第29讲三角恒等变换_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第29讲 三角恒等变换 知识梳理 知识点一．两角和与差的正余弦与正切 ①sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ； ②cos(α±β)=cosαcosβ∓sinαsinβ； tanα±tanβ ③tan(α±β)= ； 1∓tanαtanβ 知识点二．二倍角公式 ①sin2α=2sinαcosα； ②cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α； 2tanα ③tan2α= ； 1-tan2α 知识点三：降次(幂)公式 1 1-cos2α 1+cos2α sinαcosα= sin2α;sin2α= ;cos2α= ; 2 2 2 知识点四：半角公式 α 1-cosα α 1+cosα sin =± ;cos =± ; 2 2 2 2 α sinα 1-cosα tan = = . 2 1+cosα sina 知识点五．辅助角公式 b a b asinα+bcosα= a2+b2sin(α+ϕ)(其中sinϕ= ，cosϕ= ，tanϕ= )． a2+b2 a2+b2 a 【解题方法总结】 1、两角和与差正切公式变形 tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanαtanβ)； tanα+tanβ tanα-tanβ tanα⋅tanβ=1- = -1． tan(α+β) tan(α-β) 2、降幂公式与升幂公式 1-cos2α 1+cos2α 1 sin2α= ；cos2α= ；sinαcosα= sin2α； 2 2 2 1+cos2α=2cos2α；1-cos2α=2sin2α；1+sin2α=(sinα+cosα)2；1-sin2α=(sinα- cosα)2． 3、其他常用变式 2sinαcosα 2tanα cos2α-sin2α 1-tan2α α sinα sin2α= = ；cos2α= = ；tan = = sin2α+cos2α 1+tan2α sin2α+cos2α 1+tan2α 2 1+cosα 1-cosα ． sinα α 1 4、拆分角问题：①α=2⋅ ；α=(α+β)-β；②α=β-(β-α)；③α= [(α+β)+(α 2 2 -β)]； 1 π π π ④β= [(α+β)-(α-β)]；⑤ +α= - -α 2 4 2 4  ． π π 注意：特殊的角也看成已知角，如α= - -α 4 4  ． 第 页 共 页 214 1043必考题型全归纳 1 题型一：两角和与差公式的证明 1130 (浙江省绍兴市2024学年高一下学期6月期末数学试题)为了推导两角和与差的三角函 数公式，某同学设计了一种证明方法：在直角梯形ABCD中，∠B=∠C=90°，AD=1， 点E为BC上一点，且AE⊥DE，过点D作DF⊥AB于点F，设∠BAE=α，∠DAE= β. (1)利用图中边长关系DF=BE+CE，证明：sinα+β  =sinαcosβ+cosαsinβ； 1 (2)若BE=CE= ，求sin2α+cos2β. 3 1131 (2024·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中)某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公 式： ①sin3θ=3sinθ-4sin3θ；②cos3θ=4cos3θ-3cosθ 根据以上研究结论，回答： (1)在①和②中任选一个进行证明： (2)求值：sin1098°. 1132 (2024·全国·高三专题练习)(1)试证明差角的余弦公式C ：cos(α-β)=cosαcosβ+ (α-β) sinαsinβ； (2)利用公式C 推导： (α-β) ①和角的余弦公式C ，正弦公式S ，正切公式T ； (α+β) (α+β) (α+β) ②倍角公式S ，C ，T . (2α) (2α) (2α) 1133 (2024·全国·高三专题练习)如图，考虑点A(1,0)，P(cosα,sinα)，P(cosβ,-sinβ)，P 1 2 (cos(α+β),sin(α+β))，从这个图出发. (1)推导公式：cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ； 1 (2)利用(1)的结果证明：cosαcosβ= [cos(α+β)+cos(α-β)]，并计算sin37.5°⋅ 2 第 页 共 页 215 1043cos37.5°的值. 1134 (2024·广东揭阳·高三统考期中)在推导很多三角恒等变换公式时，我们可以利用平面向 量的有关知识来研究，在一定程度上可以简化推理过程．如我们就可以利用平面向量来 推导两角差的余弦公式：cosα-β  =cosαcosβ+sinαsinβ．