第42讲等比数列及其前n项和_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第42讲 等比数列及其前n项和
知识梳理
知识点一．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，
那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的
a
表达式为 n+1 =q．
a
n
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．
即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2=ab．
知识点二．等比数列的有关公式
(1)等比数列的通项公式
设等比数列{a }的首项为a ，公比为q(q≠0)，则它的通项公式a =a qn-1=c⋅
n 1 n 1
a
qnc= 1
q
 (a,q≠0)．
1
推广形式：a =a ⋅qn-m
n m
(2)等比数列的前n项和公式
na(q=1)
 1
等比数列{a }的公比为q(q≠0)，其前n项和为S =a(1-qn) a -a q
n n 1 = 1 n (q≠1)
1-q 1-q
注①等比数列的前n项和公式有两种形式，在求等比数列的前n项和时，首先要判断公
比q是否为1，再由q的情况选择相应的求和公式，当不能判断公比q是否为1时，要分q=1
与q≠1两种情况讨论求解．
a(1-qn)
②已知a ,q(q≠1),n(项数)，则利用S = 1 求解；已知a ,a ,q(q≠1)，则利用S
1 n 1-q 1 n n
a -a q
= 1 n 求解．
1-q
a(1-qn) -a a
③S = 1 = 1 ⋅qn+ 1 =kqn-k(k≠0,q≠1)，S 为关于qn的指数型函
n 1-q 1-q 1-q n
数，且系数与常数互为相反数．
知识点三．等比数列的性质
(1)等比中项的推广．
若m+n=p+q时，则a a =a a ，特别地，当m+n=2p时，a a =a2．
m n p q m n p
(2)①设{a n }为等比数列，则{λa n }(λ为非零常数)，a n    ，{am}仍为等比数列． n
②设{a }与{b }为等比数列，则{a b }也为等比数列．
n n n n
(3)等比数列{a }的单调性(等比数列的单调性由首项a 与公比q决定)．
n 1
a >0 a <0
当
 q
1
>1
或
 0
1
<q<1
时，{a
n
}为递增数列；
a >0 a <0
当
 0
1
<q<1
或
 q
1
>1
时，{a
n
}为递减数列．
(4)其他衍生等比数列．
若已知等比数列{a }，公比为q，前n项和为S ，则：
n n
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338 1043①等间距抽取
a ,a ,a ,⋯a ,⋯为等比数列，公比为qt．
p p+t p+2t p+(n-1)t
②等长度截取
S ,S -S ,S -S ,⋯为等比数列，公比为qm(当q=-1时，m不为偶数)．
m 2m m 3m 2m
【解题方法总结】
(1)若m+n=p+q=2k(m，n，p，q，k∈N*)，则a ⋅a =a ⋅a =a2．
m n p q k
1
(2)若{a }，{b }(项数相同)是等比数列，则{λa }(λ≠0)，
n n n a
n

