第29讲三角恒等变换_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第29讲 三角恒等变换 知识梳理 知识点一．两角和与差的正余弦与正切 ①sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ； ②cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ； tanα±tanβ ③tan(α±β)= ； 1∓tanαtanβ 知识点二．二倍角公式 ①sin2α=2sinαcosα； ②cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α； 2tanα ③tan2α= ； 1-tan2α 知识点三：降次(幂)公式 1 1-cos2α 1+cos2α sinαcosα= sin2α;sin2α= ;cos2α= ; 2 2 2 知识点四：半角公式 α 1-cosα α 1+cosα sin =± ;cos =± ; 2 2 2 2 α sinα 1-cosα tan = = . 2 1+cosα sina 知识点五．辅助角公式 b a b asinα+bcosα= a2+b2sin(α+ϕ)(其中sinϕ= ，cosϕ= ，tanϕ= )． a2+b2 a2+b2 a 【解题方法总结】 1、两角和与差正切公式变形 tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ)； tanα+tanβ tanα-tanβ tanα⋅tanβ=1- = -1． tan(α+β) tan(α-β) 2、降幂公式与升幂公式 1-cos2α 1+cos2α 1 sin2α= ；cos2α= ；sinαcosα= sin2α； 2 2 2 1+cos2α=2cos2α；1-cos2α=2sin2α；1+sin2α=(sinα+cosα)2；1-sin2α=(sinα- cosα)2． 3、其他常用变式 2sinαcosα 2tanα cos2α-sin2α 1-tan2α α sinα sin2α= = ；cos2α= = ；tan = = sin2α+cos2α 1+tan2α sin2α+cos2α 1+tan2α 2 1+cosα 1-cosα ． sinα α 1 4、拆分角问题：①α=2⋅ ；α=(α+β)-β；②α=β-(β-α)；③α= [(α+β)+(α 2 2 -β)]； 1 π π π ④β= [(α+β)-(α-β)]；⑤ +α= - -α 2 4 2 4  ． π π 注意：特殊的角也看成已知角，如α= - -α 4 4  ． 第 页 共 页 699 3427必考题型全归纳 1 题型一：两角和与差公式的证明 1130 (浙江省绍兴市2024学年高一下学期6月期末数学试题)为了推导两角和与差的三角函 数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，AD=1， 点E为BC上一点，且AE⊥DE，过点D作DF⊥AB于点F，设∠BAE=α，∠DAE= β. (1)利用图中边长关系DF=BE+CE，证明：sinα+β  =sinαcosβ+cosαsinβ； 1 (2)若BE=CE= ，求sin2α+cos2β. 3 【解析】(1)在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=β，AD=1，则DE=sinβ,AE= cosβ， 在Rt△ADF中，∠AFD=90°，∠DAF=α+β，AD=1，则DF=sin(α+β)， 在Rt△ABE,Rt△ECD中，∠B=∠C=90°，∠CED=∠BAE=α， 则BE=sinαcosβ,CE=cosαsinβ， 依题意，四边形BCDF是矩形，则DF=BC=BE+CE， 所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. 1 1 (2)由BE=CE= 及(1)知，sinαcosβ=cosαsinβ= ，则tanα=tanβ，而α,β为锐 3 3 角，即有α=β， 2 5 sin2α= ，又2α=α+β=∠BAD是锐角，于是cos2β=cos2α= ， 3 3 2+ 5 所以sin2α+cos2β= . 3 1131 (2024·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中)某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公 式： ①sin3θ=3sinθ-4sin3θ；②cos3θ=4cos3θ-3cosθ 根据以上研究结论，回答： (1)在①和②中任选一个进行证明： (2)求值：sin1098°. 【解析】(1)若选①，证明如下： sin3θ=sin2θ+θ  =sin2θcosθ+cos2θsinθ=2sinθcos2θ+1-2sin2θ  sinθ =2sinθ1-sin2θ  +1-2sin2θ  sinθ=3sinθ-4sin3θ. 若选②，证明如下： cos3θ=cos(2θ+θ)=cos2θcosθ-sin2θsinθ=2cos2θ-1  cosθ-2sin2θcosθ =2cos3θ-cosθ-21-cos2θ  cosθ=4cos3θ-3cosθ. 第 页 共 页 700 3427(2)由题，sin1098°=sin18°，因为90°=2×18°+3×18°，则cos54°=sin36°， 所以由公式②及正弦的二倍角公式得4cos318°-3cos18°=2sin18°cos18°， 又因为cos18°>0，所以4cos218°-3=2sin18°，所以41-sin218°  -3=2sin18°， 5-1 - 5-1 整理得4sin218°+2sin18°-1=0解得sin18°= 或 ， 4 4 5-1 又sin18°>0，所以sin18°= . 4 1132 (2024·全国·高三专题练习)(1)试证明差角的余弦公式C ：cos(α-β)=cosαcosβ+ (α-β) sinαsinβ； (2)利用公式C 推导： (α-β) ①和角的余弦公式C ，正弦公式S ，正切公式T ； (α+β) (α+β) (α+β) ②倍角公式S ，C ，T . (2α) (2α) (2α) 【解析】(1)不妨令α≠2kπ+β,k∈Z. 如图， 设单位圆与x轴的正半轴相交于点A1,0  ，以x轴非负半轴为始边作角α,β,α-β，它们 的终边分别与单位圆相交于点P 1cosα,sinα  ，A 1cosβ,sinβ  ，P cosα-β  ,sinα-β    . 连接AP,AP.若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A,P分别与点A,P 重合.