高二数学抛物线-经典例题1_高中三年全科资料_高中三年全科资料_数学

1抛物线的定义： 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小小..师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// 平面内与一个定点 F 和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定 点 F 叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线． 2抛物线的图形和性质： 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小小..师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// ①顶点是焦点向准线所作垂线段中点。 M 2 P ②焦准距： C FK  p N o ③通径：过焦点垂直于轴的弦长为 。 K F 2p M 1 Q p ④顶点平分焦点到准线的垂线段： 。 OF OK  2 ⑤焦半径为半径的圆：以 P 为圆心、FP 为半径的圆必与准线相切。所有这样 的圆过定点 F、准线是公切线。 ⑥焦半径为直径的圆：以焦半径 FP 为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线 相切。所有这样的圆过定点 F、过顶点垂直于轴的直线是公切线。 ⑦焦点弦为直径的圆：以焦点弦 PQ 为直径的圆必与准线相切。所有这样的 圆的公切线是准线。 y M 2 P 3抛物线标准方程的四种形式： 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小小..师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// K o F x y2  2px，y2  2px，x2  2py，x2  2py。 Q M 1 4抛物线 y2  2px 的图像和性质： 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小小..师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// 1 p  ①焦点坐标是：  ，0 ，  2  p ②准线方程是： 。 x   2 ③焦半径公式：若点 P(x ,y ) 是抛物线 y2  2px 上一点，则该点到抛物线的焦点的 0 0 p 距离（称为焦半径）是： ， PF  x  0 2 p p ④焦点弦长公式：过焦点弦长 PQ  x  x   x x  p 1 2 2 2 1 2 y 2 ⑤抛物线 y2  2px 上的动点可设为 P (  ,y ) 或 P(2pt2,2pt) 或 P (x ,y )其中y2  2px 2p      5一般情况归纳： 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小小..师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// 方程 图象 焦点 准线 定义特征 k>0 时开口向右 到焦点(k/4,0)的距离等于 y2=kx (k/4,0) x= ─k/4 k<0 时开口向左 到准线 x= ─k/4 的距离 k>0 时开口向上 到焦点(0,k/4)的距离等于 x2=ky (0,k/4) y= ─k/4 k<0 时开口向下 到准线 y= ─k/4 的距离 抛物线经典例题： 例 1：点 M与点 F (－4，0)的距离比它到直线 l：x－6=0 的 距离 4.2，求点M的轨迹方程． 分析：点 M到点 F的距离与到直线 x=4 的距离恰好相等，符 合抛物线定义． 答案：y2=－16x 2例 2：斜率为 1 的直线l经过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线相交于点A、B，求 线段A、B的长． 分析：这是灵活运用抛物线定义的题目．基本思路是：把求弦长AB转化为求A、 B两点到准线距离的和． 解：如图 8－3－1，y2=4x的焦点为F (1，0)，则l的方程为y=x－1． 由 y2  4x 消去y得x2－6x+1=0．  y  x1 设A (x，y)，B (x，y) 则x+x=6． 1 1 2 2 1 2 又A、B两点到准线的距离为 A， B，则 AA  BB   x 1    x 1    x  x  2628 1 2 1 2 点评：抛物线的定义本身也是抛物线最本质的性质，在解题中起到至关重要的作 用。 例 3:(1) 已知抛物线的标准方程是y2=10x，求它的焦点坐标和准线方程； (2) 已知抛物线的焦点是F (0，3)求它的标准方程； (3) 已知抛物线方程为y=－mx2 (m>0)求它的焦点坐标和准线方程； (4) 求经过P (－4，－2)点的抛物线的标准方程； 分析：这是为掌握抛物线四类标准方程而设计的基础题，解题时首先分清属 1 哪类标准型，再录求P值(注意p>0)．特别是(3)题，要先化为标准形式： x2   y ， m 1 则 ．(4)题满足条件的抛物线有向左和向下开口的两条，因此有两解． 2p  m 3 氪课教育答案：(1) F 5 ，0  ， x   5 ．(2) x2=12y (3) F  0， 1   ， y  1 ；(4) y2= 2  2  4m 4m －x或x2=－8y． 例 4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程： （1）过点（－3，2）； （2）焦点在直线x－2y－4=0 上 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小..