a
，{a2}，{a ⋅b }， n
n n n  b
n

仍是等比数列．
(3)在等比数列{a }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a ，a ，a ，
n n n+k n+2k
a ⋯为
n+3k
等比数列，公比为qk．
(4)公比不为-1的等比数列{a }的前n项和为S ，则S ，S -S ，S -S 仍成等比
n n n 2n n 3n 2n
数列，其公比为qn．
T T
(5){a }为等比数列，若a ⋅a ⋯a =T，则T， 2n， 3n，⋯成等比数列．
n 1 2 n n n T T
n 2n
(6)当q≠0，q≠1时，S =k-k·qn(k≠0)是{a }成等比数列的充要条件，此时k=
n n
a
1 ．
1-q
(7)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还
等于中间
项的平方．
(8)若{a }为正项等比数列，则{log a }(c>0,c≠1)为等差数列．
n c n
(9)若{a }为等差数列，则{can}(c>0,c≠1)为等比数列．
n
(10)若{a }既是等差数列又是等比数列⇔{a )是非零常数列．
n n
必考题型全归纳
1 题型一：等比数列的基本运算
1890 (2024·北京·高三汇文中学校考阶段练习)在等比数列a
n
 中，a =3，a +a +a =9，
1 1 2 3
则a +a +a 等于 ( )
4 5 6
A.9 B.72 C.9或70 D.9或-72
1891 (2024·全国·高三专题练习)已知递增的等比数列a
n
 中，前3项的和为7，前3项的积为
8，则a 的值为 ( )
4
A.2 B.4 C.6 D.8
1892 (2024·浙江温州·乐清市知临中学校考模拟预测)已知等比数列a
n
 的前n项和为S ，
n
公比为q，且S =a -1，则 ( )
n n+1
A.a =2 B.S =2 C.q=1 D.q=2
1 2
1893 (2024·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测)在等比数列{a }中，若a =4，a =-32，则公
n 2 5
比q应为 ( )
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339 10431 1
A.± B.±2 C. D.-2
2 2
1894 (2024·全国·高三专题练习)设等比数列a
n
 的各项均为正数，前n项和S ，若a =1，S
n 1 5
=5S -4，则S = ( )
3 4
15 65
A. B. C.15 D.40
8 8
1895 (2024·全国·高三对口高考)已知数列a
n
 是等比数列，a +a =2,a +a =128，则该数
1 2 7 8
列的S 以及a 依次为 ( )
10 1
2 2 2
A.682， B.-682，-2 C.682， 或-2 D.-682， 或-2
3 3 3
1896 (2024·江西抚州·统考模拟预测)已知正项等比数列{a }的前n项和为S ，若a a =3a ,
n n 4 5 8
S =39，则a = ( )
3 4
A.64 B.81 C.128 D.192
1897 (2024·江西·校联考模拟预测)已知等比数列a
n
 的前4项和为30，a -a =15，则a =
1 5 7
( )
1 1
A. B. C.1 D.2
4 2
2 题型二：等比数列的判定与证明
1898 (2024·全国·高三专题练习)甲、乙两个容器中分别盛有浓度为10％，20％的某种溶液
500ml，同时从甲、乙两个容器中取出100ml溶液，将其倒入对方的容器并搅匀，这称为一
次调和．记a 1 =10%，b 1 =20%，经n-1  次调和后，甲、乙两个容器的溶液浓度分别为
a ，b ．
n n
(1)试用a ，b 表示a ，b ．
n-1 n-1 n n
(2)证明：数列a -b
n n
 是等比数列，并求出a ，b 的通项．
n n
1899 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
 满足4S -2a =2n，n∈N*，其中S 为a
n n n n

的前n项和．证明：
a 1
(1) n -
 2n 6
 是等比数列．
1 1 1 1
(2) + + +⋅⋅⋅+
6a 1 -3 6a 2 +3 6a 3 -3 6a n +3×-1 
<1．
n
1900 (2024·安徽亳州·蒙城第一中学校联考模拟预测)甲、乙、丙三个小学生相互抛沙包，第一
次由甲抛出，每次抛出时，抛沙包者等可能的将沙包抛给另外两个人中的任何一个，设第
n(n∈N*)次抛沙包后沙包在甲手中的方法数为a ，在丙手中的方法数为b .
n n
(1)求证：数列a +a
n+1 n
 为等比数列，并求出a
n
 的通项；
(2)求证：当n为偶数时，a >b .
n n
1901 (2024·广东东莞·校考三模)已知数列a
n
 和b
n

1 1
，a =2， - =1，a =2b .
1 b a n+1 n
n n
1
(1)求证数列 -1
a
n
 是等比数列；
n
(2)求数列
b
n
 的前n项和T.
n
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340 10431902 (2024·全国·高三专题练习)设数列a
n

1
 a ,n为偶数
2 n
的首项a =a，且a = ，
1 n+1 1
a + ,n为奇数
n 4
1
记b =a - ,n=1,2,3....
n 2n-1 4
(1)求a ,a ；
2 3
(2)判断数列b
n
 是否为等比数列，并证明你的结论；
(3)求b +b +⋯+b .
1 2 n
1903 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
 、b
n
 满足4a =3a -b +t，4b =3b -
n+1 n n n+1 n
a -t，t∈R，n∈N ，且a =1，b =0.
n + 1 1
(1)求证：a +b
n n
 是等比数列；
(2)若a
n
 是递增数列，求实数t的取值范围.
1904 (2024·全国·高三专题练习)数列{a }的前n和S 满足S =2a -nn∈N*
n n n n
 ，
(1)求a 的值及a 与a 的关系；
1 n n-1
(2)求证：a +1
n
 是等比数列，并求出{a }的通项公式.
n
1905 (2024·云南·校联考三模)已知数列a
n