根据 1 1 1 1     圆的旋转对称性可知，AP与AP 重合，从而，AP=AP，∴AP=AP. 1 1 1 1 1 1 根据两点间的距离公式，得： cosα-β   -1  2+sin2 α-β  =(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2， 化简得：cosα-β  =cosαcosβ+sinαsinβ. 当α=2kπ+βk∈Z  时，上式仍然成立. ∴，对于任意角α,β有：cosα-β  =cosαcosβ+sinαsinβ. (2)①公式C 的推导： (α+β) cosα+β  =cos α--β    =cosαcos-β  +sinαsin-β  =cosαcosβ-sinαsinβ. 公式S α+β  的推导： sinα+β  π =cosα+β- 2  π =cos α- -β 2      π =cosαcos -β 2  π +sinαsin -β 2  第 页 共 页 701 3427=cosαsinβ+sinαcosβ 正切公式T α+β  的推导： tanα+β  sinα+β =  cosα+β  sinαcosβ+cosαsinβ = cosαcosβ-sinαsinβ tanα+tanβ = 1-tanαtanβ ②公式S 2α  的推导： 由①知，sin2α=sinα+α  =cosαsinα+sinαcosα=2sinαcosα. 公式C 2α  的推导： 由①知，cos2α=cosα+α  =cosαcosα-sinαsinα=cos2α-sin2α. 公式T 2α  的推导： 由①知，tan2α=tanα+α  tanα+tanα 2tanα = = . 1-tanα⋅tanα 1-tan2α 1133 (2024·全国·高三专题练习)如图，考虑点A(1,0)，P(cosα,sinα)，P(cosβ,-sinβ)，P 1 2 (cos(α+β),sin(α+β))，从这个图出发. (1)推导公式：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ； 1 (2)利用(1)的结果证明：cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]，并计算sin37.5°⋅ 2 cos37.5°的值. 【解析】(1)因为P(cosα,sinα),P(cosβ,-sinβ),P(cos(α+β),sin(α+β))， 1 2     根据图象，可得AP2=PP2，即|AP|2=PP 1 2 1 2  2， 即(cos(α+β)-1)2+sin2(α+β)=(cosβ-cosα)2+(sinβ+sinα)2. 即cos(α+β)=cosβcosα-sinβsinα. (2)由(1)可得cos(α+β)=cosβcosα-sinβsinα，① cos(α-β)=cosβcosα+sinβsinα ② 由①+②可得：2cosβcosα=cos(α+β)+cos(α-β) 1 所以cosβcosα= [cos(α+β)+cos(α-β)]， 2 1 1 1 所以sin37.5°cos37.5°= sin75°= cos15°= cos45°-30° 2 2 2  . 1 = cos45°cos30°+sin45°sin30° 2  1 2 3 2 1 =  × + × 2 2 2 2 2  6+ 2 = 8 第 页 共 页 702 34271134 (2024·广东揭阳·高三统考期中)在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向 量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程．如我们就可以利用平面向量来 推导两角差的余弦公式：cosα-β  =cosαcosβ+sinαsinβ．具体过程如下： 如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β．它们的终边与单位 圆O的交点分别为A，B．  则OA=cosα,sinα   ，OB=cosβ,sinβ    ，由向量数量积的坐标表示，有OA⋅OB= cosαcosβ+sinαsinβ．      设OA，OB的夹角为θ，则OA⋅OB=OA   ⋅OB  cosθ=cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ， 另一方面，由图(1)可知，α=2kπ+β+θ； 由图(2)可知α=2kπ+β-θ，于是α-β=2kπ±θ，k∈Z． 所以cosα-β  =cosθ，也有cosα-β  =cosαcosβ+sinαsinβ； 所以，对于任意角α，β有：cosα-β  =cosαcosβ+sinαsinβC α-β  ． 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系，称为差角 的余弦公式，简记作C ．有了公式C 以后，我们只要知道cosα，cosβ，sinα，sinβ的 α-β α-β 值，就可以求得cosα-β  的值了． 阅读以上材料，利用图(3)单位圆及相关数据(图中M是AB的中点)，采取类似方法(用 其他方法解答正确同等给分) 解决下列问题：  1 (1)判断OC=  OM   OM是否正确？(回答“正确”，“不正确”，不需要证明) α+β α-β (2)证明：cosα+cosβ=2cos cos ． 2 2  1   【解析】(1)正确；因为对于非零向量n， n是n方向上的单位向量，  |n|      1 又|OC|=1且OM与OC共线，所以OC=  OM. |OM| (2)因为M为AB的中点，则OM⊥AB， 第 页 共 页 703 3427  β-α β-α 从而在△OAM中，|OM|=|OA|⋅cos =cos ， 2 2  cosα+cosβ sinα+sinβ 又∵M是AB的中点，∴OM= , 2 2  ，  1   α+β α+β 又OC=  OM，OC=cos ,sin |OM| 2 2  ， α+β 1 cosα+cosβ 所以cos = ， 2 β-α 2 cos 2 α+β α-β 化简得，cosα+cosβ=2cos cos ． 2 2 【解题方法总结】 推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦 定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路． 2 题型二：两角和与差的三角函数公式 π 1135 (2024·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模)已知sinαsin -α 3  π =3cosαsinα+ 6  ， π 则sin2α+ 6  = ( ) 3 1 3 A.