小师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// 分析：从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p；从实 际分析，一般需确定p和确定开口方向两个条件，否则，应展开相应的讨论 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小小..师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// 解： （1）设所求的抛物线方程为y2=－2px或x2=2py（p＞0）， ∵过点（－3，2）， ∴4=－2p（－3）或 9=2p·2 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww学学新新 级级ccww kk新tt新ww @@..子子xx疆疆 教教11jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg小小师师oo..cc mmoomm屋屋//wwxxcc// ∴p=2或p=9 3 4 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小..小师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// ∴所求的抛物线方程为y2=－ 4x或x2=9y，前者的准线方程是x=1 ，后者的 3 2 3 准线方程是y=－9 8 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小..小师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// （2）令x=0 得y=－2，令y=0 得x=4， ∴抛物线的焦点为（4，0）或（0，－2） 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小..小师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// 当焦点为（4，0）时， p =4，∴p=8，此时抛物线方程y2=16x； 2 焦点为（0，－2）时， p =2，∴p=4，此时抛物线方程为x2=－8y 2 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww学学新新 级级ccww kk新tt新ww @@..子子xx疆疆 教教11jj 22kk敞66敞ttyy ..ccgg小小师师oo..cc mmoomm屋屋//wwxxcc// ∴所求的抛物线的方程为y2=16x或x2=－8y，对应的准线方程分别是x=－4， y=2 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小小..师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// 4 氪课教育【常用结论】 ① 过抛物线 y2＝2px 的焦点 F 的弦 AB 长的最小值为 2p ② 设 A(x ，y)， B(x ，y )是抛物线 y2＝2px 上的两点， 则 AB 过 F 的充要条件 1 1 2 2 是 y y ＝－p2 1 2 ③ 设 A， B 是抛物线 y2＝2px 上的两点，O 为原点， 则 OA⊥OB 的充要条件是直 线 AB 恒过定点(2p，0) 例 5：过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O作弦OA⊥OB，与抛物线分别交于A(x，y)， 1 1 B(x，y)两点，求证：yy=－4p2． 2 2 1 2 分析：由OA⊥OB，得到OA、OB斜率之积等于－1，从而得到 x、x，y、y 1 2 1 2 之间的关系．又A、B是抛物线上的点，故(x，y)、(x，y)满足抛物线方程．从 1 1 2 2 这几个关系式可以得到y、y的值． 1 2 y y y2 y2 证：由OA⊥OB，得 K K  1  2  1 ，即yy=－xx，又 x  1 ， x  2 ， OA OB x x 1 2 1 2 1 2p 2 2p 1 2 所以： x x  y 1 2y 2 2 ，即 y y   y 1 2y 2 2 ． 而yy≠0．所以yy=－4p2． 1 2 4p2 1 2 4p2 1 2 1 2 弦的问题 例 1 A,B 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点，满足 OAOB(O 为坐标原点)求证： 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小小..师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// (1)A,B 两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值； (2)直线 AB 经过一个定点 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小..小师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// (3)作 OMAB 于 M，求点 M 的轨迹方程 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww学学新新 级级ccww kk新tt新ww @@..