第38讲向量中的隐圆_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第38讲 向量中的隐圆
知识梳理
技巧一．向量极化恒等式推出的隐圆
 
乘积型：PA⋅PB=λ
 
1
定理：平面内，若A,B为定点，且PA⋅PB=λ,则P的轨迹是以M为圆心 λ+ AB2为
4
半径的圆
 
1
证明：由 PA ⋅ PB = λ，根据极化恒等式可知，PM2 - AB2 = λ，所以 PM =
4
1 1
AB2+λ，P的轨迹是以M为圆心 λ+ AB2为半径的圆．
4 4
技巧二．极化恒等式和型：PA2+PB2=λ
定理：若A，B为定点，P满足PA2+PB2=λ,则P的轨迹是以AB中点M为圆心，
1
λ- AB2
2 1
为半径的圆。λ- AB2>0
2 2

1 证明：PA2+PB2=2 PM2+ AB
2
  2 


1
λ- AB2
2 =λ，所以PM= ，即P的轨迹是以
2
1
λ- AB2
2
AB中点M为圆心， 为半径的圆．
2
技巧三．定幂方和型
mPA2+PB2=n

若A，B为定点，PA2+mPB2=n ，则P的轨迹为圆．
mPA2+nPB2=λ
证明：mPA2+PB2=n⇒m x+c   2+y2  + x-c   2+y2  =n
⇒(m+1)(x2+y2)+2c(m-1)x+(m+1)c2-n=0
2(m-1)c c2(m+1)-n
⇒x2+y2+ ⋅x+ =0．
m+1 m+1
技巧四．与向量模相关构成隐圆
坐标法妙解
必考题型全归纳
1 题型一：数量积隐圆
1717 (2024·上海松江·校考模拟预测)在△ABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所
  
在平面内的动点，且PC=2，若CP=λCA+μCB，则给出下面四个结论：
 
4
①λ+μ的最小值为- ；②PA⋅PB的最小值为-6；
5
 
3
③λ+μ的最大值为 ；④PA⋅PB的最大值为8.
4
其中，正确结论的个数是 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
1718 (2024·全国·高三专题练习)若正△ABC的边长为4，P为△ABC所在平面内的动点，且
 
PA=1，则PB⋅PC的取值范围是 ( )
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314 1043A. 3,15  B.[9-2 3,9+2 3]
C.[9-3 3,9+3 3] D.[9-4 3,9+4 3]
1719 (2024·山东菏泽·高一统考期中)在△ABC中，AC=5，BC=12，∠C=90°.P为△ABC
 
所在平面内的动点，且PC=2，则PA⋅PB的取值范围是 ( )
A. -22,26  B. -26,22  C. -30,22  D. -22,30 
1720 (2024·全国·高三专题练习)已知△ABC是边长为4 3的等边三角形，其中心为O，P为
 
平面内一点，若OP=1，则PA⋅PB的最小值是
A.-11 B.-6 C.-3 D.-15
 
1721 (2024·北京·高三专题练习)△ABC为等边三角形，且边长为2，则AB与BC的夹角大小

为120°，若BD 
   
=1，CE=EA，则AD⋅BE的最小值为 .
1722 (2024·全国·高三专题练习)已知圆Q:x2+y2=16，点P1,2  ，M、N为圆O上两个不同
     
的点，且PM⋅PN=0若PQ=PM+PN，则PQ  的最小值为 .
2 题型二：平方和隐圆
          
1723 (2024·全国·高三专题练习)已知a,b,c,d是单位向量，满足a⊥b,m=a+2b,|m-c|2+
   
|m-d|2=20，则|c-d|的最大值为 ．
  
1724 (2024·上海·高三专题练习)已知平面向量PA、PB满足PA|2+ 
 
PB|2=4，|AB|2=2，设
   
PC=2PA+PB，则PC  ∈ .
1725 (2024·江苏·高二专题练习)在平面直角坐标系中，已知点A2,0  ，B0,2  ，圆C:x-a  2
+y2=1，若圆C上存在点M，使得MA  2+MB  2=12，则实数a的取值范围为 ( )
A. 1,1+2 2  B. 1-2 2,1+2 2 
C. 1,1+2 2  D. 1- 2,1+ 2 
1726 (2024·江苏·高二专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l:x+y+a=0与点A
(0，2)，若直线l上存在点M满足MA  2+MO  2=10(O为坐标原点)，则实数a的取值范
围是 ( )
A. - 5-1 , 5-1  B.[- 5-1 , 5-1]
C. -2 2-1 ,2 2-1  D.[-2 2-1 , 2 2-1]
1727 (2024·宁夏吴忠·高二吴忠中学校考阶段练习)设A-2，0  ，B2，0  ，O为坐标原点，点
P满足PA|2+ 
π
PB|2≤16，若直线kx-y+6=0上存在点Q使得∠PQO= ，则实数k
6
的取值范围为 ( )
A. -4 2，4 2  B. -∞，-4 2 ∪   4 2，+∞ 
5 C. -∞，- ∪
2
 5   ，+∞
2
 D.  - 5 ， 5
 2 2

1728 (2024·江西吉安·高三吉安三中校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：
x+1  2+y2=2，点A2,0  ，若圆C上存在点M，满足MA2+MO2<10，则点M的纵坐标
的取值范围是 .
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315 10433 题型三：定幂方和隐圆
1729 (2024·湖南长沙·高一长沙一中校考期末)已知点A-1,0  ，B2,0  ，直线l：kx-y-5k
=0上存在点P，使得PA2+2PB2=9成立，则实数k的取值范围是 .
   