-1 B.- C. D. 2 2 2 【答案】A π 【解析】由sinαsin -α 3  π =3cosαsinα+ 6  ， 3 1 得sinα cosα- sinα 2 2  3 1 =3cosα sinα+ cosα 2 2  ， 即sin2α+2 3sinαcosα+3cos2α=0， 则sinα+ 3cosα  2=0，得sinα=- 3cosα，则tanα=- 3， π 所以sin2α+ 6  3 1 1 = sin2α+ cos2α= 3sinαcosα+cos2α- 2 2 2 3sinαcosα cos2α 1 3tanα 1 1 = + - = + - cos2α+sin2α cos2α+sin2α 2 1+tan2α 1+tan2α 2 -3 1 1 = + - =-1． 1+3 1+3 2 故选：A． π 1136 (2024·福建三明·高三统考期末)已知sinθ+cosθ- 6  π =1，则cosθ- 3  = ( ) 3 3 6 6 A. B.- C. D.- 3 3 3 3 【答案】A π 【解析】根据题意，sinθ+cosθ- 6  3 1 3 =1，即sinθ+ cosθ+ sinθ= sinθ+ 2 2 2 3 cosθ=1， 2 π 故 3cosθ- 3  π =1⇒cosθ- 3  3 = ， 3 故选：A 3 π 1137 (2024·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习)sinα= ，α∈0, 3 2  π ，β= ，则 4 第 页 共 页 704 3427tanα-β  = ( ) A.2 2-1 B.2 2-3 C.2 2+3 D.3-2 2 【答案】B 3 π 【解析】sinα= ，α∈0, 3 2  6 sinα 2 ，则有cosα= 1-sin2α= ，tanα= = ， 3 cosα 2 tanα-β  2 -1 tanα-tanβ 2 = = =2 2-3. 1+tanαtanβ 2 1+ 2 故选：B. π 1138 (2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测)设tanα- 4  1 = ，则 4 π tanα+ 4  等于 ( ) A.-2 B.2 C.-4 D.4 【答案】C π 【解析】因为tanα- 4  tanα-1 1 5 = = ，所以tanα= ， 1+tanα 4 3 π 故tanα+ 4  tanα+1 = =-4， 1-tanα 故选：C． 3 π 1139 (2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测)已知sinα= ,α∈ ,π 5 2  ，若 sinα+β  =4，则tanα+β cosβ  = ( ) 16 7 16 2 A.- B.- C. D. 7 8 7 3 【答案】C 3 π 【解析】因为sinα= ,α∈ ,π 5 2  4 sinα 3 ，所以cosα=- 1-sin2α=- ,tanα= =- ， 5 cosα 4 sinα+β 因为  sinαcosβ+cosαsinβ 3 4 = =sinα+cosα∙tanβ= - tanβ=4， cosβ cosβ 5 5 17 所以tanβ=- ， 4 所以tanα+β  3 17 - - tanα+tanβ 4 4 = = 1-tanαtanβ 3 1-- 4  17 ×- 4  16 = . 7 故选：C. 【解题方法总结】 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β 的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成 统一角和角与角转换的目的． 3 题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 π 1140 (2024·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测)已知α-β= ，tanα-tanβ=3 3，则 3 cos(α+β)的值为 ( ) 第 页 共 页 705 34271 1 1 1 A. B. C.- D.- 2 3 4 6 【答案】D π 【解析】由于tanα-tanβ=3 3，且α-β= ， 3 3 sinα sinβ sinαcosβ-cosαsinβ sin(α-β) 2 则 - = = = =3 3， cosα cosβ cosαcosβ cosαcosβ cosαcosβ 1 整理得cosαcosβ= ， 6 1 则cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= ， 2 1 1 1 整理得sinαsinβ= - = ， 2 6 3 1 1 1 所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ= - =- . 6 3 6 故选：D. 1141 (2024·上海静安·高三校考期中)已知α、β是不同的两个锐角，则下列各式中一定不成立 的是 ( ) A.sin(α+β)+2cosαsinβ+sin(α-β)>0 B.cos(α+β)+2sinαsinβ+cos(α-β)<0 C.cos(α+β)-2sinαsinβ+cos(α-β)>0 D.sin(α+β)-2cosαsinβ+sin(α-β)<0 【答案】B π π 【解析】因为α、β是不同的两个锐角，即0<α< ,0<β< ， 2 2 π π 所以0<α+β<π，- <α-β< ， 2 2 对于A，因为sin(α+β)+sin(α-β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)+(sinαcosβ-cosαsinβ) =2sinαcosβ， 所以sin(α+β)+2cosαsinβ+sin(α-β)=2sinαcosβ+2cosαsinβ=2sin(α+β)>0一 定成立，故A错误； 对于D，sin(α+β)-2cosαsinβ+sin(α-β)=2sinαcosβ-2cosαsinβ=2sin(α-β)< 0可能成立，故D错误； 对于B，因为cos(α+β)+cos(α-β)=(cosαcosβ-sinαsinβ)+(cosαcosβ+sinαsinβ) =2cosαcosβ， 所以cos(α+β)+2sinαsinβ+cos(α-β)=2cosαcosβ+2sinαsinβ=2cos(α-β)>0 恒成立， 即cos(α+β)+2sinαsinβ+cos(α-β)<0一定不成立，故B正确； 对于C，cos(α+β)-2sinαsinβ+cos(α-β)=2cosαcosβ-2sinαsinβ=2cos(α+β)> 0可能成立，故C错误. 