子子xx疆疆 教教11jj 22kk敞66敞ttyy ..ccgg小小师师oo..cc mmoomm屋屋//wwxxcc// 5 氪课教育解：(1)设 A(x ,y ), B(x ,y ), 则 y 2=2px , y 2=2px , 1 1 2 2 1 1 2 2 ∴y 2y 2=4p2x x , 1 2 1 2 ∵OAOB, ∴x x +y y =0, 1 2 1 2 由此即可解得：x x =4p2, y y =─4p2 (定值) 1 2 1 2 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小..小师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// y  y y  y 2p (2)直线 AB 的斜率 k= 2 1 = 2 1 = , x x y2 y2 y  y 2 1 2  1 1 2 2p 2p 2p y2 ∴直线 AB 的方程为 y─y = (x─ 1 ), 1 y  y 2p 1 2 2p 即 y(y +y )─y y =2px, 由(1)可得 y= (x─2p), 1 2 1 2 y  y 1 2 直线 AB 过定点 C(2p,0) 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww学学新新 级级ccww kk新tt新ww @@..子子xx疆疆 教教11jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg小小师师oo..cc mmoomm屋屋//wwxxcc// 2p (3)解法 1:设 M(x,y), 由(2)知 y= (x─2p) (i), y  y 1 2 2p y 又 ABOM, 故两直线的斜率之积为─1, 即 · = ─1 (ii) y  y x 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww学学新新 级级ccww kk新tt新ww @@..子子xx疆疆 教教11jj 22kk敞66敞ttyy ..ccgg小小师师oo..cc mmoomm屋屋//wwxxcc// 1 2 由(i),(ii)得 x2─2px+y2=0 (x0) 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小..小师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// 解法 2: 由 OMAB 知点 M 的轨迹是以原点和点(2p,0)为直径的圆(除去原 点) 立即可求出 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小小..师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// 例 2 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2=x 上移动，AB 的中点为 M， 求点 M 到 y 轴的最短距离，并求此时点 M 的坐标 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小..小师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// x  x y  y 解：如图，设 A(x ,y ), B(x ,y ),M(x,y), 则 x= 1 2 , y= 1 2 , 1 1 2 2 2 2 6 氪课教育又设点 A，B，M 在准线 :x=─1/4 上的射影分别为 A/,B/,M/, MM/与 y 轴的交 l 点为 N， 则|AF|=|AA/|=x + 1 ,|BF|=|BB/|=x + 1 , 1 2 4 4 1 1 1 1 1 5 ∴x= (x +x )= (|AF|+|BF|─ ) (|AB|─ )= 2 1 2 2 2 2 2 4 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小小..师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// 1 等号在直线 AB 过焦点时成立，此时直线 AB 的方程为 y=k(x─ ) 4 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww学学新新 级级ccww kk新tt新ww @@..子子xx疆疆 教教11jj 22kk敞66敞ttyy ..ccgg小小师师oo..cc mmoomm屋屋//wwxxcc//  1 由 y  k(x ) 得 16k2x2─8(k2+2)x+k2=0  4 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小..小师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc//  y2  x  1k2 依题意|AB|= 1k2 |x ─x |= 1k2 × = =3, 1 2 16k2 k2 ∴k2=1/2, 此时 x= 1 (x +x )= 8(k2 2) = 5 2 1 2 216k2 4 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww学学新新 级级ccww kk新tt新ww @@..子子xx疆疆 教教11jj 22kk敞66敞ttyy ..ccgg小小师师oo..cc mmoomm屋屋//wwxxcc// 2 5 2 5 2 ∴y= ± 即 M( , ), N( ,─ ) 2 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小..