具体过程如下： 如图，在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β．它们的终边与单位 圆O的交点分别为A，B．  则OA=cosα,sinα   ，OB=cosβ,sinβ    ，由向量数量积的坐标表示，有OA⋅OB= cosαcosβ+sinαsinβ．      设OA，OB的夹角为θ，则OA⋅OB=OA   ⋅OB  cosθ=cosθ=cosαcosβ+sinαsinβ， 另一方面，由图(1)可知，α=2kπ+β+θ； 由图(2)可知α=2kπ+β-θ，于是α-β=2kπ±θ，k∈Z． 所以cosα-β  =cosθ，也有cosα-β  =cosαcosβ+sinαsinβ； 所以，对于任意角α，β有：cosα-β  =cosαcosβ+sinαsinβC α-β  ． 此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦值与其差角α-β的余弦值之间的关系，称为差角 的余弦公式，简记作C ．有了公式C 以后，我们只要知道cosα，cosβ，sinα，sinβ的 α-β α-β 值，就可以求得cosα-β  的值了． 阅读以上材料，利用图(3)单位圆及相关数据(图中M是AB的中点)，采取类似方法(用 其他方法解答正确同等给分) 解决下列问题：  1 (1)判断OC=  OM   OM是否正确？(回答“正确”，“不正确”，不需要证明) α+β α-β (2)证明：cosα+cosβ=2cos cos ． 2 2 2 题型二：两角和与差的三角函数公式 π 1135 (2024·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模)已知sinαsin -α 3  π =3cosαsinα+ 6  ， 第 页 共 页 216 1043π 则sin2α+ 6  = ( ) 3 1 3 A.-1 B.- C. D. 2 2 2 π 1136 (2024·福建三明·高三统考期末)已知sinθ+cosθ- 6  π =1，则cosθ- 3  = ( ) 3 3 6 6 A. B.- C. D.- 3 3 3 3 3 π 1137 (2024·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习)sinα= ，α∈0, 3 2  π ，β= ，则 4 tanα-β  = ( ) A.2 2-1 B.2 2-3 C.2 2+3 D.3-2 2 π 1138 (2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测)设tanα- 4  1 = ，则 4 π tanα+ 4  等于 ( ) A.-2 B.2 C.-4 D.4 3 π 1139 (2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测)已知sinα= ,α∈ ,π 5 2  ，若 sinα+β  =4，则tanα+β cosβ  = ( ) 16 7 16 2 A.- B.- C. D. 7 8 7 3 3 题型三：两角和与差的三角函数公式的逆用与变形 π 1140 (2024·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测)已知α-β= ，tanα-tanβ=3 3，则 3 cos(α+β)的值为 ( ) 1 1 1 1 A. B. C.- D.- 2 3 4 6 1141 (2024·上海静安·高三校考期中)已知α、β是不同的两个锐角，则下列各式中一定不成立 的是 ( ) A.sin(α+β)+2cosαsinβ+sin(α-β)>0 B.cos(α+β)+2sinαsinβ+cos(α-β)<0 C.cos(α+β)-2sinαsinβ+cos(α-β)>0 D.sin(α+β)-2cosαsinβ+sin(α-β)<0 1142 (2024·北京海淀·高三101中学校考阶段练习)已知O为坐标原点，点P(cosα,sinα),P 1 2  (cosβ,-sinβ),P(cos(α+β),sin(α+β)),A(1,0)．给出下列四个结论：①OP 3 1   =OP 2  ；  ②AP 1   =AP 2          ；③OA⋅OP =OP ⋅OP；④OA⋅OP =OP ⋅OP．其中正确结论的序 3 1 2 1 2 3 号是 ( ) A.①② B.①④ C.①③ D.③④ 1 1 1143 (2024·全国·高三专题练习)已知cosα+cosβ= ，sinα-sinβ= ，则cosα+β 2 3  的值 为 ( ) 第 页 共 页 217 104313 13 59 59 A.- B. C.