故选：B. 1142 (2024·北京海淀·高三101中学校考阶段练习)已知O为坐标原点，点P(cosα,sinα),P 1 2  (cosβ,-sinβ),P(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0)．给出下列四个结论：①OP 3 1   =OP 2  ；  ②AP 1   =AP 2          ；③OA⋅OP =OP ⋅OP；④OA⋅OP =OP ⋅OP．其中正确结论的序 3 1 2 1 2 3 号是 ( ) 第 页 共 页 706 3427A.①② B.①④ C.①③ D.③④ 【答案】C    【解析】对于①：OP =(cosα,sinα)，OP =(cosβ,-sinβ)，所以OP 1 2 1  = cos2α+sin2α= 1，   OP = (cosβ)2+(-sinβ)2=1，故OP 2 1   =OP 2  ，故①正确；    对于②：AP =(cosα-1,sinα)，AP =(cosβ-1,-sinβ) ，AP 1 2 1  = α (cosα-1)2+(sinα)2= 2(1-cosα)=2sin 2  ，  AP 2  β = (cosβ-1)2+(-sinβ)2= 2(1-cosβ)=2sin 2   ，因为α,β关系不定，故AP 1  ,  AP 2  不一定相等，故②不正确；   对于③，OA=(1,0)，OP =(cos(α+β),sin(α+β))， 3   OA⋅OP =cos(α+β)+0⋅sin(α+β)=cos(α+β)， 3       OP ⋅OP =cosαcosβ-sinαsinβ=cos(α+β)，OA⋅OP =OP ⋅OP，故③正确； 1 2 3 1 2   对于④，OA⋅OP =cosα+0⋅sinα=cosα， 1   OP 2 ⋅OP 3 =cosβcosα+β  -sinβsinα+β    =cos(α+2β)，因为β未知，所以 OA⋅OP 1   与OP ⋅OP 不一定相等，故④不正确. 2 3 故选：C 1 1 1143 (2024·全国·高三专题练习)已知cosα+cosβ= ，sinα-sinβ= ，则cosα+β 2 3  的值 为 ( ) 13 13 59 59 A.- B. C.- D. 72 72 72 72 【答案】C 【解析】cosα+cosβ  1 2=cos2α+2cosαcosβ+cos2β= ， 4 sinα-sinβ  1 2=sin2α-2sinαsinβ+sin2β= ， 9 两式相加得2+2cosαcosβ-sinαsinβ  =2+2cosα+β  1 1 13 = + = ， 4 9 36 ∴cosα+β  59 =- . 72 故选：C. 1144 (2024·河南平顶山·高三校联考阶段练习)若sinα+β  + 3cosα+β  = π 4sinα+ 3  cosβ，则 ( ) A.tanα+β  =- 3 B.tanα+β  = 3 C.tanα-β  =- 3 D.tanα-β  = 3 【答案】C 【解析】由sinα+β  + 3cosα+β  π =4sinα+ 3  cosβ， π 可得2sinα+β+ 3  π =4sinα+ 3  cosβ， π 即sinα+β+ 3  π =sinα+ 3  π cosβ+cosα+ 3  π sinβ=2sinα+ 3  cosβ， π 化简可得cosα+ 3  π sinβ=sinα+ 3  cosβ， 第 页 共 页 707 3427π 即sinα+ -β 3  =0， π 所以α-β+ =kπ，k∈Z， 3 π 即α-β=- +kπ，k∈Z， 3 可得tanα-β  =- 3． 故选：C． 1145 (2024·全国·高三专题练习)已知第二象限角α满足sinπ+α  2 =- ，则sin2β- 3 2sinα+β  cosα-β  的值为 ( ) 1 4 5 1 4 5 A.- B.- C. D. 9 9 9 9 【答案】D 2 2 【解析】因为sinα= ，且α为第二象限角，所以cosα=- 1- 3 3  2 5 =- ， 3 于是sin2β-2sinα+β  cosα-β  =sin α+β  -α-β    -2sinα+β  cosα-β  =- sinα+β  cosα-β  +cosα+β  sinα-β    =-sin2α=-2sinαcosα 2 5 =-2× ×- 3 3  4 5 = . 9 故选：D. 【解题方法总结】 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形． 公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力． 4 题型四：角的变换问题 π 1146 (2024·河南·校联考模拟预测)已知tanθ+ 4  =-3，则cos2θ= ( ) 3 3 A.- B. C.1 D.-1 5 5 【答案】A π 【解析】由tanθ+ 4  tanθ+1 = =-3，解得tanθ=2， 1-tanθ cos2θ-sin2θ 1-tan2θ 3 所以cos2θ=cos2θ-sin2θ= = =- . cos2θ+sin2θ 1+tan2θ 5 故选：A. π 1147 (2024·宁夏·高三六盘山高级中学校考期中)已知tanα+ 4  =3，则 sinα+π  +cosπ-α  π cosα- 2  3π +sin -α 2  = ( ) 1 1 A.- B. C.-3 D.3 3 3 【答案】D π 【解析】因为tanα+ 4  tanα+1 1 =3，所以 =3，解得tanα= ， 1-tanα 2 sinα+π 则  +cosπ-α  π cosα- 2  3π +sin -α 2  -sinα-cosα tanα+1 = = =3， sinα-cosα 1-tanα 第 页 共 页 708 3427故选：D. π 1148 (2024·江西·校联考二模)已知sinx- 4  5 π = ，则cos2x- 5 3  = ( ) 2 3-3 2 3±3 3 3+4 3 3±4 A. B. C. D. 10 10 10 10 【答案】D π 【解析】因为sinx- 4  5 π π 5 = ，所以sinxcos -cosxsin = ， 5 4 4 5 2 所以 sinx-cosx 2  5 1 = ，即 sin2x+cos2x-2sinxcosx 5 2  1 = ， 5 3 4 所以sin2x= ，则cos2x=± 1-sin22x=± ， 5 5 π 所以cos2x- 3  π π =cos2xcos +sin2xsin 3 3 4 1 3 3 3 3±4 =± × + × = . 5 2 5 2 10 故选：D π 1149 (2024·四川·校联考模拟预测)若α为锐角，且cosα+ 12  3 π = ，则sinα+ 5 3  = ( ) 7 2 2 2 7 2 A.