小师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// 4 2 4 2 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小小..师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// 例 3设一动直线过定点 A(2, 0)且与抛物线 y  x2 2 相交于 B、C 两点,点 B、C 在 x 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小..小师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// BP BB 轴上的射影分别为 B ,C , P 是线段 BC 上的点,且适合  1 ,求POA 的重心 Q 1 1 PC CC 1 的轨迹方程,并说明该轨迹是什么图形 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小..小师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// 解析: 设 , B(x ,y ),C(x ,y ),P(x ,y ) Q(x,y) 1 1 2 2 0 0 y y  1  y BP BB y 1 y 2 2y y   1  1 , y  2  1 2 PC CC y 0 y y  y 1 2 1 1 1 2 y 2 y  x2 2 由  得 y2 (k2 4k)y6k2  0 y  k(x2) 7 氪课教育26k2 12k y   ① 0 k2 4k k 4 y 又 0  k 代入①式得 y  4x 4 ② x 2 0 0 0  x 2 x  0 由    3 得  x 0 3x2 代入②式得: 12x3y4  0  y y 3y y  0 0   3 由 0 得 k  42 6 或 k  42 6 , 又由①式知 y 关于 k 是减函数且 y 12 0 0 4 6 4 6 124 6  y 124 6 , 4   y  4  且 y  4 0 3 3 所以 Q 点轨迹为一线段(抠去一点): 12x3y4  0 4 6 4 6 ( 4   y  4  且 y  4 ) 3 3 例 4 已知抛物线 y2 2px,(p 0) ,焦点为 F,一直线 l 与抛物线交于 A、B 两点,且 AF  BF 8 ,且 AB 的垂直平分线恒过定点 S(6, 0) 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小..小师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// ①求抛物线方程; ②求ABS 面积的最大值 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小..小师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// 解: ①设 , AB 中点 A(x ,y ),B(x ,y ) M(x ,y ) 1 1 2 2 0 0 p 由 AF  BF 8 得 x  x  p 8,x  4 1 2 0 2 y2  2px p 又  1 1 得 y2  y2  2p(x  x ),y   y2  2px 1 2 1 2 0 k 2 2 p 所以 p p 依题意 k , M(4 , ) k  1 p  4 2 k p 4 6 2 抛物线方程为 y2 8x 8 氪课教育4 4 ②由 M(2,y ) 及 k  , l : y y  (x2) 0 l y AB 0 y 0 0 1 令 y  0 得 x  2 y2 K 4 0 4 又由 y2 8x 和 l : y y  (x2) 得: y2 2y y2y2 16  0 AB 0 y 0 0 0 1 1 1 S   KS  y  y  (4 y2) 4y2 4(2y2 16) ABS 2 2 1 2 4 0 0 0 1 2 64 64 S  (16 y2)(322y2)  ( )3  6 ABS 4 2 0 0 8 3 9 例 5 定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y2=x 上移动，AB 的中点为 M， 求点 M 到 y 轴的最短距离，并求此时点 M 的坐标 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小..小师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// x  x y  y 解：如图，设 A(x ,y ), B(x ,y ),M(x,y), 则 x= 1 2 , y= 1 2 , 1 1 2 2 2 2 又设点 A，B，M 在准线 :x=─1/4 上的射影分别为 A/,B/,M/, MM/与 y 轴的交 l 点为 N， 则|AF|=|AA/|=x + 1 ,|BF|=|BB/|=x + 1 , 1 2 4 4 1 1 1 1 1 5 ∴x= (x +x )= (|AF|+|BF|─ ) (|AB|─ )= 2 1 2 2 2 2 2 4 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小小..师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// 1 等号在直线 AB 过焦点时成立，此时直线 AB 的方程为 y=k(x─ ) 4 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww学学新新 级级ccww kk新tt新ww @@..