- D. 72 72 72 72 1144 (2024·河南平顶山·高三校联考阶段练习)若sinα+β  + 3cosα+β  = π 4sinα+ 3  cosβ，则 ( ) A.tanα+β  =- 3 B.tanα+β  = 3 C.tanα-β  =- 3 D.tanα-β  = 3 1145 (2024·全国·高三专题练习)已知第二象限角α满足sinπ+α  2 =- ，则sin2β- 3 2sinα+β  cosα-β  的值为 ( ) 1 4 5 1 4 5 A.- B.- C. D. 9 9 9 9 4 题型四：角的变换问题 π 1146 (2024·河南·校联考模拟预测)已知tanθ+ 4  =-3，则cos2θ= ( ) 3 3 A.- B. C.1 D.-1 5 5 π 1147 (2024·宁夏·高三六盘山高级中学校考期中)已知tanα+ 4  =3，则 sinα+π  +cosπ-α  π cosα- 2  3π +sin -α 2  = ( ) 1 1 A.- B. C.-3 D.3 3 3 π 1148 (2024·江西·校联考二模)已知sinx- 4  5 π = ，则cos2x- 5 3  = ( ) 2 3-3 2 3±3 3 3+4 3 3±4 A. B. C. D. 10 10 10 10 π 1149 (2024·四川·校联考模拟预测)若α为锐角，且cosα+ 12  3 π = ，则sinα+ 5 3  = ( ) 7 2 2 2 7 2 A.- B.- C. D. 10 10 10 10 π 1150 (2024·全国·高三专题练习)已知sinα+ 3  3 π π = ,α∈- , 5 2 6  ，则sinα的值为 ( ) 3-4 3 3+4 3 3-2 3 3+2 3 A. B. C. D. 10 10 10 10 π π 3 4 1151 (2024·安徽淮南·统考二模)已知0<α< , <β<π,sinα= ,cos(α+β)=- ，则 2 2 5 5 sinβ= ( ) 24 24 24 24 24 A. B.- C.- 或 D.0或 25 25 25 25 25 1152 (2024·山西晋中·统考三模)已知α，β为锐角，且tanα=2，sinα+β  2 = ，则cosβ= 2 ( ) 3 10 3 10 10 10 A.- B. C.- D. 10 10 10 10 第 页 共 页 218 10431153 (2024·山东日照·高三校考阶段练习)已知α，β∈0,π  π ，tanα+ 3  2 π = ，cosβ+ 2 6  6 = ，则cos2α-β 3  = ( ) 5 3 3 5 3 3 A.- B.- C. D. 9 3 9 3 π 1154 (2024·吉林四平·高一四平市第一高级中学校考开学考试)已知cosα+ 6  4 = , 5 π cosβ- 6  12 π = ,α,β∈0, 13 6  ,则cos(α+β)= ( ) 16 33 56 63 A. B. C. D. 65 65 65 65 5 题型五：给角求值 2sin18°3cos29°-sin29°-1 1155 (2024·重庆·统考模拟预测)式子  化简的结果为 ( ) cos6°+ 3sin6° 1 A. B.1 C.2sin9° D.2 2 sin40°⋅sin80° 1156 (2024·全国·高三专题练习)计算： 2⋅ = ( ) cos40°+cos60° 2 1 2 1 A.- B.- C. D. 2 2 2 2 1157 (2024·陕西西安·西安中学校考模拟预测)若λsin160°+tan20°= 3，则实数λ的值为 ( ) 4 3 A.4 B.4 3 C.2 3 D. 3 3 1158 (2024·全国·高三专题练习)sin10°+ tan10°= ( ) 4 1 3 1 3 A. B. C. D. 4 4 2 2 1- 3tan10° 1159 (2024·全国·高三专题练习)求值： = ( ) 1-cos20° A.1 B. 2 C. 3 D.2 2 6 题型六：给值求值 π 1160 (2024·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模)已知cos2 -α 4  3 = ，则sin2α= . 5 π 1161 (2024·江西·校联考模拟预测)已知sinα+ 6  2 2π = ，则cos2α- 3 3  = ． π 1162 (2024·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测)若sin2α+ 6  +cos2α=- 3，则tanα= . 2 3 5π 1163 (2024·山东泰安·统考二模)已知sinα+ 3cosα= ，则sin -2α 3 6  = . π 1164 (2024·全国·高三专题练习)已知sinα+ 5  3 π = ，则sin2α- 4 10  = 第 页 共 页 219 1043π 1165 (2024·全国·高三专题练习)已知 2sinα+β- 4  =2cosαcosβ-cosα-β  ，则 tanα+β  = ． 