7a -8 4
有递推关系a = n n∈N*,a ≠
n+1 3a -4 n 3
n
 ，a
1
69
= ，记a =b -k(k∈Z)，若数列b
29 n n n

rb
的递推式形如b = n (p,q,r∈R且p,r≠
n+1 pb +q
n
0)，也即分子中不再含有常数项.
(1)求实数k的值；
1 3
(2)证明： -
b 5
n
 为等比数列，并求其首项和公比.
1906 (2024·福建厦门·统考模拟预测)已知数列a
n

a +2
满足a =1,a = n ,n∈N*．
1 n+1 a
n
a -2
(1)证明 n
a +1
n
 是等比数列；
3
(2)若b = ，求b
n a +1 n
n
 的前n项和S ．
n
1907 (2024·山东潍坊·三模)已知数列a
n
 和b
n
 满足a =3,b =2,a =a +2b ,b =2a
1 1 n+1 n n n+1 n
+b ．
n
(1)证明：a +b
n n
 和a -b
n n
 都是等比数列；
(2)求a b
n n
 的前n项和S ．
n
3 题型三：等比数列项的性质应用
1908 (2024·全国·高三对口高考)已知等比数列a
n
 的前n项和为S =3n-1-c，则c=
n
.
1909 (2024·山东泰安·统考二模)若m，n是函数fx  =x2-px+qp>0,q>0  的两个不同
零点，且m，n，-2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则
pq= .
1910 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a n  中，a 1 ≠0，a m+n =a m a nm,n∈N∗  ，且a 、a 3 11
是函数fx  =2x2+19x+20的两个零点，则a = . 7
1911 (2024·高三课时练习)已知等比数列a
n

1
的公比q=- ，该数列前9项的乘积为1，则
2
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341 1043a = ．
1
1912 (2024·江西·校联考二模)在正项等比数列a
n
 中，a 与a 是方程x2-30x+10=0的两
3 8
个根，则lga +lga +⋯+lga = .
1 2 10
1913 (2024·全国·高三专题练习)等比数列a
n
 中，aa =256，a +a =40，则公比q的值为
1 9 4 6
.
1914 (2024·全国·高三专题练习)在1和9之间插入三个数，使这五个数组成正项等比数列，则
中间三个数的积等于 .
1915 (2024·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习)若数列a
n
 是等比数列，
且aa a =8，则a a = ．
1 7 13 3 11
1916 (2024·全国·高三专题练习)已知正项数列a
n
 是公比不等于1的等比数列，且lga +
1
lga 2023 =0，若fx 
2
= 1+x2 ，则fa 1  +fa 2  +⋯+fa 2023  = .
1917 (2024·四川成都·统考二模)已知等比数列a n  的首项为1，且a 6 +a 4 =2a 3 +a 1  ，则
aa a ⋯a = .
1 2 3 7
1918 (2024·重庆·高三阶段练习)在等比数列a
n
 中，a +a =30，a +a =60，则a +a =
1 2 3 4 7 8
．
4 题型四：等比数列前n项和的性质
1919 (2024·全国·高三对口高考)已知数列a
n
 为等比数列，S 为其前n项和.若S =13S ，
n 30 10
S +S =140，则S 的值为 .
10 30 20
1920 (2024·河北沧州·统考模拟预测)已知等比数列a
n
 的前n项和为S ，若S =2，S =6，
n 3 6
则S = .
24
1921 (2024·高三课时练习)已知S 是正项等比数列a
n n
 的前n项和，S =20，则S -2S
10 30 20
+S 的最小值为 ．
10
1922 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
 是等比数列，S 是其前n项和，且S =15，S
n 6 18
=195，则S = .
24
1923 (2024·全国·高三专题练习)设正项等比数列a
n

S
的前n项和为S ，若S =10S ，则 6
n 4 2 S
2
的值为 .
1924 (2024·全国·高三专题练习)设正项等比数列a
n
 的前n项和为S ，且210S -
n 30
210+1  S +S =0，则公比q= . 20 10
1925 (2024·重庆·高三统考阶段练习)已知等比数列a
n
 的前n项和为S ，S =7，a +a =
n 6 2 5
a +a
-3，则 1 3 = .
a
2
1926 (2024·全国·高三专题练习)已知正项等比数列a
n
 的前n项和为S ，若S =4，S =19，
n 3 9
则S ，S 的等差中项为 .
6 9
1927 (2024·江西南昌·南昌十中校考模拟预测)已知等比数列a
n
 的前n项和为S ，若S =
n 4
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342 10433，S =9，则S 的值为
8 16
5 题型五：求数列的通项a
n
1928 (2024·广西玉林·统考三模)记数列a n 

