2n-1,n为奇数  满足b n = 1 a ,n为偶数 ，T n 为数列b n 2 n-1  的前n项和，求T ． 2n 1868 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n  满足：a n+2 +-1  na =3，a =1，a =2. n 1 2 (1)记b =a ，求数列b n 2n-1 n  的通项公式； (2)记数列a n  的前n项和为S ，求S . n 30 1869 (2024·江苏南京·统考一模)已知数列a n  和b n  满足：a --1 n+k  k⋅a =b (n∈N*). n n (1)若k=1，a =1，b =2n，求数列a 1 n n  的通项公式； (2)若k=4，b =8，a =4，a =6，a =8，a =10. n 1 2 3 ,4 求证：数列a n  为等差数列； 记数列a n  的前n项和为S n ，求满足S n +1  3 2- a +33=k2的所有正整数k和n的 2 n 值. 1870 (2024·全国·高三专题练习)数列a n  中，a =a =1，前n项和S 满足S +S =n2+ 1 2 n n n+1 2nn∈N*  ． (1)证明：a 2n  为等差数列； (2)求S ． 101 8 题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题 1871 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n  2S 的前n项和为S ，且 n =n-13. n n (1)求数列a n  的通项公式； (2)若数列 a n    T 的前n项和为T，设R = n，求R 的最小值. n n n n 1872 (2024·全国·高三专题练习)记S 为等差数列a n n  的前n项和，已知a =11,S =40． 2 10 (1)求a n  的通项公式； (2)求数列 a n    的前n项和T． n 1873 (2024·全国·高三专题练习)记S 为等差数列a n n  的前n项和，S +S =18，a +a = 14 8 2 10 0． (1)求数列a n  的通项公式； 100 (2)求 a k k=1   的值． 1874 (2024·全国·高三专题练习)已知等差数列a n  的前n项和为S ，其中a =-10，S = n 2 6 -42． (1)求数列a n  的通项； (2)求数列 a n    的前n项和为T． n 1875 (2024·全国·高三专题练习)在公差为d的等差数列{a }中，已知a =10，且2a ，2a + n 1 1 2 1 2，5a - 成等比数列． 3 5 (1)求d，a ； n (2)若d<0，求|a|+|a |+|a |+⋯+|a | 1 2 3 n 第 页 共 页 335 10439 题型九：利用等差数列的单调性求解 1876 (2024·全国·高三专题练习)已知等差数列a n  单调递增且满足a +a =6，则a 的取值 1 8 6 范围是 ( ) A. -∞,3  B. 3,6  C. 3，+∞  D. 6,+∞  1877 (2024·全国·高三专题练习)设a n  是等差数列，则“a 0，a a < 1 6 7 0，则无法判断正负的是 ( ) A.S B.S C.S D.S 11 12 13 14 1879 (2024·全国·高三专题练习)已知等差数列a n  公差不为0，正项等比数列b n  ，a =b ， 2 2 a =b ，则以下命题中正确的是 ( ) 10 10 A.a >b B.a >b C.a b 1 1 5 5 6 6 17 17 1880 (2024·全国·高三专题练习)等差数列a n  的前n项和为S ，若∀n∈N∗，S ≤S ，则数 n n 7 列a n  的通项公式可能是 ( ) A.a =3n-15 B.a =17-3n C.a =n-7 D.a =15-2n n n n n (3-a)x-3, x≤7  1881 (2024·山西朔州·高二校考阶段练习)设函数f(x)= ax-6, x>7 ，数列a n  满足 a =f(n),n∈N ，且数列a n + n  是递增数列，则实数a的取值范围是 ( ) A.(2,3] B.(1,3) C. 2,3  3 D. 1, 2  10 题型十：等差数列中的范围与恒成立问题 1882 (2024·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中)已知等差数列a n  的前n项和为 S ，并且S >0,S <0，若S ≤S 对n∈N 恒成立，则正整数k的值为 . n 10 11 n k + 1883 (2024·北京·高二北京市第一六六中学校考阶段练习)设S n 是公差为dd≠0  的无穷等 差数列a n  的前n项和，则下列命题正确的是 . ①若d<0，则数列S n  有最大项；②若数列S n  有最大项，则d<0 ③若数列对任意的n∈N*，S >S 恒成立，则S >0 n+1 n n ④若对任意的n∈N*，均有S >0，则S >S 恒成立 n n+1 n 1884 (2024·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测)已知数列a n  的前n项和为S ，na n n+1 -n+1  S a +1=0(n∈N*)，且a =3，a =5.若m> n 恒成立，则实数m的取值范围 n 1 2 2n+1 为 . 1885 (2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)已知数列a n  满足:a +a =2a n n+2 n+1 a 对n∈N*恒成立,且 9 <-1,其前n项和S 有最大值,则使得S >0的最大的n的值是 a n n 8 第 页 共 页 336 1043. 1886 (2024·广东佛山·高二校考阶段练习)已知等差数列a n  的首项a =1，公差为d，前n项 1 和为S ．若S ≤S 恒成立，则公差d的取值范围是 ． n n 8 1887 (2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测)设等差数列a n  的前n项和为S .已知 n a +a +a =47，a +a =28.若存在正整数k，使得对任意的n∈N*都有S ≤S 恒成 1 2 5 3 4 n k 立，则k的值为 . 1888 (2024·上海杨浦·统考二模)数列a n  满足a =1, a +a =3n+2对任意n∈N*恒 1 n n+1 成立，则a = . 2020 1889 (2024·重庆九龙坡·高三统考期中)等差数列{a }的前n项和记为S ，已知a +a +a n n 1 4 7 =33，a +a +a =27，若存在正数k，使得对任意n∈N*，都有S ≤S 恒成立，则k的值 2 5 8 n k 为 ． 第 页 共 页 337 1043