文档内容
第 41 讲 等差数列及其前 n 项和
知识梳理
知识点一．等差数列的有关概念
（1）等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么
这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示，定义表达
式为 （常数） ．
（2）等差中项
若三个数 ， ， 成等差数列，则 叫做 与 的等差中项，且有 ．
知识点二．等差数列的有关公式
（1）等差数列的通项公式
如果等差数列 的首项为 ，公差为 ，那么它的通项公式是 ．
（2）等差数列的前 项和公式
设等差数列 的公差为 ，其前 项和 ．
知识点三．等差数列的常用性质
已知 为等差数列， 为公差， 为该数列的前 项和．
（1）通项公式的推广： ．
（2）在等差数列 中，当 时， ．
特别地，若 ，则 ．
（3） ，…仍是等差数列，公差为 ．
（4） ，…也成等差数列，公差为 ．
（5）若 ， 是等差数列，则 也是等差数列．
（6）若 是等差数列，则 也成等差数列，其首项与 首项相同，公差是
公差的 ．
（7）若项数为偶数 ，则 ； ； ．
（8）若项数为奇数 ，则 ； ； ．（9）在等差数列 中，若 ，则满足 的项数 使得 取得最大
值 ；若 ，则满足 的项数 使得 取得最小值 ．
知识点四．等差数列的前n项和公式与函数的关系
．数列 是等差数列⇔ （ 为常数）．
知识点五．等差数列的前n项和的最值
公差 为递增等差数列， 有最小值；
公差 为递减等差数列， 有最大值；
公差 为常数列．
特别地
若 ，则 有最大值（所有正项或非负项之和）；
若 ，则 有最小值（所有负项或非正项之和）．
知识点六．其他衍生等差数列．
若已知等差数列 ，公差为 ，前 项和为 ，则：
①等间距抽取 为等差数列，公差为 ．
②等长度截取 为等差数列，公差为 ．
③算术平均值 为等差数列，公差为 ．
【解题方法总结】
（1）等差数列 中，若 ，则 ．
（2）等差数列 中，若 ，则 ．
（3）等差数列 中，若 ，则 ．（4）若 与 为等差数列，且前 项和为 与 ，则 ．
必考题型全归纳
题型一：等差数列的基本量运算
例1．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知数列 满足： ，且满足
，则 （ ）
A．1012 B．1013 C．2022 D．2024
例2．（2024·河北·统考模拟预测）已知等差数列 的前 项和是 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2024·四川凉山·三模）在等差数列 中， ， ，则 （ ）．
A．3 B．5 C．7 D．9变式1．（2024·江西新余·统考二模）记 是公差不为0的等差数列 的前 项和，若
， ，则数列 的公差为（ ）
A． B． C．2 D．4
变式2．（2024·广西·统考模拟预测）设 为等差数列，若 ，则公差
（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
变式3．（2024·山西·高三校联考阶段练习）记 为等差数列 的前 项和，若
，则 （ ）
A．30 B．28 C．26 D．13
【解题方法总结】
等差数列基本运算的常见类型及解题策略：
（1）求公差 或项数 ．在求解时，一般要运用方程思想．
（2）求通项． 和 是等差数列的两个基本元素．
（3）求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．
（4）求前 项和．利用等差数列的前 项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．
【注意】在求解数列基本量问题中主要使用的是方程思想，要注意使用公式时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意运用整体代
换思想，使运算更加便捷．
题型二：等差数列的判定与证明
例4．（2024·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为
，且 .
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)求数列 的前 项和 .
例5．（2024·江苏南京·高二南京师范大学附属中学江宁分校校考期末）记 为数列 的
前 项和．
(1)从下面两个条件中选一个，证明：数列 是等差数列；
①数列 是等差数列；②
(2)若数列 为等差数列，且 ， ，求数列 的前 项和 ．
例6．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ， ．(1)证明： 是等差数列，并求出 的通项 ．
(2)证明： ．
变式4．（2024·陕西西安·高二长安一中校考期末）已知数列 满足，
， .