7 题型七：给值求角 1166 (2024·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中)写出一个使等式 α cos 2 α π cos + 2 6  α sin 2 + α π sin + 2 6  =2成立的α的值为 . 1+2cosα=2cosβ 1167 (2024·北京·高三专题练习)若实数∀α，β满足方程组  ，则β的一个 3+2sinα=2sinβ 值是 . 2 5 10 π 1168 (2024·江西·高三校联考阶段练习)已知cosα= ，sinβ= ，且α∈0, 5 10 2  ，β∈ π 0, 2  ，则α+β的值是 . 4 3 1169 (2024·上海嘉定·高三校考期中)若α,β为锐角，sinα= ,cosα+β 7  11 =- ，则角β 14 = . π 2π π π 1170 (2024·全国·高三专题练习)已知 <α< ，4 3sin sinα- 6 3 15 3  + π π 4sin cos -α 15 3  π +tan = 3，则α= ． 15 π 1171 (2024·全国·高三专题练习)已知sin -α 4  5 3π =- ,sin +β 5 4  10 = ，且α∈ 10 π 3π  , 4 4  π ,β∈0, 4  ，求α-β的值为 ． 1172 (2024·全国·高三专题练习)已知sinα+2β  4 3 = ，cos2α+β 7  11 π π =- ，α∈ , 14 4 2  ， π β∈- ,0 4  ，则α-β= ． 8 题型八：正切恒等式及求非特殊角 1173 (2024·全国·高三对口高考)tan15°+tan30°+tan15°⋅tan30°的值是 . 1174 (2024·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考期中)已知α，β满足1+tanα  1-tanβ  =2，则β-α= ． 1175 (2024·江苏南通·高三校考期中)在△ABC中，若tanA+tanB+ 2= 2tanAtanB， 则tan2C= . 3 1176 (2024·全国·高三专题练习)tan50°-tan20°- tan50°tan20°= ． 3 1177 (2024·山东·高三济宁市育才中学校考开学考试)若角α的终边经过点 Psin70°,cos70°  ，且tanα+tan2α+mtanα⋅tan2α= 3，则实数m= . 1178 (2024·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考阶段练习)若A,B是ΔABC的内 角，且(1+tanA)(1+tanB)=2，则A+B等于 . 第 页 共 页 220 1043π 1179 (2024·全国·统考模拟预测)若α，β为锐角，且α+β= ，则1+tanα 4  1+tanβ  = ；1+tan1°  1+tan2°  1+tan3°  ⋯1+tan45°  = π 1180 (2024·全国·高三专题练习)已知x∈0, 2  π ，y∈0, 2  cosx+sinx ， =tany，则 cosx-sinx ( ) π π π π A.y-x= B.2y-x= C.y-x= D.2y-x= 4 4 2 2 9 题型九：三角恒等变换的综合应用 1181 (2024·陕西咸阳·校考二模)已知函数fx  =2cosxsinx-cosx  +1,x∈R (1)求函数fx  的对称轴和对称中心； π 3π (2)当x∈  ,  8 4  ，求函数fx  的值域． 1182 (2024·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习)已知fx  =cosx 3sinx-cosx  3 + . 2 (1)求fx  在0,π  上的单调递减区间； (2)若fα  2 π 5π = ,α∈ , 5 3 6  ，求sin2α的值. 1183 (2024·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测)已知函数fx  =sin2x+sinxcosx- 1． (1)求fx  的最小正周期和单调递增区间； π (2)当x∈ 0,  2  时，求fx  的最大值，并求当fx  取得最大值时x的值． 1184 (2024·全国·高三对口高考)已知函数fx  π =2 2sinxcosx+ 4  ； π (1)若在△ABC中，BC=2，AB= 2，求使fA- 4  =0的角B． (2)求fx  π 17π 在区间  ,  2 24  上的取值范围； 1185 (2024·全国·高三对口高考)已知fx  3 1 =sin2ωx+ sin2ωx- x∈R,ω>0 2 2  ．若 fx  的最小正周期为2π． (1)求fx  的表达式和fx  的递增区间； (2)求fx  π 5π 在区间 - ,  6 6  上的最大值和最小值． 第 页 共 页 221 1043