- B.- C. D. 10 10 10 10 【答案】D π 【解析】由α为锐角，且cosα+ 12  3 π = ，所以sinα+ 5 12  4 = ，则 5 π sinα+ 3  π =sin α+ 12  π   +  4  π =sinα+ 12  π π cos +cosα+ 4 12  π 4 2 sin = × + 4 5 2 3 2 7 2 × = . 5 2 10 故选：D π 1150 (2024·全国·高三专题练习)已知sinα+ 3  3 π π = ,α∈- , 5 2 6  ，则sinα的值为 ( ) 3-4 3 3+4 3 3-2 3 3+2 3 A. B. C. D. 10 10 10 10 【答案】A π π 【解析】因为α∈- , 2 6  π π π ，所以α+ ∈- , 3 6 2  π ，所以cosα+ 3  = π 1-sin2α+ 3  9 4 = 1- = ； 25 5 π π sinα=sinα+ - 3 3  π =sinα+ 3  π π cos -cosα+ 3 3  π sin 3 3 1 4 3 3-4 3 = × - × = . 5 2 5 2 10 故选：A. π π 3 4 1151 (2024·安徽淮南·统考二模)已知0<α< , <β<π,sinα= ,cos(α+β)=- ，则 2 2 5 5 sinβ= ( ) 24 24 24 24 24 A. B.- C.- 或 D.0或 25 25 25 25 25 【答案】A 第 页 共 页 709 3427π 3 4 【解析】因为0<α< ,sinα= ，所以cosα= 1-sin2α= ， 2 5 5 π π π 3π 因为0<α< , <β<π，所以 <α+β< ， 2 2 2 2 4 因为cos(α+β)=- ， 5 4 所以sin(α+β)=± 1-- 5  2 3 =± 5 3 当sin(α+β)= 时，sinβ=sin α+β 5   -α  =sinα+β  cosα-cosα+β  sinα 3 4 4 3 24 = × + × = ， 5 5 5 5 25 π 因为 <β<π， 2 24 所以sinβ>0，故sinβ= 满足题意， 25 3 当sin(α+β)=- 时，sinβ=sin α+β 5   -α  =sinα+β  cosα-cosα+β  sinα 3 4 4 3 =- × + × =0 5 5 5 5 π 因为 <β<π，故sinβ=0不合题意，舍去； 2 故选：A 1152 (2024·山西晋中·统考三模)已知α，β为锐角，且tanα=2，sinα+β  2 = ，则cosβ= 2 ( ) 3 10 3 10 10 10 A.- B. C.- D. 10 10 10 10 【答案】D 【解析】因为tanα=2，所以 sinα=2cosα， 又sin2α+cos2α=1，α为锐角， 2 5 5 π 所以sinα= ，cosα= ，且α> ． 5 5 4 π π 因为α，β为锐角，α> ，所以 <α+β<π， 4 4 2 3π 又sin(α+β)= ，所以α+β= ， 2 4 3π 故cosβ=cos -α 4  3π 3π 10 =cos cosα+sin sinα= ． 4 4 10 故选：D. 1153 (2024·山东日照·高三校考阶段练习)已知α，β∈0,π  π ，tanα+ 3  2 π = ，cosβ+ 2 6  6 = ，则cos2α-β 3  = ( ) 5 3 3 5 3 3 A.- B.- C. D. 9 3 9 3 【答案】D π 【解析】因为cos(2α-β)=cos 2α+ 3  π -β+ 6  π   -  2  π =sin 2α+ 3  π -β+ 6      π =sin2α+ 3  π cosβ+ 6  π -cos2α+ 3  π sinβ+ 6  . 第 页 共 页 710 3427π sin 2α+ 3      π =2sinα+ 3  π cosα+ 3  π 2sinα+ 3 =  π cosα+ 3  π sin2α+ 3  π +cos2α+ 3  = π 2tanα+ 3  π tan2α+ 3  2 2 = ， 3 +1 π cos 2α+ 3      π =cos2α+ 3  π -sin2α+ 3  π cos2α+ 3 =  π -sin2α+ 3  π cos2α+ 3  π +sin2α+ 3  = π 1-tan2α+ 3  π tan2α+ 3  1 = ； 3 +1 π cosβ+ 6  6 π = ，β+ 3 6  π ∈0, 2  ， π 所以sinβ+ 6  3 = ， 3 3 故cos(2α-β)= ． 3 故选：D. π 1154 (2024·吉林四平·高一四平市第一高级中学校考开学考试)已知cosα+ 6  4 = , 5 π cosβ- 6  12 π = ,α,β∈0, 13 6  ,则cos(α+β)= ( ) 16 33 56 63 A. B. C. D. 65 65 65 65 【答案】D π 【解析】∵cosα+ 6  4 π = ,cosβ- 5 6  12 π = ,α,β∈0, 13 6  π π π ∴α+ ∈ , 6 6 3  π π ,β- ∈- ,0 6 6  π ∴sinα+ 6  π >0，sinβ- 6  <0， π ∴sinα+ 6  π = 1-cos2α+ 6  3 π = ，sinβ- 5 6  π =- 1-cos2β- 6  5 =- ， 13 ∴cosα+β  π =cos α+ 6  π +β- 6      π =cosβ- 6  π cosα+ 6  π -sinβ- 6  π sinα+ 6  4 12 3 5 = × - ×- 5 13 5 13  63 = ． 65 故选：D 【解题方法总结】 α+β 常用的拆角、配角技巧：2α=(α+β)+(α-β)；α=(α+β)-β=(α-β)+β；β= 2 α-β π π - =(α+2β)-(α+β)；α-β=(α-γ)+(γ-β)；15°=45°-30°； +α= - 2 4 2 π  -α 4  等． 5 题型五：给角求值 2sin18°3cos29°-sin29°-1 1155 (2024·重庆·统考模拟预测)式子  化简的结果为 ( ) cos6°+ 3sin6° 第 页 共 页 711 34271 A. B.1 C.2sin9° D.2 2 【答案】B 2sin18°3cos29°-sin29°-cos29°-sin29° 【解析】原式=  2sin6°+30°  2sin18°2cos29°-2sin29° =  2sin18°cos18° sin36° = = =1. 