的前n项和为S n ，已知向量m=a n+1 ,S n 

，n=
1,2 
 
，若a =2，且m∥n，则a 1 n  通项为 ．
1929 (2024·内蒙古包头·高三统考期末)已知数列a
n
 和b
n
 满足a =1，b =2，a =3a
1 1 n+1 n
-b +4，b =3b -a -4.则数列a +b
n n+1 n n n n
 的通项a +b = .
n n
1930 (2024·上海浦东新·高三校考开学考试)设幂函数fx  =x3，数列a n  满足：a =2021， 1
且a n+1 =fa n  (n∈N*)，则数列a n  的通项a = ． n
1931 (2024·江苏·高三专题练习)写出一个满足前5项的和为31，且递减的等比数列的通项a
n
= ．
1932 (2024·山西太原·统考模拟预测)已知数列{a }的前n项和为S 且满足S +a =-2，则
n n n n
数列{a }的通项a = ．
n n
1933 (2024·上海·高三专题练习)数列a
n
 的前n项和为S ,a =1,a =2S ，则数列的通项
n 1 n+1 n
a = ．
n
1934 (2024·内蒙古包头·高三统考期中)已知数列{a }的通项a 与前n项和S 之间满足关
n n n
系S =2-3a ,则a =
n n n
1935 (2024·上海·高三专题练习)数列a
n
 的通项a =3n-1,b
n n
 的通项b =2n，由a 与b
n n n
中公共项，并按原顺序组成一个新的数列c
n
 ，求c
n
 的前n项和.
6 题型六：奇偶项求和问题的讨论
1936 (2024·湖南长沙·长郡中学校联考模拟预测)已知数列a
n
 满足a =3，且a =
1 n+1
2a
n
,n是偶数,

a -1,n是奇数.
n
(1)设b =a +a ，求数列b
n 2n 2n-1 n
 的通项公式；
(2)设数列a
n
 的前n项和为S ，求使得不等式S >2023成立的n的最小值．
n n
1937 (2024·河北·模拟预测)已知数列a
n

1
 a ,n为奇数,
2 n
满足a =2，a =
1 n+1 1
a + ,n为偶数.
n 2
(1)记b =a -a ，证明：数列b
n 2n+1 2n-1 n
 为等比数列；
1
(2)记c =a - ，求数列nc
n 2n 2 n
 的前n项和T．
n
1938 (2024·山东济宁·统考二模)已知数列a
n
 的前n项和为S ,a +a =
n n-1 n+1
2a n≥2,n∈N*
n
 ，且a =1,S =15．
1 5
(1)求数列a
n
 的通项公式;
(2)若b n =   a 2a n n ， -1 n ，n 为 为 奇 偶 数 数 ，求数列b n  的前2n项和T ． 2n
1939 (2024·天津南开·统考二模)设a
n
 为等比数列，b
n
 为公差不为零的等差数列，且a =
1
b =3，a =b ，a =b .
3 2 9 3 27
第 页 共 页
343 1043(1)求a
n
 和b
n
 的通项公式；
(2)记a
n
 的前n项和为S ，b
n n

T 1
的前n项和为T，证明： n ≤ ；
n S 3
n
a
n+1
2 ,n为奇数
b +2
(3)记c = n
n a
n - 2
b n -1  b n +1 
 