1730 (2024·浙江·高三期末)已如平面向量a、b、c，满足a 

=3 3，b 

=2，c 
 
=2，b⋅c=2，
  则a-b  2   ⋅a-c  2   - a-b    ⋅a-c    2的最大值为 ( )
A.192 3 B.192 C.48 D.4 3
 
1731 (2024·河北衡水·高三河北衡水中学校考期中)已知平面单位向量e ，e 的夹角为60°，向
1 2
   
量c满足c2-2e +e
1 2

 3  
⋅c+ =0，若对任意的t∈R，记|c-te|的最小值为M，则M的
2 1
最大值为
1 3 1+ 3 3 3
A. + B. C.1+ D.1+ 3
2 4 2 4
      
1732 (2024·江苏·高三专题练习)已知a，b是两个单位向量，与a，b共面的向量c满足c2-(a
    
+b)⋅c+a⋅b=0，则c  的最大值为 ( )
A.2 2 B.2 C. 2 D.1
   
1733 (2024·浙江舟山·高一舟山中学校考阶段练习)已知a、b、e是平面向量，e是单位向量．
           
若a2-4a⋅e+2e2=0，b2-3b⋅e+2e2=0，则a2-2a⋅b+2b2的最大值为 ．
   
1734 (2024·四川达州·高二四川省大竹中学校考期中)已知a，b，e是平面向量，e是单位向
  π      
量.若非零向量a与e的夹角为 ，向量b满足b2-5e⋅b+4=0，则a-b
3
 的最小值是
．
      
1735 (2024·全国·高三专题练习)已知平面向量a、b、c、e，满足a⊥b，a 

=2b 
  
，c=a+b，

e 
     1 
=1，若a2-6a⋅e+8=0，则c⋅e- c2的最大值是 .
3
   
1736 (2024·河南南阳·南阳中学校考模拟预测)已知a、b、e是平面向量，e  =1，若非零向量
  π      
a与e的夹角为 ，向量b满足b2-4b⋅e+3=0，则a-b
3
 的最小值是 .
4 题型四：与向量模相关构成隐圆
  
1737 (2024·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测)已知a,b,c是平面内的三个单位向量，若
   
a⊥b，则a+2c 
  
+3a+2b-2c  的最小值是 ．
        
1738 (2024·上海·高三专题练习)已知a、b、c、d都是平面向量，且|a|=|2a-b|=|5a-c|=
 
1，若a,d 
π    
= ，则|b-d|+|c-d|的最小值为 ．
4
    
1739 (2024·上海金山·统考二模)已知a、b、c、d都是平面向量，且a 
 
=2a-b 
 
=5a-c  =1，
 
若a,d 
π  
= ，则b-d
4

 
+c-d  的最小值为 .
1740 (2024·全国·高三专题练习)已知线段MN是圆C:(x-1)2+y2=8的一条动弦，且MN 
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316 1043 
=2 3，若点P为直线2x+y+8=0上的任意一点，则PM+PN  的最小值为 .
1741 (2024·全国·高三专题练习)已知O为坐标原点，A，B在直线x-y-4=0上，AB  =
2 2，动点M满足MA  =2MB  ，则OM  的最小值为 .
       
1742 (2024·全国·高三专题练习)已知a,b是单位向量，a⋅b=0.若向量c满足|c-a-b|=1，

则|c|的最大值是 .
   
1743 (2024·新疆·高三新疆兵团第二师华山中学校考阶段练习)已知是a、b是单位向量，a⋅b
    
=0，若向量c满足|c-a+b|=2，则|c|的最大值为
  
1744 (2024·全国·高三专题练习)已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足
 
a-c 
 
⋅b-2c 

=0，则c  的最大值是 ．
     2π  
1745 (2024·全国·高三专题练习)已知平面向量a、b、c满足：a与b的夹角为 ,c-a
3
 ⋅
 
c-b 

=0,a+ 

 b 
  
=2，记M是c-a-b  的最大值，则M的最小值是 ．
   
1746 (2024·全国·高三专题练习)已知向量a，b满足2a+b 

=3，b 

=1，则a 
 
+2a+b  的最
大值为 .
   
1747 (2024·全国·高三专题练习)已知向量a,b,c满足a 

=4,b 
  π  
=2 2,<a,b>= ,c-a
4

 
⋅c-b 
 
=-1，则c-a  的最大值为 ．
   
1748 (2024·全国·高三专题练习)设a，b为单位向量，则a+b 
 
+a-3b  的最大值是
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317 1043