2sin36° sin36° sin36° 故选：B. sin40°⋅sin80° 1156 (2024·全国·高三专题练习)计算： 2⋅ = ( ) cos40°+cos60° 2 1 2 1 A.- B.- C. D. 2 2 2 2 【答案】C sin40°⋅sin80° sin(60°-20°)⋅sin(60°+20°) 【解析】因为 = = cos40°+cos60° cos40°+ 1 2 3  cos20° 2  2 1 - sin20° 2  2 3 -2sin220° 2 3 1 cos220°- sin220° 4 4 = 3 2 -sin220° 4  3 -sin220° 4 = 3 2 -sin220° 4  1 2 = ，所以原式= 2 2 故选：C 1157 (2024·陕西西安·西安中学校考模拟预测)若λsin160°+tan20°= 3，则实数λ的值为 ( ) 4 3 A.4 B.4 3 C.2 3 D. 3 【答案】A 3-tan20° 【解析】由已知可得λ= sin180°-20°  3cos20°-sin20° = = sin20°cos20° 2sin60°cos20°-cos60°sin20°  1 sin40° 2 4sin40° = =4. sin40° 故选：A. 3 1158 (2024·全国·高三专题练习)sin10°+ tan10°= ( ) 4 1 3 1 3 A. B. C. D. 4 4 2 2 【答案】A 3 3 sin10° 4sin10°cos10°+ 3sin10° 【解析】sin10°+ tan10°=sin10°+ ⋅ = 4 4 cos10° 4cos10° 2sin20°+ 3sin10° 2sin(30°-10°)+ 3sin10° = = 4cos10° 4cos10° 1 3 2 cos10°- sin10° 2 2 =  + 3sin10° 4cos10° 第 页 共 页 712 3427cos10° 1 = = ． 4cos10° 4 故选：A． 1- 3tan10° 1159 (2024·全国·高三专题练习)求值： = ( ) 1-cos20° A.1 B. 2 C. 3 D.2 2 【答案】D sin10° 1- 3 cos10° cos10°- 3sin10° 【解析】原式= = 2sin210° 2sin10°cos10° 2cos10°+60° =  2 2cos70° 2 2cos90°-20° = = 2 sin20° sin20° 2  2 2sin20° = =2 2， sin20° sin20° 故选：D. 【解题方法总结】 (1)给角求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联 系寻找转化方法． (2)给角求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子； ②观察条件与所求之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值． 6 题型六：给值求值 π 1160 (2024·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模)已知cos2 -α 4  3 = ，则sin2α= . 5 1 【答案】 /0.2 5 π 【解析】因为cos2 -α 4  3 = ， 5 π 则sin2α=cos -2α 2  π =cos 2 -α 4      π =2cos2 -α 4  3 1 -1=2× -1= . 5 5 1 故答案为： . 5 π 1161 (2024·江西·校联考模拟预测)已知sinα+ 6  2 2π = ，则cos2α- 3 3  = ． 5 【答案】- 9 【解析】由题意可得， 2π cos2α- 3  π =cos 2α+ 6    -π   π =-cos2α+ 6  π =- 1-2sin2α+ 6      2 =-1+2⋅ 3  2 5 =- . 9 5 故答案为：- 9 π 1162 (2024·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测)若sin2α+ 6  +cos2α=- 3，则tanα= . 【答案】-2- 3/- 3-2 第 页 共 页 713 3427π 【解析】因为sin2α+ 6  3 3 +cos2α=- 3，所以 sin2α+ cos2α=- 3， 2 2 1 3 π 所以 sin2α+ cos2α=-1，即sin2α+ 2 2 3  =-1. π 3π 所以2α+ = +2kπk∈Z 3 2  7π ，解得α= +kπk∈Z 12  . 7π 所以tanα=tan +kπ 12  7π π π =tan =tan + 12 4 3  1+ 3 = =-2- 3. 1- 3 故答案为:-2- 3. 2 3 5π 1163 (2024·山东泰安·统考二模)已知sinα+ 3cosα= ，则sin -2α 3 6  = . 1 【答案】- 3 2 3 π 【解析】因为sinα+ 3cosα= ，故可得sinα+ 3 3  3 = ， 3 5π 则sin -2α 6  π =sin2α+ 6  π =sin 2α+ 3  π   -  2  π =-cos 2α+ 3      π =2sin2α+ 3  3 -1=2× 3  2 1 -1=- 3 1 故答案为：- . 3 π 1164 (2024·全国·高三专题练习)已知sinα+ 5  3 π = ，则sin2α- 4 10  = 5 【答案】- 8 π π 【解析】因为2α- =2α+ 10 5  π - ， 2 π 所以sin2α- 10  π =sin 2α+ 5  π   -  2  π =-cos2α+ 5  π =- 1-2sin2α+ 5      3 =-1- 8  5 =- . 8 5 故答案为：- . 8 π 1165 (2024·全国·高三专题练习)已知 2sinα+β- 4  =2cosαcosβ-cosα-β  ，则 tanα+β  = ． 【答案】2 【解析】由两角差与和的余弦公式cosα-β  =cosαcosβ+sinαsinβ， 等式右边变为：2cosαcosβ-cosα-β  =cosαcosβ-sinαsinβ=cosα+β  ， 等式左边将α+β看作整体，按照两角差的正弦公式展开，左边得到： 2 2 sinα+β 2  2 - cosα+β 2    =sinα+β  -cosα+β  . 于是根据左边等于右边得到：sinα+β  -cosα+β  =cosα+β  ，即sinα+β  = 2cosα+β  ，显然cosα+β  ≠0，否则sinα+β  =0，这与sin2 α+β  +cos2 α+β  =1 矛盾，于是等式两边同时除以cosα+β  ，得到tanα+β  =2. 