子子xx疆疆 教教11jj 22kk敞66敞ttyy ..ccgg小小师师oo..cc mmoomm屋屋//wwxxcc//  1 由 y  k(x ) 得 16k2x2─8(k2+2)x+k2=0  4 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小..小师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc//  y2  x  1k2 依题意|AB|= 1k2 |x ─x |= 1k2 × = =3, 1 2 16k2 k2 ∴k2=1/2, 此时 x= 1 (x +x )= 8(k2 2) = 5 2 1 2 216k2 4 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww学学新新 级级ccww kk新tt新ww @@..子子xx疆疆 教教11jj 22kk敞66敞ttyy ..ccgg小小师师oo..cc mmoomm屋屋//wwxxcc// 9 氪课教育2 5 2 5 2 ∴y= ± 即 M( , ), N( ,─ ) 2 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小..小师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// 4 2 4 2 源源hh头头特特ttttpp王ww王:://// xxww新新学学 cc级级ww kk新tt新ww @@..xx 11疆疆子子教教jj 22kk 66敞敞ttyy ..ccgg oo小小..师师cc mmoomm//屋屋wwxxcc// 综合类(几何) 例 1 过抛物线焦点的一条直线与它交于两点 P、Q，通过点P和抛物线顶点 的直线交准线于点M，如何证明直线MQ平行于抛物线的对称轴？ 解：思路一：求出M、Q的纵坐标并进行比较，如果相等，则MQ//x轴，为此， p 将方程 y2 2px,y k(x ) 联立，解出 2 p( k2 11)2 p(1 k2 1) p( k2 11)2 p(1 k2 1) P( , ),Q( , ) 2k2 k 2k2 k 2k(1 k2 1) 2(1 k2 1) 直线OP的方程为 y  x, 即 y  x. ( k2 11)2 k p p(1 k2 1) 令 x ，得M点纵坐标 y   y 得证． 2 M k Q 由此可见，按这一思路去证，运算较为繁琐． 思路二：利用命题“如果过抛物线 y2 2px 的焦点的一条直线和这条抛物线相 交，两上交点的纵坐标为 y 、 y ，那么 y y p2”来证． 1 2 1 2 p 设 P(x ,y ) 、 Q(x ,y ) 、 M(x ,y ) ，并从 y2 2px 及 y k(x ) 中消去 x，得到 1 1 2 2 3 3 2  p2 ky2 2pykp2 0 ，则有结论 y y p2，即 y  ． 1 2 2 y 1 y p  py 又直线OP的方程为 y  1 x ， x ，得 y  1 ． x 2 3 2x 1 1 10 氪课教育y 2 因为 P(x ,y ) 在抛物线上，所以 2x  1 ． 1 1 1 p py p p2 从而 y  1 (py )   y ． 3 2x 1 y2 y 2 1 1 1 这一证法运算较小． p y 2 思路三：直线MQ的方程为 y  y 的充要条件是 M( ,y ),Q( 0 ,y ) ． o 2 0 2p 0 2y 2py p 将直线MO的方程 y  0 和直线QF的方程 y  0 (x ) 联立，它的解（x,y） p y 2  p2 2 o 就是点P的坐标，消去 的充要条件是点P在抛物线上，得证．这一证法巧用了 y o 充要条件来进行逆向思维，运算量也较小． 说明：本题中过抛物线焦点的直线与 x 轴垂直时（即斜率不存在），容易证明 成立． 例 2 已知过抛物线 y2 2px(p 0) 的焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于A、B两 点，点R是含抛物线顶点O的弧AB上一点，求△RAB的最大面积． 分析：求RAB的最大面积，因过焦点且斜率为 1 的弦长为定值，故可以 为 AB 三角形的底，只要确定高的最大值即可． p 解：设AB所在的直线方程为 ． y  x 2 将其代入抛物线方程 y2 2px ，消去x得 y2 2py p2  0 AB 2 y  y  2 (y  y )2 4y y 4p 1 2 1 2 1 2 当过R的直线l平行于AB且与抛物线相切时，△RAB的面积有最大值． 设直线l方程为 y  xb ．代入抛物线方程得 y2 2py2pb0 11 氪课教育p p 2 由 4p2 8pb0, 得 b ，这时 R( , p) ．它到AB的距离为 h p 2 2 2 1 ∴△RAB的最大面积为 AB h 2p2． 2 例 3 直线 l 过点 M(1,0) ，与抛物线 y 4x 交于 P 、 P 两点，P是线段 P P 的中点， 1 2 1 2 1 2 直线 过P和抛物线的焦点F，设直线 的斜率为k． l l 2 1 （1）将直线 的斜率与直线 的斜率之比表示为k的函数 ； l l f(k) 2 1 （2）求出 的定义域及单调区间． f(k) 分析： 过点P及F，利用两点的斜率公式，可将 的斜率用 k表示出来，从 l l 2 2 而写出 ，由函数 的特点求得其定义域及单调区间． f(k) f(k) 解：（1）设 l 的方程为： y k(x1) ，将它代入方程 y2 4x ，得 1 k2x2 (2k2 4)xk2 0 42k2 2k2 设 P(x ,y )、P(x ,y )、P(x,y) ，则 x x  ,x 1 1 1 2 2 2 1 2 k2 k2 2k2 2 2k2 2 将 x 代入 y k(x1) 得： y  ，即P点坐标为 ( , ) ． k2 k k2 k 2 由 y2 4x ，知焦点 F(1,0) ，∴直线 l 的斜率 k  k  k 2 2 2k2 1k2 1 k2 1 ∴函数 ． f(k)  1k2 （2）∵ l 与抛物线有两上交点，∴ k 0 且 (2k2 4)2 4k4 0 2 解得1k 0 或 0k 1 ∴函数 f (k) 的定义域为 k1k 0或0k 1  12 氪课教育当 时， 为增函数． k(1,0) f(k) 例 4 如图所示：直线l过抛物线 y2 2px 的焦点，并且与这抛物线相交于A、B两 点，求证：对于这抛物线的任何给定的一条弦CD，直线l不是CD的垂直平分线． 