(1)若数列 为数列 的奇数项组成的数列，证明：数列 为等差数列；
(2)求数列 的前50项和.
变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 的前n项和为 ，数列 的
前n项积为 ，且满足 ．
(1)求证： 为等差数列；
(2)记 ，求数列 的前2024项的和M．变式6．（2024·浙江宁波·高一慈溪中学校联考期末）已知数列 中， ，当 时，
其前 项和 满足： ，且 ，数列 满足：对任意 有
.
(1)求证：数列 是等差数列；
(2)求数列 的通项公式；
(3)设 是数列 的前 项和，求证： .
【解题方法总结】
判断数列 是等差数列的常用方法
（1）定义法：对任意 是周一常数．
（2）等差中项法：对任意 ，湍足 ．
（3）通项公式法：对任意 ，都满足 为常数）．
（4）前 项和公式法：对任意 ，都湍足 为常数）．
题型三：等差数列的性质
例7．（2024·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知等差数列 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
例8．（2024·陕西榆林·统考模拟预测）设 为等差数列 的前 项和，若 ，则
（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
例9．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足 ，其前n项和为 ，
若 ，则 （ ）
A． B．0 C．2 D．4
变式7．（2024·全国·高三专题练习）如果等差数列 中， ，那么
（ ）
A．14 B．12 C．28 D．36变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 是等差数列，若 ，则
等于（ ）
A．7 B．14 C．21 D．7(n-1)
变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知等差数列 中， ，则
（ ）
A．30 B．15 C．5 D．10
【解题方法总结】
如果 为等差数列，当 时， ．因此，
出现 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与 （或其他项）有关的
条件；若求 项，可由 转化为求a ＋a 的值．
m－n n＋m
题型四：等差数列前n项和的性质
例10．（2024·全国·高三专题练习）两个等差数列 ， 的前n项和分别为 和 ，已知 ，则 ______．
例11．（2024·全国·高三专题练习）设等差数列 ， 的前n项和分别为 ， ，且
，则 ______.
例12．（2024·全国·高三专题练习）若两个等差数列 ， 的前n项和分别是 ， ，
已知 ，则 ______.
变式10．（2024·高三课时练习）已知数列 与 均为等差数列，且前n项和分别为
与 ，若 ，则 ______．变式11．（2024·宁夏·高三六盘山高级中学校考期中）设等差数列 的前 项和为 ，
若 ， ，则 _________
变式12．（2024·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知等差数列 的
前n项和为 ，若 ， ，则 ___________
变式13．（2024·全国·高三专题练习）等差数列 中， ，前 项和为 ，若
，则 ______.
变式14．（2024·全国·高三对口高考）已知等差数列 的前 项和为 ，若公差 ，
；则 的值为__________.变式15．（2024·全国·高三专题练习）已知等差数列 的项数为奇数，且奇数项的和为
40，偶数项的和为32，则 ______.
变式16．（2024·四川泸州·四川省泸县第一中学校考二模）在等差数列 中，前m项
（m为奇数）和为70，其中偶数项之和为30，且 ，则 的通项公式为
______.
【解题方法总结】
在等差数列中， ，…仍成等差数列； 也成等差数列．
题型五：等差数列前n项和的最值
例13．（2024·全国·高三专题练习）已知 为等差数列 的前 项和，且 ，
，则当 取最大值时， 的值为___________.
例14．（2024·全国·高三专题练习）设等差数列 的前 项和为 ，已知 ，，则以下选项中，最大的是（ ）
A． B． C． D．
例15．（2024·四川·模拟预测）在数列 中，若 ，前 项和 ，则
的最大值为______．
变式17．（2024·上海嘉定·高三上海市嘉定区第一中学校考期中）已知等差数列 的各
项均为正整数，且 ，则 的最小值是________
变式18．（2024·全国·高三专题练习）设 是等差数列 的前 项和，若 ，
，则数列 中的最大项是第______项.变式19．（2024·江西·高三校联考阶段练习）已知数列 满足 ，则
的最小值为_______.