故答案为：2 【解题方法总结】 给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于 “变角”，使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：①将待求式用已知三角函数表 示；②将已知条件转化而推出结论，其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧，解题时首先 第 页 共 页 714 3427要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系，并根据这些关系来选择公式． 7 题型七：给值求角 1166 (2024·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中)写出一个使等式 α cos 2 α π cos + 2 6  α sin 2 + α π sin + 2 6  =2成立的α的值为 . π 【答案】 (答案不唯一) 4 α cos 2 【解析】因为 α π cos + 2 6  α sin 2 + α π sin + 2 6  α α π cos sin + 2 2 6 =  α α π +sin cos + 2 2 6  α π cos + 2 6  α π sin + 2 6  π sinα+ 6 =  1 π sinα+ 2 3  =2 π 所以sinα+ 6  π =sinα+ 3  π 所以α+ 6  π +α+ 3  =2k+1  π(k∈Z) 2k+1 π 解得：α= π- (k∈Z) 2 4 π 当k=0时，α= 4 α cos 2 所以使等式 α π cos + 2 6  α sin 2 + α π sin + 2 6  π =2成立的α的一个值为： 4 π 故答案为： (答案不唯一) 4 1+2cosα=2cosβ 1167 (2024·北京·高三专题练习)若实数∀α，β满足方程组  ，则β的一个 3+2sinα=2sinβ 值是 . 2π 【答案】β=0(满足β=2kπ,k∈Z或β= +2kπ,k∈Z的β值均可) 3 1+2cosα=2cosβ 【解析】实数α，β满足方程组  ， 3+2sinα=2sinβ 1 cosβ= +cosα  2 则 ， 3 sinβ= +sinα 2 由于cos2α+sin2α=1， 1 所以cosβ- 2  2 3 +sinβ- 2  2 1 3 =1，则cos2β-cosβ+ +sin2β- 3sinβ+ =1； 4 4 π 所以 3sinβ+cosβ=1，整理得sinβ+ 6  1 = ， 2 π π π 5π 所以β+ = +2kπ,k∈Z或β+ = +2kπ,k∈Z， 6 6 6 6 第 页 共 页 715 34272π 即得β=2kπ,k∈Z或β= +2kπ,k∈Z. 3 故可以取k=0时，β=0． 2π 故答案为：β=0(满足β=2kπ,k∈Z或β= +2kπ,k∈Z的β值均可) 3 2 5 10 π 1168 (2024·江西·高三校联考阶段练习)已知cosα= ，sinβ= ，且α∈0, 5 10 2  ，β∈ π 0, 2  ，则α+β的值是 . π 【答案】 4 2 5 10 π 【解析】因为cosα= ，sinβ= ，且α∈0, 5 10 2  π ，β∈0, 2  ， 5 3 10 所以sinα= ，cosβ= ，且α+β∈0,π 5 10  ， 则cosα+β  2 5 3 10 5 10 2 = × - × = ， 5 10 5 10 2 π 所以α+β= . 4 π 故答案为： . 4 4 3 1169 (2024·上海嘉定·高三校考期中)若α,β为锐角，sinα= ,cosα+β 7  11 =- ，则角β 14 = . π 【答案】 3 【解析】由于α,β为锐角，所以0<α+β<π， 1 所以cosα= 1-sin2α= ,sinα+β 7  = 1-cos2 α+β  5 3 = ， 14 所以cosβ=cos α+β   -α  =cosα+β  cosα+sinα+β  sinα 11 1 5 3 4 3 1 =- × + × = ， 14 7 14 7 2 π 所以β= . 3 π 故答案为： 3 π 2π π π 1170 (2024·全国·高三专题练习)已知 <α< ，4 3sin sinα- 6 3 15 3  + π π 4sin cos -α 15 3  π +tan = 3，则α= ． 15 8π 【答案】 15 π 【解析】由题知 3sinα- 3  π +cos -α 3  π 3-tan 15 π = ，则 3sinα- π 3 4sin 15  + π cosα- 3  π π 3cos -sin 15 15 π π = ，即2sinα- + π π 3 6 4sin cos 15 15  π π 2sin - 3 15 =  π ，即2sinα- 2π 6 2sin 15  2π 2π 2sin cos 15 15 π = ，即sinα- 2π 6 sin 15  2π π 2π =cos =sin - 15 2 15  11π π 11π =sin ，则α- = + 30 6 30 第 页 共 页 716 3427π 11π π 2π π π 2kπ或α- + =π+2kπ，k∈Z．因为 <α< ，所以0<α- < ，所以α 6 30 6 3 6 2 π 11π 8π - = ，解得α= ． 6 30 15 8π 故答案为： 15 π 1171 (2024·全国·高三专题练习)已知sin -α 4  5 3π =- ,sin +β 5 4  10 = ，且α∈ 10 π 3π  , 4 4  π ,β∈0, 4  ，求α-β的值为 ． π 1 【答案】 / π 4 4 π 3π 【解析】α∈ , 4 4  π ,β∈0, 4  3π ，则α-β∈0, 4  ，注意到 π 3π α-β=π- -α+ +β 4 4  ，于是 π 3π sin(α-β)=sin π- -α+ +β 4 4    π 3π =sin -α+ +β 4 4  ，不妨记 π 3π x= -α,y= +β，于是sin(α-β)=sin(x+y)=sinxcosy+sinycosx，而x∈ 4 4 π - ,0 2  5 2 5 3π ,sinx=- ，于是cosx= (负值舍去)，又y∈ ,π 5 5 4  10 ,siny= ，则 10 3 10 cosy=- (正值舍去)，于是计算可得： 10 2 3π sin(α-β)=sin(x+y)=sinxcosy+sinycosx= ，而α-β∈0, 2 4  ，于是 π α-β= . 4 π 故答案为： . 