 2n

，求c
i
.
 ,n为偶数 i=1


1940 (2024·湖南邵阳·统考三模)记S 为等差数列{a }的前n项和，已知a =5,S =81，数列
n n 3 9
{b n }满足a 1 b 1 +a 2 b 2 +a 3 b 3 +⋯+a n b n =n-1  ⋅3n+1+3.
(1)求数列{a }与数列{b }的通项公式；
n n
b ,n为奇数
 n
(2)数列{c
n
}满足c
n
= 1
,n为偶数
，n为偶数，求{c
n
}前2n项和T
2n
.
a a
n n+2
1941 (2024·全国·高三专题练习)已知各项为正数的等比数列a
n
 满足a ⋅a =16n,n∈N*.
n n+1
(1)求数列a
n
 的通项公式；
(2)设b 1 =1，b n+1 =   a - n b ,n + 为 n 奇 ,n 数 为偶数 ，求数列b n
n
 的前2n项和S . 2n
1942 (2024·湖南长沙·长沙市实验中学校考三模)已知数列a
n
 满足：a =2，且对任意的n∈
1
a
 n,n是奇数,
N*，a =2n
n+1
2n+1a +2,n是偶数.
n
2
(1)求a ，a 的值，并证明数列a +
2 3  2n-1 3
 是等比数列；
(2)设b n =a 2n-1n∈N*  ，求数列b n  的前n项和T. n
1943 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n

1
 a +n-1,n为奇数
满足a
1
=1，a
n+1
= 2 n ，记
a -2n,n为偶数
n
b =a ，求数列a
n 2n n
 的通项公式．
7 题型七：等差数列与等比数列的综合应用
1944 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
 为等差数列，a =1，a =4 2+1，前n项和
1 3
为S ，数列b
n n

S
满足b = n，求证：
n n
(1)数列b
n
 为等差数列；
(2)数列a
n
 中任意三项均不能构成等比数列.
1945 (2024·辽宁锦州·高三渤海大学附属高级中学校考期末)在等差数列a
n
 中，a +a =
1 6
12,a +a =16．
2 7
(1)求等差数列a
n
 的通项公式；
(2)设数列2a +b
n n
 是首项为1，公比为2的等比数列，求数列b
n
 的前n项和S ．
n
1946 (2024·全国·高三专题练习)已知S 为等差数列a
n n
 的前n项和，且a =1， .在
1
①a ，S ，a 成等比数列，②S -2S =2n2，③数列 S
2 3 14 2n n n
 为等差数列，这三个条件中任
选一个填入横线，使得条件完整，并解答：
(1)求a ；
n
第 页 共 页
344 1043a ,n为奇数
 n
(2)若b
n
= 1
,n为偶数
，求数列b
n
a a
n n+2
 的前2n+1项和T .
2n+1
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
1947 (2024·四川资阳·统考一模)已知等比数列a
n
 的前n项和为S ，且S ，S ，S (其中
n 3m 9m 6m
m∈N*)成等差数列．问：a ，a ，a 是否成等差数列？并说明理由．
2m 8m 5m
1948 (2024·江苏·高考真题)已知a
n
 是等差数列，b
n
 是公比为q的等比数列，a =b ，a =
1 1 2
b ≠a ，记S 为数列b
2 1 n n
 的前n项和.
(1)若b =a (m，k是大于2正整数)，求证：S =(m-1)a ；
k m k-1 1
(2)若b =a(i是某一正整数)，求证：q是整数，且数列b
3 i n
 中每一项都是数列a
n
 中的
项；
(3)是否存在这样的正数q，使等比数列b
n
 中有三项成等差数列？若存在，写出一个q的
值，并加以说明；若不存在，请说明理由.
1949 (2024·河南开封·高三校考阶段练习)公差不为0的等差数列a
n
 中，a +a =2，且a ,
7 9 8
a ,a 成等比数列.
9 12
(1)求数列a
n
 的通项公式；
(2)若S 为等差数列a
n n
 的前n项和，求使S <0成立的n的最大值.
n
1950 (2024·全国·高三专题练习)已知a
n

20
是递增的等比数列，且a =2，a +a = ．
3 2 4 3
(1)求数列a
n
 的通项公式；
(2)在a 与a 之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d 的等差数列，在数列
n n+1 n
d
n
 中是否存在3项d ,d ,d (其中m,k,p成等差数列)成等比数列.若存在，求出这样的
m k p
3项；若不存在，请说明理由．
1951 (2024·全国·高三专题练习)设数列a
n
 的前n项和为S ，a =0，a =1，nS -(2n+
n 1 2 n+1
1)S +(n+1)S -1=0(n≥2).
n n-1
(1)证明：a
n
 为等差数列；
(2)设b =2an，在b 和b 之间插入n个数，使这n+2个数构成公差为d 的等差数列，
n n n+1 n
1
求
d
n
 的前n项和.
8 题型八：等比数列的范围与最值问题
1952 (2024·上海闵行·上海市七宝中学校考二模)已知数列a
n
 为等比数列，首项a >0，公
1
比q∈-1,0  ，则下列叙述不正确的是 ( )
A.数列a
n
 的最大项为a B.数列a
1 n
 的最小项为a
2
C.数列a a
n n+1
 为严格递增数列 D.数列a +a
2n-1 2n
 为严格递增数列
1953 (2024·全国·高三专题练习)设a
n
 是公比为q的等比数列，其前n项的积为T，并且满
n
a -1
足条件：a >1，a a -1>0， 99 <0．给出下列结论：①0<q<1；②T <1；③
1 99 100 a -1 198
100
a a <1；④使T <1成立的最小的自然数n等于199．其中正确结论的编号是 ( )
99 101 n
A.①②③ B.①④ C.②③④ D.①③④
1954 (2024·广西·统考模拟预测)已知正项等比数列a
n