变式20．（2024·全国·高三专题练习）等差数列 中， ， ，给出下列命题：
① ，② ，③ 是各项中最大的项，④ 是 中最大的值，⑤ 为递增数列.
其中正确命题的序号是______.
变式21．（2024·全国·高三专题练习）已知等差数列 的通项公式为 ，
当且仅当 时，数列 的前 项和 最大.则满足 的 的最大值为__________.
变式22．（2024·高三课时练习）记等差数列 的前n项和为 ，若 ，
，则当 取得最大值时，n＝______．变式23．（2024·福建泉州·校联考模拟预测）已知 是等差数列{ }的前n项和，若仅当
时 取到最小值，且 ，则满足 的n的最小值为__________.
变式24．（2024·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知 为等差数列 的前 项
和.若 ， ，则当 取最小值时， 的值为________.
变式25．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 是等差数列，若 ， ，
且数列 的前 项和 有最大值，那么当 时， 的最大值为__．
【解题方法总结】
求等差数列前 项和 最值的2种方法
（1）函数法：利用等差数列前 项和的函数表达式 ，通过配方或借助图
象求二次函数最值的方法求解．
（2）邻项变号法：①若 ，则满足 的项数 使得 取得最大值
；②若 ，则满足 的项数 使得 取得最小值 ．
题型六：等差数列的实际应用
例16．（2024·全国·高三专题练习）从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、
清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、
春分这三个节气的日影长度之和为 尺，前九个节气日影长度之和为 尺，则谷雨这
一天的日影长度为（ ）
A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺
例17．（2024·河北唐山·唐山市第十中学校考模拟预测）2022年卡塔尔世界杯是第二十二
届世界杯足球赛，是历史上首次在卡塔尔和中东国家境内举行，也是继2002年韩日世界杯
之后时隔二十年第二次在亚洲举行的世界杯足球赛.某网站全程转播了该次世界杯，为纪念
本次世界杯，该网站举办了一针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会
员编号能被2整除余1且被7整除余1的可以获得精品足球一个；②对于不符合①中条件
的可以获得普通足球一个.已知该网站的会员共有1456人（编号为1号到1456号，中间没
有空缺），则获得精品足球的人数为（ ）
A．102 B．103 C．104 D．105
例18．（2024·全国·高三专题练习）2022年10月16日上午10时，举世瞩目的中国共产党
第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕，某单位组织全体人员在报告厅集体收
看，已知该报告厅共有16排座位，共有432个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多
2个座位数，则最后一排的座位数为（ ）
A．12 B．26 C．42 D．50变式26．（2024·全国·高三专题练习）天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与
十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、
寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地
支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一
年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”
后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，
即“丙子”，…，以此类推，2024年是癸卯年，请问：在100年后的2123年为（ ）
A．癸未年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年
变式27．（2024·海南海口·校联考一模）家庭农场是指以农户家庭成员为主要劳动力的新
型农业经营主体．某家庭农场从2019年开始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加
相同额度的收益，已知2019年的收益为30万元，2021年的收益为50万元．照此规律，从
2019年至2026年该家庭农场的总收益为（ ）
A．630万元 B．350万元 C．420万元 D．520万元
题型七：关于等差数列奇偶项问题的讨论
例19．（2024·全国·高三专题练习）已知 为等差数列， ，记 ，
分别为数列 ， 的前n项和， ， ．
(1)求 的通项公式；(2)证明：当 时， ．
例20．（2024·广东深圳·统考模拟预测）已知等差数列 满足 ， ．
(1)求 ；
(2)数列 满足 ， 为数列 的前 项和，求 ．
例21．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 满足： ， ， .
(1)记 ，求数列 的通项公式；
(2)记数列 的前 项和为 ，求 .
变式28．（2024·江苏南京·统考一模）已知数列 和 满足：
.
（1）若 ，求数列 的通项公式；（2）若 .
求证：数列 为等差数列；
记数列 的前 项和为 ，求满足 的所有正整数 和 的值.