4 1172 (2024·全国·高三专题练习)已知sinα+2β  4 3 = ，cos2α+β 7  11 π π =- ，α∈ , 14 4 2  ， π β∈- ,0 4  ，则α-β= ． π 【答案】 3 π π 【解析】因为α∈ , 4 2  π ，β∈- ,0 4  π π π π ，则 <2α+β<π，- <α+2β< ， <α 4 4 2 4 3π -β< ， 4 所以，cosα+2β  = 1-sin2 α+2β  1 = ，sin2α+β 7  = 1-cos2 2α+β  5 3 = ， 14 所以，cosα-β  =cos 2α+β  -α+2β    =cos2α+β  cosα+2β  + sin2α+β  sinα+2β  11 1 5 3 4 3 1 =- × + × = ， 14 7 14 7 2 π 因此，α-β= . 3 π 故答案为： . 3 【解题方法总结】 给值求角：解此类问题的基本方法是：先求出“所求角”的某一三角函数值，再确定“所求 角”的范围，最后借助三角函数图像、诱导公式求角． 第 页 共 页 717 34278 题型八：正切恒等式及求非特殊角 1173 (2024·全国·高三对口高考)tan15°+tan30°+tan15°⋅tan30°的值是 . 【答案】1 【解析】因为tan45°=tan15°+30°  tan15°+tan30° = =1， 1-tan15°⋅tan30° 所以tan15°+tan30°=1-tan15°⋅tan30°，故tan15°+tan30°+tan15°⋅tan30°=1. 故答案为：1. 1174 (2024·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考期中)已知α，β满足1+tanα  1-tanβ  =2，则β-α= ． π 【答案】- +kπk∈Z 4  【解析】∵1+tanα  1-tanβ  =1+tanα-tanβ-tanαtanβ=2， 即tanα-tanβ=1+tanαtanβ， tanβ-tanα ∴ =-1，即tanβ-α 1+tanαtanβ  =-1， π ∴β-α=- +kπk∈Z 4  ． π 故答案为：- +kπk∈Z 4  . 1175 (2024·江苏南通·高三校考期中)在△ABC中，若tanA+tanB+ 2= 2tanAtanB， 则tan2C= . 【答案】-2 2 【解析】因为tanA+B  tanA+tanB = =tanπ-C 1-tanAtanB  =-tanC， 所以，tanA+tanB=tanCtanAtanB-1  ， 由题意可得 2tanAtanB-1  =tanA+tanB=tanCtanAtanB-1  ， 若tanAtanB=1，则tanA+tanB=0，不妨设A为锐角，则tanB=-tanA<0， 则tanAtanB=-tan2A<0，不合乎题意， 2tanC 所以，tanAtanB≠1，故tanC= 2，因此，tan2C= =-2 2. 1-tan2C 故答案为：-2 2. 3 1176 (2024·全国·高三专题练习)tan50°-tan20°- tan50°tan20°= ． 3 3 【答案】 3 3 【解析】tan50°-tan20°- tan50°tan20° 3 =tan50°-20°  1+tan50°tan20°  3 - tan50°tan20°=tan30°1+tan50°tan20° 3  - 3 tan50°tan20° 3 3 3 3 3 = + tan50°tan20°- tan50°tan20°= ． 3 3 3 3 3 故答案为： . 3 1177 (2024·山东·高三济宁市育才中学校考开学考试)若角α的终边经过点 第 页 共 页 718 3427Psin70°,cos70°  ，且tanα+tan2α+mtanα⋅tan2α= 3，则实数m= . 【答案】 3 【解析】因为角α的终边经过点Psin70°,cos70°  ， cos70° cos(90°-20°) sin20° 所以tanα= = = =tan20° sin70° sin(90°-20°) cos20° 因为sin70°>0，cos70°>0， 所以角α是第一象限的角， 所以α=20°+k⋅360°,k∈Z， 不妨取k=0，则α=20°， 所以tanα+tan2α+mtanα⋅tan2α =tan20°+tan40°+mtan20°⋅tan40° =tan20°+40°  1-tan20°⋅tan40°  +mtan20°⋅tan40° =tan60°1-tan20°⋅tan40°  +mtan20°⋅tan40° = 31-tan20°⋅tan40°  +mtan20°⋅tan40°， 所以 31-tan20°⋅tan40°  +mtan20°⋅tan40°= 3， 所以(m- 3)tan20°⋅tan40°=0， 所以m= 3， 故答案为： 3 1178 (2024·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考阶段练习)若A,B是ΔABC的内 角，且(1+tanA)(1+tanB)=2，则A+B等于 . π 【答案】 4 【解析】由题意知，tanA+tanB+tanAtanB=1，即tanA+tanB=1-tanAtanB， tanA+tanB ∴tan(A+B)= =1， 1-tanAtanB π 又00，所以tanx+ 4  >0， π π 3π π 0，则 0 2 2  ．若 fx  的最小正周期为2π． (1)求fx  的表达式和fx  的递增区间； (2)求fx  π 5π 在区间 - ,  6 6  上的最大值和最小值． 【解析】(1)因为fx  3 1 =sin2ωx+ sin2ωx- ， 2 2 第 页 共 页 722 3427所以fx  1-cosωx 3 1 = + sin2ωx- ， 2 2 2 所以fx  3 1 = sin2ωx- cosωx， 2 2 所以fx  π =sin2ωx- 6  ， 因为fx  的最小正周期为2π，ω>0， 2π 1 所以 =2π，所以ω= ， 2ω 2 所以fx  π =sinx- 6  ， π π π π 2π 令2kπ- ≤x- ≤2kπ+ ，k∈Z，可得2kπ- ≤x≤2kπ+ ，k∈Z， 2 6 2 3 3 所以函数fx  π 2π 的单调递增区间为 2kπ- ,2kπ+  3 3  k∈Z  ， π 5π (2)因为- ≤x≤ ， 6 6 π π 2π 所以- ≤x- ≤ ， 3 6 3 3 π 所以- ≤sinx- 2 6  3 ≤1，即- ≤fx 2  ≤1， 2π 所以当x= 时，函数fx 3  取最大值，最大值为1， π 当x=- 时，函数fx 6  3 取最小值，最小值为- . 2 【解题方法总结】 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公 式的逆用和变形使用． (2)形如y=asinx+bcosx化为y= a2+b2sin(x+φ)，可进一步研究函数的周期性、单 调性、最值与对称性 第 页 共 页 723 3427