1
满足a =8,a +4a = ，则aa
8 11 12 4 1 2
第 页 共 页
345 1043⋯a 取最大值时n的值为 ( )
n
A.8 B.9 C.10 D.11
1955 (2024·陕西西安·统考三模)已知数列a
n
 是无穷等比数列，若a <a <0，则数列a
1 2 n

的前n项和S ( )．
n
A.无最大值，有最小值 B.有最大值，有最小值
C.有最大值，无最小值 D.无最大值，无最小值
1956 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n

1
满足a <0，a = a ，则数列a
1 n+1 2 n n
 是
( )
A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.不能确定
1957 (2024·全国·高三专题练习)已知a
n
 是递增的等比数列，且a <0，则其公比q满足
2
( )
A.q<-1 B.-1<q<0 C.q>1 D.0<q<1
1958 (2024·贵州铜仁·高三统考期末)已知等比数列a
n
 的各项均为正数且公比大于1，前n
项积为T，且a a =a ，则使得T >1的n的最小值为 ( )
n 3 5 4 n
A.5 B.6 C.7 D.8
1959 (2024·全国·高三专题练习)设无穷等比数列a
n
 的前n项和为S ，若-a <a <a ，则
n 1 2 1
( )
A. S
n
 为递减数列 B. S
n
 为递增数列
C.数列S
n
 有最大项 D.数列S
n
 有最小项
1960 (2024·全国·高三专题练习)设等比数列a
n
 的公比为q，其前n项和为S ，并且满足条
n
件a 1 >1,a 7 a 8 >1,a 7 -1  a 8 -1  <0，则下列结论正确的是 ( )
A.a a >1 B.0<q<1
7 9
C.a +a <a +a D.S 的最大值为S
6 8 7 9 n 8
1961 (2024·全国·高三专题练习)设等比数列a
n
 的公比为q，其前n项和为S ，前n项积为
n
a -1
T，并满足条件a >1,a a >1， 2019 <0，则下列结论正确的是 ( )
n 1 2019 2020 a -1
2020
A.S >S B.T 是数列T
2019 2020 2020 n
 中的最大值
C.a a -1<0 D.数列T
2019 2021 n
 无最大值
1962 (2024·江西赣州·高三校联考阶段练习)设公比为q的等比数列a
n
 的前n项和为S ，
n
a -1
前n项积为T，且a >1，a a >1， 2021 <0，则下列结论正确的是 ( )
n 1 2021 2022 a -1
2022
A.q>1 B.S S -1>0
2021 2022
C.T 是数列T
2022 n
 中的最大值 D.数列T
n
 无最大值
1963 (2024·黑龙江哈尔滨·高三尚志市尚志中学校考期中)设等比数列a
n
 的公比为q，其前
n项和为S n ，前n项积为T n ，且满足条件a 1 >1，a 2020 a 2021 >1，a 2020 -1  a 2021 -1  <0，则
下列选项错误的是 ( )
A.0<q<1 B.S +1>S
2020 2021
第 页 共 页
346 1043C.T 是数列T
2020 n
 中的最大项 D.T >1
4041
1964 (2024·全国·高三专题练习)设等比数列{a }的公比为q，其前n项之积为T，并且满足
n n
a -1
条件：a >1，a a >1， 2019 <0，给出下列结论：①0<q<1；②a a -1>0；
1 2019 2020 a -1 2019 2021
2020
③T 是数列{T}中的最大项；④使T >1成立的最大自然数等于4039；其中正确结论
2019 n n
的序号为 ( )
A.①② B.①③ C.①③④ D.①②③④
1965 (2024·全国·高三专题练习)已知数列a
n
 的前n项和为S ，a =2，a ≠0，a a =4S .
n 1 n n n+1 n
(1)求a ；
n
(2)设b n =-1  n⋅3n-1  ，数列b n  的前n项和为T，若∀k∈N*，都有T <λ<T 成 n 2k-1 2k
立，求实数λ的范围.