变式29．（2024·全国·高三专题练习）数列 中， ，前n项和 满足
．
（1）证明： 为等差数列；
（2）求 ．
【解题方法总结】
对于奇偶项通项不统一的数列的求和问题要注意分类讨论．主要是从 为奇数、偶数
进行分类．
题型八：对于含绝对值的等差数列求和问题
例22．（2024·全国·高三专题练习）已知数列 的前 项和为 ，且 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列 的前 项和为 ，设 ，求 的最小值.例23．（2024·全国·高三专题练习）记 为等差数列 的前 项和，已知
．
(1)求 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
例24．（2024·全国·高三专题练习）记 为等差数列 的前 项和， ，
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求 的值．
变式30．（2024·全国·高三专题练习）已知等差数列 的前n项和为 ，其中 ，
．
(1)求数列 的通项；(2)求数列 的前n项和为 ．
变式31．（2024·全国·高三专题练习）在公差为 的等差数列 中，已知 ，且 ，
， 成等比数列．
(1)求 ， ；
(2)若 ，求
【解题方法总结】
由正项开始的递减等差数列 的绝对值求和的计算题解题步骤如下：
（1）首先找出零值或者符号由正变负的项
进行讨论，当 时， ，当 时，
（2）在对
题型九：利用等差数列的单调性求解
例25．（2024·全国·高三专题练习）已知等差数列 单调递增且满足 ，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．例26．（2024·全国·高三专题练习）设 是等差数列，则“ ”是“数列
是递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例27．（2024·全国·高三专题练习）在等差数列 中， 为 的前n项和， ，
，则无法判断正负的是（ ）
A． B． C． D．
变式32．（2024·全国·高三专题练习）已知等差数列 公差不为0，正项等比数列 ，
， ，则以下命题中正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式33．（2024·全国·高三专题练习）等差数列 的前 项和为 ，若 ，，则数列 的通项公式可能是（ ）
A． B． C． D．
变式34．（2024·山西朔州·高二校考阶段练习）设函数 ，数列
满足 ，且数列 是递增数列，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
（1）在处理数列的单调性问题时应利用数列的单调性定义，即“若数列 是递增
数列 ， 恒成立”．
（2）数列 的单调性与 ， 的单调性不完全一致．
一般情况下我们不应把数列的单调性转化为相应连续函数的单调性来处理．但若数列
对应的连续函数是单调函数，则可以借助其单调性来求解数列的单调性问题．即“离散函
数有单调性 连续函数由单调性；连续函数有单调性 离散函数有单调性”．
题型十：等差数列中的范围与恒成立问题
例28．（2024·江西赣州·高三赣州市赣县第三中学校考期中）已知等差数列 的前n项和为 ，并且 ，若 对 恒成立，则正整数 的值为______.
例29．（2024·北京·高二北京市第一六六中学校考阶段练习）设 是公差为 的无
穷等差数列 的前 项和，则下列命题正确的是______.
①若 ，则数列 有最大项；②若数列 有最大项，则
③若数列对任意的 ， 恒成立，则
④若对任意的 ，均有 ，则 恒成立
例30．（2024·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知数列 的前 项和为 ，
（ ），且 ， .若 恒成立，则实数 的取值
范围为______.
变式35．（2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列 满足:对 恒成立,且 ,其前 项和 有最大值,则使得 的最大的
的值是_________.
变式36．（2024·广东佛山·高二校考阶段练习）已知等差数列 的首项 ，公差为 ，
前 项和为 ．若 恒成立，则公差 的取值范围是______．
变式37．（2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）设等差数列 的前n项和为 .
已知 ， .若存在正整数k，使得对任意的 都有 恒成
立，则k的值为________.
变式38．（2024·上海杨浦·统考二模）数列 满足 对任意
恒成立，则 _______.变式 39．（2024·重庆九龙坡·高三统考期中）等差数列 的前 n项和记为 ，已知
， ，若存在正数k，使得对任意 ，都有 恒成
立，则k的值为_________