分析：本题所要证的命题结论是否定形式，一方面可根据垂直且平分列方程 得矛盾结论；别一方面也可以根据l上任一点到C、D距离相等来得矛盾结论． 证法一：假设直线l是抛物线的弦CD的垂直平方线，因为直线l与抛物线交 于A、B两点，所以直线l的斜率存在，且不为零；直线CD的斜率存在，且不为 0． 1 设C、D的坐标分别为 (2pt2,2pt ) 与 (2pt2,2pt ) ．则 k  1 1 2 2 CD t t 1 2 p ∴l的方程为 y (t t )(x ) 1 2 2 ∵直线l平分弦 CD ∴CD的中点 (p(t2 t2),p(t t )) 在直线l上， 1 2 1 2 p 1 即 p(t t )(t t )[p(t2 t2) ] ，化简得： p(t t )(t2 t2  )0 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 由 p(t t )0 知 t2 t2  0 得到矛盾，所以直线l不可能是抛物线的弦CD的垂 1 2 1 2 2 直平分线． 证法二：假设直线l是弦CD的垂直平分线 ∵焦点F在直线l上，∴ CF  DF p 由抛物线定义， 到抛物线的准线 的距离相等． C(x ,y ),D(x ,y ) x 1 1 2 2 2 ∵ x  x ,y y ， 1 2 1 2 ∴CD的垂直平分线l： 与直线l和抛物线有两上交点矛盾，下略． y 0 13 氪课教育例 5 设过抛物线 y2 2px(p 0) 的顶点O的两弦OA、OB互相垂直，求抛物线顶 点O在AB上射影N的轨迹方程． 分析：求与抛物线有关的轨迹方程，可先把N看成定点 (x ,y ) ；待求得 x、y 的 0 0 0 0 关系后再用动点坐标 (x，y) 来表示，也可结合几何知识，通过巧妙替换，简化运 算． 解法一：设 A(x ,y ),B(x ,y ),N(x ,y ), 1 1 2 2 0 0 y2y2 则： y2 2px ,y2 2px ，x x  1 2 1 1 2 2 1 2 4p2 OAOB ，k k 1 即 x x  y y 0 OA OB 1 2 1 2 y2y2  1 2  y y 0 4p2 1 2 y y 0 ，y y 4p2 ① 1 2 1 2 x 把N点看作定点，则AB所在的直线方程为： y y  0 (xx ), 显然 x 0 0 y 0 0 0 y y(x y 2) x 0 0 代入 y2 2px, 化简整理得： x y2 2py y2p(x2  y2)  0 x 0 0 0 0 0 2p(x2  y2) x 0 ，y y  0 0 ② 0 1 2 x 0 2p(x2  y2) 由①、②得：4p2  0 0 ，化简得 x2  y2 2px 0(x 0) x 0 0 0 0 0 用x、y分别表示 x、y 得： x2  y2 2px0(x0) 0 0 解法二：点N在以OA、OB为直径的两圆的交点（非原点）的轨迹上，设 A(2pt2,2pt) ， 则以OA为直径的圆方程为： (x pt2)2 (y pt)2  p2(t4 t2) 14 氪课教育x2  y2 2pt2 2pty 0 ① 1 设 B(2pt 2,2pt ) ，OA⊥OB，则 tt 1t  1 1 1 1 t 1 在求以 OB 为直径的圆方程时以 代 ，可得  t 1 t t2(x2  y2)2px2pty 0 ② 由①＋②得： (1t2)(x2  y2 2px)0 x2  y2 2px 0(x0) 例 6 如图所示，直线 l 和 l 相交于点 M， l ⊥ l ，点 Nl ，以A、B为端点的曲线 1 2 1 2 1 段C上的任一点到 l 的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形， AM  7 ， 2 AN 3 ，且 BN 6 ，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程． 分析：因为曲线段 C上的任一点是以点 N 为焦点，以 为 l 2 准线的抛物线的一段，所以本题关键是建立适当坐标系，确 定C所满足的抛物线方程． 解：以 为 x 轴，MN的中点为坐标原点O，建立直角坐标系． l 1 由题意，曲线段C是N为焦点，以 为准线的抛物线的一段，其中A、B分别 l 2 为曲线段的两端点． ∴设曲线段C满足的抛物线方程为： y2 2px(p 0)(x  x x ,y 0), 其中 x 、 x 为 A B A B A、B的横坐标 15 氪课教育p p 令 MN  p, 则 M( ,0),N( ,0) ，  AM  17, AN 3 2 2  p (x  )2 2px 17 ∴由两点间的距离公式，得方程组：   A 2 A  p  (x  )2 2px 9   A 2 A p 4 p2 解得 或   x 1 x 2 A A p ∵△AMN为锐角三角形，∴  x ，则 p 4 ， x 1 2 A A p 又B在曲线段C上， x  BN  624 B 2 则曲线段C的方程为 y2 8x(1 x4,y 0). 16 氪课教育