1966 (2024·上海·高三专题练习)已知数列a
n
 是首项与公比都为a的等比数列，其中a>0，
且a≠1,b =a lga (n∈N*)，且b
n n n n
 是递增数列，求a的范围.
1967 (2024·上海宝山·高一上海交大附中校考阶段练习)已知正数数列a
n
 满足a ≥3a +
n+1 n
2，且a <3n+1对n∈N*恒成立，则a 的范围为 .
n 1
1968 (2024·湖北武汉·统考模拟预测)已知等比数列a
n
 的各项均为正数，公比为q，前n项
和S ，若对于任意正整数n有S ≤2S ，则q的范围为 .
n 2n n
1969 (2024·北京东城·北京市第五中学校考模拟预测)若三角形三边成等比数列，则公比q的
范围是 .
9 题型九：等比数列的实际应用
1970 (2024·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测)某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计
以后每年存栏数的增长率为5%，且在每年年底卖出100头牛.设牧场从今年起每年年初
的计划存栏数依次为数列c 1 ,c 2 ,c 3 ,⋯，且满足递推公式：c n+1 -k=rc n -k  ,S n  为数列
c
n
 的前n项和，则S = (1.0510≈1.63答案精确到1).
10
1971 (2024·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模)中国古代数学著作《增减算法统宗》中有这
样一段记载：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则
此人在第六天行走的路程是 里(用数字作答).
1972 (2024·辽宁大连·育明高中校考一模)某高中图书馆为毕业生提供网上阅读服务，其中电
子阅览系统的登录码由学生的届别+班级+学号+特别码构成.这个特别码与如图数表
有关，数表构成规律是：第一行数由正整数从小到大排列得到，下一行数由前一行每两个
相邻数的和写在这两个数正中间下方得到.以此类推特别码是学生届别数对应表中相应
行的自左向右第一个数的个位数字，如：1997届3班21号学生的登陆码为1997321*.(*
为表中第1997行第一个数的个位数字).若已知某毕业生的登录码为201*2138，则可以
推断该毕业生是 届2班13号学生.
第 页 共 页
347 10431973 (2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)如图，已知在扇形OAB中，半径OA=
π
OB=3，∠AOB= ，圆O 内切于扇形OAB(圆O 和OA，OB，弧AB均相切)，作圆
3 1 1
O 与圆O ，OA，OB相切，再作圆O 与圆O ，OA，OB相切，以此类推.设圆O ，圆O
2 1 3 2 1 2
⋯的面积依次为S ，S ⋯，那么S +S +⋯+S = ．
1 2 1 2 n
1974 (2024·陕西宝鸡·高三宝鸡中学校考阶段练习)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”出自《庄
子·天下》，其中蕴含着数列的相关知识，已知长度为4的线段AB，取AB的中点C，以AC
为直径作圆(如图①)，该圆的面积为S ，在图①中取CB的中点D，以CD为直径作圆(如
1
图②)，图②中所有圆的面积之和为S ，以此类推，则S = ．
2 n
5-1
1975 (2024·全国·高三专题练习)0.618是无理数 的近似值，被称为黄金比值.我们把
2
腰与底的长度比为黄金比值的等腰三角形称为黄金三角形.如图，△ABC是顶角为A，底
BC=2的第一个黄金三角形，△BCA是顶角为B 的第二个黄金三角形，△CBC是顶
1 1 1 1
角为C 的第三个黄金三角形，△B CC 是顶角为B 的第四个黄金三角形，则第4个黄金
1 2 1 2
5-1
三角形的腰长为 (写出关于 表达式即可).
2
1976 (2024·全国·校联考三模)88键钢琴从左到右各键的音的频率组成一个递增的等比数
列．若中音A(左起第49个键)的频率为440Hz，钢琴上最低音的频率为27.5Hz，则左起
第61个键的音的频率为 Hz．
第 页 共 页
348 1043